<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM MẠNH HÙNG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM MẠNH HÙNG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. CUNG THẾ ANH

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Mục lục

Lời cảm ơn 3

Lời nói đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Phát biểu bài toán biên ban đầu đối với hệ Navier-Stokes . . . 6

1.2 Các khơng gian hàm và các tốn tử . . . 6

1.2.1 Các không gian hàm. . . 6

1.2.2 Các toán tử . . . 7

1.3 Một số kết quả về hệ phương trình Navier-Stokes . . . 11

1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . 11

1.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . 14

1.3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng. . . 16

1.3.4 Đánh giá số chiều của tập hút toàn cục . . . 18

2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes
và ứng dụng 24
2.1 Đặt vấn đề . . . 24

2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm . . . 25

2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 . . . 28

2.3.1 Phương trình của đa tạp . . . 28

2.3.2 Các đánh giá về khoảng cách của quỹ đạo tới M0 . . . 30

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

MỤC LỤC

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS. TS. Cung Thế Anh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi muốn
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.

Qua đây, tơi xin gửi tới các thầy cơ đang cơng tác tại Khoa Tốn-Cơ-Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các
thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành
đối với công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người
đã ln cổ vũ, động viên tơi trong suốt q trình học tập cũng như làm luận văn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014

Học viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Lời nói đầu

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện
khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, khơng khí, dầu mỏ,

dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Một trong những lớp hệ phương trình
cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dịng chảy của chất lỏng lí
tưởng, nhớt, khơng nén là hệ phương trình Navier-Stokes.

Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối
lượng, động lượng và có dạng:






∂u

∂t −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p=f(x, t) x∈Ω, t >0,

∇.u= 0 x∈Ω, t >0,

(1)

ở đó, u=u(x, t);p=p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần
tìm, hằng số ν >0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.

Khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng,
dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng là một trong các
nội dung quan trọng cần được nghiên cứu vì nó cho phép dự đốn xu hướng
phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt
được mục đích mong muốn.

Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường được nghiên cứu bằng cách sử dụng lí

thuyết tập hút hoặc trong tình huống đơn giản hơn là nghiên cứu tính ổn định
của nghiệm dừng (xem [10]). Tuy nhiên, tập hút tồn cục thường có cấu trúc
hình học rất phức tạp và khơng ổn định đối với nhiễu; vì vậy nó khơng thật phù
hợp cho các vấn đề xấp xỉ số dáng điệu của nghiệm khi thời gian lớn. Bên cạnh
đó, lí thuyết đa tạp quán tính (là một đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến
và hút mũ các quỹ đạo) cũng là công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]). Đa
tạp quán tính, nếu tồn tại, sẽ chứa tập hút tồn cục và chứa đựng nhiều thơng
tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét; nói riêng là có thể qui việc nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của
hệ rút gọn trên đa tạp quán tính, là hệ hữu hạn chiều. Tuy nhiên, các phương

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Lời nói đầu

pháp kiến thiết đa tạp qn tính đã biết đều yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ
lớn, tức là khoảng cách giữa hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn. Mặc dù chỉ là
điều kiện đủ, nhưng đây là điều kiện rất ngặt và nhiều phương trình quan trọng
trong vật lí tốn khơng thỏa mãn.

Cho đến nay, sự tồn tại đa tạp quán tính đối với hệ phương trình
Navier-Stokes hai chiều vẫn là câu hỏi mở. Tuy nhiên, dựa trên lí thuyết đa tạp quán
tính, Foias-Manley-Temam đã xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M0 cho hệ

phương trình Navier-Stokes hai chiều. Đa tạp qn tính này xấp xỉ tập hút
toàn cục tốt hơn so với sử dụng đa tạp qn tính xấp xỉ thơng thường Hm (là
đa tạp tuyến tính), nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển.
Luận văn này trình bày các kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính xấp xỉ M0

đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều và ứng dụng trong vấn đề xấp
xỉ nghiệm. Nội dung chính của luận văn dựa trên các bài báo [2, 11] trong Danh

mục tài liệu tham khảo. Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
duy nhất nghiệm yếu và tập hút tồn cục đối với hệ phương trình Navier-Stokes.
Ta biết rằng sự tồn tại tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn là điều kiện
cần để tồn tại đa tạp quán tính.

Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình
Navier-Stokes và ứng dụng.

Trong chương này, trước hết dựa trên phương pháp Galerkin cổ điển, chúng
tơi trình bày dáng điệu của các dịng xốy nhỏ của hệ phương trình
Navier-Stokes bằng cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm. Tiếp theo, chúng tơi
trình bày đa tạp qn tính xấp xỉ M0 và đưa ra ước lượng về khoảng cách của

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả cổ điển về sự tồn tại duy
nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes
hai chiều trong miền bị chặn. Các kết quả trong chương này dựa theo [9, 10].

1.1

Phát biểu bài toán biên ban đầu đối với hệ Navier-Stokes

Giả sử Ω là miền bị chặn trong _R2 _{với biên} _∂_Ω _{trơn. Xét bài toán biên ban}

đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:
















∂u

∂t −ν∆u+ (u· ∇)u+∇p=f, x∈Ω, t >0,

∇ ·u= 0 x∈Ω, t >0,

u(x, t) = 0 x∈∂Ω, t >0,

u(x,0) =u0(x) x∈Ω,

(1.1)

trong đó u = (u1, u2)T là hàm vectơ vận tốc, p: Ω→ R là hàm áp suất, hằng số

ν >0 là hệ số nhớt.

