BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI H C ĐÀ N NG

LÊ THÚY AN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C

ĐƠ N ng - N m 2016


BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI H C ĐÀ N NG

LÊ THÚY AN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngƠnh: Ph ng pháp Toán s cấp
Mƣ số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C

Ng

ih

ng d n khoa h c: TS. PHẠM QUÝ MƯ I

ĐƠ N ng - N m 2016


L I CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đơy là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Lê Thúy An


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài.......................................................................... 1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.......................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2
4. Phư ng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
5. ụ nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ............................................... 3
6. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.......................................... 4
1.1. H PH

NG TRỊNH TUY N TÍNH ...................................................... 4

1.2. DẠNG MA TR N VÀ DẠNG VECT

C A H PH


NG TRÌNH

TUY N TÍNH ................................................................................................... 6
1.3. CÁC PHÉP BI N Đ I T

NG Đ

NG VÀ M I LIÊN H V I

CÁC PHÉP BI N Đ I S C P V HÀNG C A MA TR N ...................... 7
1.4. S

T N TẠI (DUY NH T) NGHI M C A H PH

NG TRỊNH

TUY N TÍNH ................................................................................................... 9
1.5. MA TR N Đ I X NG, XÁC Đ NH D

NG ..................................... 15

1.6. C C TR C A HÀM NHI U BI N ...................................................... 19
1.6.1. Cực trị tự do ..................................................................................... 19
1.6.2. Cực trị có điều kiện ......................................................................... 22
1.6.3. Cực tiểu địa phư ng của hàm lồi trên tập lồi .................................. 23
1.7. C U, CUNG VÀ CÂN B NG TH TR

NG ..................................... 25


1.7.1. Lý thuyết về cầu ......................................................................... 25
1.7.2. Lý thuyết về cung ...................................................................... 27
1.7.3. Trạng thái cân bằng thị trường .................................................. 29


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH................................................................................................ 33
2.1. PH

NG PHÁP CRAMER ................................................................... 33

2.1.1. C sở lý thuyết của phư ng pháp Cramer ....................................... 34
2.1.2. Các bư c giải hệ phư ng trình bằng phư ng pháp Cramer ............ 35
2.2. PH

NG PHÁP GAUSS ........................................................................ 38

2.2.1. C sở lý thuyết của phư ng pháp Gauss ......................................... 38
2.2.2. Các bư c giải hệ phư ng trình bằng phư ng pháp Gauss .............. 40
2.3. PH

NG PHÁP NHÂN T

LU ............................................................ 44

2.3.1. C sở lý thuyết của phư ng pháp nhơn t LU ................................ 45
2.3.2. Phân rã ma trận A bằng phư ng pháp Crout ................................... 49
2.3.3. Các bư c giải hệ phư ng trình bằng phư ng pháp Crout ............... 50
2.3.4. Phân rã ma trận A bằng phư ng pháp Doolittle .............................. 52
2.3.5. Các bư c giải hệ phư ng trình bằng phư ng pháp Doolittle .......... 53

2.4. PH

NG PHÁP CHOLESKY ............................................................... 56

2.4.1. C sở lý thuyết của phư ng pháp Cholesky .................................... 56
2.4.2. Các bư c giải hệ phư ng trình bằng phư ng pháp Cholesky ......... 57
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .. 59
3.1. MỘT S

BÀI TỐN TRONG KHƠNG GIAN VECT

VÀ ÁNH

XẠ TUY N TÍNH .......................................................................................... 59
3.1.1. Biểu thị tuyến tính, t hợp tuyến tính .............................................. 59
3.1.2. Độc lập tuyến tính ậ Phụ thuộc tuyến tính ..................................... 61
3.1.3. Tọa độ của vect , ma trận đ i c sở ............................................... 62
3.1.4. Công thức xác định ánh xạ tuyến tính ............................................. 66
3.1.5. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính ......................... 68
3.2. MƠ HÌNH CÂN B NG TH TR

NG ................................................ 72

3.2.1. Thị trường lưu hành một loại hàng hóa ........................................... 72


3.2.2. Thị trường lưu hành nhiều loại hàng hóa ........................................ 74
3.3. BÀI TOÁN T I

U ................................................................................ 78


3.3.1. Phát biểu bài tốn ............................................................................ 78
3.3.2. Điều kiện có nghiệm........................................................................ 79
KẾT LUẬN .................................................................................................... 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (b n sao)


◆❍Ú◆● ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆
R

A
AT
A−1
A
r(A)
det(A) (|A|)
α
β
Vn
o Rn
(u)S ([u]S )
PST
Af (S,T )
Qd
Qs
p
∂f
∂x
n


