ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN THỊ THU HÀ

ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ
VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN THỊ THU HÀ

ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ
VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phan Đức Tuấn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS. Phan Đức Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt
quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy
cơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong
lớp Phương pháp Toán sơ cấp K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập tại lớp.
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hà


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN

.................................................................. 5
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1.1. Hàm số. Hàm số đơn điệu. Hàm số bị chặn . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Các định nghĩa về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số . . . . . . . . . . . . 11
1.2. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. Bậc của vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4. Vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5. Các vô cùng bé tương đương bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3. Bậc của vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4. Vô cùng lớn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.5. Các vô cùng lớn tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24



CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG VÀO GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . 26
2.1. ÁP DỤNG VÀO TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1. Khử dạng vô định 0/0 khi x → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2. Khử dạng vô định 0/0 khi x → x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.3. Khử dạng vô định ∞/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4. Khử dạng vô định ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.5. Khử dạng vô định 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.6. Khử các dạng vô định 1∞ ; 00 và ∞0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. MỘT SỐ SAI LẦM KHI ÁP DỤNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG
ĐƯƠNG

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1. Sai lầm khi thay tương đương vào hiệu . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2. Sai lầm khi thay tương đương trong hàm . . . . . . . . . . . . 42
CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG VÀO TÍCH PHÂN SUY RỘNG 44
3.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.1. Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.1.2. Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.3. Các tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. ÁP DỤNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG


. . . . . . . . . . . 58

3.2.1. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . 60
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Một phần rất quan trọng của Tốn học là giải tích, bởi: Giải tích là
nền tảng của Tốn học, giải tích là con đường, là trung tâm của Toán học,
là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác.
Khi nói đến giải tích khơng thể khơng nhắc đến Giới hạn. Đề cập đến vai
trò của chủ đề Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao)
đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thể
nói: Khơng có Giới hạn thì khơng có Giải tích, hầu hết các khái niệm của
Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Chủ đề Giới hạn có vai trị hết
sức quan trọng trong tốn học phổ thơng cịn bởi lẽ: “Khái niệm Giới hạn
là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm
và tích phân. Đây là nội dung bao trùm chương trình Giải tích trung học
phổ thơng”.
Trong chương trình Tốn trung học phổ thông, phần giới hạn của hàm số
nằm ở học kỳ II của Toán lớp 11 và một vài dạng toán liên quan ở lớp 12.

Các bài toán về giới hạn hàm số cũng được xem là một trong những dạng
toán khó ở bậc trung học phổ thơng.
Ở bậc cao đẳng, đại học, giới hạn hàm số được đưa vào học phần
Giải tích 1. Ở đây, giới hạn được nghiên cứu sâu hơn cả lý thuyết và cũng
như hệ thống các bài tập phong phú và đa dạng hơn. Sinh viên được dạy
nhiều phương pháp để tìm giới hạn hàm số, chẳng hạn: Phương pháp dùng
các giới hạn cơ bản, phương pháp L’Hospital, phương pháp thay thế các
vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương, phương pháp sử dụng công thức
khai triển Taylor...
Với mong muốn tìm ra một cơng cụ đơn giản nhưng hiệu quả trong


2

việc giải các bài toán về giới hạn và cùng với sự định hướng của thầy giáo
TS. Phan Đức Tuấn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn,
vô cùng bé và áp dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức liên quan đến giới hạn hàm số và
một số phương pháp tìm giới hạn hàm số, luận văn trình bày, tổng hợp, sắp
xếp lại lý thuyết về các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, cũng như các
phương pháp giải cho các bài tốn về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụ
của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương
đương. Luận văn cũng tập trung vào nghiên cứu một số cách thức sáng
tạo ra các bài tốn về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụ của tích phân
suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Cũng
như các sai lầm thường mắc phải khi sử dụng các đại lượng vô cùng bé,
vô cùng lớn tương đương trong việc tìm giới hạn hàm số.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Lý thuyết giới hạn hàm số.

