Buổi 1+2: Ôn về căn bậc hai (6 tiết)
Bài tập tổng hợp về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
I) Kiến thức cơ bản cần nhớ :
1)
Nếu có x
2
= a thì x =
a

( a là số không âm )
Nếu có x =
a




=

ax
x
2
0
( a là số không âm )
Nếu: a 0 và b 0 ta có : a> b
ba
>
Nếu: x
3
= a thì x =
3
a

Nếu : m> 1 thì
m
> 1
Nếu : 0 < m < 1 thì
m
< 1
Nếu : m > 1 thì m >
m
Nếu: 0< m < 1 thì m <
m

A
xác định (có nghĩa) khi A 0.
2) Các công thức biến đổi căn bậc hai :
1)
A
=
A

2)
AB
=
A
.
B
(Với A 0 và B 0)
3)
B
A
=

B
A
(Với A 0 và B > 0)
4)
BA
2
=
BA
( B

0)
5) A
BAB
2
=
(Với A 0 và B 0)
A
BAB
2
=
(Với A< 0 và B 0)
6)
AB
BB
A 1
=
(Với AB 0 và B 0)
7)
B
BA

B
A
=
(Với B> 0)
8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A 0 và A B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
(Với A 0 ,B 0 và A B)
10) a
AcbaAcAbA )(

+=+
(A 0)
II) Một số bài tập :
Bài 1:
Cho biểu thức :




















+


+
+

=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
B
a) Rút gọn B. (ĐS: B=
3
3
+

x
với ĐKXĐ:
9;0

xx
)
b) So sánh B với

B
(ĐS: B < B)
c) Tìm giá trị của x để B< -
2
1
(ĐS: 0 x < 9 thì B <
2
1

)
1
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B. (ĐS: GTNN của B bằng 1 Khi x = 0)
Bài 2: Cho biểu thức:








+











+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
A
a) Rút gọn A. (ĐS: A=
1
1

++
x
xx
)
b) Tính giá trị của A khi x=4+2
3
(ĐS: x=(
2
)13

+
nên A=3+2
3
)
c) Tìm giá trị của x để A>
A
. (A>
A
A>1 x>1)
Bài 3: Cho biểu thức : B =
x
xx
x
x

+
+

+
+
2
1
6
5
3
2
2
a) Rút gọn biểu thức B. (ĐS: B=
)
2

4


x
x
b) Tính giá trị của B ,biết x=
32
2
+
(ĐS: x=
13

nên B=
)
3
36
+
c) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.(ĐS: x= 0,1,3,4)
Bài 4: Cho biểu thức: P =
3
12
2
3
56
92

+
+

+

+
+

y
y
y
y
yy
y

a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị của y để P > 1
d)Tìm các giá trị y

Z sao cho P

Z.
Bài 5: Cho biểu thức : C=
















+
+








+


+

x
x
x
x
x
x
x
xx
1
1
1

1
:
1
)1(
33
2
22
a) Rút gọn biểu thức C. (ĐS: C=
2
1 x
x
+
)
b) Tính giá trị của C khi x=
223
+
(ĐS: x=
12
+
và C =
4
2
)
c) Tìm giá trị của x để cho 3.C = 1 (ĐS: x=
)
2
53

Bài 6: Cho biểu thức H =
ab

ba
aab
b
bab
a
+


+
+
a) Rút gọn biểu thức H. (ĐS: H =
ab
ba

+
)
b) Tính giá trị của H khi a=
324
+
và b =
324

(ĐS: -
3
)
c) Chứng minh rằng nếu
5
1
+
+

=
b
a
b
a
thì H có giá trị không đổi .
(Gợi ý : Ta có :
5
1
+
+
=
b
a
b
a
=
5
1
)5(
)1(
=
+
+
bb
aa
b = 5a .Thay vào BT rút gọn của H , ta có:
H=
2
3

4
6
5
5
==

+
a
a
aa
aa
. Vậy H có giá trị không đổi là
2
3
khi
5
1
+
+
=
b
a
b
a
.)
Bài 7: Cho biểu thức: A =
1
2
1
2