❤❛② f ′x

d f (x)
C2

❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝
▼❛ tr➟♥ A
❈❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A
▼❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ A
▼❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ A
❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A
✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A
❱❡❝tì ❛❧♣❤❛
❱❡❝tì ❜❡t❛
❚ê♥❣ s✐❣♠❛
❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❱ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔ ♥
❱❡❝tì ❦❤ỉ♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì Rn
❚å❛ ✤ë ✈❡❝tì ✉ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝ì sð ❙
▼❛ tr➟♥ ✤ê✐ ❝ì sð tø ❝ì sð ❙ s❛♥❣ ❝ì sð ❚
▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❢
✤è✐ ✈ỵ✐ ❝➦♣ ❝ì sð ✭❙✱❚✮
❍➔♠ sè ❝➛✉
❍➔♠ sè ❝✉♥❣
●✐→ ❝õ❛ ❤➔♥❣ ❤â❛
✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❢ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x
❱✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ n ❝õ❛ ❤➔♠ sè f
❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➳♥ ❝➜♣ ❤❛✐



DANH MỤC CÁC HÌNH V

Số hiệu
hình v

Tên hình v

Trang

1.1

Đường cầu về một loại hàng hóa

26

1.2

Đường cung về một loại hàng hóa

28

1.3

Mơ hình cân bằng cung cầu

30

1.4

Mơ hình điểu chỉnh của thị trường


31


✶

▼Ð ✣❺❯
✶✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣
t♦→♥ ❤å❝✳ ❑❤✐ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳✱ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❤➺
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱
❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t tr ộ
ữợ t t ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❦❤✐ rí✐ r↕❝ ❤â❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝ơ♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥
ữỡ tr t t õ tữợ ợ
é ờ tổ ợ ữỡ tr t t t trữợ
t ợ tữ ởt ố tữủ ự s õ ợ tữ ởt ổ ❝ư
❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤✐➲✉ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ë♥❣
✤↕✐ sè✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳✳ ▼➦❝ ❞ị ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❦❤→ ✤ì♥
❣✐↔♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ t❤➜② ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ ✈➔♦ ✤í✐ sè♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥
✈➲ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ t➾ ❧➺ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ✤➲✉✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥ë✐
❞✉♥❣ t ỵ õ ồ s ồ t t ồ ✳ ✳ ❚ø ✤â ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ð ❝→❝
❡♠ ❦➽ ♥➠♥❣ t➼♥❤ t♦→♥✱ sü tü t✐♥✱ ✤ë❝ ❧➟♣ s✉② ♥❣❤➽✱ ♣❤→t tr✐➸♥ t÷ ❞✉② ❧♦❣✐❝
✈➔ s✉② ❧✉➟♥ t♦→♥ ❤å❝✳
❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠æ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❆✶ ð ❤➺ ❝❛♦
✤➥♥❣✱ ✤↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ✹✺✲✻✵ t✐➳t ♥➯♥ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❝❤♦ s✐♥❤
✈✐➯♥ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r
✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss✱ tø ✤â ❣✐ó♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❝õ♥❣ ❝è ❝→❝ ❦ÿ ♥➠♥❣ ✈➲

✤à♥❤ t❤ù❝✱ ✈➲ ❤↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣
♠ỉ♥ ❤å❝ ♥➔② t❤➸ ❤✐➺♥ rã ♥❤➜t t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
tỡ t t
ỵ tt ữỡ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ú♥❣
tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤÷ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣


✷
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣❀ ◗✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♠➔ ❝á♥
tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➔ ❝↔ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✳
▲➔ ♠ët ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ tr÷í♥❣ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ tỉ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥
❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ q ữỡ tr t t ỗ ỡ s ỵ
tt ữỡ ự ử tr ở
ổ ữủ sỹ ữợ ừ t ữợ tổ ồ t


Pữỡ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣

✑ ❝❤♦

❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ử ự ừ t
ữủ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
✈➔ ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣÷❛ r❛ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥❤÷ ✈✐➺❝
❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠æ♥ ❤å❝
❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣❀ t➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦✐♥❤ t➳❀ t➻♠
❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐✳


✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤✳
P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ỵ tt số ởt số ự
ử ữỡ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤đ♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥
✈➠♥✳
P❤➙♥ t➼❝❤✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤✉ t❤➟♣ ✤÷đ❝ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐✳
❚❤❛♠ ❣✐❛ ❝→❝ ❜✉ê✐ s❡♠✐♥❛r ❝õ❛ t ữợ tr ờ t
q ❝ù✉✳


✸

✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❧➔♠ rã ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣
❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
●â♣ ♣❤➛♥ ró ỵ trỏ ừ ữỡ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ð ❜➟❝ ❝❛♦ ✤➥♥❣✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝
❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❀ ❝→❝

❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ tỗ t ỹ
tr ừ
ữỡ ✷ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤➙♥
tû ▲❯✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈❤♦❧❡s❦②✳
❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✈✐➺❝
t➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦✐♥❤ t➳✱ ✈✐➺❝ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉
t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐✳
❚r♦♥❣ ♠é✐ ❝❤÷ì♥❣ s➩ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t✐➯✉ ❜✐➸✉✳




ì

r ữỡ t ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤÷ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ❞↕♥❣ ✈❡❝tì ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥❀
❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣❀ ❝→❝ ❦❤→✐
♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝➛✉✱ ❝✉♥❣ tr t t trữớ
Pì ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍

▼ư❝ ♥➔② ♥➯✉ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈➔ ❦➧♠ t❤❡♦ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ✭❬✺❪✱ tr✳ ✶✶✺✲✶✶✻✮ ▼ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr t


t P ởt ỗ m ữỡ tr t ợ n õ
tờ qt ữ s❛✉✿



a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



 a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
✳
✳✳




 a x + a x + ... + a x = b ,
m1 1
m2 2
mn n
m

✭✶✳✶✮

tr♦♥❣ ✤â aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ➞♥✱ bi ∈ R, i = 1, m ❣å✐
❧➔ ❤➺ sè tü ❞♦✱ xi , i = 1, n ❧➔ ❝→❝ ➞♥✳

◆➳✉ b1 = b2 = ... = bm = 0 t❤➻ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧➔

❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥

t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ✭❬✷❪✱ tr✳ ✼✻✮ ❚❛ ♥â✐ ♠ët ❜ë (α1, α2, ..., αn) ❧➔ ♠ët
♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ t❛ t❤❛② x1 = α1 , ..., xn = αn ✈➔♦ ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❤➻ t➜t
❝↔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ✤➲✉ t❤ä❛✳


✺
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳

t✉②➳♥ t➼♥❤

❇ë X = (2, 2, 0) ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤


 2x1 + x2 + 3x3 = 6
x1 + 3x2 − 5x3 = 8


x1 + x2 + 4x3 = 4,

✈➻ ❦❤✐ t❛ t❤❛② x1 = 2, x2 = 2, x3 = 0 ✈➔♦ ❤➺ t❤➻ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝õ❛ ❤➺ ✤➲✉ t❤ä❛✳
✭❬✺❪✱ tr✳ ✶✷✺✮ ❍➺ P❚❚❚ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❧✉æ♥ ❝â ➼t ♥❤➜t
♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ (x1 , x2 , ..., xn ) = (0, 0, ..., 0) ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ❣å✐ ❧➔
♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✳


❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜② ✤÷đ❝ ♥❣❛② ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
s❛✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❤❛② ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❤➺ P❚❚❚
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳



1
 x1 + x2 + x3 =
2x1 + 2x2 + 2x3 = 2


3x1 + 3x2 + 3x3 = −3

✈æ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝á♥ ❤➺ P❚❚❚

x1 + x2 − x3 = 0
x2 + x3 = 0

❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➔ ❤➺ P❚❚❚


 x1 − x2 − x3 = 1
x2 + x3 = 0


x3 = 2

❧↕✐ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳


❈→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➯✉ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ✭✶✳✶✳✷✮ ❧➔♠ ♥↔② s✐♥❤ 2 ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥
tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➺ P❚❚❚✿
✭✶✮ ❈❤♦ ♠ët ❤➺ P❚❚❚✱ ❦❤✐ ♥➔♦ ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ ✈æ ♥❣❤✐➺♠ ❤♦➦❝ ✈æ sè
♥❣❤✐➺♠❄
✭✷✮ ▲➔♠ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ ❣✐↔✐ ❤➺ P❚❚❚ ❝â ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♥❤✐➲✉ ➞♥❄


✻
✶✳✷✳ ❉❸◆● ▼❆ ❚❘❾◆ ❱⑨ ❉❸◆● ❱❊❈❚❒ ❈Õ❆ ❍➏ P❍×❒◆●
❚❘➐◆❍ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍

❳➨t ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳ ❚❛ ✤➦t




A=



a11 a12
a21 a22





... a1n




... a2n 
, X = 
✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳ 
✳✳

✳ 
✳
✳

am1 am2 ... amn

a11 a12 ...

 a21 a22 ...
A = [A |B ] = 
✳✳ ✳ ✳ ✳
 ✳✳✳
✳

am1 am2 ...







