<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bộ ba số Pythagore</b>

Định lý Pythagore : a2_{+ b}2_{= c}2

Một <b>bộ ba số Pythagore</b> gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho

<i>a</i>2_{+ b}2_{= c}2_{. Khi đó ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba ai cũng biết là (3, 4, 5).}
Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên
dương k bất kỳ cũng là Pythagor. Một bộ ba số Pythagore được gọi là <b>bộ ba số </b>

<b>Pythagor</b> <b>nguyên tố</b> nếu a, b và c là các

số nguyên tố cùng nhau.

Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ định

lý Pythagore. Các bộ ba số Pythagore có thể

lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông

với độ dài cạnh huyền là c. Tuy nhiên, độ dài

các cạnh của một tam giác vuông không tạo

thành bộ ba số Pythagor nếu chúng không là

các số nguyên. Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác
vuông , nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagore vì √2 khơng là số ngun.
Khơng có bộ ba số Pythagore nào có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau (trừ 3,4 và
5)

Có 16 bộ ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:

( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
Công thức sau tổng quát tất cả các bộ ba số Pythagore (không đơn trị):

<i>a = k*(2mn) </i>
<i>b = k*(m</i>2_{- n}2₎
<i>c = k*(m</i>2_{+ n}2₎

trong đó m và n là hai số nguyên dương với m > n và k là số nguyên dương tùy
ý. Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới cơng thức cổ điển cho bởi Euclid (kh. 300 TCN)
trong cuốn sách Elements của ông, thường được gọi là <b>công thức Euclid</b>:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là các số nguyên
tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn. Nếu cả n và m là chẵn, thì a,
<i>b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó khơng ngun tố cùng nhau. Mọi bộ ba nguyên</i>
tố (có thể đổi vai trò giữa a và b) sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố
cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.

<i><b>Tính chất sơ cấp</b></i>

Trong một bộ ba Pitago ngun thủy, kí hiệu:
Hai cạnh góc vng:

<i>m</i>2_{− n}2_{và 2mn là 2 cạnh góc vng a,b; trong đó 2mn là cạnh góc vng}
chẵn.

<i>c = m</i>2_{+ n}2_{là cạnh huyền.}

 Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pitago,

 (c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm tra xem
một bộ ba số có phải là bộ ba Pitago hay không, tuy vậy đây chỉ là điều
kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số
chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba Pitago. Điều kiện (nếu a là
cạnh góc vng chẵn) " (c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương"
chính là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pitago; bộ ba
Pitago này có thể khơng nguyên thủy.

 Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pitago ngun tố cùng nhau thì đó là bộ ba
Pitago nguyên thủy.

 Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.

 Tồn tại vơ số bộ ba Pitago ngun thủy có cạnh huyền là số chính
phương.

 Tồn tại vơ số bộ ba Pitago ngun thủy có một cạnh góc vng là số
chính phương

 Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vng chẵn của một bộ ba Pitago
ngun thủy là một số chính phương lẻ; và trung bình cộng của cạnh
huyền và cạnh góc vng lẻ là một số chính phương

(m2_{+ n}2_{) + (2mn) = (m + n)}2
.

 Diện tích (A = ab/2) là số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn.

 Trong hai số a, b có đúng một số lẻ; và c là số lẻ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.
 Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.

 Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7.

 Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho

8.

 Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho

9.

 Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có đúng một số

chia hết cho 11.

 Tất cả các ước nguyên tố của c đều là số nguyên tố có dạng 4k + 1.

<b>Chứng minh</b>

 Tất cả các số tự nhiên "lớn hơn 2 và khơng phải số có dạng 4k + 2" ln
thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào đó.

 Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 đều thuộc một bộ Pitago nào đó (ngun
thủy hoặc khơng), ví dụ các số 6,10,14 và 18 khơng thuộc một bộ ba
Pitago nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc một bộ ba Pitago không nguyên
thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 và 18, 80, 82.

 Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh
huyền và cạnh góc vng lớn bằng 1 ("cạnh góc vng lớn" là cạnh có độ
dài lớn hơn trong hai cạnh góc vng). Tổng qt: Với số ngun j lẻ bất
kì, tồn tại vơ số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và
cạnh góc vng chẵn bằng j 2_.

 Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh
huyền và cạnh góc vng lớn bằng 2 ("cạnh góc vng lớn" là cạnh có độ
dài lớn hơn trong hai cạnh góc vng). Tổng qt: Với số ngun k > 0
bất kì, tồn tại vơ số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và
cạnh góc vng lẻ bằng 2k 2_.

 Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, không nhất thiết phân biệt, thì đúng
một bộ ba Pitago nguyên thủy sao cho a + j2_{= c = b + 2}<i>k</i>_.

 Cạnh huyền của tất cả các bộ ba nguyên thủy đều có hiệu với cạnh góc
vng chẵn là một số chính phương, và có hiệu với cạnh góc vng lẻ
bằng hai lần một số chính phương:

(m2_{+ n}2_{) − (2mn) = (m − n)}2

.

 Khơng có một bộ ba Pitago ngun thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền và
một cạnh góc vuông bằng một số nguyên tố lẻ.

 Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n bộ ba Pitago có cùng diện tích, nhưng
khác nhau ở độ dài cạnh huyền.

 Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pitago khác nhau có cùng cạnh
góc vng a, với a là một số tự nhiên nào đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 Trong mỗi bộ ba Pitago, bán kính đường trịn nội tiếp và "3 bán kính của
ba đường trịn bàng tiếp" là số tự nhiên. Bán kính đường trịn nội tiếp
bằng r = n(m − n).

</div>

<!--links-->
Định lý Ta lét

• 18
• 836
• 4