Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1014.65 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 12 THPT 
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số yx33mx23 2( m3)x1.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 
hàm số nghịch biến trong khoảng  ; .

 

1 1

2 2

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 19 3 x2 4x24x24 6 2  x 12 3x.
2. Giải hệ phương trình: x y x x y

x y x y x x y

     





         



3 3 2

2 2

3 6 3 4

4 2 8 5 6 4 3 14 0

Câu 3. (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức













a b

P a b

b c bc c a ca

   

   

2 2

3
4

5 5

Câu 4. (2,0 điểm) Bạn An vẽ lên giấy một đa giác lồi

 

H có số cạnh nhiều hơn 4. Sau đó bạn An đếm
các tam giác nhận đỉnh của đa giác làm đỉnh và nhận xét: số tam giác khơng có cạnh chung với

 

H
nhiều gấp 5 lần số tam giác có đúng một cạnh chung với

 

H .Hỏi bạn An vẽ đa giác lồi có bao nhiêu
cạnh?

Câu 5. (6,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ(Oxy),cho tam giácABC AC



 AB



.Gọi D ; 

 

3
2

2 là chân đường

phân giác trong góc A E,



1 0,



là một điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn ABAE. Tìm tọa độ các đỉnh
, ,

A B C biết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là x2y2 x 2y30 0 và A có

hồnh độ dương.

2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ABC, 600,BC 2a. Gọi H là
hình chiếu vng góc của A trên BC. Biết SH vng góc với mặt phẳng



ABC



và SA tạo với mặt 
phẳng



SBC



một góc 300. Tính thể tích khối chóp .S ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng



SAC



theo a.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

(

,

)

n n n

x

a

x



x

n













 





2 3

3

1

4

8

1. Với a3, chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. Chứng minh rằng với mọi a[-2; ]6 , dãy (xn)có giới hạn hữu hạn.

--- HẾT ---

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3
HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 
Mơn thi: TỐN

Câu Ý Nội dung Điểm

1 
(3,0đ)

Ta có y'3x26mx3 2( m3)

Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  y'   , x  ; 

   

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) x , ; .

m x x m x

x

  

         

  

2 3 1 1

2 1 3

2 2 2 2

Xét hàm số ( )f x x

x





2

2 2 trên khoảng ;

 

 

 

1 1
2 2

Ta có





( )( )

'( ) x x , ;

f x x

x

   

     

 

 2

1 2 6 1 1

2 2

Từ bảng biến thiên suy ra m 13.
4

0,5

0,5 
0,5

0,5

2 
(4,0đ)

1 
(1,0đ)

Giải: Điều kiện:   3 x 2.

Phương trình đã cho tương đương với

19 3 x4 2



x



3x



6



2 x 2 3x



Đặt t 2 x 2 3x ta có t2 14 3 x4 2



x



3x



,
Phương trình trở thành: t t t

t



     



2 6 5 0 1

Với t1 ta có 2 x 2 3  x 1 3x13 4 2



x



3x



0 Phương
trình vơ nghiệm do   3 x 2.

Với t5 ta có











x x x x x x

           

2 2 3 5 2 4 3 4 2 3 25

0,5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4









( )

x

x x x

tmđ
x
x
x x
k
 

       
     

 

  
   

2
2
2
2
11
3

4 6 11 3

16 6 11 3

25 50 25 0

Vậy phương trình có nghiệm x1.

0,5

2 
(2,0đ)

 

x y x x y

x y x y x x y

     




         



3 3 2

2 2

3 6 3 4 1

4 2 8 5 6 4 3 14 0 2

Điều kiện: x
x y
  


   

6
5

4 3 14 0

 

1 y33y 



1 x



33 1



x



( )3

Xét hàm số f t( ) t3 3t t, R ta có f t'( )3t2   3 0 t R , hàm số f
đồng biến trên R nên từ

 

3 ta có y 1 x.

Thế vào

 

2 ta có phương trình:

 

x2 x  x  x 

2 4 9 5 6 7 11 0 4 ( điều kiện x 6

5 )



 



x x x x x x

2 22  4  2 5 6   3 7 11







x

 

x

 

x

 

x



x x

x x x x

     

    

     

2 2

2 2 5 6 3 7 11

2 2

2 5 6 3 7 11





 

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

   
    
     
   

   
      

2 2
2
2
2 2
2 2

2 5 6 3 7 11

2 0

1 1

2 5 6 3 7 11

Với x 6
5 ta có

x  x x  x       

1 1 1 1 65

6 6 36

2 5 6 3 7 11 2 3

5 5

Do đó phương trình

 

* vơ nghiệm, phương trình

 

4 có hai nghiệm

, .

x 1 x2

0,5

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm



1 2;

 

; 2 1;



. 0,5

3 
(2,0đ)

















a a a

b c  bc  b c  b c  b c

2 2 2

2 2 2 2

4
5

5 9

Tương tự ta có









b b

ca  ca ca

2 2
2 2
4
5 9



 























a b a b

P a b a b

b c c a
b c c a

a b c a b

a b
ab c a b c

   
          
 
 
 
 
    
    
  
 
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2

4 3 2 3

9 4 9 4

2 3
9 4

























a b

c a b

a b c

c
a b

c a b c

  
 
   
 
        

    
  
 
 
2
2
2
2 2
2
2

2 2 3 8 2 3

1 1

9 4 9 1 4

Xét





 

( ) , ; .

f c c c

c
 
      

 
2
2

8 2 3

1 1 0 1

9 1 4 f c'( )  c .

