ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ

CAO THỊ HỒNG NHUNG
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN
SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM CẦM TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VƠ HẠN TRONG
TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đà Nẵng, 2017


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ

CAO THỊ HỒNG NHUNG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ SỰ HẤP THỤ PHI TUYẾN
SÓNG ĐIỆN TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM CẦM TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VƠ HẠN TRONG
TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Sư phạm Vật Lý
Khóa học: 2013-2017

Người hướng dẫn: TS. HỒNG ĐÌNH TRIỂN

Đà Nẵng, 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS. Hồng
Đình Triển đã hướng dẫn và dạy bảo, giúp đỡ chúng em rất nhiều trong suốt
q trình thực hiện bài khóa luận tốt nghiệp này.
Qua đây, em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn học trong Khoa
Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã động viên, giúp đỡ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành tốt nhất bài khóa luận.
Lời cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ đã nuôi dạy
chúng con, động viên chúng con trong suốt quãng thời gian học tập, làm việc,
đặc biệt là quãng thời gian hoàn thành bài báo cáo nghiên cứu khoa học này.

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2017

Cao Thị Hồng Nhung

I


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................ 2
3. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 2
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu .......................................... 2
5. Cấu trúc của đề tài .................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ HẤP

THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ.................................................................. 4
1.1. Lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai [5] ................................................. 4
1.2. Tổng quan về hệ bán dẫn hai chiều ...................................................... 9
1.2.1. Siêu mạng hợp phần....................................................................... 10
1.2.2. Siêu mạng pha tạp......................................................................... 12
1.2.3. Hố lượng tử .................................................................................... 15
1.3. Tổng quan về hệ bán dẫn một chiều ................................................... 17
1.3.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường .......................................... 18
1.3.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của lượng tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngồi....................... 19
1.3.3. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình
trụ hố thế Parabol khi vắng mặt từ trường ............................................... 19
1.4. Tổng quan về hệ bán dẫn không chiều ............................................... 20
1.5. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong bán dẫn khối ............ 20
1.3.1. Sự hấp thụ sóng điện từ .................................................................. 20
1.3.2. Lý thuyết lượng tử về hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong
bán dẫn khối .............................................................................................. 22
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HÀM PHÂN BỐ
ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN .. 24
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngồi .............................................. 24
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngoài ........................... 25
2.3. Hàm phân bố điện tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngoài ................................... 37
II


CHƯƠNG 3: HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỬ TRONG DÂY

LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VƠ HẠN.......................................... 40
3.1. Hệ số hấp thụ sóng điện từ bởi điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngoài .............................................. 40
3.2. Khảo sát sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngoài ............ 48
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 52

III


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1: Các thông số cơ bản của dây lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn [7]
......................................................................................................................... 48

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1.1: Tương tác giữa vật chất và sóng điện từ ........................................ 21
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào bán kính
dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn tại với sự khác nhau của cường độ
sóng điện từ ..................................................................................................... 49
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ vào năng
lượng photon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn tại các giá trị khác
nhau của bán kính dây. ................................................................................... 50

IV


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, ngành vật lý hệ thấp chiều đang được nhiều

