<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Quan hệ song song 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy là hai nửa đường thẳng song song
và nằm về cùng 1 phía với mp(ABC). M, N là hai điểm di động trên Bx, Cy
sao cho CM=2BN.

1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi
M, N di động trên Bx, Cy.

2. Gọi E là 1điểm thuộc AM và EM=1/3EA. IE cắt An tại F. Gọi Q là
giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ song song Bx, Cy và

mp(QMN) chứa 1 đường thẳng cố định.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng ABCD tâm O cạnh a. Mặt
bên tam giác SAB là tam giác đều. Ngoài ra SAD=900. Gọi Dx là đường

thẳng qua D và song song với SC.

1. Tìm giao điểm I của Dx và mp(SAB). Chứng minh AI//SB.

2. Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp với mp(AIC). Tính diện tích thiết
diện.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng ABCD cạnh a. Mặt bên tam
giác SAB đều. Biết <i>SB</i><i>SC</i><i>a</i> 3. Gọi H, K là trung điểm SA, SB; M là 1
điểm trên cạnh AD. Mp(HKM) cắt BC tại N.

1. Chứng minh KHNM là hình thang cân.

2. Đặt AM=x (0xa). Tính diện tích tứ giác MNHK theo a, x. Định

x để diện tích đó là nhỏ nhất.

3. Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; HN và KM.

Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong 1 mặt
phẳng.

1. Chứng minh rằng: CE//DF.

2. Gọi M, N là hai điểm trên AC và AD sao cho: <i>AM_AC</i> <i>AN_AD</i> và H, K
lần lượt là hai điểm trên BE và AF sao cho

<i>FA</i>
<i>FK</i>
<i>FB</i>
<i>FH</i>

 . Chứng minh MN và
HK song song.

3. Biết:  ₃1
<i>AD</i>
<i>AN</i>
<i>AC</i>
<i>AM</i>

;  ₃2
<i>FA</i>
<i>FK</i>

<i>FB</i>
<i>FH</i>

. Chứng minh NK và CE song
song.

Bài 5*_{: Cho hình chóp S.ABCD đáy kà hình thang với các cạnh đáy là AD=a,}
BC=b; I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAD, SBC.

1. Tìm các đoạn giao tuyến của (ADJ) và (SBC); (BCI) và (SAD).
2. Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mp(ADJ) và (BCI) giới hạn bởi
mp(SAB) và mp(SCD).

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của CA; CB. K là điểm
thuộc BD: BK=2KD.

1. Tìm giao điểm E của CD và mp(IJK). Chứng minh: DE=DC.
2. Tìm giao điểm F của AD và mp(IJK). Tính FA/FD.

3. Chứng minh: FK//IJ.

4. lấy M, N bất kỳ trên các cạnh AB, CD. Tìm MN(IJK).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là
trung điểm AB, CD.

1. Chứng minh: MN//(SBC); MN//(SAD).

2. Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh: SB//(MNP); SC//(MNP).
3. Gọi G1, G2 là trọng tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh: G1G2//

(SCD).

4. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAD) và (SBC); (MNP) và
(SAD); (MNP) và (SCD); (CG1G2) và (SAB).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O. Mặt
bên tam giác SBD cân đỉnh S. Điểm M tuỳ ý trên AO sao cho AM=x. Mp(P)
qua M và song song với SA, BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q.

1. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?

2. Cho SA=a. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, x. Định x để diện
tích đó là lớn nhất.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC; M là 1 điểm thuộc cạnh SB.

1. Dựng thiết diện qua M song song với SA, BC. Thiết diện là hình gì?
2. Tìm vị trí của M để thiết diện là hình thoi.

3. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD; M là điểm nằm
trong tam giác BCD. Đường thẳng (d) qua M và song song với GA cắt các
mặt phẳng (ABC); (ACD); (ADB) lần lượt tại P, Q, R.

