<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
<b>TRƯỜNG THCS LÊ TRUNG KIÊN </b>

<b>KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI </b>
<b>NĂM HỌC: 2019 – 2020 </b>

<b>MƠN THI: TỐN 9 </b>

<i>Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề bài ) </i>
<b>Câu 1 ( 3,0 điểm ). </b>

1. a) Giải phương trình sau: 2x25x 3  2x25x 7 5.
b) Giải phương trình: 2 2 2 2 2

3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0.

<i> </i> c) Cho 2

f (x) x 6x 12. Giải phương trình: <i>f(f(f(f(x))))</i> = <i>65539 .</i>

2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: <i>x2 + 4x + 1 = y4 .</i>

<b>Câu 2 ( 2,0 điểm ).</b>

a) Cho <i>A = a + b + c + m + n + p</i>, <i>B = ab + bc + ca – mn – np – pm </i> và <i>C = abc + mnp</i>.
Biết <i>a, b, c, m, n, p</i> là các số nguyên dương và cả <i>B, C</i> đều chia hết cho <i>A</i>. Chứng minh <i>A</i> là hợp
số .

b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức:

2

2 2 xy 1

x y 2

x y

  

 _ _ 



  . Chứng minh:

1 xy _{là một số hữu tỉ.}

c) Cho hai số <i>a</i> và <i>b </i>thỏa mãn a > 0, b > 0 . Xét tập hợp <i>T</i> các số có dạng: <i>T</i> = { <i>ax + by </i>},
trong đó <i>x</i> và y là các số thỏa mãn x,y > 0 và <i>x</i> + <i>y</i> = 1. Chứng minh rằng các số:

2ab

a b và ab
đều thuộc tập hợp T .

<b>Câu 3 ( 1,0 điểm ). </b>Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [ 0 ;4 ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức sau:

P xy(x y)  yz(y z)  zx(z x) .

<b>Câu 4 ( 3,0 điểm ). </b>Cho tam giác <i>ABC</i> nhọn ( <i>AB < AC</i> ). <i>M, N</i> nằm trên cạnh <i>BC</i> sao cho <i>M</i> nằm
giữa <i>N</i> và <i>B</i>. Lấy các điểm <i>P, Q</i> trên <i>AM, AN</i> sao cho <i>BP, CQ</i> cùng vng góc với <i>BC</i>. Gọi <i>K, J </i>lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>APQ</i>, <i>AMN</i> và <i>L</i> là hình chiếu của <i>K</i> trên <i>AJ</i>. <i>E </i>là trực
tâm tam giác <i>AMN</i>, <i>S</i> là hình chiếu của <i>E</i> trên <i>MN </i>và<i> F</i> là trung điểm của <i>MN</i>. <b> </b>

<b> </b> 1. Tính <i>AE</i> theo <i>MJ</i> và <i>MN.</i>

2. a) Gọi <i>R</i> là hình chiếu của <i>Q </i>trên đoạn thẳng <i>BP</i> và <i>D</i> là giao điểm của hai đường thẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b) Chứng minh rằng: <i>RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD. </i>

<b>Câu 5: ( 1,0 điểm ). </b>Cho a1, a2, …., an ( n 3) là các số thực. Chứng minh rằng: Khi đó a<i>i</i>, a<i>j</i>, a<i>k</i>
là độ dài ba cạnh của một tam giác, trong đó i, j, k là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 0 < i < j
< k  n. Biết rằng n số thực trên là các số thỏa mãn: (a₁ a₂ ....a )_n 2 3n 1 (a + a + .... + a )₁2 ₂2 _n2

3


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

<b>KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI </b>
<b>NĂM HỌC: 2019 – 2020 </b>

<b>MƠN THI: TỐN 9 </b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN </b>
<b> </b>

<b>A. LƯU Ý CHUNG </b>

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm tồn bài tính đến 0.25 và khơng làm trịn.

- Với bài hình học nếu học sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần
đó.

<b>B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM </b>

1

Câu Ý Lời giải Điểm

1 1 a. Giải phương trình: . ĐKXĐ: hoặc

Đặt , phương trình trở thành:

0.5

.