nhà vật lý rất quan tâm bởi tính ưu việt mà cấu trúc tinh thể ba chiều khơng có
được. Với sự phát triển của công nghệ chế tạo vật liệu, đặc biệt công nghệ
Epitaxy chùm phân tử, rất nhiều hệ vật liệu với cấu trúc nano như cấu trúc hố
lượng tử, siêu mạng bán dẫn, các dây lượng tử và các chấm lượng tử được chế
tạo.
Dây lượng tử là cấu trúc đặc trưng của hệ một chiều (1D), nó có thể được
tạo ra nhờ kỹ thuật lithography (điêu khắc) và photoetching (quang khắc) từ
các lớp giếng lượng tử. Bằng kỹ thuật này, các dây lượng tử có hình dạng khác
nhau được tạo thành như dây lượng tử hình chữ nhật, dây lượng tử hình trụ…
Đặc điểm chung của các loại dây lượng tử là chuyển động của điện tử bên trong
nó bị giới hạn trong các hố thế giam cầm theo hai chiều ứng với các chiều bị
giới hạn của dây. Có nghĩa điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo trục của
dây lượng tử (chiều không gian bị giới hạn). Sự giam cầm điện tử trong các dây
lượng tử làm thay đổi đáng kể các tính chất vật lý của hệ, các hiệu ứng vật lý
bên trong có nhiều sự khác biệt với cấu trúc chiều và hai chiều.
Sự hấp thụ sóng điện từ của vật chất đã và đang được nghiên cứu và phát
triển cả trên lý thuyết và cả thực nghiệm với nhiều ứng dụng mạnh mẽ và sâu
rộng trong khoa học kỹ thuật. Đặc biệt là lĩnh vực kỹ thuật quân sự, vật liệu
hấp thụ sóng điện từ đặc biệt được quan tâm nghiên cứu nhằm ứng dụng cho
kỹ thuật “tàng hình” cho các phương tiện qn sự.
Gần đây, bài tốn hấp thụ sóng điện tử giam cầm trong các hệ bán dẫn
thấp chiều cũng đã được nghiên cứu [2, 6, 7, 8, 9]. Để có những hiểu biết nhiều
hơn về hệ bán dẫn thấp chiều cũng như lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ sóng
điện từ, đồng thời tiếp cận phương pháp phương trình động lượng tử cho việc
1


nghiên cứu vật lý lý thuyết, tôi chọn đề tài: “Lý thuyết lượng tử về sự hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế
cao vơ hạn trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm”

2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường trong trường hợp
tán xạ điện tử - phonon âm. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
vào các tham số như năng lượng photon và bán kính của dây.
3. Phương pháp nghiên cứu
Bài tốn hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong dây dẫn hình trụ
hố thế cao vơ hạn được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng
tử cho tốn tử số hạt điện tử. Xuất phát từ việc giải phương trình động lượng tử
cho điện tử trong các hệ bán dẫn thấp chiều, hàm phân bố điện tử không cân
bằng được tìm thấy, từ đó có được biểu thức của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh trong dây lượng tử. Sau khi thu được biểu thức của hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ, kết quả giải tích được tính tốn số bằng phần mềm
Matlab, đây là phần mềm tính số và mơ phỏng được sử dụng nhiều trong vật lý
cũng như các ngành khoa học khác.
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Bằng những công nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, người ta có thể chế tạo
rất nhiều loại bán dẫn thấp chiều. Với mục đích đã đề ra, đề tài nghiên cứu lý
thuyết lượng tử về sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường trong trường hợp tán xạ điện tử phonon âm.

2


5. Cấu trúc của đề tài
Ngoài lời cảm ơn, danh mục hình ảnh, danh mục bảng biểu , các tài liệu
tham khảo và phần mục lục, nội dung của đề tài gồm 3 chương tổng cộng 49
trang. Nội dung của các chương như sau:
Chương 1: Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều và sự hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ.

Chương 2: Phương trình động lượng tử và hàm phân bố điện tử trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vơ hạn.
Chương 3: Hấp thụ phi tuyến sóng điện tử trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vơ hạn.

3


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU VÀ SỰ
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
Hệ bán dẫn thấp chiều là hệ bán dẫn mà trong đó các hạt mang điện
(electron, lỗ trống, hoặc các giả hạt (hạt phonon âm, hạt phonon quang)) chuyển
động tự do theo hai chiều, một chiều hoặc khơng chiều. Kích thước của những
hệ này theo chiều giới hạn cỡ bước sóng De Broglie (10-9 – 10-10 m). Khi đó
phổ năng lượng hàm sóng mô tả trạng thái, mật độ trạng thái thay đổi một cách
rõ rệt dẫn đến các tính chất điện, quang của hệ thấp chiều khác biệt với hệ bán
dẫn ba chiều. Các quy luật chuyển động không tuân theo cơ học cổ điển mà
tuân theo quy luật lượng tử.
1.1.