x1
b1




 b2 
x2 

,B=
✳✳ 
 ✳✳✳  ,
✳ 



xn
bm

a1n b1

a2n b2 
.
✳✳
✳✳ 
✳
✳ 

amn bm

▼❛ tr➟♥ A, X, B, A ❧➛♥ ❧÷đt ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè✱ ♠❛ tr➟♥ ➞♥✱ ♠❛
tr➟♥ ❤➺ sè tü ❞♦✱ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ ❜✐➳t ❤➺ P❚❚❚ t❤➻ t❛ ✈✐➳t ♥❣❛② ✤÷đ❝ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè

♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐ ♥➳✉ ❜✐➳t ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚
t❤➻ t❛ ❝ơ♥❣ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ ❧↕✐ ❤➺ P❚❚❚ ✤â✳ ❉♦ ✤â t❛ ❣å✐ ♠❛ tr➟♥ ❤➺
sè ♠ð rë♥❣ ❧➔ sü ♠❛ tr➟♥ ❤â❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮✳
❚❤❡♦ ♣❤➨♣ t♦→♥ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❜➡♥❣
♥❤❛✉ t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿


❤❛②

a11 a12

 a21 a22

✳✳
 ✳✳✳
✳

am1 am2


... a1n


... a2n 

✳ ✳ ✳ ✳✳✳  

... amn

A.X = B.


 
x1
 

x2 
=
✳✳  
✳  
xn


b1

b2 
✳✳ 
✳ 

bm

✭✶✳✷✮

✭✶✳✸✮

❉↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ❤❛② ✭✶✳✸✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚✳
▼ët ❝→❝❤ ❦❤→❝ ✤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❤➺ P❚❚❚ ❧➔ t ữợ tỡ


✼


❚ø ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â✿
n

aij xj = bi , i = 1, .., m.
j=1

◆➳✉ ❝♦✐ ♠é✐ ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ♥❤÷ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Rm
❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿
αj = (a1j , a2j , .., amj )T , j = 1, n,
β = (b1 , b2 , .., bm )T ,

t t ụ õ t t ữợ ✿


❤❛②

a11

 a21
x1 
 ...

am1





a12





 + x2  a22
 ...



am2





a1n




 + ... + xn  a2n
 ...



amn






b1
 
  b2
=
  ...
 
bm








α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = β

✈➔ ❣å✐ ❧➔

❞↕♥❣ ✈❡❝tì ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮✳

✶✳✸✳ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚×❒◆● ✣×❒◆● ❱⑨ ▼➮■ ▲■➊◆
❍➏ ❱❰■ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❙❒ ❈❻P ❱➋ ❍⑨◆● ❈Õ❆
▼❆ ❚❘❾◆
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ✭❬✷❪✱ tr✳ ✼✻✮ ❍❛✐ ❤➺ P❚❚❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣

✤÷ì♥❣ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝ị♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ♥❣❤✐➺♠✳

❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✶✳ ❍❛✐ ❤➺ P❚❚❚
x1 + x2 = 1

;
x1 − x2 = 1



 2x1 + x2 = 2
x1 − 2x2 = 1


3x1 + 4x2 = 3

tữỡ ữỡ ợ ✈➻ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝ị♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ♥❣❤✐➺♠
x1 = 1, x2 = 0.


✽

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳ ✭❬✹❪✱ tr✳ ✶✹✾✮ ▼ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tữỡ ữỡ ố

ợ P õ ổ t ✤ê✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦✳
❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tữỡ ữỡ ố ợ P tr
ờ ❝❤é ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺✳
✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ✈ỵ✐ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳
✭✸✮ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❤➺✳
❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✷✳ ❈❤♦ ❤➺ P❚❚❚







2x1
3x1

x2 − x3 = 1
− 2x2 + 2x3 = 2
− 2x2 + x3 = 3.

✭✶✳✹✮

◆❤➙♥ ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù 2 tr ợ 12 P
tr tữỡ ữỡ ✈ỵ✐






x1
3x1

x2 − x3 = 1
− x2 + x3 = 1
− 2x2 + x3 = 3.

✣ê✐ ❝❤é ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù 1 ✈➔ t❤ù 2 tr♦♥❣ ❤➺ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣



 x1 −



3x1

x2 + x3 = 1
x2 − x3 = 1
− 2x2 + x3 = 3.

