ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
−−−−−−−−−

ĐOÀN VĂN HUY

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CHỨNG MINH HÌNH HỌC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH
LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Hà Nội – 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
−−−−−−−−−

ĐOÀN VĂN HUY

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CHỨNG MINH HÌNH HỌC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH
LỚP 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hồng

Hà Nội – 2021


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian học tập và nghiên cứu tai Trường Đại học Giáo dục - Đại
học Quốc Gia Hà Nội, đến giai đoạn hiện nay Luận văn nghiên cứu của tơi đã
hồn thành. Trong khoảng thời gian từ khi bắt đầu nhập học, trong quá trình
học tập ở giảng đường sau đại học và thời gian nghiên cứu chuẩn bị cho viết
Luận văn này, tác giả đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, sự ủng hộ
nhiệt tình của q Thầy Cơ, gia đình và bạn bè và cả sự ủng hộ của các em học
sinh trong quá trình tiến hành thực nghiệm cũng như giảng dạy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm cùng tồn thể q thầy cơ
khoa sư phạm, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo mọi
điều kiện giúp đỡ tác giả trong q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành
luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thanh Hồng đã tận tình, chỉ bảo,
giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các bạn đồng nghiệp tổ Toán
Tin cùng toàn thể các em học sinh lớp 11A1, 11A3 trường THPT Ứng Hòa B,
Ứng Hòa, Hà Nội, cũng như gia đình, bạn bè đã nhiệt tình, tạo mọi điều kiện
giúp đỡ tác giả trong quá trình thực nghiệm sư phạm để hoàn thiện luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và trình độ nghiên cứu cịn hạn
chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được
sự góp ý chân thành của qúy thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn.

Hà nội, ngày 03 tháng 12 năm 2020
tác giả


Đoàn Văn Huy

i


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT Cụm từ viết tắt Nội dung
1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

NXB

Nhà xuất bản

4

SGK

Sách giáo khoa


5

THCS

Trung học cơ sở

6

THPT

Trung học phổ thông

7

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

8

TT

Thực tiễn

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1

Bảng 1.2

Bảng thống kê kết quả điều tra đối với giáo viên . . . . . . . 26
Bảng thống kê kết quả điều tra đối với học sinh . . . . . . . 28

Bảng 3.1 Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra thứ nhất . . . . . . . .
Bảng 3.2 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kém bài
kiểm tra thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.3 Bảng thống kê mô tả các tham số đặc trưng bài kiểm tra
thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.4 Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra thứ hai . . . . . . . . .
Bảng 3.5 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kém bài
kiểm tra thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.6 Bảng thống kê mô tả các tham số đặc trưng bài kiểm tra

. 68
. 69
. 69
. 70
. 71

thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

iii


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1 So
TNSP .
Hình 3.2 So

TNSP .

sánh
. . .
sánh
. . .

kết quả bài
. . . . . . .
kết quả bài
. . . . . . .

kiểm tra lần 1 sau
. . . . . . . . . . .
kiểm tra lần 2 sau
. . . . . . . . . . .

iv

thực
. . .
thực
. . .

nghiệm ở 2 lớp
. . . . . . . . . . 70
nghiệm ở 2 lớp
. . . . . . . . . . 71



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . .
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 Khách thể và Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . .
0.4.1 Khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . .
0.4.2 Đối tượng nghiên cứu. . . . . . . . . . . . .

. . . .
TẮT
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

i
ii
iii
iv
v
1
1
2
2
3
3
3

0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3
4
4

4
5

Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . .
Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . .
Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . .
Dự kiến những đóng góp của luận văn
Cấu trúc của luận văn . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1

1.2

1.3

Khái niệm bài toán. Phương pháp giải toán . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phân loại bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Chức năng của bài tập toán . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Bài toán chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Kỹ năng là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Sự hình thành và phát triển kỹ năng . . . . . . . .
1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
Kỹ năng giải tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . .
1.3.2


6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 6
. 6
. 6
. 7
. 8
. 8
. 8

. 9
. 9
. 12
. 12
. 12

Vai trị của kỹ năng giải tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
v


1.4

1.5

1.6

1.3.3
1.3.4
1.3.5
Chứng

Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
Phân loại kỹ năng trong mơn tốn . . . . . . . .
Dạy học phương pháp giải bài tập toán . . . . .
minh toán học và dạy học chứng minh . . . . . .

sinh
. . .
. . .
. . .


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

14
15
16
19

1.4.1 Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bác bỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Chứng minh bằng phản chứng . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Dạy học chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Phân loại chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Phương pháp tìm tịi chứng minh . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Phương pháp chứng minh bằng vectơ . . . . . . . . . . .
Một số kỹ năng giải một bài toán chứng minh hình học . . . . .
1.5.1 Nhóm kỹ năng chung khi giải bài tập toán . . . . . . . .