Lý thuyết lượng tử hóa lần thứ hai [5]
Phương trình Schrodinger mơ tả hệ N hạt đồng nhất ở trong trường ngoài

V(x), trường hợp các hạt này không tương tác với nhau :
𝑖ħ

𝜕𝜓(𝑞1 ,𝑞2 ,…,𝑞𝑛 ,𝑡)
𝜕𝑡

̂

= {∑𝑁
𝑖=1 𝐻𝑖 }𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡)

Trong đó 𝑞𝑖 là tập hợp các tọa độ, 𝐻𝑖 (𝑞𝑖 ) = −

ℎ2
2𝑚

(1.1)

∆𝑖 + 𝑉(𝑞𝑖 ) là toán tử

Hamilton của hạt thứ i. Giả sử {𝜑𝑘 (𝑞)} là hệ trực chuẩn và đủ các hàm riêng
của tốn tử ecmite nào đó của hạt. Hàm sóng 𝜑𝑘 (𝑞) mô tả hạt ở trạng thái
lượng tử k nào đó. Các hàm này có thể là hàm riêng của Hamilton tự do.
Hàm sóng 𝜓 theo hệ các hàm riêng:
𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑁 , 𝑡)
= ∑𝑘1,𝑘2 ,…,𝑘𝑁 𝐶(𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡)𝜑𝑘1 (𝑞1 ) 𝜑𝑘2 (𝑞2 ) … 𝜑𝑘𝑁

(1.2)

Tập hợp các số 𝐶(𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡) này hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái
của hệ. Thật vậy, biết được các hệ số này ta có thể khơi phục được hàm sóng
của hệ theo cơng thức (1.2). Ngược lại biết hàm sóng 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡) sử
dụng hệ trực chuẩn các hàm {𝜑𝑘 (𝑞)} ta có thể tính được các hệ số:
𝐶(𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡) =
4


∫ 𝜑𝑘∗ 1 (𝑞1 )𝜑𝑘∗ 2 (𝑞2 ) … 𝜑𝑘∗ 𝑁 (𝑞𝑁 ) 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑁 , 𝑡)𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁


(1.3)

Tập hợp các hệ số này được gọi là hàm sóng trong biểu diễn của tốn tử
đã cho. Dễ dàng nhận được phương trình cho hàm sóng biểu diễn mới. Ta thay
khai triển (1.2) vào phương trình (1.1):
∑

𝑖ħ

𝑘1 ,𝑘2 ,…,𝑘𝑁

𝑑𝐶 (𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡 )
∫ 𝜑𝑘1 (𝑞1 )𝜑𝑘2 (𝑞2 ) … 𝜑𝑘𝑁 (𝑞𝑁 )
𝑑𝑡
× 𝜑∗𝑚 (𝑞1 )𝜑∗𝑚 (𝑞2 ) … 𝜑∗𝑚 (𝑞𝑁 ) 𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁
𝑁

1

=∑

𝑁

2

𝐶 (𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡 )

∑


𝑖=1 𝑘1 ,𝑘2 ,…,𝑘𝑁

× {∫ 𝜑∗𝑚 (𝑞1 )𝜑∗𝑚 (𝑞2 ) … 𝜑∗𝑚 (𝑞𝑁 )
1

𝑁

2

̂𝑖 (𝑞𝑖 )𝜑𝑘 (𝑞𝑖 )]𝜑𝑘 (𝑞1 )𝜑𝑘 (𝑞2 ) … 𝜑𝑘 }𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁
[𝐻
1
2
𝑁
𝑖
𝐶 (𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡 ) ×

∑

=

𝑘1 ,𝑘2 ,…,𝑘𝑁

[∫ 𝜑∗𝑚 (𝑞1 )𝐻1 (𝑞1 )𝜑𝑘 (𝑞1 ) + ∫ 𝜑∗𝑚 (𝑞2 )𝐻2 (𝑞2 )𝜑𝑘 (𝑞2 )
1

1

2


2

+ ∫ 𝜑∗𝑚𝑁 (𝑞𝑁 )𝐻𝑁 (𝑞𝑁 )𝜑𝑘𝑁 (𝑞𝑁 )] 𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁
= ∑𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑁 𝐶(𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡)
∗
× ∑𝑁
𝑖=1 ∫ 𝜑𝑚 (𝑞𝑖 )𝐻𝑖 (𝑞𝑖 )𝜑𝑘 (𝑞𝑖 )𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁
𝑖

𝑖

(1.4)

∗ (𝑞 )𝜑 ∗ (𝑞 )
∗
Nhân phương trình (1.4) với 𝜑𝑚
1
𝑚2 2 … 𝜑𝑚𝑁 (𝑞𝑁 ), lấy tích phân
1

theo tọa độ của tất cả các hạt, đồng thời sử dụng điều kiện trực chuẩn của hàm
𝜑𝑘 (𝑞), chúng ta nhận được phương trình Schrodinger trong biểu diễn mới:
𝑖ħ

𝑑𝐶(𝑚1 ,𝑚2 ,…,𝑚𝑁 ,𝑡)
𝑑𝑡

= ∑𝑁
𝑖=1 𝐻𝑚𝑖 𝑘𝑖 ∑𝑘𝑁 𝐶(𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑁 , 𝑡)


(1.5)

∗ (𝑞 )𝐻
𝐻𝑚𝑖 𝑘𝑖 = ∫ 𝜑𝑚
𝑖
𝑖 𝜑𝑘𝑖 (𝑞𝑖 )𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁
𝑖

(1.6)

Trong đó:

Sự đối xứng của hệ số tùy thuộc vào các loại hạt đồng nhất. Đối với các
boson, các hàm sóng là đối xứng với phép hốn vị hai hạt, đối với các fermion,
5


các hàm sóng là phản đối xứng. Đầu tiên chúng ta xét hệ các boson. Trong
trường hợp này, sự hoán vị hai hạt bất kỳ khơng thay đổi hàm sóng, ví dụ:
𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡) = 𝐶(𝑚2 , 𝑚1 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡)

(1.7)

Công thức (1.7) có nghĩa là hàm sóng khơng phụ thuộc vào điều những
hạt nào ở trạng thái 𝑚1 và những hạt nào ở trạng thái 𝑚2 , sự phụ thuộc ở đây
là bao nhiêu hạt trong tổng số hạt N ở trạng thái 𝑚1 và bao nhiêu hạt ở trạng
thái 𝑚2 ,… Và thực tế những hàm sóng (1.7) là hàm số của số hạt (của số lấp
đầy) trong từng trạng thái. Chúng ta kí hiệu là 𝑁1 và 𝑁2 ,… tương ứng là số hạt
ở trạng thái lượng tử thứ nhất 𝑚1 và trạng thái thứ 𝑚2 , … Đối với các hạt boson
các số 𝑁𝑖 là các số nguyên tùy ý, đối với các hạt fermion 𝑁𝑖 bằng khơng hoặc

bằng 1. Hàm sóng 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑡). Trong biểu diễn này có dạng:
|𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑡)|2 = ∑𝑁1,𝑁2 ,….|𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡)|2

(1.8)

Ở đây phép lấy tổng theo tất cả các trạng thái, mà trong đó 𝑁1 hạt ở trạng
thái thứ nhất, 𝑁2 ở trạng thái thứ hai,… Số lượng các trạng thái lượng tử như
vậy bằng 𝑁! (𝑁1 ! 𝑁2 ! … )−1 .
Hàm sóng của hệ các hạt boson là đối xứng, có nghĩa là khơng thay đổi
khi hốn vị các hạt. Vậy hệ thức (1.8) có thể viết dưới dạng:
|𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑡)|2 =
(𝑁

𝑁!

1 !𝑁2 !… )

|𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡)|2

(1.9)

Hay:
𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑡) = √(𝑁

𝑁!