1. Xác định P, Q, R.

2. Chứng minh khi M di động trong tam giác BCD thì đại lượng sau
khơng đổi: <i>T</i> <i>MP</i><i>MQ_AG</i> <i>MR</i>.

3. Tìm vị trí của M để tích: F=MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là
trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD.

1. Tìm I=GM(ABCD). Chứng minh I thuộc CD và IC=2ID.

2. Tìm J=AD(OMG). Chứng minh: JA=2JD.

3. Tìm K=SA(OMG). Chứng minh: KA=2KS.

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O’ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác
ABC, ABD.

1. Chứng minh rằng nếu: OO’//(BCD) thì: <i>_BDBC</i> <i>_ABAB</i> <i>_ADAC</i>



 .

2. Để OO’//(BCD) và OO’//(ACD) thì BC=BD và AC=AD.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là nửa lục giác đều với BC=2a,
AB=AD=CD=a. Tam giác SBD là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Biết SDAC.

1. Tính SO.

2. (P) là mặt phẳng qua M và song song với SD, AC. Xác định thiết
diện tạo bởi mp(P) (Phân rõ hai trường hợp).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1. Chứng minh rằng (P) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.

2. Tìm các giao điểm H, K của (P) với SB, SD. Chứng minh rằng:
<i>SM</i>

<i>SC</i>
<i>SK</i>
<i>SD</i>
<i>SH</i>

<i>SB</i>

<i>F</i>   không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

3. Thiệt diện của hình chóp tạo bởi (P) có thể là hình thang khơng? Tại
sao?

Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. M, P là hai điểm di động trên các cạnh
AD và BC sao cho AM=CP=x,(0<x<a). Một mặt phẳng qua MP và song song
với CD cắt tứ diện theo 1 thiết diện. Chứng minh rằng có 4 trường hợp thiết
diện tạo được. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện trong mỗi trường
hợp.

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB=2a;
AD=CD=a và mặt bên SAB là tam giác đều. (P) là mặt phẳng qua M và song
song với SA, CD. (P) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

1. Tứ giác MNPQ là hình gì/ Đặt Am=x. Tính diện tích MNPQ theo x.
2. Tìm quỹ tích giao điểm L của MQ và NP khi M chạy trên đoạn AD.
3. Chứng minh giao tuyến của mp(PAD) và mp(QBC) luôn qua 1 điểm

cố định? Chỉ rõ điểm cố định đó.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là giao điểm của AB và
CD, AD và BC, AC và BD. Một mặt phẳng (P) bất kỳ cắt SA, SB, SC lần
lượt tại A’, B’, C’.

1. Xác định giao điểm D’ của SD và (P). Tìm điều kiện của (P) để
A’B’//C’D’.

2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành. Khi đó
hãy chứng minh rằng: <i>SA_SA</i>' <i>SC_SC</i>'<i>SB_SB</i>' <i>SD_SD</i>'.

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC; O là 1 điểm nằm trong tam giác ABC. Qua O
vẽ các đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC cắt các mặt (SBC),
(SCA), (SAB) theo thứ tự tại A’, B’, C’.

1. Chỉ cách dựng A’, B’, C’.

2. Chứng minh rằng khi M di động trong tam giác ABC thì tổng sau
khơng đổi: <i>F</i> <i>OA_SA</i>'<i>OB_SB</i>'<i>OC_SC</i>'.

3. Xác định vị trí của O để: P=OA’.OB’.OC’ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD; G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng
(P0 di động cắt SA, SB, SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’.

Chứng minh rằng: 3 _'
'

'

' <i>SG</i>

<i>SG</i>
<i>SC</i>

<i>SC</i>
<i>SB</i>
<i>SB</i>
<i>SA</i>

<i>SA</i>




 .

Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đừng cao SO và O’ thuộc SO.
Mặt phẳng (P) qua O’ cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng
minh:

<i>k</i>
<i>SD</i>
<i>SB</i>
<i>SC</i>

<i>SA</i>    '

1
'

1
'
1
'
1

(Không đổi) khi (P) quay quanh O’.