- Các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
- Các phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét sự
hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn
tương đương.
- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về giới hạn hàm số
và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vơ cùng bé,
vô cùng lớn tương đương.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết giới hạn hàm số, các vô cùng bé, vô cùng lớn tương
đương, các phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về giới hạn hàm số


3

và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn
tương đương.
5. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp dụng” tôi đã sử
dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.
+ Áp dụng phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét
sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn tương
đương.
+ Sáng tạo ra các phương pháp giải dựa trên bài toán gốc.
+ Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các
kết quả đang nghiên cứu.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Luận văn góp phần bổ sung thêm các tính chất liên quan đến các
đại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Đưa ra được mối quan hệ
tương đương giữa các hàm sơ cấp.

6.2. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên
ngành tốn, giáo viên phổ thơng giảng dạy toán và các đối tượng quan tâm
đến các phương pháp giải bài toán giới hạn và xét sự hội tụ của tích phân
suy rộng.
7. Cấu trúc luận văn
Ngồi Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận
và Kiến nghị, danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được
chia thành ba chương:
Chương 1. Các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn. Trong chương 1,


4

luận văn trình bày gồm 3 mục. Mục 1.1, trình bày các định nghĩa, khái niệm
và tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; Mục 1.2, trình bày về đại lượng
vơ cùng bé; Mục 1.3, trình bày về đại lượng vơ cùng lớn.
Chương 2. Áp dụng vào tính giới hạn hàm số. Trong chương 2, luận văn
trình bày gồm 2 mục. Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm số
bằng đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn; Mục 2.2, trình bày một số sai lầm
thường mắc phải khi áp dụng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
Chương 3. Áp dụng vào xét sự hội tụ của phân suy rộng. Trong chương 3,
luận văn trình bày gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày một số kiến thức
liên quan của tích phân suy rộng; Mục 3.2, trình bày về việc xét sự hội tụ
của tích phân suy rộng loại I, loại II.


5

CHƯƠNG 1


ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN

Chương này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số,
giới hạn hàm số và một số tính chất cơ bản của giới hạn hàm số cũng như
khái niệm và tính chất của đại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn, quy tắc
L’Hospital và khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số.
Trong tồn bộ luận văn, chúng tơi quy ước viết tắt vô cùng lớn (VCL),
vô cùng bé (VCB).
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Mục này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số, giới
hạn hàm số; các tính chất cơ bản của giới hạn hàm số; quy tắc L’Hospital
và khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số.

1.1.1. Hàm số. Hàm số đơn điệu. Hàm số bị chặn
Định nghĩa 1.1.1 ([5]). Cho D là một tập con không rỗng của R. Một
ánh xạ f từ D vào R gọi là một hàm số một biến số thực, kí hiệu
f: D → R
x → f (x)
hoặc đơn giản là y = f (x), x ∈ D. Khi đó,
Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập, D gọi là
tập xác định của hàm số f . Đại lượng y gọi là hàm số và tập hợp E được
định nghĩa bởi E = {f (x), x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f .
Về sau nếu cho hàm số y = f (x) thì ta kí hiệu Df là tập xác định của

f và Ef là tập giá trị của f .


6

Định nghĩa 1.1.2 ([5]). Hai hàm số y = f (x) và y = g(x) được gọi là

bằng nhau nếu Df = Dg và đẳng thức f (x) = g(x) thỏa mãn với mọi

x ∈ Df .
Định nghĩa 1.1.3 ([10]). Ký hiệu D là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa
khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên D ta nói
i) y = f (x) được gọi là hàm đồng biến (hay tăng thật sự) trên D nếu

∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
ii) y = f (x) được gọi là tăng (theo nghĩa rộng) trên D nếu

∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Hàm nghịch biến (hay giảm thực sự) và hàm giảm (theo nghĩa rộng)
trên D được định nghĩa tương tự.
iii) y = f (x) được gọi là hàm đơn điệu nếu nó thuộc một trong bốn lớp
hàm đã được liệt kê ở trên.
Định nghĩa 1.1.4 ([6]). Hàm y = f (x) với miền xác định Df được gọi là:
i) Bị chặn trên (trên Df ) nếu f (Df ) là tập hợp bị chặn trên, tức là