+
+

+
+
x
xx
xx
xx
a) Rút gọn A. (ĐS: ĐKXĐ: x > 0 ; A= x -
x
)
b) Biết x > 1 hãy so sánh A với
A
(ĐS: A=A)
c) Tìm x để A = 2 (x = 4 thì A = 2 )
2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. (GTNNcủa A bằng
4
1

Khi x =
4
1
)
Bài 8: Cho biểu thức : K =
11
1
1
1

3


+
+
+

x
xx
xxxx
.
a) Rút gọn K . (ĐS: K=x - 2
1

x
)
b) Tìm giá trị của x để K =16. (ĐS: x= 26).
Bài 9: Cho biểu thức : M =
3
32
1
23
32
1115
+
+



+

+

x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn M. (ĐS: x 0; x 1; M =
3
52
+

x
x
)
b) Tìm giá trị của x khi M =
2
1
(ĐS: x =
121
1
)
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Gợi ý : M =
3
52
+


x
x
=
3
17)3(5
+
++
x
x
= 5+
3
17
+
x
. Dễ thấy M lớn nhất khi
3
+
x
đạt giá
trị nhỏ nhất. Vì x 0 nên
3
+
x
3
3
+
x
đạt GTNN là 3.
Khi đó:x = 0 và GTLN của M bằng 5 +
3

2
3
17
=
.Vậy GTLN của M là
3
2
khi x=0.
Bài 10: Cho biểu thức :N =
632
6
632
32
+++


+
+
baab
ab
baab
ba
.
a) Rút gọn N. (ĐKXĐ: a0; b 0 ; a 9. N=
9
9

+
a
a

)
b) Chứng minh rằng nếu N =
81
81

+
b
b
thì khi đó
a
b
là một số nguyên chia hết cho 3.
Gợi ý:
Theo câu a) ta có: N=
9
9

+
a
a
; do đó N=
81
81

+
b
b

9
9


+
a
a
=
81
81

+
b
b
(điều kiện a 9; b 81)
(a + 9) (b 81) = (a - 9) (b + 81) 162a = 18b

9
18
162
==
a
b
; 9

3; vậy
3
a
b
(đpcm)
Bài 11: Cho biểu thức:











+

++
+
+

+
=
1
1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
T


a) Rút gọn biểu thức T.(ĐK: x 0; x 1.Kết quả : T=
x
xx 1
++
=
)
b) Chứng minh T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1.
Gợi ý : T=
x
xx 1
++
=
=
1
11
1
+








+=++
x
x
x

x
(ĐK: x > 0 và x 1)
Từ x > 0và x 1 (
.2
1
210120)1
2
>+>+>+>
x
xxxxxx
Vậy T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1.
Bài tập làm thêm (về nhà)
Bài 12:
Cho BT: B =
2
)1(
.
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x










++
+




a) Rút gọn B. (ĐK: x 0; x 1. Kết quả rút gọn : B
3
b) Tìm GTLN của B.
Bài 13 : Cho BT : P =
( )
2
yx
yx
yyxx

+
+
Rút gọn P Với x0 ; y 0 ; x
2
+ y
2
> 0.
Bài 14: Cho Biểu thức :

Q=
12
1
:
1
11
+
+







+

aa
a
aaa
Bài 15: Cho biểu thức :
H=
x
xxxx
x
x
xx
x 1
.
1

2
12
2
+











++
+
a) Rút gọn H.
Phần II: Ôn về phơng trình và hệ phơng trình (8 tiết)
I)Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1) Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn :
4
a)Dạng tổng quát :



=+
=+
''' cybxa
cbyax

(I) (Trong đó





0
0
b
a
)
*(I) có nghiệm duy nhất khi
'' b
b
a
a

.
*(I) có vô số nghiệm khi
''' c
c
b
b
a
a
==
*(I) vô nghiệm khi
''' c
c
b

b
a
a
=
.
b) Phơng pháp giải hệ phơng trình :
+ Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
+ Giải hệ phơng trình bàng phơng pháp cộng đại số.
2) Các dạng ph ơng trình cơ bản đã học :
+Ph ơng trình bậc nhất : Dạng ax+b =0.(1)
-Nếu a 0 thì (1) là phơng trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm duy nhất x=
a
b