1 !𝑁2 !… )

𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡)


(1.10)

Tổng theo tất cả các trạng thái khả dĩ của hạt thứ i:
∑𝑖,𝑘 𝐻𝑚𝑖𝑚𝑘 𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑡)

(1.11)

Nếu hàm sóng:
𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … 𝑚𝑖 … . 𝑘𝑖 … . 𝑚𝑁 , 𝑡)
6

(1.12)


tương ứng với trạng thái mà ở đó:
𝑁𝑚𝑖 → 𝐻ạ𝑡 ở 𝑡𝑟ạ𝑛𝑔 𝑡ℎá𝑖 → 𝑚𝑖

(1.13)

𝑁𝑘𝑖 → ℎạ𝑡 ở 𝑡𝑟ạ𝑛𝑔 𝑡ℎá𝑖 → 𝑘𝑖
Ta có:
𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … 𝑘𝑖 … . 𝑚𝑖 … . 𝑚𝑁 , 𝑡)

(1.14)

Tương ứng với trạng thái, mà ở đó:
𝑁𝑚𝑖 − 1 → hạt ở trạng thái → 𝑚𝑖

(1.15)


𝑁𝑘𝑖 + 1 → hạt ở trạng thái→ 𝑘𝑖
Vì hạt thứ i bây giờ không ở trạng thái 𝑚𝑖 mà ở trạng thái 𝑘𝑖 . Kết quả nhận
được hàm sóng:
𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚𝑖 − 1 … . , 𝑁𝑘𝑖 + 1 … . . , 𝑡) =
𝑁!

√(𝑁

1 !𝑁2 !…(𝑁𝑚𝑖 −1)!…(𝑁𝑘𝑖 +1)!… )

𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡)

(1.16)

Vậy tổng (1.11) có dạng:
𝑁1 ! 𝑁2 ! … (𝑁𝑚𝑖 − 1)! … (𝑁𝑘𝑖 + 1)! …
×
∑ 𝐻𝑚𝑖𝑚𝑘 √
𝑁!
𝑖,𝑘

× 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚𝑖 − 1 … . , 𝑁𝑘𝑖 + 1 … . . , 𝑡)

(1.17)

Ta phải lấy tổng biểu thức (1.17) theo chỉ số i. Ở đây, đối với tất cả các
hạt trong trạng thái 𝑚𝑖 (tổng số của chúng bằng N), thì kết quả sẽ như nhau:
𝑁

∑ ∑ 𝐻𝑚𝑖 𝑚𝑘 𝐶(𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑁 , 𝑡) =

𝑖=1 𝑘𝑖

𝑁1 ! 𝑁2 ! … (𝑁𝑚 − 1)! … (𝑁𝑘 + 1)! …
×
∑ 𝐻𝑚,𝑘 × 𝑁𝑚 √
𝑁!
𝑚,𝑘

7


× 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚𝑖 − 1 … . , 𝑁𝑘𝑖 + 1 … . . , 𝑡)

(1.18)

Ở đây tổng lấy theo m và k được tiến hành theo tất cả các trạng thái khả
dĩ của hạt. Lúc đó phương trình Schrodinger trong biểu diễn các số lấp đầy sẽ
có dạng:
𝑖ħ

𝑑𝑓(𝑁1 ,𝑁2 ,….,𝑡)
𝑑𝑡

= ∑𝑚,𝑘 𝐻𝑚,𝑘 √𝑁𝑚 (𝑁𝑘 + 1), 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚 − 1 … . , 𝑁𝑘 + 1 … . . , 𝑡) ×
× 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚𝑖 − 1 … . , 𝑁𝑘𝑖 + 1 … . . , 𝑡)

(1.19)