∃M : ∀x ∈ Df ⇒ f (x) ≤ M.
ii) Bị chặn dưới (trên Df ) nếu tập hợp f (Df ) bị chặn dưới, tức là

∃m : ∀x ∈ Df ⇒ f (x) ≥ m.
iii) Bị chặn (trên Df ) nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới.
Nhận xét 1.1.5. Hàm y = f (x) không bị chặn nếu với số M > 0 bất kì
tồn tại x ∈ Df sao cho |f (x)| > M .


7

1.1.2. Các định nghĩa về giới hạn hàm số

Cho I là một khoảng của R, không rỗng và cũng không thu về một
o

điểm. Kí hiệu I chỉ khoảng đóng cùng có mút với I và I chỉ khoảng mở có
cùng mút với I .
Định nghĩa 1.1.6 ([5], Giới hạn hữu hạn). Cho f : I → R, l ∈ R
i) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là l tại a khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| ≤ η ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.

ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là l tại +∞ khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.
iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là l tại −∞ khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃B ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.

Khi f có giới hạn l tại a (l ∈ R), ta nói rằng f có giới hạn hữu hạn

tại a.

Định nghĩa 1.1.7 ([5], Giới hạn vô cùng). Cho f : X → R.
i) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là +∞ tại a nếu và chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ f (x) ≥ A.

ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại +∞ nếu và
chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃A′ ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A′ ⇒ f (x) ≥ A.

iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại −∞ nếu và
chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃B ′ ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ′ ⇒ f (x) ≥ A.
Ta nói, f có giới hạn −∞ tại a a ∈ I ∪ {−∞, +∞} nếu và chỉ nếu −f
có giới hạn +∞ tại a.


8

Định nghĩa 1.1.8 ([5], Giới hạn một bên). Cho hàm số f : I → R, a ∈ I ,
l ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Ta nói f có giới hạn trái (tương ứng: phải) tại a là l
nếu và chỉ nếu thu hẹp f |(−∞;a)∩I (tương ứng: f |(a;+∞)∩I ) có giới hạn tại
a là l.
Ví dụ 1.1.9. Nếu l ∈ R, f có giới hạn phải tại a là l nếu và chỉ nếu:

∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ I, (0 < x − a ≤ η ⇒ |f (x) − l| ≤ ε).

Khi f có giới hạn trái (tương ứng: phải) tại a là l, ta kí hiệu

l = lim− f (x) hay l = lim
f hay f (x) → l khi x → a− hay l = f (a− ).
−
x→a

a

(tương ứng: l = lim+ f (x) hay l = lim
f hay f (x) → l khi x → a+ hay
+


l = f (a+ )).

x→a

a

1.1.3. Tính chất của giới hạn
Mệnh đề 1.1.10 ([5], Tính duy nhất của giới hạn). Nếu f nhận l và l′
làm giới hạn tại a, thì l = l′ .
Chứng minh. Ta giả thiết, chẳng hạn a ∈ I và (l, l′ ) ∈ R2 , vì các

trường hợp khác cũng tương tự.
Lập luận phản chứng: Giả sử f nhận l và l′ làm giới hạn tại a và l = l′ .
1
Đặt ε = |l′ − l| > 0. Tồn tại η1 > 0 và η2 > 0 sao cho
3
|x − a| ≤ η1 ⇒ |f (x) − l| ≤ ε
∀x ∈ I,
.
|x − a| ≤ η2 ⇒ |f (x) − l′ | ≤ ε
Đặt η = M in(η1 , η2 ) > 0.