1.5.2 Nhóm kỹ năng cơ bản khi giải bài nội dung hình học 11
Chủ đề vectơ trong chương trình phổ thơng . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Nội dung của chủ đề vectơ trong chương trình THPT . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

19
19
19
19
20
20
21
21
21
22
23
23


1.6.2
1.7

1.8

Mục đích, u cầu của việc dạy học chủ đề vectơ trong
bậc THPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Liên hệ thực tiễn trong dạy học chủ đề vectơ lớp 11 . . . . . . .
1.7.1 Thực trạng vấn đề dạy học giải bài tốn hình học khơng
gian bằng phương pháp vectơ ở trường THPT . . . . . .
1.7.2 Thực trạng vấn đề kỹ năng giải bài tốn hình học không
gian bằng phương pháp vectơ ở trường THPT . . . . . .
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 23
. 25
. 25
. 27
. 28

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
2.1 Quy trình chung cho việc rèn luyện kỹ năng . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các nguyên tắc xậy dựng các biên pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học
môn Toán ở trường THPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phù hợp với Lý luận dạy học bộ môn . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Phù hợp với Yêu cầu chương trình . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Phù hợp với Đối tượng học sinh . . . . . . . . . . . . . . .


vi

30
30
31
31
32
32
32


2.3

2.4

Một số kỹ năng chứng minh bằng phương pháp vectơ trong hình
học 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Kỹ năng chứng minh các điểm thẳng hàng . . . . . . . . . 33
2.3.2 Kỹ năng chứng minh các vectơ song song hoặc đồng phẳng 39
2.3.3 Kỹ năng chứng minh
2.3.4 Kỹ năng chứng minh
2.3.5 Kỹ năng chứng minh
Kết luận chương 2 . . . . .

liên quan đến quan hệ vng góc
các hệ thức . . . . . . . . . . . . .
các Bất đẳng thức . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.
.
.

.
.
.
.

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1
3.2
3.3
3.4

Mục đích thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . .
Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . .
Kế hoạch, nội dung và đánh giá thực nghiệm sư phạm .
3.4.1 Công tác chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Đối tượng thực nghiệm và thời gian thực nghiệm
3.4.3 Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . .
3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . .
1.Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO

43

53
57
63
64

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

64
64
64
64
64
65
66
67
72
73
73
73
75

PHỤ LỤC

I

vii



MỞ ĐẦU
0.1. Lý do chọn đề tài
Từ năm 2018 đến nay, chương trình giáo dục phổ thơng mới đã và đang được
xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của người học, việc
biên soạn sách giáo khoa, giáo án, tổ chức dạy học đóng vai trị vô cùng quan
trọng trong việc tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp người học phát triển
hài hòa về thể chất và tinh thần; có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần
thiết để đáp ứng nhu cầu cơng nghiệp hóa hiện đại hóa của đất nước.
Nghị quyết số 29 Trung ương 8 khóa XI ngày 4 tháng 11 năm 2013, Nghị
quyết số 88 Quốc hội khóa XIII ngày 28 tháng 11 năm 2014, chương trình giáo
dục phổ thơng tổng thể năm 2017, chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn
năm 2018 với các cách thức diễn đạt khác nhau nhưng đều đi đến thống nhất
quan điểm: Chuyển nền giáo dục từ chủ yếu truyền thụ kiến thức sang phát
triển năng lực cho người học.
Cụ thể hơn nữa, trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn do Bộ giáo
dục và đào tạo ban hành năm 2018 có nêu rõ các yêu cầu đối với giáo dục phổ
thông mơn tốn là học sinh hình thành và phát triển được tính chăm chỉ, kỉ
luật, kiên trì, chính xác, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, trung
thực; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Tốn, cùng với đó là góp
phần hình thành và phát triển cho học sinh các nhóm năng lực cần thiết, phù
hợp với xu thế hiện nay là: tự chủ và tự học; giao tiếp và hợp tác; giải quyết vấn
đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh hình thành được và phát triển hơn nữa năng
lực toán học đã được học ở bậc THCS, nhằm đạt được mục tiêu giáo dục Toán
học ở bậc THPT
Đối với học sinh trung học phổ thơng (THPT), khái niệm vectơ dường như
vẫn cịn rất mới mẻ, đặc biệt hơn nữa là sử dụng vectơ để giải các bài toán lại
càng hiếm hoi hơn rất nhiều. Khả năng huy động kiến thức liên quan đến vectơ
là một điều rất bị hạn chế dẫn đến hạn chế khả năng phân tích, biến đổi,.. mất
rất nhiều thời gian mà vẫn khơng tìm ra hướng giải quyết.

Những năm trở lại đây cũng có những nghiên cứu về phương pháp vectơ nhằm
áp dụng vào giải các bài toán, tuy nhiên chưa có luận văn nào đề cập một cách
1


cụ thể về phương pháp chứng minh bằng phương pháp vectơ.
Lý thuyết về vectơ, các phương pháp vectơ là lĩnh vực áp dụng rộng rãi và
phong phú trong rất nhiều bộ mơn đặc biệt là bộ mơn Vật lý có ảnh hưởng sâu
rộng trong thời đại kỹ thuật số hiện nay.
Để có thêm được một phương pháp giải các bài tốn chứng minh cho các bài
tốn hình học tơi quyết định chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn
chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11".

