<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<b>TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>

<b>--- </b>

<b>BÙI TRỌNG NGUYỆN </b>

<b>XÂY DỰNG </b>

<b>MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP </b>

<b>DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI </b>

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<b>TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>

<b>--- </b>

<b>BÙI TRỌNG NGUYỆN </b>

<b>XÂY DỰNG </b>

<b>MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP </b>

<b>DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI </b>

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

<b> </b>PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1

<b>MỞ ĐẦU </b>

Tốn học là một mơn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các
ngành khoa học. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức
hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp. Việc nghiên cứu về
bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và
phát triển tư duy. Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong
phú và đa dạng. Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi tốn, các bất đẳng thức
đều được đề cập và thuộc loại tốn khó hoặc rất khó. Nhiều bất đẳng thức đã
trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài tốn đó như bất đẳng thức
Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường
ít được quan tâm. Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng
tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này. Vì vậy, tác giả đã lựa
chọn đề tài <i>"Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức </i>
<i>Bernoulli"</i> với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có
cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung
cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về tốn học trong các trường THPT
hiện nay.

Với ý nghĩa đó trong q trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa
chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức
Bernoulli. Luận văn được chia thành ba chương.

Chương 1. Bất đẳng thức Bernoulli. Trong chương này tác giả trình bày về

bất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện
các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong
luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của
các thầy cơ giáo và các bạn.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy
PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn. Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡ
nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn.

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình
của các thầy cơ để có một học vấn sau đại học căn bản.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những
ý kiến quý báu để em hồn thiện hơn luận văn của mình.

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi
em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hồn thành chương trình.

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cơ, kính chúc thầy cơ
ln ln mạnh khỏe và hạnh phúc.

Chân thành cảm ơn!

<i>Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 </i>
Người thực hiện

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

3

<b>MỤC LỤC </b>

<b>Chƣơng 1 </b>

<b>Bất đẳng thức Bernoulli </b>

Trang

<b>4 </b>

1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 4

1.2. Một số ví dụ 6

1.2.1. <i>Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa</i> 6

1.2.2. <i>Kỹ thuật chọn điểm rơi</i> 18

<b>Chƣơng 2 </b>

<b>Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa trên bất đẳng thức </b>

<b>Bernoulli</b> <b>28 </b>

2.1. Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28

2.2. Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 40
2.3. Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2

2   1 51
2.3.1. <i>Một số bài toán trong tam giác</i> 52
2.3.2. <i>Một số bài toán trong lượng giác</i> 59
2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61
2.4.1. <i>Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức </i>

<i> AM-GMsuy rộng</i> 61

2.4.2. <i>Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển</i> 64

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

4

<b>Chƣơng 1 </b>

<b>Bất đẳng thức Bernoulli </b>

<b>1.1. Bất đẳng thức Bernoulli </b>

Jacob Bernoulli (1654-1705) là nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ. Bất
đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh
danh ơng. Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x),
được phát biểu như sau.

<b>Định lí 1.1</b> 1. Nếu α là một số thực thỏa mãn  1 thì



1 x



   1 .x, với mọi x  1. (1.1)
Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc  1.

2. Nếu α là một số thực thỏa mãn 0  1 thì



1 x



   1 .x, với mọi x 1.
Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc  1.

<i>Chứng minh</i>. 1. Chỉ cần xét  1,vì khi  1thì (1.1) trở thành đẳng thức.
Xét hàm số f (x) 



1 x



   .x 1 trên khoảng ( 1; ). Ta có đạo hàm





1





1

f '(x)  1 x     _ 1 x   1_ 0.
Ta suy ra x0. Từ đó, ta có bảng biến thiên sau

x -1 0 
f (x)<b>'</b>



0



f(x)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

5
Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra

f (x)f (0)0, hay



1 x



   1 .x với mọi x 1.
2. Xét  1. Khi đó 1 1.

 Áp dụng kết quả trên, ta có





1 ₁

1 .x   1 .( x) 1 x.  



Ta suy ra





1   .x 1 x .
Vậy



1 x



   1 .x với mọi x 1.
Định lí được chứng minh.

<b>Định lí 1.2</b> 1. Nếu là một số thực thỏa mãn  1 thì

a     1 .a, với mọi a0. (1.2)
Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1.

2. Nếu  là một số thực thỏa mãn 0  1 thì

a    1 .a, với mọi a 0.
Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1.