Rõ ràng tồn tại x0 ∈ I sao cho |x0 − a| ≤ η.
Do đó
|l′ − l| = |l′ − f (x0 ) + f (x0 ) − l| ≤ |f (x0 ) − l′ | + |f (x0 ) − l| ≤ 2ε

2 ′
|l − l| , mâu thuẫn.
3

Điều này chứng tỏ tính duy nhất của giới hạn hàm số.
=


9

Mệnh đề 1.1.10 chứng tỏ rằng: Nếu f có giới hạn là l tại a, ta nói l là
giới hạn của f tại a và kí hiệu

l = lim f (x).
x→a

Mệnh đề 1.1.11 ([5]). Nếu hàm số f : I → R có giới hạn hữu hạn tại

a ∈ I thì f bị chặn trong một lân cận của a.

Chứng minh. Ta giả thiết, chẳng hạn a ∈ I , vì các trường hợp a = +∞,

a = −∞ cũng tương tự.
Tồn tại η > 0 sao cho

∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ |f (x) − l| ≤ 1
⇒ |f (x)| ≤ |f (x) − l| + |l| ≤ 1 + |l|

Vậy f bị chặn trong lân cận của a.

Mệnh đề 1.1.12 ([5]). Cho a ∈ I ∪ {−∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R,
(c, d) ∈ R2 . Giả sử f có giới hạn là l tại a.
i) Nếu c < l, thì trong lân cận của a : c < f (x).
ii) Nếu l < d, thì trong lân cận của a : f (x) < d.

iii) Nếu c < l < d, thì trong lân cận của a : c < f (x) < d.
Chứng minh.
i) Vì f (x) → l khi x → a và l − c > 0 nên tồn tại η1 > 0 sao cho với mọi

x thuộc I

1
|x − a| ≤ η1 ⇒ |f (x) − l| ≤ (l − c) < l − c
2
⇒ −f (x) + l < l − c ⇒ c < f (x).

ii) Cũng vậy, tồn tại η2 > 0 sao cho

∀x ∈ I, (|x − a| ≤ η2 ⇒ f (x) < d).
iii) Đặt η = M in(η1 , η2 ) > 0

∀x ∈ I, (|x − a| ≤ η ⇒ c < f (x) < d).


10

Định lí 1.1.13 ([9]). Giả sử lim f (x) = L, lim g(x) = M (L, M ∈ R).
x→a

x→a

Khi đó

i) lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;
x→a


ii) lim [f (x) · g(x)] = L · M ;
x→a

Đặc biệt, nếu C là hằng số thì lim [C · f (x)] = C · L;
x→a

L
f (x)
= .
x→a g(x)
M

iii) Nếu M = 0 thì lim

1.1.4. Quy tắc L’Hospital
Định lí 1.1.14 ([6]). Nếu các hàm số f (x) và g(x) xác định và liên tục
trong lân cận nào đó của điểm x0 , trong đó x0 là một số hay ∞ và khi

x → x0 cả f (x), g(x) đều tiến tới 0, còn các đạo hàm f ′ (x), g ′ (x) tồn tại
f ′ (x)
trong lân cận nói trên (có thể trừ điểm x0 ) và tồn tại giới hạn lim ′
x→x0 g (x)
hữu hạn hay vơ hạn thì
f (x)
f ′ (x)
lim
= lim ′ .
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)

Chứng minh. Ta chứng minh định lý trong trường hợp x → x+
0 . Trường
hợp x → x−
0 được lặp lại tương tự.

Đặt f (x0 ) = g(x0 ) = 0. Với mọi x ∈ (x0 , b), các hàm số f (x) và g(x)
liên tục trên [x0 ,x] và có các đạo hàm hữu hạn trên khoảng (x0 , x).
Ngoài ra, g ′ (t) = 0 với mọi t ∈ (x0 , x) (với x đủ gần x0 ). Theo định lý
Cauchy, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (x0 , x) sao cho
f (x) f (x) − f (x0 ) f ′ (x)
=
= ′ .
g(x)
g(x) − g(x0 )
g (x)
f ′ (x)
→ l.
Khi x → x0 và x > x0 thì c → x0 . Theo giả thiết, ta có ′
g (x)
Do đó,
f (x)
lim+
= l.
x→x0 g(x)