1.2

Các khơng gian hàm và các tốn tử

Trong mục này ta giới thiệu các khơng gian hàm và các tốn tử thường dùng
khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes.

1.2.1 Các khơng gian hàm.

Kí hiệu:

V ={u∈(C₀∞(Ω))2:∇ ·u= 0}.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét các không gian hàm sau:
V =V(H

1
0(Ω))2

={u∈(H₀1(Ω))2 :∇ ·u= 0} là bao đóng của V trong (H₀1(Ω))2,
H =V(L

2

(Ω))2

là bao đóng của V trong (L2(Ω))2.

Khi đó H và V là các khơng gian Hilbert với tích vơ hướng lần lượt là:

(u, v) = (u, v)H =

Z

Ω

u·vdx=
Z

Ω
2
X

i=1

uividx,

((u, v)) = (u, v)V =

Z

Ω
2
X

i=1

∇ui· ∇vidx=
Z
Ω
2
X
i,j=1
∂ui
∂xj
∂vi
∂xj
dx,

trong đó u= (u1, u2)T, v = (v1, v2)T.

Gọi H⊥ là phần bù trực giao của H trong (L2(Ω))2. Từ kết quả trong Temam
[8], ta có

H⊥ ={u∈(L2(Ω))2 :u=gradp, p ∈H1(Ω)}.

Gọi V0 là khơng gian đối ngẫu của V. Ta kí hiệu |.|,k.k lần lượt là chuẩn trong
H và trong V, k.k∗ là chuẩn trong V0.

1.2.2 Các toán tử

∗ Toán tử A:

Giả sử A:V →V0 là toán tử xác định bởi

hAu, vi= ((u, v)), ∀u, v ∈V.
Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có:

D(A) = {u∈H :Au ∈H}= (H2(Ω))2∩V.

Dễ thấy A là tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, tự liên hợp, xác định dương
và có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact vì phép nhúng H₀1(Ω) ,→ L2(Ω) là
compact. Do đó, phổ của A gồm tồn giá trị riêng {λi}∞_i₌₁ với

0< λ1 ≤λ2 ≤...≤λn ≤..., λn →+∞khin →+∞,

và các hàm riêng tương ứng {wj}∞_j₌₁ ⊂ D(A) lập thành một cơ sở trực chuẩn
trong H.

Ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

∗ Toán tử B:
Đặt

b(u, v, w) =
2
X
i,j=1
Z
Ω
ui
∂vj
∂xi

wjdx.

Khi đó, b(., ., .) là một dạng 3-tuyến tính liên tục trên (H₀1(Ω))2, hay nói riêng
trên V.

Chứng minh.

|b(u, v, w)|=



Z
Ω
2
X
i,j=1
ui
∂vj
∂xiwjdx

≤
2
X
i,j=1
Z
Ω

|ui|4dx

14Z

Ω



∂vj
∂xi


|
2_dx
1
2Z

Ω

|wj|4dx

14

≤Ckuk_L4kvk_H1

0kwkL4 ≤CkukH01kvkH01kwkH01,
ở đó ta đã sử dụng phép nhúng H1(Ω) ,→L4(Ω).

Ngồi ra, ta có

b(u, v, w) =−b(u, w, v) ∀u, v, w ∈V.
Nói riêng

b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈V.

Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya khi n = 2). Với bất kì tập mở

Ω ⊂ _R2_{, ta có:}

kνk_L4_(Ω)≤2
1
4kνk

1
2

L2_(Ω)k∇νk
1
2

L2_(Ω), ∀ν∈H

1

0(Ω). (1.3)

Chứng minh. Vì C₀∞(Ω) trù mật trong H₀1(Ω) nên ta chỉ cần chứng minh (1.3)
đúng với mọi ν ∈C₀∞(Ω). Với ν ∈C₀∞(Ω), ta có

ν2(x) = 2

x1

Z

−∞

ν(ξ1, x2)

∂ν
∂x1

(ξ2, x2)dξ1.

Suy ra ν2(x)≤2ν1(x2), ở đây

ν1(x2) =
+∞
Z

−∞

|ν(ξ1, x2)|

∂ν
∂x1

(ξ1, x2)

dξ1.

Tương tự, ta cũng có ν2(x)≤2ν2(x1), với

ν2(x1) =
+∞
Z

−∞

|ν(x1, ξ2)|

∂ν
∂x1

(x1, ξ2)


dξ2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Tài liệu tham khảo

[1] P. Constantin, C. Foias, B. Nicolaenko and R. Temam (1988), Integral
Man-ifolds and Inertial ManMan-ifolds for Dissipative Partial Differential Equations,
Springer-Verlag, New York.

[2] C. Foias, O. Manley and R. Temam (1988), Modelling of the interation of
small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél.
Math. Anal. Numér. 22, 93-118.

[3] C. Foias, G. R. Sell and R. Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear
evolutionary equations, J. Differential Equations, 309-353.

[4] B. García-Archilla, J. Novo and E. Titi (1999), An approximate inertial
manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the
Navier-Stokes equations, Math. Comp. 68, 893-911.

[5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N-sphere and in the
plane, and some applications, Proc. Lond. Math. Soc. 67, 159-182.

[6] L.G. Margolin, E. Titi and S. Wynne (2003), The postprocessing Galerkin
and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view,SIAM
J. Numer. Anal. 41, 695-714.

[7] G. Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de
systèmes variationels a des sous-espaces, J. Math. Pures Appl. 57, 133-156.
[8] R. Temam (1979), Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical

Analy-sis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland.

[9] R. Temam (1995),Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional
Anal-ysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia.

[10] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics
and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag.

</div>

<!--links-->