<i>Chứng minh. </i>Từ bất đẳng thức trong Định lí 1.1, ta chỉ cần đặt a 1 x. 

Khi đó a (0; ).

<b>Định lí 1.3</b> Cho hai số thực ,  thỏa mãn    0. Khi đó
x    1 .x

  , với mọi x0. (1.3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

6

<b>Định lí 1.4</b> Giả sử cho trước x >0 và cặp số ₀



 ,



thỏa mãn điều kiện
0

    . Khi đó

0 0
x x
1 .
x x
 
  _{  }   
  _ _  

    , với mọi x0. (1.4)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xx .₀

<b>1.2. Một số ví dụ </b>

<i>1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa. </i>

Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là
bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vơ tỉ. Kỹ
thuật chủ yếu để xử lí dạng tốn đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy
thừa. Xét các ví dụ điển hình sau đây.

<b>Ví dụ 1.2.1.</b> Giả sử a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng





2

3 2 3 2 1 2

a b 2 ab(ab) .
<i>Lời giải.</i> Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với









3 2 3 2

1 2

2 2

a b

2
ab(a b) ab(a b)



 

  .

Hay

2 2 2 2

1 2

a b

2 .

b(a b) a(a b)


   
 
   
 
   
   

Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có

2 2 2

a a

2. 2 1 2. 2. ,

b(a b) b(a b)

   

  
   
 
   
   

2 2 2

b b

2. 2 1 2. 2. .

a(a b) a(a b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

7
Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2 2 2 2

2 2

a b

2. 2. 2 2 2

b(a b) a(a b)

a b

2. 2. 2. .

b(a b) a(a b)

   
  
   
 
   
   
_ _ _ _ 
 
 _ _ _ _
__  __ __  __ 
 

Tương đương với

2 2 2 2

2 2

a b

2. 2. 2 2 2

b(a b) a(a b)

a b

2 2. .

b(a b) a(a b)

   
  
   
 
   
   
 
 _  _
 
 
Mặt khác

2 2 2 2

a b a ab b

1

b(a b) a(a b) ab

 

  

  , với mọi a, b0.

Nên

2 2 2 2

a b

2. 2. 2.

b(a b) a(a b)

   
 
   
 
   
   

Tương đương với

2 2 2 2

1 2

a b

2 .

b(a b) a(a b)


   

 
   
 
   
   

Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.

<b>Ví dụ 1.2.2. </b>Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức

3 3 3

3

a b c 3

b c c a a b 2

  _  _  _

 _   _   _ 

      .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

8

a b c 3

.

bcca ab 2

Ta đánh giá số mũ 3 thông qua số mũ 1 trong bất đẳng thức (1.2). Áp dụng
bất đẳng thức (1.2), ta có

3

2a 2a

3 1 3. .

b c b c

  _ _{ }  
 _   _ 
   
Tương tự
3
2b 2b

3 1 3. ,

c a c a

  _ _{ }  

 _   _ 

   

3

2c 2c

3 1 3. .

a b a b

  _ _{ }  

 _   _ 

   

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế và áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta được
bất đẳng thức cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. 

<b>Ví dụ 1.2.3.</b> Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3.
2

  

Chứng minh rằng

3 3 3

a b c 3

.
2
bc  ca  ab 
<i>Lời giải.</i> Áp dụng Định lí 1.2, ta có





1





3 1 1

b c 1 b c .

3 3

    

Ta suy ra

3 _b _c b c 2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

9

<b>Tài liệu tham khảo </b>

1 Phạm Kim Hùng (2006), <i>Sáng tạo bất đẳng thức,</i> NXB Tri Thức.

2 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), <i>Bất đẳng thức và ứng dụng, </i>
NXB Giáo Dục Việt Nam.

3 Nguyễn Văn Mậu (2007), <i>Các bài toán nội suy và áp dụng, </i>Nhà Xuất
Bản Giáo Dục.

4 Nguyễn Văn Mậu (2006), <i>Bất đẳng thức định lí và áp dụng, </i>Nhà Xuất
Bản Giáo Dục.

5 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), <i>Các </i>
<i>bài giảng về bất đẳng thức Côsi, </i>NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), <i>Các bài giảng về bất </i>
<i>đẳng thức Bunhiacopxki, </i>NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

</div>

<!--links-->