0.2. Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các
bài tốn chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11”
không chỉ xác định các hình thức và biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng chứng
minh cho học sinh mà cịn góp phần nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên
và chất lượng học tập cho học sinh trung học phổ thông.

0.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về dạy học rèn luyện kỹ năng nói
chung và rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn chứng minh hình học bằng phương
pháp vectơ nói riêng. Từ các quan điểm của Đảng, của Bộ Giáo dục và Đào tạo
đến những thành tựu lý luận dạy học, phương pháp đổi mới dạy học đối với
mơn Tốn hiện nay.
Nghiên cứu về nhiệm vụ và bản chất của việc dạy học rèn luyện kỹ năng đang
được Đảng và Nhà nước định hướng và áp dụng hiện nay.
Khảo sát, điều tra thực tiễn dạy học phần hiện nay với mơn Tốn nói chung
và các phương pháp để rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng phương pháp vectơ

nói riêng nhằm đánh giá việc sử dụng phương pháp giải toán bằng vectơ hiện
nay ở các trường THPT để có kế hoạch đề xuất cũng như bồi dưỡng cho các
giáo viên ở khu vực đó về phương pháp giúp các em học sinh được tiếp cận với
phương pháp giải toán này.
Thiết kế, xây dựng các tình huống dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng
thơng qua các bài tốn chứng minh bằng phương pháp vectơ nhằm cho các em
tiếp cận dần với phương pháp giải toán và đánh giá mức độ tiếp thu về phương
2


pháp này của các em.
Thiết kế, xây dựng các giáo án dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng thông
qua các bài toán chứng minh bằng phương pháp vectơ nhằm giúp các em có
thêm cách thức tiếp cận mới cho các bài toán chứng minh ở nội dung chứng
minh lớp 11.
Xây dựng hệ thống bài tập hướng rèn luyện kỹ năng thơng qua các bài tốn
chứng minh bằng phương pháp vectơ nhằm rèn luyện các kỹ năng giải toán cho
các em, giúp các em có thêm một kỹ năng chứng minh mới trong việc giải các
bài toán ở nội dung hình học khơng gian lớp 11.
Tiến hành thực hiện thực nghiệm sư phạm ở nơi đang giảng dạy nhằm kiểm
chứng về tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
Xử lý các kết quả thực nghiệm bằng các công cụ thống kê nhằm đánh giá
thông qua các số liệu cụ thể để minh chứng các kết quả là đạt hiệu quả hơn so
với khi chưa tiến hành thực nghiệm

0.4. Khách thể và Đối tượng nghiên cứu
0.4.1. Khách thể nghiên cứu
Chương trình SGK hình học lớp 10 ban cơ bản, sách giáo khoa lớp 11 ban
cơ bản và dạy học giải tốn chứng minh hình học cho học sinh lớp 11 trường
THPT Ứng Hòa B huyện Ứng Hòa Thành phố Hà Nội.

0.4.2. Đối tượng nghiên cứu.
Các Kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải tốn về chứng
minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11.
Hệ thống các bài tập, các bài giảng, biện pháp sư phạm dạy học môn hình
học 11 chương 3.

0.5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu giải các bài tốn chứng minh hình học lớp 11 bằng phương pháp
vectơ ban cơ bản và các tài liệu tham khảo lớp 11 phần hình học chương II và
chương III
3


0.6. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn chứng minh hình
học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11 thì sẽ góp phần rèn luyện kỹ
năng giải các bài tốn chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học
sinh lớp 11, tạo cho học sinh thêm nhiều cơ hội rèn luyện các kỹ năng căn bản
và góp phần phát triển năng lực toán học.

0.7. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sẽ sử dụng một số biện pháp nghiên cứu sau đây:
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chính sách, nghiên cứu các tài
liệu, sách, báo, các cơng trình luận án, các khóa luận liên quan đến đề tài.
Phương pháp điều tra - quan sát: Dự giờ, thăm lớp, quan sát việc dạy học
của giáo viên trên lớp và hoạt động giáo dục, việc học tập của học sinh trong
quá trình dạy học nội dung vectơ nhằm rèn luyện các năng lực cho học sinh.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Đúc rút lại những kinh nghiệm đã được
có được từ thực tế dạy giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, của
đồng nghiệp thông qua trao đổi với những đồng nghiệp có kinh nghiệm ở các

trường phổ thơng.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành giảng dạy trực tiếp trên lớp
về nội dung của đề tài cho học sinh lớp 11 với nhóm đối tượng khá, giỏi nhằm
bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu được sau khi điều tra.

0.8. Dự kiến những đóng góp của luận văn
Về mặt lý luận: Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải các
bài tốn chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11.
Về mặt thực tiễn: Thiết kế hệ thống các tình huống, giáo án, cách tổ chức
hoạt động, các câu hỏi tình huống, các bài tập trên lớp cũng như bài tập về nhà
nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn chứng minh hình học bằng phương
pháp vectơ cho học sinh lớp 11.