11

Nhận xét 1.1.15 ([4]).
1) Quy tắc L’Hospital vẫn đúng nếu

i) lim f (x) = 0, lim g(x) = 0;
x→∞

x→∞

ii) lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞;
x→x0

x→x0

iii) lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞.
x→∞

x→∞

0
∞
f ′ (x)
2) Nếu lim ′
vẫn có dạng hay
, các hàm số f ′ (x), g ′ (x) vẫn
x→x0 g (x)
0
∞
thỏa mãn các giả thiết của quy tắc L’Hospital, ta có thể áp dụng
quy tắc đó một lần nữa.
1.1.5. Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số
Định nghĩa 1.1.16 ([12]). Hai hàm a(x) và b(x) cho trước xác định trong
một lân cận nào đó của điểm x0 thì khi x → x0 hàm b(x) biểu diễn được


dưới dạng

b(x) = a(x) + o(a(x)).
Khi đó hàm a(x) được gọi là phần chính của hàm b(x).
Định lí 1.1.17 ([12], Cơng thức Taylor). Giả sử hàm số f có đạo hàm
đến cấp n liên tục trên đoạn I = [α; β] và có đạo hàm cấp n + 1 trên
khoảng (α; β). Nếu a, b ∈ I thì tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a; b)
nếu a < b, c ∈ (b; a) nếu a > b) sao cho
f ′′ (a)
f ′ (a)
(b − a) +
(b − a)2 + ...+
f (b) = f (a) +
1!
2!
(n)
f (n+1) (c)
f (a)
(b − a)n +
(b − a)n+1 .
n!
(n + 1)!
Công thức (1.1) gọi là công thức Taylor, biểu thức

f (n+1) (c)
Rn =
(b − a)n+1
(n + 1)!
được gọi là phần dư dạng Lagrăng.


(1.1)


12

Nếu a = 0 thì (1.1) được gọi là cơng thức Maclaurin.
Hệ quả 1.1.18. Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp thường dùng:
x2
xn
x
1) e = 1 + x + + ... + + o(xn ), (x ∈ R).
(1.2)
2!
n!
x3 x5
x2n−1
2) sin x = x− + −...+(−1)n−1
+o(x2n ), (x ∈ R).
(1.3)
3! 5!
(2n − 1)!

3) cos x = 1 −

x2 x4
x2n
+ − ... + (−1)n
+ o(x2n+1 ), (x ∈ R).
2! 4!
(2n)!


(1.4)

4)

1
= 1 − x + x2 − .... + (−1)n xn + ..., (−1 < x < 1) .
1+x

(1.5)

5)

1
= 1 + x + x2 + .... + xn + ..., (−1 < x < 1) .
1−x

(1.6)

n
x2 x3
n−1 x
6) ln(1+x) = x− + −...+(−1)
+o(xn ), (−1 < x < 1). (1.7)
2
3
n
2n+1
x3 x5
n x

7) arctan x = x − + − ... + (−1)
+ ..., (−1 ≤ x ≤ 1) . (1.8)
3
5
2n + 1

1 x3 1 · 3 x5
1 · 3 · 5... (2n − 1) x2n−1
8) arcsin x = x + · +
· + ... +
+ ...,
2 3
2·4 5
2 · 4 · 6...2n (2n + 1)
(−1 < x < 1) . (1.9)
9) (1 + x)n = 1 + nx +

n · (n − 1)...(n − k + 1) k
n · (n − 1) 2
x + ... +
x
2!
k!
+ ..., (−1 < x < 1). (1.10)

Nhận xét 1.1.19. Khai triển Taylor cho ta công thức đơn giản và cũng
rất tổng quát để xác định phần chính của hàm số. Do đó, để đơn giản hóa
trong việc tìm giới hạn nhờ cơng thức Taylor, ta thường tiến hành theo
các bước sau:
1) Khai triển Taylor của các hàm số cần tính giới hạn.

2) Tìm phần chính (ở tử số và mẫu số của phân thức) với độ chính xác
tương ứng cho trước.