3
Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra f c( ) 1, c

 

0 1; .

Ta có P f c( ) 1

9 dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c .
1
3
Vậy minP 1.

9
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
4 
(2,0đ)

Gọi n (n4) là số cạnh của đa giác.

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác Cn3

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 1 cạnh chung với (H) là
( )

n n4

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và có 2 cạnh chung với (H) là n
Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và khơng có cạnh chung với (H) là

( )

n

C3n n 4 n

Theo giả thiết Cn3n n(   4) n 5n n( 4).
Giải phương trình này, ta được n35

0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
1

(3,0đ)

Gọi H AIDE.

Ta có AB AE BAD, EAD và AD chung nên
.

ABD AED AED ABC

    

Ta có HAEICA AIC  ABC.
0

180

Suy ra AEDHAE ABC



900ABC



900 AHE900.
Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ; ,R .

 

1 5 5

2 2

Phương trình đường thẳng AI: 2x  y 2 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ:

x

y
x y

x y x y x

y

 



 

  

 

 

       

 

 



2 2

2 2 0

2 30 0 3

Do A có hoành độ dương nên A

 

2 6; .
Phương trình đường thẳng AD: x 2 0.

Gọi A' là giao điểm thứ 2 của AD và đường tròn

 

C A' ;



2 4



.
Phương trình đường thẳng BC x: 2y 5 0.

Tọa độ B C, là nghiệm của hệ

x
y
x y

x y x y x

y

 



 

  

 

 

       

 

 



2 2

5
0

2 5 0

2 30 0 3

Suy ra

  





  

; , ;

B C

 




 


5 0 3 4

3 4 5 0

Do ACAB nên B

  

5 0; ,C  3 4;



1,0

0,5

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7
5

(6,0đ)

2 
(3,0đ)

Góc giữa SAvà mp SBC





là ASH 300. suy ra SAH600.
Ta có

 

tan .

AH AB AC a a a

a a

AH SH AH

    

    

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4

3
3

3 3

2 2

. .

SABC ABC

a a

V  SH S     a a 

1 1 3 1 3

3 3 2 2 4

Ta có CA CH CB. CH CA a.
CB

   2 

2 3

























d B SAC CB

d B SAC d H SAC

CH

d H SAC    

4 4

3 3

Hạ HE AC HK, SE, ta có





AC HE ACSHAC SHE ACHK mặt khác
HKSE suy ra HK(SAC). Vậy d B SAC





4HK

3
Ta có HECH.sin300 3a,

4 và .

a
HK
HK2  HS2 HE2  

1 1 1 3 5

Vậy d B SAC





2a 5.

0,5

0,5

Ta có

( n )( n n )

n n n

x x x

x    x  x       
2

2 3

2 4 8

3 1

2 2 0

4 8 8 khi 2xn 4

( n )( n )

n n n

x x

x    x  x      
2

2 3

2 4

3 1

4 4 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
6

(3đ)

1

(1,5đ)

Do đó nếu 2xn 4thì 2xn14. Do 2 x1 4 nên 2xn 4
Ta lại có:

( )( )

n n n

n n n n n n n

x x x

x 1x  x2 x3x     x 1x

2 4

3 1

4 8 8

Dãy (xn) tăng và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn.

Đặt limxn b. Ta có

( )
( )
b l

b b b b l

b




   

 


2 3

3 1

4 8

Vậy limxn 4.

0,5

2 
(1,5đ)

Từ ý 1, ta có 2 a 4 thì dãy (xn)có giới hạn hữu hạn.

Hiển nhiên với
a
a
a



 

 


0
2
4

thì dãy (xn)là dãy hằng nên có giới hạn hữu hạn.

Với 0 a 2, dễ dàng chứng minh được 0xn 2 và dãy giảm nên có giới
hạn

Với   2 a 0hoặc 4 a 6 thì 0x2 4 nên (xn)có giới hạn hữu hạn

Vậy với mọi a[-2; ]6 , dãy (xn)có giới hạn hữu hạn.

0,5

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang | 9
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết













 

 

 





















(

,

)

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>n</i>

<i>n</i>













 





3

1

1

4

8













































 

 

 









 

 

 



 