4


0.9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng phương
pháp vectơ.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

5


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm bài toán. Phương pháp giải toán

1.1.1. Bài toán
"Bài toán" có rất nhiều cách hiểu khác nhau, cách diễn đạt khác nhau. Chúng
ta xem xét một vài cách hiểu về bài toán khác nhau sau đây:
Theo Từ điển toán học thơng dụng [9]:"Bài tốn là vấn đề cần được giải đáp
bằng suy luận logic và phương pháp khoa học"
Theo Từ điển tiếng việt [23]:"Bài toán là vấn đề cần được giải quyết, tìm ra
đáp án bằng quy tắc, định lí."
Hay theo tác giả Lê Văn Tiến đã đề cập trong cuốn Phương pháp dạy học
mơn tốn ở trường phổ thơng thì Bài tốn có đến tận ba quan niệm khác nhau
song cũng chưa đi đến thống nhất một quan niệm duy nhất.
Do vậy, bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ,...
1.1.2. Phân loại bài toán
Để sử dụng các bài toán một cách thuận tiện và để đạt được những mục đích
nhất định thì các bài tốn được phân loại theo nhiều cách khác nhau.
Cũng theo G.Polya[6], các bài toán cần phải được phân loại, khi phân loại
các bài toán sao cho mỗi loại bài toán đạt được việc xác định trước một phương
pháp giải thì đó gọi là một sự phân loại tốt. Dựa vào yêu cầu đã được bài tốn
nêu ra, mục đích của bài tốn sẽ hướng đến, ơng cũng chia bài tốn thành hai
loại: Các bài tốn về tìm tịi và các bài tốn về chứng minh.
Bài tốn tìm tịi: gồm các bài tốn tính tốn, dựng hình, tập hợp điểm, tốn
giải phương trình hoặc bất phương trình,... u cầu của các bài tốn dạng này
thường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng,...
Bài toán chứng minh: Yêu cầu của các bài toán dạng này thường được thể
hiện bằng các cụm từ: Chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao,... Bài tốn được chia
làm hai phần chính bao gồm: Cái đã cho - Giả thiết và cái cần chứng minh Kết luận. Để giải được dạng bài toán này cần phải tìm ra được mối liên hệ giữa
cái đã cho biết và cái cần chứng minh.
6


Trong quá trình làm bài tập, học sinh hay gặp các bài tốn mà trong đó có

phần là bài tốn ở dạng tìm tịi, có phần là bài tốn ở dạng phải chứng minh
và bài toán ở dạng với nội dung bắt gặp trong thực tiễn. Những bài tốn có
dạng như vậy được gọi là bài tốn tổng hợp. Ngồi ra dựa trên những yêu cầu
của chuyên ngành nhỏ bài tốn cịn được phân chia thành các loại bài tốn theo
chuyên ngành cụ thể như: Bài toán số học, Bài tốn đại số, Bài tốn hình học.
Với các bài tốn hình học có thể phân thành các loại: Bài tốn về tính tốn,
bài tốn về chứng minh, bài tốn về tìm quỹ tích, bài tốn dựng hình.
1.1.3. Chức năng của bài tập tốn
Ở một thời điểm nào đó của q trình dạy học, mỗi bài tập tốn đều có thể
có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển, chức năng kiểm tra. Trong đó:
Chức năng dạy học: Khi giải các bài tốn học sinh học được các tri thức mới,
các kỹ năng mới, kỹ xảo được hình thành.
Chức năng giáo dục: Khi giải các bài toán học sinh nhận thức được thế giới
xung quanh thơng qua các ví dụ thực tế qua đó làm cho các em hứng thú hơn
với việc học và sẽ tự sáng tạo để có thể giải quyết các bài toán dựa trên kinh
nghiệm của bản thân và sẽ cảm thấy tin tưởng hơn vào tri thức mình có hình
thành nên phẩm chất đạo đức người lao động mới.
Chức năng phát triển: Thơng qua giải các bài tốn học sinh sẽ phát triển
được các năng lực mà giáo viên mong muốn hoặc hướng đến.
Chức năng kiểm tra: thông qua việc giải các bài tập toán giáo viên sẽ nhận
được cái nhìn chính xác hơn về năng lực, phẩm chất đạo đức của học sinh nhằm
đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học tốn, khả
năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh.
Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học. Việc
dạy tốn ở trường phổ thơng có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai thác
và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạm
của giáo viên.

7



1.1.4. Bài tốn chứng minh
Mục đích của bài tốn chứng minh là chứng minh một điều đã được phát
biểu rõ ràng là đúng hay sai.
Một bài tốn chứng minh có dạng thơng thường nhất thì các yếu tố chính
của nó sẽ là giả thiết và kết luận, kết luận là cái ta cần chứng minh hay bác bỏ.
Trong bài toán chứng minh cần phân biệt, nhận biết chính xác đâu là giả
thiết và đâu là kết luận. Hãy tìm cách đi từ giả thiết đến kết luận thông qua
các dữ liệu đã được đưa ra ở giải thiết và các dữ liệu trước đó. Xem xét kỹ kết
luận, phân biệt kỹ các phần khác nhau của kết luận.