13

3) Sử dụng tính chất của đa thức và định lí về giới hạn để suy ra kết quả
cần tìm.
1.2. ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉ
Mục này dành cho việc trình bày một số kiến thức liên quan đến đại
lượng vô cùng bé.

1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1 ([10]). Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé nếu

lim α (x) = 0.

x→x0

Ký hiệu là: VCB(x → x0 ).

1.2.2. Tính chất
Mệnh đề 1.2.2. Nếu lim f (x) = A ∈ R thì (f (x) − A) là VCB(x → x0 ).
x→x0

Định lí 1.2.3 ([10]). Giả sử α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ) và f (x) là
hàm bị chặn trong lân cận của x0 . Khi đó:
i) α (x) ± β (x) là VCB(x → x0 ).
ii) α (x) · β (x) là VCB(x → x0 ).
iii) α (x) · f (x) là VCB(x → x0 ).

Nhận xét 1.2.4. Nếu α(x) và β(x) là hai VCB(x → x0 ) thì chưa thể
α (x)
kết luận về thương
là VCB(x → x0 ).
β (x)

1
và 2x2 là hai VCB(x → 0). Ta có
x
1
1
x2 sin
sin
x = lim
x = 1 lim sin 1
lim
x→0
x→0
2x2
2
2 x→0
x

Ví dụ 1.2.5. x2 sin


14

1
Nhưng không tồn tại lim sin .

x→0
x
1
2
x sin
x là VCB(x → 0).
Nên không thể kết luận
2
2x
Từ Nhận xét 1.2.4 đặt ra cho ta câu hỏi: Liệu rằng có thể so sánh hai
VCB(x → x0 ) với nhau được hay không? Cần căn cứ vào tiêu chí nào để
so sánh chúng?
Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết được bậc của các vô cùng bé.

1.2.3. Bậc của vô cùng bé
Định nghĩa 1.2.6 ([10]). Giả sử α(x), β(x) là các VCB(x → x0 ).

α(x)
= 0, ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x).
x→x0 β(x)

i) Nếu lim

α(x)
= c ∈ R\ {0}, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCB
x→x0 β(x)
cùng bậc.

ii) Nếu lim


α(x)
= ∞, ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x).
x→x0 β(x)

iii) Nếu lim

α(x)
không tồn tại, ta nói rằng α(x) và β(x) khơng so sánh
x→x0 β(x)
được với nhau.

iv) Nếu lim

Ví dụ 1.2.7. α (x) = sin x − tan x và β (x) = 1 − cos x đều là các

VCB(x → 0). Vì:

α (x)
sin x − tan x
= lim
= lim
x→0 β (x)
x→0 1 − cos x
x→0
lim

sin x
= 0.
x→0 cos x
Do đó, α(x) là vơ cùng bé bậc cao hơn β(x).

= lim

1
cos x
1 − cos x

sin x 1 −


15

Ví dụ 1.2.8. α (x) = 1 − cos x và β (x) = x2 đều là các VCB(x → 0).
Ta có
α (x)
1 − cos x
sin x 1
lim
= lim
=
lim
= .
x→0 β (x)
x→0
x→0 2x
x2
2
Do đó, α(x) và β(x) là các vơ cùng bé cùng bậc.
Nhận xét 1.2.9. Giả thiết các tỉ số sau đều có nghĩa, ta ln có
a
a b

=1⇒ =
b
c
c
Liệu rằng điều này còn đúng trong giới hạn hàm số hay không?
Tức là, giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0 ) và các giới hạn đều
tồn lại thì

α (x)
β (x)
α (x)
= 1 ⇒ lim
= lim
?
x→x0 γ (x)
x→x0 γ (x)
x→x0 β (x)
lim

Ta sẽ cùng nghiên cứu các vô cùng bé tương đương để trả lời cho câu
hỏi trên.