---
Khi đó, ta có: = a

( thỏa mãn ĐKXĐ ). 0.5

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = .

b. Cho Giải phương trình: <i>f(f(f(f(x))))</i> = <i>65539 .</i>

Theo đề bài, ta có: f(x) = . 0.25

---

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Khi đó: (x – 3)16

+ 3 = 65539 16 16

(x 3) 65536 2

    x 3 2

x 3 2
  
  _{  }

x 5
x 1
 
  _
 .
Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5; 1}.

0.2
5

0.2
5

0.5

c. Giải phương trình: 2 2 2 2 2

3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0.

Do x = 0 khơng là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình ban đầu
cho x2ta được

2 2

1 1

3 x 2 2 x 3 5 0

x x

   

      

   

    . Đặt y =

1
x

x

 thì phương trình trở
thành:

2 2 2 y 1

3(y 2) 2(y 3) 5 0 y 1 0 .
y 1
 
      _{   }
 

---

Suy ra :

1 1 5

x 1 x

x 2 _.

1 ₁ ₅

x 1 _x

x ₂

 _{ } _ 






 _{  } _ 

 _

Kết luận: Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1 5 1; 5

2 2
_{ } _ 
 
 
 
 .
2

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: <i>x2 + 4x + 1 = y4 .</i>

Nhân cả 2 vế của phương trình ban đầu, ta được phương trình mới tương đương với

phương trình đã cho: 4x2

+ 16x + 1 = 4y4 2 2

(2x 4 2y )(2x 4 2y ) 12

      .

---

Xét các cặp giá trị của x và y , ta được duy nhất x = –4, y = 1 thỏa mãn điều kiện đề
bài.

Kêt luận: Vậy x = – 4, y = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

Ta có:

2

2 2 xy 1

x y 2

x y
  
 _ _ 


 
2

2 xy 1

(x y) 2(xy 1) 0

x y
  
    _ _ 

 
2

2 xy 1 xy 1

(x y) 2(x y). 0

x y x y

 
 
    _ _ 
 _  _
2
xy 1

x y 0

x y

  
_   _ 

 
xy 1
x y
x y

  

2

1 xy (x y) 1 xy x y .

       

---

Vì x, y là các số hữu tỉ nên |x + y| là một số hữu tỉ, suy ra 1 xy là một số
hữu tỉ.

Kết luận: Vậy 1 xy là một số hữu tỉ.

0.25

0.25

Cho hai số <i>a</i> và <i>b </i>thỏa mãn a > 0, b > 0 . Xét tập hợp <i>T</i> các số có dạng: <i>T</i> =

{ <i>ax + by </i>}, trong đó <i>x</i> và y là các số thỏa mãn x,y > 0 và <i>x</i> + <i>y</i> = 1. Chứng
minh rằng các số:

2ab

a b và abđều thuộc tập hợp T .

2

a

Xét đa thức f(x) = (x + a)(x + b)(x + c) – (x – m)(x – n)(x – p). Khai triển và rút gọn,
ta được: 2

Ax Bx C.

---

Vì cả B và C đều chia hết cho A nên f(x) A x Z.Do đó đa thức f(m) A hay
(m+a)(m+b)(m+c) A.

---

Nếu A là số nguyên tố thì 1 trong 3 số trên phải có ít nhất một số chia hết cho A, vơ
lí vì đây đều là những số nguyên dương nhỏ hơn A. Do đó, A phải là hợp số<b> .</b>

Kết luận: Vậy A là hợp số.

0.5

0.5

0.2
5

0.2
5

b

Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn:

2

2 2 xy 1

x y 2.

x y

  

 _ _ 



  Chứng minh rằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

c

Ta tìm x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1 sao cho:
2

2ab ab b

= ax + by = ax (1 x) b (a b) x

a b a b



    

 

b a

x ,y

a b a b

  

  thỏa

mãn: ( x; y ) (0;1),x y 1.  Vậy 2ab T.
a b 

---

Chứng minh tương tự: abax by ax (1 x) b   (a b) x ab b .

ab b b a

x ,y

a b _a _b _a _b



   

 _ _ thoả mãn ( x; y ) (0;1),x y 1. 
Vậy abT.