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm SC. Mặt phẳng (P) di động qua AK các các cạnh SB, SD tại M, N. Đặt
SB/SM=x; SD/SN=y.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: P=1/x+1/y.

Hai mặt phẳng song song

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N là trung điểm SA, CD.

1. Chứng minh rằng: (OMN)//(SBC).

2. Gọi I là trung điểm của SE, J là điểm nằm trên (ABCD) và cách đều
AB, CD.Chứng minh: IJ//(SAB).

3. Giả sử hai tam giác ASD, ABC cân đỉnh A. Gọi AE, AF là các
đường phân giác trong của tam giác ACD, SAB. Chứng minh EF//(SAD).
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ 4 nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt
song song và cùng phía với mp(ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt 4 nửa đường
thẳng đó tại A’, B’, C’, D’.

1. Chứng minh: (Ax,By)//(Cz,Dt).

2. Chứng minh: A’B’C’D’ là hình bình hành.
3. Chứng minh: AA’+CC’=BB’+DD’.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có: Đáy lớn AB=3a,
AD=CD=a. Mặt bên SAB là tam giá cân đỉnh S với SA=2a.(P) là mặt phẳng
di động song song với (SAB) cắt AD, BC, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q.

1. Chứng minh rằng: MNPQ là hình thang cân.

2. Đặt AM=x (0<x<a). Định x để MNPQ ngoại tiếp được 1 đường trịn.
Tìm theo a bán kính đường trịn đó.

3. Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp điểm I khi M di
động trên AD.

4. Gọi J là giao điểm của MP và NQ.Chứng minh rằng: IJ song song
với 1 đường thẳng cố định và J thuộc 1 mặt phẳng cố định.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là
trung điểm SB. Biết tam giác ACE dều và AC=OD=a. Một mặt phẳng (P0 di
động song song với mp(ACE) và qua điểm I trên OD. (P) cắt AD, CD, SC,
SB, SA lần lượt tại M, N, P, Q, R.

1. Có nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR.

2. Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên OD.

3. Tính diện tích đa giác MNPQR theo a và x=DI. Tìm x để diện tích

đó là lớn nhất.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cạnh đáy AB, CD với

CD=kAB (0<k<1). S0 là diện tích tam giác ABC. (P) là mặt phẳng qua M trên
AD và song song với mp(SAB). Đặt DM/AD=x (0<x<1).

1. Xác định thiết diện tạo bởi mp(P). Tính diện tích thiết diện theo
S0,k,x.

2. Tìm x để diện tích nói trên bằng 1 nửa diện tích tam giác SAB.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Lấy M, P lần lượt
thuộc AD, SC sao cho: MA=xMD, PS=xPC (x>0).

1. Chứng minh rằng: MP luôn song song với 1 mặt phẳng () cố định.

2. Tìm giao điểm I của MP và mp(SBD).

3. Gọi () là mặt phẳng qua M; ()//(). Mp() cắt BD tại J. Chứng

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4. Tìm x để diện tích thiết diện tao bởi () bằng k lần diện tích SAB.

Bài 7: Cho lăng trụ ABCA’B’C’. Lấy M, N, P lần lượt thuộc AB’, AC’, B’C

sao cho: <i>x</i>

<i>CB</i>
<i>CP</i>
<i>A</i>
<i>C</i>

<i>N</i>
<i>C</i>
<i>AB</i>
<i>AM</i>





'
'

'

' .

1. Tìm x để (MNP)//(A’BC’). Tính diện tích thiết diện tạo bởi (MNP)
biết tam giác A’BC’ là tam giác đều cạnh a.

2. Tìm tập hợp trung điểm K của NP khi x thay đổi.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.Biết AC=a;
BD=b và tam giác BD đều. Gọi (P) là mặt phẳng qua I thuộc đoạn OC và
(P)//(SBD).

1. Xác định thiết diện tạo bởi (P).

</div>

<!--links-->