1.2.4. Vô cùng bé tương đương
Định nghĩa 1.2.10 ([10]). Cho α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ). Khi đó,
α(x) được gọi là tương đương với β(x) (ký hiệu là α(x) ∼ β(x)) nếu
α(x)
= 1.
lim
x→x0 β(x)
Mệnh đề 1.2.11 ([11], Các VCB tương đương cơ bản khi x → 0). Giả sử


n ≥ p > 0, ap = 0, ta có các cặp VCB(x → 0) sau tương đương với nhau:
x2
1) sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ .
2
2) arcsin x ∼ x, arctan x ∼ x.
3) ex − 1 ∼ x, ax − 1 ∼ x ln a
4) ln(1 + x) ∼ x, loga (1 + x) ∼
5) (1 + x)α − 1 ∼ αx.

1
x.
ln a


16

6) an xn + an−1 xn−1 + ... + ap xp ∼ ap xp .
Nhận xét 1.2.12.
i) Mệnh đề 1.2.11 cho thấy các hàm sơ cấp thường gặp mà là VCB thì
đều tương đương được với một hàm lũy thừa.
ii) Theo Mệnh đề 1.2.11 thì sin x ∼ x khi x → 0. Do đó, việc thay
x bằng đại lượng α(x) → 0 thì sin α(x) ∼ α(x). Do đó, các kết
quả của Mệnh đề 1.2.11 được tổng quát thành arcsin(α(x)) ∼ α(x),
tan(α(x)) ∼ α(x), arctan(α(x)) ∼ α(x), ln(1 + α(x)) ∼ α(x),

eα(x) − 1 ∼ α(x), aα(x) − 1 ∼ α(x) ln a, ... Nhờ đó mà rất nhiều
hàm hợp của các hàm sơ cấp có thể tương đương được với một hàm
lũy thừa.


Ví dụ 1.2.13. Khi x → 0, ta có

ln(cos 4x) = ln(1 − 2 sin2 2x) ∼ −2sin2 2x ∼ −8x2 .

Thật vậy, vì

ln (cos 4x)
= 1.
x→0
−8x2
lim

Chú ý 1.2.14. VCB tương đương được phép thay thừa số tương đương
vào tích và thương nhưng khơng được thay vào tổng và hiệu.
Định lí 1.2.15 ([10]). Giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0 ).
Khi đó
i) α(x) ∼ α(x).
ii) α(x) ∼ β(x) ⇒ β(x) ∼ α(x).
iii) α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) ⇒ α(x) ∼ γ(x).
iv) α (x) = o (β (x)) ⇒ β (x) ± α (x) ∼ β(x).
Chứng minh.


17

i) Hiển nhiên.
ii) Hiển nhiên.
iii) Ta có

α(x) β(x)

β(x)
α(x)
α(x)
= lim
·
· lim
= lim
x→x0 β(x) γ(x)
x→x0 γ(x)
x→x0 β(x) x→x0 γ(x)
Do đó, α(x) ∼ γ(x).
lim

= 1.

iv) Ta có

β (x) ± α (x)
α (x)
α (x)
= 1 ± lim
= lim 1 ±
x→x0
x→x0 β (x)
x→x0
β (x)
β (x)
lim

= 1.

Do đó, β (x) ± α (x) ∼ β(x).
Mệnh đề 1.2.16 ([12]). Giả sử α1 (x) , α2 (x) , β1 (x) , β2 (x) là các VCB
khi x → x0 và α1 (x) ∼ α2 (x), β1 (x) ∼ β2 (x). Khi đó

α1 (x) β1 (x) ∼ α2 (x) β2 (x) .

Nhận xét 1.2.17. Khi các giả thiết của Mệnh đề 1.2.16 được thỏa mãn,
nói chung α1 (x) ± β1 (x) ≁ α2 (x) ± β2 (x). Do đó, f (α1 (x)) ≁ f (α2 (x))
với f là một hàm số nào đó.
Ví dụ 1.2.18. Theo Mệnh đề 1.2.11, ta có

sin x ∼ x, x cos x ∼ x cos x, sin x ∼ tan x.
x
Tuy nhiên, sin x − x cos x ≁ x − x cos x và 1 −
≁ 1−
sin x
Thật vậy,
x
1−
sin x − x cos x 2
1
sin x
= và lim
lim
=− .
x→0
x→0 x − x cos x
x
3
2