---

Kết luận: Vậy các số
2ab

a b và abđều thuộc tập hợp T.

0.25

0.25

3

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [ 0 ;4 ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức sau:

P xy(x y)  yz(y z)  zx(z x) _.

0.25
Đặta x,b y,c z.Khi đó, ta có:

2 2 2 2 2 2

0 a,b,c 2; A  ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ). Do các số a, b, c có vai
trị hốn vị vịng quanh trong biểu thức A nên khơng mất tính tổng qt, ta
có thể giả sử a b,a c  .

Ta có: A = 2 2 2 2 2 2

Aab(a b ) bc(b c ) ca(c a )= 2 2 3 3 3
ab(a b ) b c c b c a  
–

3 2 2 2 2 2 2 2

a c ab(a b ) c(b a)(b    ba a c )ab(a b )( vì _{c(b a)} _{0; b}2_ba

2 2 2 2

a    c a c 0) 2 2 2
2b(a b ) 2b(4 b )

    (vì 0  b a 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

Đặt B = 2

2b(4 b ) 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số không âm, ta có:
3

2 2 2 10

2 2 2 2 2 2 2

3
2b 4 b 4 b 2
B 4b (4 b ) 2.2b .(4 b )(4 b ) 2 .

3 3
     
      _ _ 
 

---

Do đó: A B 32 3.
9

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2 2 2

2 2

2

2 2

a 2
c(b a)(b ab a c ) 0

b(a b )(2 a) 0 2 3

b .

3
b(4 a ) 0

c 0
2b 4 b


      



  
 _ _
 
 
 

 _{ } 
 

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của A là 32 3

9 đạt được khi (x; y; z) =
4
4; ; 0

3

 

 

  và
các hoán vị.

0.5

0.2
5

4
1

Tính <i>AE</i> theo <i>MJ</i> và <i>MN.</i>

0.2
5

0.2
5

0.2
5

0.2
5
Kẻ đường kính <i>AH</i> của đường tròn <i>( J ). </i>

Dễ thấy tứ giác <i>MECH</i> là hình bình hành, <i>F</i> là trung điểm của <i>MN</i> nên <i>F</i> cũng là
trung điểm của <i>EH.</i>

Suy ra <i>: JF</i> là đường trung bình của tam giác <i>AEH </i>AE2JF.
Mặt khác, <i>F</i> là trung điểm của <i>MN</i> nên MF 1MN

2

 và <i>JF</i> vng góc với <i>MN</i> tại<i> F</i>.

Áp dụng định lí Pythagores vào tam giác JFM vng tại F, ta có: 2 2
JF MJ MF
2

2 1 2 1 2

MJ MN MJ MN

2 4

 

 _ _  

  .

2 1 2

AE 2JF 2 MJ MN
4

    . Vậy AE = 2 MJ2 1MN2

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

2

a. Gọi <i>R</i> là hình chiếu của <i>Q </i>trên đoạn thẳng <i>BP</i> và <i>D</i> là giao điểm của hai đường t
thẳng <i>QR</i> và <i>AP</i>, kẻ đường kính <i>AT</i> của đường trịn <i>(K).</i> Chứng minh rằng: <i>AL. CQ </i>
<i>++ QR . KL = AL . BP </i>và <i>MS.MB.PD2</i> <i>= MA.MP.RD2. </i>

KALMAJ PAK MNH PQT (90 ANM) (90  AQP)AQP ANM

Vì MN // RQ ( cùng vng góc với BP ) nên ANM AQR( đồng vị ). Suy ra: KAL
AQP AQR PQR

   .

Khi đó: AKL QPR(g.g) AL QR
KL PR

  và AK QP
AL QR<b>(1)</b>

Từ AL QR

KL  PR AL.PR = QR. KL AL(BP BR) QR.KLAL .BP AL .