Đây chính là phương trình cần phải tìm. Các biến số độc lập có thể lấy các
số lượng hạt ở các trạng thái riêng biệt. Phương trình (1.19) có thể viết dưới

dạng thuận tiện hơn, nếu đưa vào các toán tử sinh và hủy hạt 𝑎̂𝑘+ và 𝑎̂𝑘 . Các
tốn tử sinh và hủy hạt có tác dụng lên hàm sóng được xác định trong biểu diễn
của các số lấp đầy:
𝑎̂𝑘+ 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑁𝑘 , … ) = √𝑁𝑘 + 1𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑁𝑘 + 1, … )
𝑎̂𝑘 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑁𝑘 , … ) = √𝑁𝑘 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑁𝑘 − 1, … )

(1.20)

Toán tử 𝑎̂𝑘 được gọi là toán tử hủy hạt ở trạng thái k, toán tử liên hợp
ecmite 𝑎̂𝑘+ là toán tử sinh hạt của hạt Boson cũng ở trạng thái đó. Từ định nghĩa
các tốn tử này suy ra các toán tử này thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau đây:
𝑎̂𝑙 𝑎̂𝑘+ − 𝑎̂𝑘+ 𝑎̂𝑙 = [𝑎̂𝑙 , 𝑎̂𝑘+ ]= 𝛿𝑙𝑘

(1.21)

[𝑎̂𝑙 , 𝑎̂𝑘 ] = [𝑎̂𝑙+ , 𝑎̂𝑘+ ] = 0
Nhờ các toán tử (1.21) có thể biểu diễn phương trình (1.19) dưới dạng:
𝑖ħ

𝑑𝑓(𝑁1 ,𝑁2 ,….,𝑡)
𝑑𝑡

̂ 𝑓(𝑁1 , 𝑁2 , … . , 𝑡)
=𝐻

̂ = ∑𝑞 ℏ𝜔𝑞 (𝑎𝑞+ 𝑎𝑞 + 1)
𝐻
2

8


(1.22)
(1.23)


H gọi là Hamiltonian được lượng tử hóa thứ cấp. Phương trình (1.22) hồn
tồn tương đương với phương trình (1.1) cho N hạt ở khơng gian cấu hình.
Phương trình (1.22) là phương trình trong “N” biểu diễn, có nghĩa là biểu diễn
mà trong đó người ta lấy số lấp đầy các hạt 𝑁1 , 𝑁2 , … . 𝑁𝑚 trong các trạng thái
lượng tử khác nhau 1,2,… m là các biến số.
Phương trình (1.22) là phương trình tổng quát và tổng số hạt khơng được
chứa trong đó dưới dạng hiện. Ở đây N = const, song phương trình (1.22) sẽ
đúng cho bất kỳ số lượng nào của các hạt boson đồng nhất.
1.2.

Tổng quan về hệ bán dẫn hai chiều
Trong hệ bán dẫn hai chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một

chiều có kích thước cỡ bước sóng De Broglie, trong khi chuyển động của điện
tử tự do theo hai chiều còn lại. Năng lượng theo (Oxy) liên tục, theo Oz gián
đoạn. Hàm sóng theo (Oxy) sóng phẳng đơn sắc, theo Oz sóng đứng.
Đối với hố lượng tử, sự giới hạn điện tử trong một chiều khiến cho năng
lượng là tổng các trạng thái lượng tử hóa đi kèm với sự giam giữ:
εn =

𝑛 2 ħ2 𝑘 2
2𝑚∗ 𝐿2

(1.24)


Mật độ trạng thái trong hố lượng tử liên quan với năng lượng này và được
cho bởi:
ρ2D(E) =

𝑚∗
2𝜋ħ2

∑𝑛=1 ʘ (𝐸 − 𝜀𝑛 )

(1.25)

với ʘ là hàm bậc thang Heavisside. Mật độ trạng thái có dạng bậc thang,
với mỗi số hạng trong tổng tương ứng có đóng góp từ vùng thứ n. Mỗi số
hạng độc lập với mức năng lượng εn , và cách nhau một khoảng m*/2πħ.