-Nếu a = 0



==
=
. nghiệmsố vôn nê00x dạng (1)có0b
nghiệm. vôn nê0b0x dạng có)1(0b
+Ph ơng trình bậc hai : Dạng ax
2
+bx +c = 0 (a 0). (1)
a)Công thức nghiệm tổng quát :
Biệt thức = b
2
4ac.
-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x

1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2

.
-Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x
1
= x
2
=
a
b
2
-Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm .
b)Công thức nghiệm thu gọn :
* Khi có hệ số b = 2b . ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn :
Biệt thức = b
2
ac.
-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x
1

=
a
b ''
+
; x
2
=
a
b ''

.
-Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x
1
= x
2
=
a
b'
-Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm .
c)Cách nhẩm nghiệm :
+Nếu (1) có a+b+c = 0 thì (1) có 2 nghiệm :
x
1
= 1 ; x
2
=
a
c

+Nếu (1) có a b +c = 0 thì (1) có hai nghiệm :

x
1
= - 1; x
2
=
a
c

d)Hệ thức Viét:
5
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì







=

=+
a
c
xx

a
b
xx
21
21
d) Một số chú ý :
* (1) có nghiệm khi : 0.
* (1)Luôn có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0.
*(1) Có hai nghiệm dơng khi :









>=
>=+

0.
0
0
21
21
a
c
xx
a

b
xx
*(1) Có hai nghiệm âm khi :









>=
<=+

0.
0
0
21
21
a
c
xx
a
b
xx
II Bài tập:
1) Giải các phơng trình:
a) x
2

11x + 30 = 0 (x
1
= 5 ; x
2
= 6)
b) x
2
10x +21 = 0 . (x
1
= 3 ; x
2
= 7)
c) x
2
12 x +27 = 0 (x
1
= 3 ; x
2
= 9)
d) 3x
2
19x 22 =0. (x
1
= - 1 ; x
2
=
3
22
)
đ) x

2
(1+
02)2
=+
x
(x
1
= 1 ; x
2
=
2
)
e) 3x
2
- 2x
033
=
(x
1
=
3
; x
2
=
3
3

)
g) x
2

- x - 6 =0 (ĐS:










<
=+




=
0
06
0
06
2
2
x
xx
x
xx












=
=



=
=
3
(2
(2
3
4
3
2
1
x
x
x
x
loại)
loại)

(Vậy nghiệm của PT là: x

=
3

)
6
h) 2x
3
- x
2
+ 3x + 6=0 ( (x+1)(2x
2
-3x +6)=0
1
)0(0632
01
2
=



<=+
=+
x
xx
x
)
i) x
4

+8x
2
+15 =0 (Vô nghiệm )
k) x
4
-13x +36 = 0 (x
1,2
= 2; x
3,4
= 3)
l)5x
4
3x
2
+
16
7
=0 (x
1,2
=
20
7
;x
3,4
=
2
1
)
m*) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 5
(Gợi ý: x(x + 5)(x + 1)(x + 4) = 5

(x
2
+ 5x)(x
2
+ 5x + 4) = 5
t (t + 4) = 5
t
2
+ 4t 5 = 0







=

=





=++
=+






=+
=+




=
=
2
55
2
295
055
015
55
15
5
1
4,3
2,1
2
2
2
2
2
1
x
x
xx

xx
xx
xx
t
t
Vậy phơng trình có 4 nghiệm







=

=
2
55
2
295
4,3
2,1
x
x
n) (x+2)(x 5)(x
2
+2x +2) =0 (Gợi ý: Vì x
2
+ 2x +2=(x+1)
2