1−
tan x

x
.
tan x

Hệ quả 1.2.19 ([10], Thay thế VCB tương đương). Nếu α(x), β(x) là các
VCB(x → x0 ), α(x) ∼ α1 (x) , β(x) ∼ β1 (x) thì


18

i) lim [α(x) · β(x)] = lim [α1 (x) · β1 (x)] ,
x→x0

x→x0

α(x)
α1 (x)
= lim
,
x→x0 β(x)
x→x0 β1 (x)

ii) lim

nếu các giới hạn trên tồn tại.
Chứng minh. Thật vậy, vì α(x) ∼ α1 (x) , β(x) ∼ β1 (x) khi x → x0 .
Ta có

β(x)
α(x)
= 1; lim
=1
lim
x→x0 β1 (x)
x→x0 α1 (x)
Do đó,
i) lim [α (x) · β (x)] = lim
x→x0

x→x0

β (x)
α (x)
· α1 (x) β1 (x) ·
α1 (x)
β1 (x)

= lim α1 (x) β1 (x) .
x→x0

α(x)
α(x) α1 (x) β1 (x)
= lim
·
·
x→x0 β(x)
x→x0 α1 (x) β1 (x)
β(x)


ii) lim

α1 (x)
β1 (x)
α1 (x)
α(x)
· lim
· lim
= lim
.
x→x0 β1 (x)
x→x0 α1 (x) x→x0 β1 (x) x→x0 β(x)

= lim

Hệ quả 1.2.20 ([10], Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao). Nếu α(x), β(x)
là các VCB(x → x0 ), β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) thì

α(x) ± β(x) ∼ α(x).

Chứng minh. Thật vậy, ta có
β(x)
β(x)
α(x) ± β(x)
= lim 1 ±
= 1.
= 1 ± lim
lim
x→x0

x→x0 α(x)
x→x0
α(x)
α(x)

Nhận xét 1.2.21. Giả sử α(x) và β(x) là các VCB(x → x0 ). α(x) và
β(x) đều là tổng của nhiều VCB không cùng bậc. Khi đó giới hạn của tỉ số
α(x)
bằng giới hạn của tỉ số hai VCB bậc thấp nhất trong α(x) và β(x).
β(x)


19

Ví dụ 1.2.22.

x + 3sin2 x + 4sin3 x
x
1
=
lim
=
.
x→0
x→0 7x
7x + x3 + x8
7

L = lim


Mệnh đề 1.2.23. Giả sử α(x) và β(x) là các VCB(x → x0 ). Khi đó, nếu

α(x) ∼ β(x) thì α(x) − β(x) = o(α(x)).
Ví dụ 1.2.24. sin x ∼ x ⇒ x − sin x ∼

x3
(xem 1.3).
6

1.2.5. Các vô cùng bé tương đương bậc cao
Trên cơ sở các khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số (Hệ quả 1.1.18)
và sử dụng quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao (Hệ quả 1.2.20), ta xây dựng
được các VCB tương đương bậc cao như sau:

x3
x5
x3
∼
(xem 1.3).
1) x − sin x ∼ ; x − sin x −
6
6
120
2) 1 − cos x −

x2
x4
x2 x4
x6
∼ − ; 1 − cos x −

+
∼
(xem 1.4).
2
24
2
24
720

x3
3x2
3) sin x − x cos x ∼ ; x sin x − cos x + 1 ∼
(kết hợp 1.3 và 1.4).
3
2
4) tan x = x +

x3 2x5
+
+ o(x5 ) (kết hợp 1.3 và 1.4).
3
15

x3
x3
2x5
5) tan x − x ∼ ; tan x − x −
∼
.
3

3
15
6) tan x − sin x ∼

x3
.
2

x3
7) tan(sin x) − x ∼ .
6
8) sin(tan x) − x ∼

x3
.
6

x3
3x5
x3
∼
.
9) arcsin x − x ∼ ; arcsin x − x −
6
6
40