PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2010-2011
Ngày thi : 06 tháng 1 năm 2011
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =
2
2
3 8 11
3 17 22
x x
x x
+ −
+ +

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 .
Câu 3 : (1,5đ) Cho
ΔABC
có
µ
0
A 120=
Chứng minh rằng:
2 2 2
BC = AB +AC + AB.AC
.
Câu 4 : (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3AD .Trên cạnh AB lầy các điểm M, N sao

cho AM=MN=NB. Chứng minh rằng :
·
·
MDN=CDB
.
Câu 5 : (1,5đ) Cho x+ y = a ; x
2
+ y
2
=b ; x
3
+ y
3
= c . Chứng minh rằng : a
3
– 3ab + 2c = 0
Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Chứng minh rằng :
2011 2011 2011 2011
x y a b+ = +

Câu 7 : (2đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.
(

( ) ( )
B O ,C O'∈ ∈
).Tính độ dài BC.
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số
5 7
7 10
n
n
+
+
tối giản. (
n N
∈
).
Câu 9 : (1,5đ) Tính giá trị biểu thức P =
10 3 11 10 3 11− − +
.
Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N
và 2N+1 không có số nào là số chính phương.
Câu 11 : (2đ ) Cho
ΔABC
có 3 góc nhọn .H là trực tâm. Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH
tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng
lập phương các chữ số của số đó.
----------- HẾT ----------
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................
Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................
PHềNG GIO DC O TO
THNH PH LT

K THI HC SINH GII THNH PH
NM HC 2009-2010
Ngy thi : 03 thỏng 2 nm 2010
HNG DN CHM CHNH THC
Mụn : TON

Cõu 1 : (1,5) ) Rỳt gn biu thc A =
2
2
3 8 11
3 17 22
x x
x x
+
+ +

Bin i A=
( )
( )
( )
( )
2
2
3 11 3 11
3 11 6 22
x x x
x x x
+ +
+ + +
0,5

A =
( ) ( )
( ) ( )
1 . 3 11
2 . 3 11
x x
x x
+
+ +
0,5
A =
( )
( )
1
2
x
x

+
0,5
Cõu 2 : (1,5) Chng minh tớch 2 s chn liờn tip chia ht cho 8 .
Hai s chn liờn tip cú dng 2n v 2n+2 (n

Z ),
tớch ca chỳng l 2n.(2n+2)=4n(n+1) 0,5
n v n+1 l 2 s nguyờn liờn tip nờn cú 1 s chia ht cho 2

n(n+1) chia ht cho 2 0,5

4n(n+1) chia ht cho 8 0,5

Cõu 3 : (1,5) Cho
ABC
cú
à
0
A 120=
Chng minh rng:
2 2 2
BC = AB +AC +AB.AC
.
V CH vuụng gúc vi ng thng BA
ã
( )
0
1 3
CAH=60 AH= AC;CH= AC 1
2 2

0,5

( )
2 2 2
BHC vuụng BC BH CH 2 = +
T (1), (2)
( )
2
2 2
BC AB+AH CH = +



2
2
2
1 3
BC AB+ AC + AC
2 2


=
ữ
ữ
ữ


0,5
0,5
Cõu 4 : (2 ) Cho hỡnh ch nht
ABCD cú AB =3AD .Trờn cnh AB
ly cỏc im M, N sao cho AM = MN = NB. Chng minh rng :
ã
ã
MDN=CDB
.
Chng minh
2
MB MD BD
MD MN DN
= = =
1


MBD

ủong daùng

MDN (c-c-c)
ã
ã
MBD MDN =
0,5
Cú
ã
ã
( )
MBD BDC slt=
ã
ã
MDN=CDB
0,5
Cõu 5 :(1,5) Cho x+ y = a ; x
2
+ y
2
=b ; x
3
+ y
3
= c . Chng minh rng : a
3
3ab + 2c = 0
2 2 2 2 2 2

1 3
BC =AB +AB.AC+ AC + AC = AB +AB.AC+AC
4 4
C
D
B
M
A
N
120

H
C
A
B
( ) ( )
( ) ( )
3
3 2 2 3 3
a 3 2 x+y - 3 x+y x +y +2 x +yab c− + =
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
[ 3 3 2 ]x y x y x y x xy y= + + − − + − +
0,75đ
0,75đ
Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x
2
+ y