1.2. Kỹ năng
1.2.1. Kỹ năng là gì?
Trong quá trình lao động sản xuất của con người, hễ gặp một vấn đề gì mới
con người thường phải tìm hiểu các vấn đề liên quan đến nó, các hiểu biết về
lí luận, các kinh nghiệm xử lí các vấn đề tương tự đã gặp phải. Yêu cầu cốt lõi
nằm ở chỗ phải biết vận dụng những vốn hiểu biết và kinh nghiệm đó như thế
nào trong những hoàn cảnh cụ thể, thời gian cho phép để hồn thành cơng việc
một cách nhanh chóng, chính xác nhất. Trong q trình ấy, con người dần dần
tích lũy được kinh nghiệm cho bản thân và dần hình thành kỹ năng giải quyết
vấn đề cho riêng mình. Dưới đây ta liệt kê ra một số khái niệm về kỹ năng.
Từ điển Tiếng Việt [23] khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó áp dụng vào thực tế”.
Theo giáo trình tâm lý học giáo dục [19] thì: “Kỹ năng là sự thực hiện có kết
quả một hành động bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hành
động này để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép”.
Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm [16] thì: “Kỹ
năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để
giải quyết một nhiệm vụ mới”.

Theo Giáo sư G.Polya [6] người Mỹ thì cho rằng “Kỹ năng là một nghệ thuật,
là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của
mình, kỹ năng cịn thể hiện đặc trưng như tồn bộ các thói quen nhất định; kỹ
năng là khả năng làm việc có phương pháp” hay nói riêng trong tốn học thì
8


ơng nói “trong tốn học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Các khái niệm trên tuy khác nhau về cách diễn đạt song đều đi đến một cái
chung là kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp. . . ) để giải quyết thành công một nhiệm vụ trong những điều kiện cụ thể.
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng
Khi vận dụng các kỹ năng để giải quyết bài toán ta thường chú ý đến các đặc
điểm của kỹ năng:
Kỹ năng không phải là khi sinh ra đã có sẵn.
Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên sự hiểu biết của người cần hồn thành
cơng việc về đối tượng đó, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng
bao gồm:
- Hiểu mục đích sẽ làm là gì.
– Biết cách thức hành động đi đến kết quả sẽ như thế nào.
- Hiểu những điều kiện cụ thể trong thực tế để triển khai những cách thức
hành động đó.
Kiến thức là nền tảng, là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy
đủ, chính xác các thuộc tính bản chất của đối tượng, đã được kiểm nghiệm trong
thực tế và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động.
Muốn có kỹ năng về một hành động cụ thể nào đó cần phải có:
Kiến thức để hiểu biết, nắm rõ được mục đích của hành động, biết được các
điều kiện, các cách thức để đi đến kết quả nhanh nhất có thể, để thực hiện hành
động.

Tiến hành hành động đó với yêu cầu cụ thể của nó.
Đạt được kết quả như mong muốn với mục đích đặt ra ban đầu.
1.2.3. Sự hình thành và phát triển kỹ năng
Để có được kỹ năng đầu tiên người giải tốn cần có sự quyết tâm cao độ
nhằm vượt qua những yêu cầu của bài tốn, tìm hiểu tất cả những kiến thức,
kỹ năng cơ bản liên quan đến bài toán làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập
từng thao tác nhỏ nhất một cách thành thục cho đến khi thực hiện được hành

9


động theo đúng mục đích yêu cầu. . . Kỹ năng chỉ được hình thành thơng qua
q trình giải quyết những nhiệm vụ, những đúc rút kinh nghiệm cho bản thân
và tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành q trình phân
tích, tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng
theo các hướng, các thuộc tính khác nhau để tách ra các khía cạnh và những
thuộc tính nhỏ lẻ để giải quyết. Quá trình tư duy chỉ bắt đầu thực sự diễn ra
trong đầu óc của người giải quyết bài tốn khi các thao tác phân tích bài toán,
tổng hợp bài toán và các thao tác, trừu tượng hóa và khái qt hóa cho đến khi
hình thành được mơ hình về mặt nào của đối tượng trong đầu óc người thực
hiện mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài tốn đã cho.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:
Con đường thứ nhất: Truyền thụ cho học sinh tất cả những tri thức, kỹ năng
liên quan cần thiết bằng lý thuyết sau đó đề ra các bài tốn cần thiết để vận
dụng những tri thức đó. Học sinh sẽ tự phải tìm tịi cách giải bằng những con
đường khác nhau như: thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, từ đó phát hiện ra,
rút ra được các kinh nghiệm cho bản thân và các mốc định hướng tương ứng,
những phương thức cải biến thông tin, những cách thức giải quyết bài tốn.
Người ta cịn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề.
Con đường thứ hai: Dạy cho học sinh cách nhận biết được các dấu hiệu đặc