+1 > 0 với mọi x. Nên ta có :
(x+2)(x 5)(x
2
+2x +2) =0 (x+2)(x 5) = 0



=
=
5
2
x
x
)
o)
14412
22
+=+
xxxx
(Gợi ý:
22
)12()1(
=
xx

121
=
xx






=
=




=
=
3
2
0
211
121
x
x
xx
xx
p)
5
1
=
+
x
x
(Gợi ý: Với x 0 ta có :
5
1

=
+
x
x

xx 51
=+
Với x < 0: Phơng trình vô nghiệm .
Với x > 0, ta có :
xx 51
=+







=
=




=+
=+
)(
6
1
4

1
51
51
loạix
x
xx
xx
nên PT chỉ có 1 nghiệm x=
4
1
)
q) x -
20204
=
x
( x 5 -2
01615
=+
x
(
04)15
22
=
x
(
0)35-x()55
=+
x






=
=
oại)lx (35
55-x
x =30
r) x +
2
4
1
2
1
=+++
xx
(Gợi ý:Đặt
0
4
1
=+
tx
x =
4
1
2

t
,Thay vào PT đã cho có:
7

4
9
4
1
2
2
1
4
1
4
1
22
22
=+++⇔
=++−+−
ttt
ttt
⇔





−=⇒
−
=
<
22
2
122

0
2
1
xt
t (lo¹i)
s)
2
2
2
1
1
=
−
+
+
+
−
x
x
x
x
(§S: x = 0)
t)
02
5
21
12
5
=−
+

−
−
−
+
x
x
x
x
§a PT vÒ d¹ng (x – 6)
2
= 0.Suy ra x = 6.

2) Gi¶i c¸c hÖ ph ¬ng tr×nh :
a)



−=+−
=−
465
32
yx
yx
(x;y)= (2; 1)
b)



−=−
=+

12
3
yx
yx
(x;y)= (
3
7
;
3
2
)
c)



=−
=+−
02
022
2
xy
yx
(x;y)=(-3;
2
1
−
);(-6;-2)
d)




=+−
=−
02
0
2
yx
yx
(x;y)=(2 ; 2) ; (-1 ;
2
1
)
®)



=−
=+
33
1332
yx
yx
(x;y) =(2;3) ; (
7
33
;
7
14
−
−

)
e)





=+
−=−
12
223
yx
yx
(x ; y) =( 0 ;1)
g)





=−+−
=−−−
211
1112
yx
yx
§Æt:
01;01
≥=−≥=−
byax

cã:



=+
−=
⇔



=+
=−
32
12
2
12
aa
ab
ba
ba
8




=
=

1
1

b
a
Suy ra:



=
=
2
2
y
x
h)



=
=++
05
)1(05)(3)(2
2
yx
yxyx

Gợi ý: Từ (1) đặt x+y=A, ta đợc phơng trình : 2A
2
3A 5 = 0.Phơng trình này có 2 nghiệm
A
1
= -1 ; A

2
=
2
5
.Từ đó ta có: x+y=-1 ; x+y=
2
5
. Đến đây phải giải hai hệ sau :




=
=+
05
1
yx
yx
(x;y)=(2 ; -3)
và





=
=+
05
2
5

yx
yx
(x;y) = (
4
5
;
4
15
)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2 ; -3) ; (
4
5
;
4
15
).
i)
( )



=+
=+
1232
83)(5
2
yx
yxyx
(x;y)= (3 ; 2) ; (
25

76
;
25
36
)
l)







=


+
=

+
+
1
31
3
12
yxyx
yxyx
(x;y)=(
20
63

;
20
77

)
m)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y
y
x

(Gợi ý: Đặt
y
x
= t > 0
tx
y
1
=

. Từ (1) ta có: t +
t
1
=
2
5
t
1
= 2; t
2
=
2
1
. Thay vào ta
có:
yx
y
x
44
==
hoặc
yx
y
x
==
4
4
1
.Vậy xét hai hệ sau:
9




=+
=
05
4
yx
yx
hoặc



=+
=
05
4
yx
yx

Có các nghiệm (x; y)=(1; 4) hoặc (x; y) = (4; 1)
n)