▲➜② sè −3 ♥❤➙♥ ữỡ tr tự 1 rỗ ở tứ t ✈➳ ❝❤♦
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù 3 t❛ ✤÷đ❝ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣


 x1 − x2 + x3 = 1
x2 − x3 = 1


x2 − 2x3 = 0.




t tr ữỡ ự ợ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣

✤÷ì♥❣ tr➯♥ ❤➺ P❚❚❚ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ♠ð
rë♥❣✿
✭✶✮ ✣ê✐ ❝❤é ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳
✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳
✭✸✮ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❤➔♥❣ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♥❣ ❦❤→❝✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✸✳ ❳➨t ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✹✮✱ t❤❛② ✈➻ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ❤➺ P❚❚❚ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ✭✶✳✸✳✷✮✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❣❤✐ ♥❤➟♥ sü
❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛
♠❛ tr➟♥✳
❚❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐



A=


h2 ↔h1 
−−
−→ 

0
2
3
1
0
3

1 −1
−2 2
−2 1
−1 1
1 −1
−2 1

1

2
3
1
1
3







h2 →1/2.h2

−−−−−−→







 h3 →−3h1 +h3 
 −−−−−−−→ 

0 1 −1
1 −1 1
3 −2 1
1 −1 1
0 1 −1

0 1 −2

1
1
3
1
1
0








✳

✶✳✹✳ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ✭❉❯❨ ◆❍❻❚✮ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ P❍×❒◆●
❚❘➐◆❍ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍

P❤➛♥ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❤➺ ❝â ởt ổ số ổ
tổ q ỵ rr
ỵ ỵ rr tr✳ ✶✺✻✮ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ r (A) = r A ✱ tr♦♥❣ ✤â


a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n

A = [A |B ] = 
✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳
 ✳✳

am1 am2 ... amn



b1

b2 
✳✳  .
bm




t P ữợ tỡ

ự

x1 1 + x2 α2 + ... + xn αn = β,

tr♦♥❣ ✤â
αj = (a1j , a2j , .., amj )T , j = 1, n,
β = (b1 , b2 , .., bm )T .
(⇒) ●✐↔ sû ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ x01 , x02 , ..., x0n ✱ tù❝ ❧➔
β = x01 α1 + x02 α2 + ... + x0n αn ,

t❤➻ β ❧➔ ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αn }✳ ❉♦ ✤â ❤↕♥❣

❝õ❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αn } ❜➡♥❣ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αn , β}✳
❱➟② r (A) = r A .
(⇐) ●✐↔ sû r (A) = r A = r✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
❱➻ r (A) = r A = r ♥➯♥ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αn } ❜➡♥❣
❤↕♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αn , β} ✈➔ ❜➡♥❣ r✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱
❣✐↔ sû {α1 , α2 , ..., αr } ❧➔ ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➺ {α1 , α2 , ..., αn }
t❤➻ {α1 , α2 , ..., αr } ❝ô♥❣ ❧➔ ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➺ {α1 , ..., αn , β}✳
❉♦ ✤â β ❜✐➸✉ t❤à t✉②➳♥ t➼♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t q✉❛ ❝→❝ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αr }✱
s✉② r❛ β ❝ô♥❣ ❜✐➸✉ t❤à t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉❛ ❝→❝ ✈❡❝tì {α1 , α2 , ..., αr , αr+1 , ...., n }
tự tỗ t x01 , x02 , ..., x0n ∈ R s❛♦ ❝❤♦
β = x01 α1 + x02 α2 + ... + x0n αn

❤❛② ❤➺ P❚❚❚


b1



 b
2

...



 b
m

=

=
..
=

a11 x1
a21 x1
........
am1 x1

❝â ♥❣❤✐➺♠ x01 , x02 , ..., x0n ✳

+
+
..
+

a12 x2
a22 x2
........
am2 x2

+
+
..
+

...
...
...
...


+ a1n xn
+ a2n xn
.. ........
+ amn xn




tr ứ ỵ t s r
ã ◆➳✉ r (A) < r A t❤➻ ❤➺ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳
• ◆➳✉ r (A) = r A = r = n t tỗ t t x01 , x02 , ..., x0n ∈ R
n
n
✤➸ ❝❤♦ β = x0j αj ✳ ❙✉② r❛ ❤➺ P❚❚❚ β = xj αj ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳
j=1
j=1
• ◆➳✉ r (A) = r A = r < n t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠✳ ❚❤➟t ✈➟②✱
❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❝â t❤➸ ❝♦✐ {α1, α2, ..., αr } ❧➔ ❤➺ ❝♦♥ ✤ë❝ ❧➟♣
t✉②➳♥ t➼♥❤ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤➺ ✈❡❝tì {α1, ..., αn} ✈➔ {α1, ..., αn, }
õ
n
ú ỵ

xj j

=
j=1

r


n



xj j .

