<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp</i>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP</b>
<i>A. MỤC TIÊU.</i>

1. <i>Về kiến thức</i> : Giúp HS nắm vững cách giải một số PTLG mà sau một vài phép biến đổi đơn giản có
thể đưa về PTLGCB. Đó là PT bậc nhất và bậc hai đối với một HSLG

2. <i>Về kỹ năng</i> : Giúp HS nhận biết và giải thành thạo các dạng PT trong bài

3. <i>Về tư duy thái đợ</i> : Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.

<i>B. TÓM TẮT KIẾN THỨC</i>

Bài tốn 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp chung:

- Chuyển về PT lượng giác cơ bản

Bài tốn 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp chung:

- Có dạng: <i>a f x</i>



( )



2<i>bf x</i>( ) <i>c</i> 0 (<i>a</i>0)

Bài tốn 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương pháp chung:

- Có dạng: <i>a</i>sin<i>x b</i> cos<i>x c</i>

- Đ/k có nghiệm: a2_{+ b}2 __c2

- P2_{giải: Chia cả hai vế PT cho} <i>_a</i>2 <i>_b</i>2

 , sau đó đưa về PT lượng giác cơ bản.

Bài tốn 4: Phương trình bậc hai thuần nhất đối với sinx và cosx
Phương pháp chung:

- Có dạng: <i>_a</i>_sin2<i>_{x b}</i>_{.sin .cos}<i>_x</i> <i>_{x c}</i>_cos2 <i>_{x d}</i>

  

- P2_giải:

+ Nhận xét cosx = 0 không thỏa mãn PT

+ Vậy cosx0. Chia cả hai vế PT cho cos2x ta được PT: <i>a</i>tan2<i>x btanx c</i>  0
là phương trình bậc hai đối với tanx

Bài tốn 5: Một số phưong trình lượng giác khác
Phương pháp chung:

- Dùng công thức lượng giác đưa PT về dạng tích
C. NỢI DUNG BÀI DẠY

<b>II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>

Nếu đặt: <i>t</i>sin2<i>x hoặc t</i>sin<i>x thì điều kiện</i>: 0 <i>t</i> 1.

<b>Bài 1.</b> Giải các phương trình sau:

1) 2sin2_{x + 5cosx + 1 = 0} _{2) 4sin}2_{x – 4cosx – 1 = 0}

3) 4cos5_{x.sinx – 4sin}5_{x.cosx = sin}2_4x ₄₎_tan2<i>_x</i>

_

₁ _{3 tan}

_

<i>_x</i> _{3 0}

   

5) _4sin2<i>_x</i> _{2 3 1 sin}





<i>_x</i> _{3 0}

    6) 4 cos3<i>x</i>3 2 sin 2<i>x</i>8cos<i>x</i>

<i>Vũ Hoàng Anh-0984960096</i>

Dạng Đặt Điều kiện

2 _sin ₀

<i>asin x b</i> <i>x c</i>  t = sinx   1 <i>t</i> 1
2

cos cos 0

<i>a</i> <i>x b</i> <i>x c</i>  t = cosx   1 <i>t</i> 1

2

tan tan 0

<i>a</i> <i>x b</i> <i>x c</i>  t = tanx ( )

2

<i>x</i> <i>k</i> <i>k Z</i>

2

cot cot 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp</i>

7) tan2_{x + cot}2_{x = 2} _{8) cot}2_{2x – 4cot2x + 3 = 0}

<b>Bài 2.</b> Giải các phương trình sau:
1) 4sin2_{3x +}_{2 3 1 cos3}

_

_

<i>_x</i> ₃

  = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2_{(2 – 6x) + 16cos}2_{(1 – 3x) = 13} ₄₎





2

1 ₃ _{3 tan} ₃ _{3 0}

cos <i>x</i>  <i>x</i>  

5) 3

cos<i>x</i> + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + 2

4

1 tan <i>x</i> = 0

7) 1₂

sin <i>x</i> = cotx + 3 8) 2

1

cos <i>x</i> + 3cot

2_{x = 5}

9) cos2x – 3cosx = 4 cos2
2

<i>x</i>

10) 2cos2x + tanx = 4
5
<b>Baøi 3.</b> Cho phương trình sin sin3 cos3 3 cos2

1 2sin 2 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

   

 

 



  . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc



0 ; 2



.

<b>Bài 4.</b> Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình
thuộc



 ;



.

<b>Bài 5.</b> Giải phương trình : sin4 sin4 sin4 5

4 4 4

<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

   

 

.

<b>III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX</b>
<b>DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)</b>

<b>Cách 1:</b>

 Chia hai vế phương trình cho <i>_a</i>2_<i>_b</i>2 ta được:

(1)  ₂<i>a</i> ₂ sin<i>x</i> ₂<i>b</i> ₂ cos<i>x</i> ₂<i>c</i> ₂

<i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>  <i>a</i> <i>b</i>

 Đặt: sin ₂<i>a</i> ₂ , cos ₂<i>b</i> ₂



0, 2



<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>  

  _{ } _

 

   

phương trình trở thành: sin .sin<i>x</i> cos .cos<i>x</i> ₂<i>c</i> ₂

<i>a</i> <i>b</i>

 



 

2 2

cos(<i>x</i> ) <i>c</i> cos (2)

<i>a</i> <i>b</i>

   



 

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2 2

2 2 1 .

<i>c</i> <i>_a</i> <i>_b</i> <i>_c</i>

<i>a</i> <i>b</i>    

 (2)  <i>x</i>     <i>k</i>2 (<i>k Z</i> )
<b>Cách 2: </b>

a/ Xét 2

2 2

<i>x</i>

<i>x</i>   <i>k</i>    <i>k</i> có là nghiệm hay không?

b/ Xét 2 cos 0.