2
= a
2
+ b
2
Chứng minh rằng :
2011 2011 2011 2011
x y a b+ = +
x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2

⇔
x
2
– a
2
= b
2
- y
2

⇔
(x – a)(x + a) = (b – y)(y + b).(1) 0,5đ
mặt khác x + y = a + b

⇔
x – a = b – y. (2)
Từ (1),(2)=> (x – a)(x + a) =(x – a)(y + b)
⇔
(x – a) (x + a) - (x – a)(y + b) = 0 0,5đ

⇔
(x – a)[x + a –(y + b)] = 0
Từ đó suy ra hoặc x – a = 0 thì b – y = 0 nên x = a và y = b, 0,5đ
hoặc x + a – (y + b) = 0 thì x + a = y + b mà x – a = b – y, nên 2x = 2b,
do đó x = b, suy ra y = a. Vậy
2011 2011 2011 2011
x y a b+ = +
0,5đ
Câu 7 : (1,5đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC. (
( ) ( )
B O ,C O'∈ ∈
).Tính độ dài BC.
Vẽ O’D//BC =>BCO’D là hình chữ nhật
⇒
BC = O’D 0,5đ

2 2
O'D= OO' -OD⇒


⇒
2 2
BC= OO' - OD

0,5đ
⇒
( ) ( )
2 2
BC= 8 + 4,5 - 8 - 4,5


⇒

( )
2 2
BC= 12,5 3,5 =12 cm−
0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số
5 7
7 10
n
n
+
+
tối giản. (
n N
∈
)
Gọi d là ước chung lớn nhất của 5n + 7 và 7n + 10 ;
d N∈
⇒
(5n 7) d (35n 49) d
(7n 10) d (35n 50) d
+ +

 
⇒
 
+ +
 
M M
M M
0,5đ
0,5đ
⇒
phân số
5 7
7 10
n
n
+
+
tối giản. (
n N
∈
) 0,5đ
Câu 9 : (1,5đ)) Tính giá trị biểu thức P =
10 3 11 10 3 11− − +
.
P 2 =
(
)
2. 10 3 11 10 3 11− − +
=
20 6 11 20 6 11− − +

0,5đ
=
( ) ( )
2 2
11 3 11 3− − +
0,5đ
=
11 3 11 3− − +
=
( ) ( )
11 3 11 3− − +
= –6
Suy ra P = –3 2 0,5đ
Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011.
( ) ( )
35 50 35 49 1 1n n d d d
⇒ + − + ⇒ ⇔ =
M M
C
B
D
O
O'
A
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 3 3 2 2 2x y x xy y x y x xy y
= + + + − − + − +
( )

( )
( )
2 2 2 2
3 3 3 3 2 2 .0 0x y x y x y xy xy x y
= + + − − + − = + =
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số
chính phương.
* 2N-1 = 2.1.3.5.7…2011 – 1
Có 2N
M
3
⇒
2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k
∈
N)
⇒
2N-1 không là số chính phương. 0,75đ
* 2N = 2.1.3.5.7…2011
Vì N lẻ
⇒
N không chia hết cho 2 và 2N
M
2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
(2 là số nguyên tố)
⇒
2N không là số chính phương. 0,5đ
* 2N+1 = 2.1.3.5.7…2011 + 1
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
⇒

2N+1 không là số chính phương. 0,75đ
Câu 11 : (2đ ) Cho
ΔABC
có 3 góc nhọn .H là trực tâm. Vẽ đường tròn đường kính AB
cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
Vẽ các đường cao AI , CK
Cm
ΔADB
vuông tại D
2
BD =BK.BA (1)⇒
0,5đ
Cm
ΔBEC
vuông tại E
2
BE =BI.BC (2)⇒
0,5đ
Cm
ΔBIA
đồng dạng
ΔBKC
BI BA
= BI.BC=BK.BA (3)
BK BC
⇒ ⇔
0,5đ
Từ (1),(2), (3)
⇒
2 2

BD =BE BD=BE⇔
0,5đ
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng
tổng lập phương các chữ số của số đó.
ab (a + b ) = a
3
+ b
3
⇔
10a + b = a
2
– ab + b
2
= ( a + b )
2
– 3ab

⇔
9a + 3ab =( a + b )
2
–(a+b)
⇔
3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) 0,5đ
a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b 0,5đ

⇒
a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37. 0,5đ

----------- HẾT ----------
Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
E
D
H
I
K
B
C
A