Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
Trường THPT Mỹ Đức A

ĐỀ CHÍNH THỨC
---

KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 
Mơn: Tốn

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) 
--- oOo --- 
Họ và tên thí sinh: ………..….. Số báo danh: ………… 
Câu 1. (5 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác:

sin

sin 5

2cos

2

4 x



x











x















x













b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y



2sin

x



3sin cos

x



5cos

x

.
Câu 2. (4 điểm)

a) Cho n ,n2 hãy tính tổng

S

sau: S 2.1Cn2 3.2Cn34.3Cn4  ... n n



1



Cnn.
b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn



1;20 .



Tính

xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.
Câu 3. (5 điểm)

a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo
góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Cho dãy số

 

u

n được xác định bởi 1
1

1

2 3 ,

n

n n

u



u

n













 



Tìm cơng thức của số hạng tổng quát

u

n theo

n

.
Câu 4. (5 điểm)

Cho mặt phẳng

 



và hai đường thẳng chéo nhau

d d

1

,

2 cắt

 



tại

A B

,

. Gọi



là
đường thẳng thay đổi luôn song song với

 



, cắt

d

1tạiM, cắt

d

2 tại

N

.

Đường thẳng

d

qua

N

luôn song song với

d

1cắt

 



tại

N



a) Tứ giác

AMNN



là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm

N



.

c) Gọi

O

là trung điểm của AB I, là trung điểm của

MN

.

Chứng minh rằng

OI

là đường
thẳng cố định khi

M

di động.

Câu 5. (1 điểm)

Cho các số thực dương

x y z

, ,

thỏa mãn điều kiện:

xyz



1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

H

biết:













2 2 2

x y z y z x z x y

H

y y z z z z x x x x y y

  

  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11

Câu 1

5,0 đ Nội dung Điểm

a)
3,0 đ

sin sin 5 1 cos 2 1 cos 4

2 2

PT  x x    x      x

   

    0,5 đ

sinx sin5x sin 2x sin 4x

    0,5 đ

2sin 3 cos 2x x 2sin 3 cosx x

  0,5 đ

sin 3 0
cos 2 cos

x

x x




  

 0,5 đ

2 2

x k

x x k







  

   

0,5 đ
3
2
3
2
3
k
x
k

x k x

k
x




 


   




0,5 đ
b)

2,0 đ









2 2

2sin 3sin cos 5cos
1 cos 2
3

1 cos 2 sin 2 5.

2 2

3 3 7

cos 2 sin 2

2 2 2

y x x x x

x
x x
x x
  

   
  
0,5 đ

3 2 7

cos 2

2 x 4 2



 

   

  0,5 đ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số : min

7 3 2
2 2

y   đạt được tại

,
8

x  k k

0,5 đ

Giá trị lớn nhất của hàm số : max 7 3 2

2 2

y   đạt được tại ,
8

x  k k 0,5 đ

Câu 2

4,0 đ Nội dung Điểm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

2,0 đ



  









 











2
!
1

! !

1 2 !
2 ! 2 2 !

1 2

n

k
n

n
u k k

k n k
n n n

k n k

n n C  k n

 

 

     
   
0,5 đ







0 1 3 2



2 2 3 2

1 n n n ... nn

S n n C C C  C  0,5 đ





1 .2n

S n n  0,5 đ

b)
2,0 đ

Số phần tử của không gian mẫu là:

 

3
20

n   0,25 đ

Đoạn



1; 20



có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho

3 dư 2. 0,25 đ

Với mọi số tự nhiên n ta ln có n3 n n n



1



n1 3



Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số
đó chia hết cho 3.

0,5 đ

TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 3

6 khả năng xảy ra
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 3

7 khả năng xảy ra.
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 3

7 khả năng xảy ra.

TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số
chia 3 dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra

0,5 đ

Số kết quả thuận lợi là 3 3 3

6   7 7 6.7.7.3! 2666 0,25 đ
Xác suất cần tính là 63 73 733 6.7.7.3! 1333

20 4000

P     0,25 đ

Câu 3

5,0 đ Nội dung Điểm

a)
2,5 đ

Giả sử bốn góc A, B, C, D



A  B C D



theo thứ tự lập thành cấp số

nhân với công bội q . Ta có 2
3

B qA

C q A

D q A



 

 

0,5 đ

Ta có hệ 360

A B C D
D A

    
 





2 3



1 360

. 8

A q q q
A q A

    

 


0,5 đ
0,5 đ
2
24
q
A


 


 0,5 đ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4
b)

2,5 đ

Với mọi n  , ta có : 1





1 2 3 1 3 2 3

n n n

n n n n

u   u  u     u  0,5 đ
Xét dãy số

 

vn , với vn un3 ,n  n  . ta có vn12vn .

Do đó, dãy số

 

vn là 1 cấp số nhân có cơng bội q2 và số hạng đầu
bằng -2

0,5 đ
0,5 đ
Suy ra 1

1. 2

n n
n

v v q    0,5 đ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
Câu

4 
5,0 đ

Nội dung Điểm

a)
2,0 đ

0,5 đ

Có AM // NN’

Do d // d1 nên tồn tại mặt phẳng

 

 chứa d và d1 0,5 đ

   

 

'/ / .
, / /

AN

AN MN

MN MN

 

 

 

 




 0,5 đ

AMNN

 là hình bình hành 0,5 đ

b)
2,0 đ

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1. 0,5 đ
Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P)

cố định. 0,5 đ

N’ là điểm chung của (α) và (P) nên N'

   

  P 0,5 đ 
Gọi

   

  P b. Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b. 0,5 đ

c)
1,0 đ

0,5 đ

Dựng đường thẳng qua E và song song với d1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng 0 qua

N0 song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0. 0,5 đ

d

b
d2

d1

( )

I N

A

N'

B
M

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6
Câu 5

1,0 đ

Nội dung Điểm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 2 2

2 2

2 2 2

x yz y zx z xy

H

y y z z z z x x x x y y

x x xyz y y xyz z z xyz
y y z z z z x x x x y y

y y

x x z z

y y z z z z x x x x y y

  

  

  

  

  

  

0,25 đ

Đặt:













2 4

9
2

2 2 4

2 1

4 2

x x a b c

a y y z z

b z z x x y y a b c

c x x y y

z z a b c

    



   

      

 

   

 

   



0,25 đ

Khi đó

3 3

2 2 4 2 4 4 2

9
2

6 4

6 4.3. 3.

9
2

a b c a b c a b c

H

a b c

b a c c a b

a c a a b c

b a c c a b

a c a a b c

      

 

    

 

    

          

   

 

 

        

 



0,25 đ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh,
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh 
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng

TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở
các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam 
Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành
tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A

sin

sin 5

2cos

2cos

2

4

4

<i>x</i>



<i>x</i>



<sub></sub>







<i>x</i>

<sub></sub>





<sub></sub>







<i>x</i>



<sub></sub>









<i>y</i>



2sin

<i>x</i>



3sin cos

<i>x</i>

<i>x</i>



5cos

<i>x</i>

<i>S</i>







1;20 .



 

<i>u</i>

1

2

3 ,

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>u</i>

<i>n</i>







<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>



<i>u</i>

<i>n</i>

 



<i>d d</i>

,

 



<i>A B</i>

,



 



<i>d</i>

<i>d</i>

<i>N</i>