9


1.2.1. Siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn
hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày 𝑑1 , ký hiệu là A,
độ rộng vùng cấm hẹp 𝜀𝑔𝐴 (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng
có độ dày 𝑑2 ký hiệu là B có vùng cấm rộng 𝜀𝑔𝐵 (ví dụ như AlAs). Các lớp
mỏng này xen kẽ vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vng góc với các lớp
trên).
Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng
rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung và
thể mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế từ lớp bán dẫn
vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử
ngồi việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hồn của tinh thể nó cịn chịu ảnh hưởng

của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng
giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai siêu mạng, và cũng biến thiên tuần
hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế
siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử trong
siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều. Các tính chất vật lý
của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thơng qua việc giải
phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh
thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng.
Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
⃗ ⏊ ) = 2∆ − ∆(𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝑑 + 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑑)
𝜀𝑛 (𝑘

(1.26)

Trong biểu thức  là độ rộng của vùng mini; 𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 là chu kỳ siêu
mạng; 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x, y trong
mặt phẳng siêu mạng. Phổ năng lượng của mini vùng có dạng:
⃗ ) = 𝜀𝑛 − ∆𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑧 𝑑
𝜀𝑛 (𝑘
10

(1.27)


Trong đó ∆𝑛 là độ rộng của vùng mini thứ n, xác định bởi biểu thức:

∆𝑛 = −4(−1)𝑛

𝑑𝑜
𝑑−𝑑𝑜


𝜀𝑛

𝑈
𝑒𝑥𝑝{−√2𝑚∗ (𝑑−𝑑𝑜 )2 2𝑜 }
ħ

(1.28)

𝑈
√2𝑚∗ (𝑑−𝑑𝑜 )2 2𝑜
ħ

Trong công thức, 𝑑𝑜 là độ rộng của hố thế biệt lập; 𝑈𝑜 = ∆𝜀𝑐 + ∆𝜀𝑣 là độ
sâu của hố thế biệt lập; ∆𝜀𝑐 = |𝜀𝑐𝐴 − 𝜀𝑐𝐵 | là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử
được xác định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B; ∆𝜀𝑣 =
|𝜀𝑣𝐴 − 𝜀𝑣𝐵 | là độ sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các
cực đại của các khe năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng;
𝜀𝑛 =

ħ2 𝜋 2
2𝑚∗ 𝑑 2

là các mức năng lượng trong hố thế biệt lập.

𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧 𝑑 ) = 𝑐𝑜𝑠(𝑘2 𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑘2 𝑏) −

𝑘12 −𝑘22
2𝑘1 𝑘2


𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝑎)sin(𝑘2 𝑏) (1.29)

1
2

1

𝑘1 = (2𝑚∗(2) 𝐸𝑥 (𝑘𝑧 ))
ħ
1

(1.30)
1
2

∗

𝑘2 = [2𝑚 (∆(𝑟) − 𝜀𝑠 (𝑘𝑧 ))]
ħ

(1.31)

Từ đó ta có:
2𝑘2
⏊
2𝑚∗

⃗)=ħ
𝜀𝑛 (𝑘


+

ħ2 𝜋 2 𝑛 2
2𝑚∗ 𝑑 2

− ∆𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧 𝑑)

(1.32)

∆(𝑟) = ∆𝜀𝑐 + ∆𝜀𝑣 là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng
lượng hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh
lệch của các vùng dẫn ∆𝜀𝑐 và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị ∆𝜀𝑣
của hai lớp bán dẫn kế tiếp.
Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với
hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với
biên độ của thế mạng tinh thể. Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hồn trong siêu
mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng
11


lượng, quy luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm
thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng.
Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng khơng suy biến, phương trình
Schrodinger có dạng:
−

ħ2
2𝑚∗

∆2 𝜓(𝑟) + ∆(𝑟)𝜓(𝑟) = 𝐸𝜓(𝑟)


(1.33)

Vì ∆(𝑟) là tuần hồn nên hàm sóng của điện tử 𝜓(𝑟) có dạng hàm Block
thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm
sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong
gần đúng liên kết mạnh) có dạng:
𝜓 (𝑟 ) =