trưng nhất của bài tốn mà từ đó học sinh có thể xác định được đường lối giải
cho một dạng bài tốn cụ thể và vận dụng đường lối đó vào bài toán cụ thể.
Con đường thứ ba: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần
thiết đối cho việc vận dụng tri thức vào giải các bài tốn. Lúc này giáo viên
khơng những chỉ cho học sinh nhận biết các cách thức, các thông tin đề bài cho
để chọn lọc các dấu hiệu và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh
trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra.
Trong giai đoạn đầu tiên của quá trình giải những định hướng về đối tượng
đã được giáo viên đưa ra cho học sinh dưới dạng có sẵn hoặc chỉ cho học sinh
thấy được, được sơ đồ hóa cho học sinh có thể hiểu được, ký hiệu về các đối
tượng, cịn các hoạt động, các tính tốn thì được thực hiện dưới những hình
thức, những hành động trên đối tượng cụ thể, bài toán cụ thể.
Ở giai đoạn thứ hai, các định hướng giải bài toán và các thao tác trên các
đối tượng cầu bài toán được thay thế bằng các ký hiệu hoặc các đặc trưng của
ngôn ngữ về phương pháp giải.
10


Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh được
bài toán trước hết phải nhận biết được bài tốn đó thuộc dạng bài tốn nào và
tìm nội dung đã được học về dạng bài tốn đó để tìm cách giải bài tốn qua
các giai đoạn cụ thể. Từ đó học sinh dần dần hình thành và tự xây dựng được
các phương pháp giải toán. Tuy nhiên để phát triển khả năng giải toán và khắc
sâu cách thức giải các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh các bài
toán mở rộng của bài toán đã giải nhằm khắc sâu bài toán, khắc sâu cách giải
hoặc có thể: Tìm cách giải khác nhau, tổng qt hóa bài tốn, khái qt hóa,
trừu tượng hóa, tương tự hóa. . .
Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng và phát triển kỹ năng suy luận
logic.
Để hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành theo các bước:

- Giúp học sinh biết cách phân tích các dữ kiện đầu bài đã cho, tìm tịi các
dữ kiện liên quan đến dữ kiện đó để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh có được cách giải tổng quát cho cả một dạng bài toán cùng
loại.
- Thiết lập được mối quan hệ giữa dạng bài toán và kiến thức tương ứng liên
quan đến dạng bài tốn đó để có thể giải bài tốn được thuận tiện.
Nhưng các giáo viên cũng cần thật sự chú ý việc làm sao để các em có được
sự u thích, đam mê với việc giải các bài tốn và có được nhiều điều kiện để
học hỏi, thực hành những điều chúng học hỏi được hoặc bắt chước được qua
quá trình tiếp thu kiến thức từ người thầy.
Việc hình thành các kỹ năng địi hỏi phải có sự thích thú, đam mê, sự vận
dụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn, việc luyện tập để hồn thiện các kỹ năng
và các bước nhìn nhận lại quá trình tiếp nhận kiến thức, quá trình luyện tập
để nghiên cứu, phân tích và biết đâu đó sẽ nhìn thấy được một sáng kiến nào
đó giúp ích cho việc giải quyết các vấn đề tương tự sau này. Sự hình thành kỹ
năng ln ln kèm với hoạt động ý thức, hoạt động trí tuệ của mỗi học sinh
cho nên đòi hỏi người giáo viên cần thay đổi các yêu cầu sao cho phù hợp với
các em, nhằm đạt được mục đích ban đầu đề ra đối với mỗi em.

11


1.2.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
Nội dung của các bài toán mà giáo viên lấy làm ví dụ minh họa cho học sinh:
Các yêu cầu được đặt ra trừu tượng hoặc không rõ ràng làm lệch hướng suy nghĩ
của học sinh có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Tâm lý khi giải tốn và
thói quen của học sinh cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng, cho nên cần
tạo cho học sinh tâm lý thoải mái để giải toán. Việc tạo ra tâm lý thoải mái,
vui vẻ trong lớp học, trong giờ học sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình

thành kĩ năng.
- Kĩ năng khái quát: nhìn bài tốn dưới một góc độ là bài tốn tổng qt hay
bài tốn đơn cũng ảnh hưởng lớn đến việc hình thành kỹ năng.
- Điều kiện về cơ sở vật chất, mơi trường cũng ảnh hưởng đến sự hình thành
kỹ năng.

1.3. Kỹ năng giải toán
1.3.1. Khái niệm kỹ năng giải toán
Để giải một bài tốn người ta cần tìm hiểu rõ ràng các u cầu cụ thể của
bài tốn, những gì đã có những gì cần tìm, tìm hiểu mối quan hệ giữa các yếu
tố khác nhau của bài toán, thực hiện giải bài tốn và nhìn lại những vấn đề mà
mình đã giải nhằm mục đích phân tích, tổng hợp, khái qt hố để đi đến tích
lũy những kinh nghiệm, kỹ năng cho các bài tốn tiếp theo.
Do đó, giải một bài toán là thực hiện một loạt các hành động có mục đích,
do đó học sinh cần phải nắm vững các tri thức về hành động liên quan đến bài
toán, thực hiện các bước giải theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết được
các bước giải có kết quả khác nhau trong những điều kiện khác nhau. Trong giải
tốn, chúng tơi quan niệm về kỹ năng giải tốn của học sinh như sau: “Đó là
khả năng vận dụng có mục đích rõ ràng những tri thức và kinh nghiệm đã của
bản thân có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một loạt các
bước giải để đi đến lời giải cuối cùng của bài tốn một cách khoa học cũng như
có phân tích, có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được từ người khác.”.
Ở bậc THPT, tri thức phương pháp đặc biệt được coi trọng, việc giải một bài
toán người ta chú trọng nhất là con đường đi của nó như thế nào để đến được
với đáp án chứ khơng phải là kết quả của nó. Đặc biệt những tri thức mang tính
12