xj j =
j=r+1

j=1
n

x0j αj
❱ỵ✐ ♠é✐ ❜ë n − r ♣❤➛♥ tû x0r+1, ..., x0n ∈ R✱ t❛ ❝â ✈❡❝tì β −
j=r+1
❜✐➸✉ t❤à t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉❛ {α1, α2, ..., αr }✳ ❱➻ β, αj , j = r + 1, .., n ✤➲✉ ❜✐➸✉
t❤à t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤÷đ❝ q✉❛ ❤➺ ✈❡❝tì {α1, α2, ..., αr } ✈➔ ❞♦ {α1, α2, ..., αr } ở
t t tố tỗ t t xn01, x02, ..., x0r ∈r R ♣❤ö t❤✉ë❝
✈➔♦ n − r ♣❤➛♥ tû x0r+1, ..., x0n ✤➣ ❝❤♦ ✤➸ β −
x0j αj =
x0j αj ✳ ❙✉② r❛
j=r+1
j=1
❤➺ P❚❚❚ ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠✳
●å✐ n − r ➞♥ xr+1, ..., xn ❧➔ ❝→❝ ➞♥ tü ❞♦✳
❑❤✐ ♠é✐ ❧➛♥ ❝❤♦ xr+1 = x0r+1, ..., xn = x0n t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠ët ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ❤➺ ❧➔ x01, ..., x0r , x0r+1, ..., x0n ✳ ◆➳✉ ❝♦✐ x0r+1, ..., x0n ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ♥❤ú♥❣
❣✐→ trà tò② þ t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❤➺✳ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠
tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❤➺✱ ❝♦✐ n − r xr+1, ..., xn ữ ỳ t số rỗ

P ỗ r ữỡ tr r x1, x2, ..., xr ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ n − r t❤❛♠
sè✿


a11 x1



a x
21 1

........



a x
r1 1

+
+
..
+

...
...
...
...

+
+

..
+

a1r xr
a2r xr
........
arr xr

=
=
..
=

b1
b2
...
br

− a1r+1 xr+1
− a2r+1 xr+1
..
........
− arr+1 xr+1

−
−
..
−

...

...
...
...

− a1n xn
− a2n xn
.. ........
− arn xn .


✶✷

✭❬✷❪✱ tr✳ ✽✺✮ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r (A) = r A = r < n
t❤➻ ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣ r ❦❤→❝ ✵ ❝õ❛ A ❣å✐ ❧➔ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝ì sð ❝õ❛
A✳ ❚❛ ❧➜② tr♦♥❣ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝ì s ừ A ởt tũ ỵ tỷ
ừ ❤➔♥❣ ♥➔② ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ r ➞♥ tr♦♥❣ n ➞♥ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✱ r ➞♥
✤â ❣å✐ ❧➔ r ➞♥ ❝ì ❜↔♥ ❤❛② r ➞♥ ❝❤➼♥❤❀ n − r ➞♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ➞♥ ❦❤ỉ♥❣
❝ì ❜↔♥ ❤❛② ❝→❝ ➞♥ ♣❤ö✳ ❉♦ tr♦♥❣ ♠❛ tr➟♥ A ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥
❝➜♣ r ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ♥➯♥ ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❝→❝ ➞♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❝→❝ ➞♥
❦❤ỉ♥❣ ❝ì ❜↔♥ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
❈→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ P❚❚❚ ❝â sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ sè ➞♥ s➩ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔②
ð ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✳
❚â♠ ❧↕✐✱ ♠ët ❤➺ P❚❚❚ ❝â m ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ n ➞♥ sè ❝❤➾ ❝â t❤➸ ①↔②
r❛ 1 tr♦♥❣ 3 tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤♦➦❝ ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✱ ❤♦➦❝ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✱ ❤♦➦❝
❝â ✈ỉ sè ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ n − r t❤❛♠ sè✱
tr♦♥❣ ✤â r ❧➔ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè✳
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✶✳ ❇✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ s❛✉ t❤❡♦ t số
ú ỵ






ax1 + 2x2 + 2x3 = 3
2x1 + ax2 + 6x3 = 1


x1 + x2 + ax3 = 1.

✣➸ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ tr➯♥ t❛ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛
tr➟♥ A, A ✈➔ sè ➞♥✳ ❚❛ ❞ị♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ A ♥❤÷ s❛✉✿


a 2 2

A=2 a 6
1 1 a


3

1 
1

h ↔h

1
3
−−

−→







h2 →2h1 −h2

−−
−−−−→ 
h3 →ah1 −h3

h →h +h

3
2
3
−−
−−−
−→





1
2
a

1
0
0
1
0
0

1 a
a 6
2 2
1
2−a
a−2
1
2−a
0


1

1 
3

a
1

2a − 6
1 
a2 − 2 a − 3


a
1

2a − 6
1 .
a2 + 2a − 8 a − 2


✶✸

a=2
⋆ ◆➳✉ a2 + 2a − 8 = 0 ⇔
a = −4.