=+
=+
48

72
xyyx
yyxx







=
=+











=
=+







=+
==+






=+
=+






=+
=+
8
6
486.
6
48)(
6216)(
144)(3
72)()(
48)(
72)()(
333333

xy
yx
xy
yx
yxxy
yx
yxxy
yx
yxxy
yx
Nh vậy
x
và
y
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: X
2

6X+8=0.PT này có 2 nghiệm : X
1
=4 =
x
x=16.Hoặc
y
=4 y=16
X
2
=2 =
x
x = 4. Hoặc
y

= 2y = 4.
Vậy nghiệm của hệ là: (x;y) = (16 ; 4); (4 ; 16).
p)





=+
=
+

+

+
2008
2
1
1
1
1
yx
x
y
y
x
(x;y)=(1003; 1005)
q,






=
=+
1
34
566
yx
xyyx
Gợi ý: x 0 ; y 0,Chia cả 2 vế của PT (1) cho xy ta đợc:







=
=+
1
34
5
66
yx
yx
Đặt
v
y
u

x
==
1
;
1
ta có:



=
=+
134
566
vu
vu
có
2
1
=
u
;
3
1
=
v
.
Từ đó suy ra nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 3)
Bài 3: Xác định số k để pt: x
2
+ 2x + k = 0 có 2 nghiệm x

1
và x
2
thoả mãn:
10
a, 3x
1
+ 2x
2
= 1 c, x
2
1
+ x
2
2
= 1
b, x
2
1
x
2
2
= 12
Gợi ý: Ta có:

= 1 K để pt có nghiệm:

0 1 K 0 K 1
a, Theo Viet có: x
1

+ x
2
=-2 và x
1
.x
2
= k. Mà theo GT có:



=+
=+
123
2
21
21
xx
xx




=
=
7
5
2
1
x
x

k = -35(thoả mãn) b, k = -8 ( thoả mãn) c, Không tồn tại k.
Bài 4: Cho PT: x
2
- 2x + m = 0 (1). Với giá trị nào của m thì PT(1) :
a) Có nghiệm? (m 1)
b) Có hai nghiệm dơng? (0 < m 1)
c) Có hai nghiệm trái dấu? (m < 0)
Bài 5: Tìm các hệ số của m và n của pt: x
2
+ mx + n = 0 sao cho nó có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn:



=
=
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Gợi ý:- Để PT có nghiệm thì = m

2
4n 0 m
2
4n (*)
- Khi đó theo Viét ta có:



=
=+
nxx
mxx
21
21
(1)
- Từ



=
=
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx


( )
[ ]





=+=
=+
35)(
254)(
21
2
2121
3
2
3
1
21
2
21
xxxxxxxx
xxxx
(2)
- Thay (1) vào (2) ta có:






=
=
35).(5
254
2
2
nm
nm






=
=
7
254
2
2
nm
nm




=
=
6

1
n
m
Bài 6: Cho PT: x
2
- 2(m + 1)x + m 4 = 0 (1)
a) Giải PT với m = 1 (ĐS: x
1,2
= 2
7
)
b) C/m rằng với mọi m PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt .
ĐS: =
4
19
)
2
1
(m 5 m m
22
++=++
> 0 với mọi m.
c) Gọi x
1
; x
2
là 2 nghiệm. C/m biểu thức: A = x
1
(1 - x
2

) + x
2
(1 - x
1
) không phụ thuộc vào m.
(Gợi ý: A = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) = (x
1
+ x
2
) 2x
1
x
2
= 2(m + 1) 2(m 4) = 10.
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của m).
Bài 7: Cho PT: x
2
-

(a - 1) - a
2
+ a - 2 = 0 (1)

a) C/m rằng: PT (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi a.
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
; x
2
. Tính
2
2
2
1
xxS
+=
và xác định a để S đạt giá trị nhỏ nhất.
Gợi ý:
11
a) PT bậc hai có 2 nghiệm trái dấu ac < 0. Mà ac = -a
2
+ a - 2 = -