thuật toán và những kỹ năng đi kèm tương ứng của nó. Tuy nhiên tùy theo nội
dung và yêu cầu về mặt kỹ năng tốn học mà có những u cầu rèn luyện kỹ

năng khác nhau.
Có hai cách thức cơ bản để cung cấp và trang bị cho học sinh kỹ năng giải
Toán:
+ Phương pháp gián tiếp. Cung cấp cho học sinh một số các bài tốn có cùng
một dạng và có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh có thể tự rút ra kỹ
năng giải tốn của dạng bài tốn đó. Đây là phương pháp tương đối hiệu quả
nhưng lại mất nhiều thời gian của cả học sinh và giáo viên, nó khó đánh giá và
khơng đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào ý thức, năng lực, trình độ của học sinh.
+ Phương pháp trực tiếp. Giáo viên chuẩn bị những bài giảng về những kỹ
năng cần học sinh có được một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này có
hiệu quả hơn, đặc biệt với việc trao đổi qua lại liên tục giữa giáo viên và học
sinh và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.
Cả hai phương pháp đều nhắm đến giúp học sinh hình thành và nắm vững
mạch kiến thức xuyên suốt của chương trình và phát triển năng lực trí tuệ, rèn
luyện và phát triển các kỹ năng khơng chỉ trong tốn học cịn các kỹ năng chung
nhất cần phát triển của người học.
1.3.2. Vai trò của kỹ năng giải tốn
Việc học tập của học sinh sẽ khơng thể đạt kết quả cao nếu chỉ học có lý
thuyết, do đó địi hỏi học sinh phải thực hành, trong quá trình thực hành sẽ dần
hình thành kỹ năng, trong q trình hình thành kỹ năng giải tốn các em sẽ có
được các kỹ năng nhỏ lẻ như: kỹ năng tìm kiếm, kỹ năng nhận xét đánh giá các
yếu tố đã cho và mối quan hệ giữa chúng, kỹ năng phân tích, phán đốn logic,
kỹ năng mơ hình hóa các vấn đề thực tế sang các mơ hình tốn học nói riêng,
kỹ năng xác lập mối liên quan giữa các bài tâp tương ứng với kiến thức tương
ứng đã được học trên lý thuyết.
Ngồi ra, trong q trình hình thành kỹ năng giải toán các em sẽ thấy được
bản chất của vấn đề cần giải quyết, các em sẽ thấy hứng thú với việc học tập và
thực hành hơn, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý học
lý thuyết sng. Qua q trình hình thành, rèn luyện kỹ năng các em sẽ được
rèn luyện các mặt sau:


13


- Nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với
nhau để hiểu sâu sắc về bài tốn và cách giải, qua đó vận dụng hợp lý kiến thức
hơn cho các bài toán sau này.
- Quan sát cẩn thận và cố gắng tìm ra đặc điểm của bài tốn.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải hay hơn và ngắn gọn hơn trong khi giải
tốn.
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức tốn học cho học sinh thì giáo
viên cần phải tạo cho học sinh hình thành cũng như có được và rèn luyện các
kỹ năng tương ứng cảu tri thức tốn học, nó đóng một vai trị quan trọng góp
phần bồi dưỡng tư duy tốn học cho học sinh.
1.3.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Học luôn đi đôi với hành, truyền thụ tri thức cũng cần đi kèm với rèn luyện
kỹ năng, đặc biệt trong mơn tốn các kỹ năng càng cần địi hỏi nhiều hơn nhằm
vận dụng các kiến thức được học vào vận dụng trong thực tế. Ở trên ghế nhà
trường các kỹ năng cần được rèn luyện trong quá trình học tập là kỹ năng giải
các bài toán nhằm đạt được các u cầu:
• Học sinh hình thành được và nắm vững được mạch kiến thức cơ bản xuyên

suốt của chương trình.
• Học sinh phát triển năng lực trí tuệ thông qua việc rèn luyện và phát triển

các khả năng:
+ Tư duy logic mạch lạc và ngôn ngữ trong sáng, chính xác mạch lạc, trong
đó có tư duy thuật tốn.
+ Khả năng suy đốn các kết quả có thể, tư duy trừu tượng và trí tưởng
tượng của các hình được nêu trong không gian.