2

<i>x</i>

<i>x</i>  <i>k</i>   

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp</i>

Đặt:

2

2 2

2 1

tan , sin , cos ,

2 ₁ ₁

<i>x</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>thay</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>t</i> <i>t</i>



  

 

ta được phương trình bậc hai theo t:
2

(<i>b c t</i> )  2<i>at c b</i>  0 (3)
Vì <i>x</i>  <i>k</i>2  <i>b c</i> 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2

' <i>a</i>  (<i>c</i>  <i>b</i> ) 0  <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .



Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan ₀.
2

<i>x</i> <i>_t</i>



<i><b>Ghi chú: </b></i>

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>c</i>2.
3/ Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2

.sin .cos . sin cos

<i>y</i> <i>a</i> <i>x b</i> <i>x</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>a</i> <i>b</i>

2 2 2 2 sin cos

min<i>y</i> <i>a</i> <i>b vaø</i> max<i>y</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> tan<i>x</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>

        

<b>Bài 1.</b> Giải các phương trình sau:

1) _cos<i>_x</i>_ _{3 sin}<i>_x</i>_ ₂ 2) sin cos 6
2

<i>x</i> <i>x</i> 3) 3 cos3<i>x</i>sin3<i>x</i> 2

4) _sin<i>_x</i>__cos<i>_x</i>_ _{2 sin 5}<i>_x</i> 5)



3 1 sin



<i>x</i>



3 1 cos



<i>x</i> 3 1 0 

6) 3 sin 2 sin 2 1
2

<i>x</i> _  <i>x</i>_

 



<b>Baøi 2.</b> Giải các phương trình sau:

1) _2sin2<i>_x</i> _{3 sin 2}<i>_x</i>₃ 2) sin8<i>x</i> cos6<i>x</i> 3 sin6



<i>x</i>cos8<i>x</i>



3) 8cos 3 1

sin cos

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  4) cosx – 3 sin 2 cos

3

<i>x</i> _  <i>x</i>_

 



5) sin5x + cos5x = ₂cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2_{+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)}
<b>Bài 3.</b> Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) ₃cosx + 4sinx – ₃ = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

<b>Bài 4.</b> Giải các phương trình sau:
1) 2sin

4

<i>x</i>

 



 

 



+ sin
4

<i>x</i>

 



 

 



= 3 2

2 2) 3 cos2<i>x</i> sin2<i>x</i> 2sin 2<i>x</i> 6 2 2

 

  _  _

 


<b>Bài 5.</b> Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .

<b>Bài 6.</b> Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vơ nghiệm.
<b>IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI</b>

<b>DẠNG: a sin2</b><i><b>_x</b></i><b>_{+ b sin}</b><i><b>_x</b></i><b>_.cos</b><i><b>_x</b></i><b>_{+ c cos}2</b><i><b>_x</b></i><b>_{= d (1)}</b>

<b>Cách 1:</b>

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay khơng?

<i>Lưu ý</i>: cosx = 0 sin2 1 sin 1.

2

<i>x</i> <i>k</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp</i>

2 2

.tan .tan (1 tan )

<i>a</i> <i>x b</i> <i>x c d</i>   <i>x</i>
 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2

(<i>a d t</i> ) <i>b t c d</i>.   0

<b>Cách 2:</b> Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin2 1 cos2

(1) . . .

2 2 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>d</i>

   

.sin2 ( ).cos2 2

<i>b</i> <i>x c a</i> <i>x</i> <i>d a c</i>

      (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và

cos2x)
<b>Baøi 1.</b> Giải các phương trình sau:

1) _2sin2<i>_x</i>



₁ _{3 sin .cos}



<i>_x</i> <i>_x</i>



₁ _{3 cos}



2<i>_x</i> ₁

    

2) _3sin2<i>_x</i> _{8sin .cos}<i>_x</i> <i>_x</i>



_{8 3 9 cos}



2<i>_x</i> ₀

   

3) _4sin2<i>_x</i>__{3 3 sin .cos}<i>_x</i> <i>_x</i>_ _{2 cos}2<i>_x</i>_₄
4) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

5) _2sin2<i>_x</i>



₃ _{3 sin .cos}



<i>_x</i> <i>_x</i>



_{3 1 cos}



2<i>_x</i> ₁

   

6) _5sin2<i>_x</i>__{2 3 sin .cos}<i>_x</i> <i>_x</i>__3cos2<i>_x</i>_₂
7) _3sin2<i>_x</i>_{8sin .cos}<i>_x</i> <i>_x</i>_{4 cos}2<i>_x</i>₀

8)



_{2 1 sin}



2<i>_x</i> _{sin 2}<i>_x</i>



_{2 1 cos}



2<i>_x</i> ₂

    

9)



_{3 1 sin}



2<i>_x</i> _{2 3 sin .cos}<i>_x</i> <i>_x</i>



_{3 1 cos}



2<i>_x</i> ₀

    

10) _3cos4<i>_x</i>_ _4sin2<i>_x</i>_cos2<i>_x</i>__sin4<i>_x</i>_₀
11) cos2_{x + 3sin}2_{x +}_{2 3}_{sinx.cosx – 1 = 0}

12) 2cos2_{x – 3sinx.cosx + sin}2_{x = 0}
<b>Baøi 2.</b> Giải các phương trình sau:

1) sin3_{x + 2sin}2_x.cos2_{x – 3cos}3_{x = 0} ₂₎ _{3 sin .cos} _sin2 2 1
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

<b>Bài 3.</b> Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2_{x – sin2x + 2cos}2_{x = 1 có nghiệm.}

<b>Bài 4.</b> Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2_{x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos}2_{x = 0 vô nghiệm .}

</div>

<!--links-->