+








4
7
2
1
2
a
< 0 với
mọi a. Suy ra ĐPCM.
b)
2
2
2
1
xxS
+=
= (x
1

+ x
2
)
2
- 2 x
1

x
2
= 3a
2
- 4a + 5 =
3
11
)
3
2
(3
2
+
a

3
11
GTNN của S bằng
3
11
khi a =
3
2
.
Bài 8: Cho 2 PT: x
2
+ (m 1)x + m
2
= 0 và -x
2

2mx + m = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai 2 phơng trình trên phải có nghiệm.
Gợi ý: Chỉ ra rằng
1
+
2
0 (Vì nếu nh vậy thì
1
;
2
không thể cùng âm).
Cụ thể
1
+
2
= (m + 1)
2
0 với mọi m. Vậy ít nhất phải có
1
0 hoặc
2
0 đpcm.
Bài 9: Cho các phơng trình:
ax
2
+bx + c = 0 (1)
cx
2
+bx + a = 0 (2) trong đó a, c > 0.
a) Chứng minh chúng cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.

b) Giả sử x
1
; x
2
và x
1
và x
2
lần lợt là các nghiệm của (1) và (2). C/m x
1
.x
2
+ x
1
. x
2
> 2.
c) Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. C/m: a + c > b.
Gợi ý:
a) Vì a, c > 0 nên (1) và (2) đều là PT bậc 2, lại có chung = b
2
4ac đpcm.
b) Theo Viet có x
1
.x
2
=
a
c
; x

1
. x
2
=
c
a

và vì ac > 0 nên x
1
.x
2
+ x
1
. x
2
=
c
a
a
c
+
> 2
c) Từ (1) vô nghiệm b
2
4ac < 0 hay b
2
< 4ac < (a + c)
2
Mà a + c > 0 nên b |b| < a + c
Bài 10: Tìm giá trị của m và n để PT x

2
+ mx + n = 0 có 2 nghiệm đúng bằng m và n.
Gợi ý: Vì PT có 2 nghiệm đúng bằng m và n nên theo Viet có:
m + n = -m hay n = -2m
m.n = n hay n.(n 1) = 0 m = 1 hoặc n = 0
Với m = 1 thì n = -2m = -2
Với n = 0 thì n = -2m suy ra n = 0.
Vậy ta có 2 PT: x
2
+ x - 2 = 0 ( x
1
= 1; x
2
= -2)
x
2
= 0 ( x
1
= x
2
= 0)
Bài 11: Cho PT: x + |x
2
x + m| = 0. C/m với mọi m thì PT vô nghiệm.
Gợi ý: x + |x
2
x + m| = 0 |x
2
x + m| = -x (đk: x 0) (1)
Bình phơng 2 vế ta có: (x

2
x + m)
2
= x
2
(x
2
+ m)(x
2
2x + m) = 0 (2)
Nếu m > 0, từ (2) * x
2
+ m = 0 vô nghiệm.
* x
2
2x + m = 0. Nếu có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì x
1
+ x
2
= 2 > 0 và x
1
.x
2
= m > 0
Suy ra cả 2 nghiệm đều dơng không t/mãn đk (1).
Vậy với m > 0, PT vô nghiệm (đpcm)

Bài 12:
Tìm a để PT: x
2
+ mx + 1 = 0 và PT: x
2
+ x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
(Gợi ý:
+Cách1: Giả sử x
0
là một nghiệm chung của hai PT đã cho , ta có:
01
0
2
0
=++
mxx
và
0
0
2
0
=++
mxx
12
Suy ra: (m 1)x
0
= m 1
[
-2m :ra .Suy 1x ược tính.Ta 1m *
chung nghiệmcó khôngn(VN)nê thành trở chodã PThi

0
==
=++=
d
xxtm 011*
2
+Cách 2:
Hai PT có nghiệm chung





=++
=++
0
01
2
2
axx
axx
có nghiệm.
Đặt: y = x
2
ta có:



=++
=++

0
01
mxy
mxy
(m 1)x = m 1 .Đến đây làm nh cách 1.
Bài 13: Cho phơng trình: x
2
(2m 3)x +m
2
3m = 0.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng PT có 2 nghiệm với mọi m. ( =9 > 0)
Tìm giá trị của m để PT có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
< 6.
(ĐS: 4 < m < 6 )
Bài 14: Cho PT: x
2
mx + m
2
3 = 0.
a)Giải PT với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm dơng phân biệt và x
1

< 1 ; x
2
> 1.
(ĐS:
23
<<
m
).
Bài 15: Cho phơng trình: mx
2
2(m 1)x 2m 3 = 0. (1)
a) C/m phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
Gợi ý:
a) +Xét m = 0 (1) trở thành: 0x
2
2(0 1)x 2.0 3 = 0 hay 2x 3 = 0 có nghiệm x =
2
3
(*)
+ Xét m 0. Ta có: =3m
2
+ m +1 = 0 = 3(m +
6
1

)
2
+
12
11

12
11
> 0 với mọi m(**)
Từ (*) và (**) (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. (ĐPCM)
b) Với m 0, phơng trình có 2 nghiệm đối nhau khi x
1
+ x
2
= 0 và x
1
x
2
< 0.
Mà theo Viét ta có: x
1
+ x
2
=
m
m )1(2

= 0 m = 1
x
1

x
2
=
m
m 32

< 0 m <
2
3

hoặc m > 0
Vậy m = 1 thì PT có hai nghiệm đối nhau.
c) ĐS: 2x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) = - 10.
Bài 16: Cho PT: x
2
4x + a = 0.
a) Giải PT với a = 1. ( x = 2
3
)
b) Tìm các giá trị nguyên dơng của a để PT có 2 nghiệm phân biệt. (a = 1 ; 2 ; 3.)
13
Bài 17: Cho hệ phơng trình




=+
=
(2)
(1)
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1 (x ; y)= (
2
1
;
2
5
)
b) Chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm .
c) Tìm a để hệ PT có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y < 0.
d) Tìm a để hệ PT có nghiệm (x ; y) thoả mãn x = y
2
.
Gợi ý:
b) Từ (1) có: y = ax 2, thay vào PT(2) có(a
2
+ 1)x=3 + 2a. (3)
Vì : a
2
+ 1 0 a, nên (3)có nghiệm với mọi a Hệ đẫ cho có nghiệm với mọi a.

c) Tính đợc:
1
23
2
+
+
=
a
a
x
;
1
23
2
+

=
a
a
y
. (x+y < 0 khi a< -
5
1
)
d) a =
223
223

+
Bài 18: Cho hệ phơng trình:




+=+
=
(2)
(1)
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ trên khi a = 2. (x;y)=(
3
1
;
3
2
)
b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiện duy nhất (x ;y) sao cho x y = 1.
(Gợi ý: Từ (2) có y = 2x + a + 1.Thay vào (1) ta đợc phơng trình (a 4)x =3a + 2 (3)
Với a 4 thì (3) có nghiệm duy nhất là:
4
23

+
=
a
a
x
;

4
3
2

+
=
a
aa
y
.
Vậy x y =1


+
4
23
a
a
4
3
2

+
a
aa
=1 3a +2 a
2
3a = a 4 a
2
+ a 6 = 0




=
=
2
3
a
a
Hai giá trị này thoả mãn điều kiện a 4.
KL: Với



=
=
2
3
a
a
thì hệ đã cho có nghiện duy nhất (x ;y) sao cho x y = 1
Bài 19: Cho hệ PT:



=+
=
)2(1
)1(2
byax

bayx
a) Tìm a, b để hệ có nghiệm là
2
=
x
;
3
=
y
ĐS:
23
162


=
a
;
23
43


=
b
b) Tìm a, b để hệ có vô số nghiệm.
(ĐS: Từ PT (1) suy ra
2
ayb
x
+
=

.
Thay vào (2) ta đợc:
1
2
.
=+
+
by
ayb
a
(a
2
+ 2b)y = 2 ab
14