1 1 2
1


❑❤✐ a = 2 t❤➻ A →  0 0 −2 1  ⇒ r (A) = r A = 2 < 3 ♥➯♥
0 0 0
0

❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ✈ỉ sè ♥❣❤✐➺♠ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✶ t❤❛♠
 số tũ ỵ
1 1 4

a = 4 t A →  0 6 −14
0 0 0


♥➯♥ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳

⋆ ◆➳✉ a2 + 2a − 8 = 0 ⇔

1

1  ⇒ r (A) = 2 < 3 = r A
−6

a=2
⇒ r (A) = r A = 3 ♥➯♥ ❤➺
a = −4

✤➣ ❝❤♦ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❑➳t ❧✉➟♥✿
⋆ ◆➳✉ a = 2 ✈➔ a = −4 t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳
⋆ ◆➳✉ a = 2 t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠✳
⋆ ◆➳✉ a = −4 t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤➣ ❝❤♦ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✳
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✷✳

❈❤♦ ❤➺ P❚❚❚


x2 + (m + 1) x3 = 2

 x1 +
x1 +
mx2 +
2x3 = a



x1 + (m + 1) x2 + (m + 3) x3 = b.

❚➻♠ m ✤➸ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳
❜✳ ❚➻♠ a, b ữỡ tr õ ợ ồ số t❤ü❝ m✳
❛✳

●✐↔✐✿

❚❛ ❞ị♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤
❤↕♥❣ ❝õ❛



 ♠❛ tr➟♥ A, A ♥❤÷ s❛✉✿
1
1
m+1

A=1
m
2
1 m+1 m+3

1
1
m+1
2
 h2 →−h1 +h2 
a  −−−−−−−→  0 m − 1 1 − m

h3 →−h1 +h3
0
m
2
b

2

a−2 
b−2


✶✹



h2 →−h3 +h2

−−
−−−−−→ 



h3 →mh2 +h3

−−
−−−−−→ 

❛✳



1 1 m+1
2

0 −1 −1 − m a − b 
0 m
2
b−2

2
1 1
m+1

a−b
0 −1
−1 − m
.
0 0 −m2 − m + 2 m (a − b) + b − 2

❍➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
r (A) = r A = 3
⇔ −m2 − m + 2 = 0 ⇔

m=1
m = −2.

❑➳t ❧✉➟♥✿ ❱➟② ♥➳✉ m = 1 ✈➔ m = −2 t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤➣ ❝❤♦ ❝â ❞✉②
♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳
❜✳ ❍➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ m ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
r (A) = r A , ∀m ∈ R.



1 1 2
2


⋆ ◆➳✉ m = 1 t❤➻ A →  0 −1 −2 a − b  .
0 0 0
a−2
❱➟② r (A) = r A ⇔ a = 2.


1 1 −1
2


⋆ ◆➳✉ m = −2 t❤➻ A →  0 −1 1
a−b
.
3b − 2a − 2
0 0 0
❱➟② r (A) = r A ⇔ 3b − 2a − 2 = 0.
⋆ ◆➳✉ m = 1 ✈➔ m = −2 t❤➻ r (A) = r A , ∀a, b ∈ R.

(1)

(2)
(3)
❚ø ✭✶✮✱ ✭✷✮✱ ✭✸✮ t❛ ❝â✿ ❍➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ m ❦❤✐ ✈➔


❝❤➾ ❦❤✐



a=2
3b − 2a − 2 = 0 ⇔


∀a, b ∈ R

a=2
b = 2.

❑➳t ❧✉➟♥✿ ❍➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè t❤ü❝ m ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = 2
✈➔ b = 2✳


✶✺

❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t

✭❬✷❪✱ tr✳ ✾✼✮
❳➨t ❤➺ P❚❚❚ t❤✉➛♥ ♥❤➜t AX = O✱ tr♦♥❣ ✤â


a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n
A=
✳✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳

 ✳✳

am1 am2 ... amn









x1
0








 , X =  x2  , O =  0

 ✳✳ 






xn
0








.
mì1

ố ợ P t t t r (A) = r A ✈➻ ❝❤➾ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët
❝ët ❝â t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤➲✉ ❜➡♥❣ 0✱ ❝❤♦ ♥➯♥ ❤➺ P❚❚❚ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❜❛♦
❣✐í ❝ơ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
• ◆➳✉ r (A) = n t❤➻ ❤➺ ❝❤➾ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ t tữớ
ã r (A) < n t õ ✈ỉ sè ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➔ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛
♥❣❤✐➺♠ ♣❤ư t❤✉ë❝ n − r (A) t❤❛♠ sè✱ ♥➯♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✱ ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ P❚❚❚ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❝â sè ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ sè ➞♥
(m = n)✳ ❑❤✐ ✤â✿
• ◆➳✉ |A| = 0 t❤➻ õ t t tữớ
ã ◆➳✉ |A| = 0 t❤➻ ♥❣♦➔✐ ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✱ ❤➺ ❝á♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣
t➛♠ t❤÷í♥❣✳

✶✳✺✳ ▼❆ ❚❘❾◆ ✣➮■ ❳Ù◆●✱ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❉×❒◆●
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✶✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ A = (aij )n ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛
tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ♥➳✉ aij = aji ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝❤➾ sè i, j ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔✿
AT = A.