+ Những thao tác tư duy, lập luận liên quan đến bài toán cần giải quyết như
tổng hợp, phân tích, khái q hóa, ...
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy một cách độc lập, tư duy linh hoạt, tư
duy sáng tạo, tư duy nhóm, ...
+ Đánh giá đúng vai trò của việc rèn luyện kỹ năng tính tốn trong các giờ
học.
Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ, tính kiên trì,
cẩn thận, chính xác trong các hoạt động tính tốn, thói quen tự kiểm tra, đánh
14


giá kết quả có được nhằm tránh các sai lầm khơng mong muốn của q trình
giải các bài tập cũng như ngoài đời sống sau này.
1.3.4. Phân loại kỹ năng trong mơn tốn
1.3.4.1. Kỹ năng chung
Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài tốn là phân tích bài tốn, làm rõ các dữ kiện
đặt ra, thấy rõ cái gì là cái đã có, cái gì là cái cần tìm, mối liên hệ giữa các yếu
tố là gì. Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là quan trọng nhất khi
giải bài tập toán. Cần làm rõ các dữ kiện, các mối liên hệ giữa các dữ kiện đã
cho nếu có trong bài tốn.
Kỹ năng tìm kiếm, là tìm kiếm các yếu tố liên quan đến bài toán, đề ra chiến
lược giải, hướng giải cho bài toán. Vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi được
yêu cầu giải một bài tốn, đặc biệt là bài tốn hình học khơng gian là cách thức
giải. Khi đó học sinh khơng biết bắt đầu từ đâu và bằng cách nào để đi đến kết
quả của bài tốn. Thơng thường thì để giải một bài toán ta cần trải qua hai
bước: thứ nhất là tìm hướng giải của bài tốn, thứ hai là tiến hành thực hiện
giải bài tốn cịn gọi là chiến thuật giải bài tốn. Hai bước này vừa có tính độc
lập và vừa có tính bổ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai
bước riêng biệt. Việc tìm ra cách giải của bài tốn hay khơng phụ thuộc phần
lớn vào khâu này. Học sinh có nhiều cách khác nhau để thực hiện biện pháp này,

chẳng hạn: Phân loại bài toán, phân dạng bài toán để xác định phương pháp
chung giải các loại, dạng bài tập đó. Phương pháp chung của dạng đó hay loại
bài tốn đó sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể.
Huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân hoặc của nhóm, tổ trong q
trình giải tốn với những kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán
bao gồm hai dạng:
Dạng 1 là những tri thức mà học sinh tự rút ra được một cách tích cực bằng
các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành.
Dạng 2 là những ý tưởng bất chợt xuất hiện trong đầu mang tính tự phát,
được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo.
Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể các bước của quá trình giải
bài tốn.
Kỹ năng kiểm tra đánh giá q trình thực hiện việc giải bài toán.
15


Kỹ năng thu nhận các dạng thông tin, hợp thức hóa thơng tin của bài tốn
thành kiến thức mới của người giải toán.
1.3.4.2. Kỹ năng cụ thể
là những kỹ năng đặc thù của từng bộ môn, của từng chuyên đề cụ thể mà
bộ mơn hay chun đề đó u cầu cần phải có.
1.3.5. Dạy học phương pháp giải bài tập tốn
Ở bậc THPT có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải và cũng
khơng có một thuật giải chung cho mọi bài tốn, đặc biệt hình học thì càng khó
khăn hơn trong việc đưa ra thuật giải chung. Chúng ta chỉ có thể thơng qua
việc giải một số bài cụ thể mà thơng qua đó truyền thụ cho học sinh cách thức,
kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tịi hướng giải quyết bài tốn.
Dạy học giải bài tập tốn khơng đơn thuần là việc cung cấp lời giải cho học
sinh mà là cung cấp cách thức tìm kiếm, cách thức giải quyết bài toán nhằm
tăng sự hứng thú cho học sinh, phát triển cho các em tư duy, hình thành giúp

các em một quy trình giải, phương pháp giải cho một bài tốn.
Quy trình bốn bước của G. Polya đã được rất nhiều nhà sư phạm trên thế
giới đánh giá cao và được áp dụng rộng rãi nhằm hình thành kỹ năng giải tốn
cho các em.
Bước 1: Tìm hiểu bài tốn
- Phát biểu bài tốn dưới các dạng khác nhau nhằm hiểu rõ bài toán hơn.
- Phân biệt cái đã cho (giả thiết), cái phải tìm, phải chứng minh (kết luận).
- Có thể dùng các cơng thức, sơ đồ, ký hiệu, hình vẽ để diễn đạt đề bài sao
cho hiểu đúng ý của đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tịi, phát hiện ra một cách giải nào đó nhờ những suy nghĩ có tính chất
suy đốn, biến đổi những cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ
cái đã cho, cái phải tìm (chứng minh - kết luận) với những cái đã biết, liên hệ
bài toán với những bài toán tương tự, một trường hợp riêng, trường hợp tổng
quát nào đó đã biết.
- Kiểm tra lời giải bằng cách rà soát các cách thức chứng minh, cách thức

16