0.2
5

BR QR. KL AL. BR QR. KL AL. BP.

Dễ thấy tứ giác BCQR là hình chữ nhật nên BR = CQ. Suy ra: AL. CQ QR. KL
AL. BP

 .

---

MSA

 MBP(g.g) MS MA

MB MP

  <b>(*)</b>; PRD PBM(g.g) RD PD

BM PM

 

RD.PM BM.PD

BM ; MP

PD RD

  

---

Khi đó, <b>(*)</b> tương đương với: MS MA MS.PD MA.RD

RD.PM BM.PD RD.PM BM.PD

PD RD

   

MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2.

Vậy AL. CQ QR. KL AL. BPvà MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2.

0.2
5

0.2
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9
PTQMHN( cùng bù với MAN) PTKKTQMHANHA

180 PKT 180 TKQ 180 MJH 180 HJN

2 2 2 2

       

    360 PKQ 360  MJN

PKQ MJN

  .

Mà: JM KP( 1)

JN KQ  nên JMN KPQ(c.g.c)

JM MN

KP PQ

  <b>(2) </b>

<b></b>
<b>--</b>

---Lại có: AJ AK( 1) AJ JM
JM  KP   AK KP <b>(3) </b>
Từ <b>(1), (2) và (3)</b> ta có:

AJ AJ AK JM QP MN QP MN

. . .

AL  AK AL KP QR PQ QR QR , mà QR = BC ( do BCQR là hình chữ
nhật ) nên: AJ

AL

MN
BC

 .

---

Suy ra: AL JL BC BM NC 1 JL 1 BM NC

AL BC AL BC BC

 _   _{ } _{ } _ BM NC JL

BC BC AL

   .

Mà BM RD.PM
PD

 (chứng minh trên ) nên RD.PM NC JL
PD.BC BCAL
RD.PM NC.PD JL

PD.BC AL


   RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD.

Vậy RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD.

5

0.2
5

0.2
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

5

Giả sử có 3 số nào đó khơng là độ dài ba cạnh của một tam giác, chẳng hạn là a1, a2,
a3

và a1 + a2 < a3. ( 1 )

---

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy, mỗi dãy có n – 2 số thực :
+ Dãy 1: 2 2 2

1 2 3 4 5 n

a a a ,a ,a ,....,a .
+ Dãy 2: 8

3và n – 3 số 1

Ta có:

2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 n 1 2 n

8 8

(a a a ) a a .... a n 3 (a a .... a )

3 3

  _ _

           

  _ _

  _ _

 

2

3n 1  8 

0.2
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11





2 ₂ ₂ ₂ 2

1 2 3 1 2 3 4 5 n

8

a a a (a a a ) a a .... a

3

 

  _       _

 

2 2 2

1 2 3 1 2 3

8

a a a (a a a )

3

      2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

3(a a a ) 8(a a a )

     

2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

5(a a a ) 6(a a a a a a )

      ( 2).

---

Giả sử: a₃ a₁ a₂x ( x > 0 ), thay vào ( 2 ) ta được:

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

5 a_ a (a a x) _6 a a_ (aa )(a a x)_.
Khai triển và rút gọn, ta được: 2 2 2

1 2 1 2 1 2

4(a a ) 8a a 5x 4x(aa )0 hay

2 2

1 2 1 2

4(aa ) 5x 4x(aa )< 0. Bất đẳng thức này không xảy ra do biểu thức ở vế
trái luôn dương. Vậy giả thiết (1 ) là sai.

Kết luận: Vậy a<i>i</i>, a<i>j</i>, a<i>k</i> là độ dài ba cạnh của một tam giác, trong đó i, j, k là các số
tự nhiên thỏa mãn điều kiện 0 < i < j < k  n

0.2
5

0.2
5

<b> HẾT </b>

<b> </b>

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Website HOC247 cung cấp một môi trường <b>học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội </b>
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>
danh tiếng.

<b>I.</b> <b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b> Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường

Chuyên khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn.</i>

<b>II.</b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Tốn Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn <b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp </b>
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn</i> cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->