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✷✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ A = (aij )n ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤
❞÷ì♥❣ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ➙♠✮ ♥➳✉
xT Ax > 0 (xT Ax < 0), ∀x ∈ Rn , x = oRn .


✶✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✸✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ A = (aij )n ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ①→❝
✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉
xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn , x = oRn .

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳✶✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ A = (aij )n ✤è✐ ①ù♥❣ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A ✤➲✉ ❞÷ì♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ A = (aij )n ✤è✐ ①ù♥❣ ♥➯♥ A ❝â n ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝ ✈➔ n

✈❡❝tì r✐➯♥❣ {u1 , .., un } trü❝ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ Rn ✳ ❍➺ ✈❡❝tì
r✐➯♥❣ trü❝ ❝❤✉➞♥ {u1 , .., un } ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞
Rn ✳
∗ ●✐↔ sû A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A
✤➲✉ ❞÷ì♥❣✳
●✐↔ sû λ ❧➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ A✳ ❑❤✐ ✤â ∃x ∈ Rn , x = oRn s❛♦
❝❤♦ Ax = λx✳ ❙✉② r❛
xT Ax = xT λx = λ x1 2 + x2 2 + ... + xn 2 .

❉♦ A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tù❝ ❧➔ xT Ax > 0, ∀x = oRn ✈➔ ✈➻ x = oRn
tỗ t i {1, .., n} s ❝❤♦ xi = 0✳ ❙✉② r❛ x1 2 + x2 2 + ... + xn 2 > 0✳ ❉♦
✤â λ > 0✳

∗ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λj , ∀j = 1, n ❝õ❛ A ❞÷ì♥❣✳ ❚❛
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ tù❝ ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ xT Ax > 0, ∀x = oRn ✳
❉♦ ❤➺ ✈❡❝tì r✐➯♥❣ {u1 , .., un } ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❊✉❝❧✐❞ Rn ♥➯♥ x =
T

n

i=1

T

n

x Ax =

x i ui
i=1

x i ui ✳

n

A

n

x j uj

=


j=1

i=1
n

=
i=1
n

xi uTi
xi uTi
n

=
j=1

i=1

n

xj Auj
j=1
n

x j λj u j
j=1

xi uTi


x j λj u j ✳


✶✼

◆➳✉ i = j ⇒ uTi .uj = 0 ♥➯♥
xj xj λj uTj uj

x Ax =

n

n

n
T

j=1

x2j λj

=

uj

2

x2j λj .

=

j=1

j=1

❱➻ x = oRn ⇒ ∃j ∈ {1, .., n} : xj = 0 ✈➔ ❞♦ λj > 0, ∀j = 1, n ♥➯♥
n

x2j λj > 0.
j=1

❙✉② r❛ xT Ax > 0, ∀x = oRn ✳
❱➟② A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳
◆➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ t❤➻ A−1
❝ơ♥❣ ❧➔ ởt tr ố ự ữỡ
ú ỵ

A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❝➜♣ n ♥➯♥ A ❝â
n ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ λ1 , .., λn ✳
⋆ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
●✐↔ sû λ ∈ {λ1 , .., λn } ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ A✳ ❑❤✐ ✤â
∃x ∈ Rn , x = oRn s❛♦ ❝❤♦ Ax = λx ⇒ AxxT = λxxT ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

⇒ det A.det xxT = λn .det xxT . (∗)

❱➻ x = oRn ♥➯♥ ∃xi = 0, i ∈ {1, .., n}✳ ❙✉② r❛ x.xT = x21 + ... + x2n > 0
❤❛② det x.xT > 0 (∗∗)✳
❚ø ✭✯✮ ✈➔ ✭✯✯✮ t❛ s✉② r❛ det A = λn .
▼➔ λ > 0 ♥➯♥ det A = 0✳ ❱➟② A ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

⋆ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A−1 ✤è✐ ①ù♥❣✿
❚❛ ❝â
AT = A ⇒ AT

−1

= A−1 ⇒ A−1

T

= A−1 .

❱➟② A−1 ✤è✐ ①ù♥❣✳
⋆ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A−1 ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tù❝ ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❣✐→ trà
r✐➯♥❣ ❝õ❛ A−1 ✤➲✉ ❞÷ì♥❣✳
❚❛ ❝â ∀λ ∈ {λ1 , .., λn } , ∃u = oRn :