1
√𝐿𝑥 𝐿𝑦 𝑁

𝑁

𝑑
𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦)] ∑𝑚=1
𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑧 𝑚𝑑 )𝜓𝑠 (𝑧 − 𝑚𝑑 )

(1.34)

Trong đó 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 là độ dài chuẩn hóa theo hướng x, y; d và 𝑁𝑑 là chu kỳ
và số chu kỳ siêu mạng hợp phần; 𝜓𝑠 (𝑧) là hàm sóng của điện tử trong hố cơ
lập.
1.2.2. Siêu mạng pha tạp
Siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn bao gồm một chuỗi tuần hoàn các
lớp tinh thể mỏng đan xen kế tiếp nhau, trong đó lớp đan xen là các hợp chất
giống nhau được pha tạp khác nhau (ví dụ như GaAs:Be, GaAs:Si). Như vậy,
siêu mạng pha tạp là siêu mạng bán dẫn trong một khối đồng chất, mà khối
đồng chất này chỉ bị điều biến bằng cách pha tạp theo chu kỳ xen kẽ giữa lớp n
và lớp p.

Một đặc điểm quan trọng của siêu mạng pha tạp là hàm sóng vùng dẫn của
các dãy nhỏ bị di dời ½ chu kì của siêu mạng so với các hàm sóng của vùng
𝑒𝑓𝑓

hóa trị. Vì vậy, khe hở 𝐸𝑔 có thể coi là một độ hở gián tiếp trong không gian
thực. Sự phân biệt không gian giữa điện tử - lỗ trống là rất hoàn chỉnh và ảnh
hưởng của nó là rất mạnh, nó tạo ra sự thay đổi chu kỳ giữa các mép giải. Do
12


đó, thế tuần hồn trong siêu mạng pha tạp gây bởi điện tích trong khơng gian
khác hẳn với siêu mạn hợp phần. Ưu điểm của siêu mạng pha tạp về mặt cấu
trúc điện tử là: có thể sử dụng một bán dẫn thuần chất được điều biến bằng cách
chập nó lên một chu kỳ siêu mạng. Thế điện tích khơng gian biến đổi chậm
theo khoảng cách thứ tự của hệ số mạng khối và những phần năng lượng ta xét
những giải này đủ gần ở mép giải. Do đó ta có thể bỏ qua các lượng hiệu chỉnh
do tính khơng parabol của các giải. Như vậy, thế duy trì khơng đổi 𝑣𝑠𝑐 (𝑧) của
siêu mạng pha tạp bao gồm phần đóng góp của thế ion trần (bare ion) 𝑣𝑖 (𝑧),
thế Hartree 𝑣𝐻 (𝑧), thể trao đổi tương quan 𝑣𝑥𝑐 (𝑧).
𝑣𝑠𝑐 (𝑧) = 𝑣𝑖 (𝑧) + 𝑣𝐻 (𝑧) + 𝑣𝑥𝑐 (𝑧)
4𝜋𝑒 2

𝑣𝑖 (𝑧) = (

𝜒𝑜

4𝜋𝑒 2

𝑣𝐻 (𝑧) = (


𝜒𝑜

𝑧

𝑧′

) ∫0 𝑑𝑧 ′ ∫0 [𝑛𝐷 (𝑧 ′′ ) − 𝑛𝐴 (𝑧 ′′ )] 𝑑𝑧 ′′
𝑧

𝑧′

) ∫0 𝑑𝑧 ′ ∫0 [−𝑛(𝑧 ′′ ) + 𝑝(𝑧 ′′ )] 𝑑𝑧 ′′

(1.35)
(1.36)

(1.37)

Với 𝑛𝐷 (𝑧 ′′ ) 𝑣à − 𝑛𝐴 (𝑧 ′′ ) tương ứng là hàm phân bố điện tích đồng đều
của các hạt donor và acceptor, 𝑛(𝑧) và 𝑝(𝑧) là hàm phân bố hạt tải donor và
acceptor, 𝜒𝑜 là hằng số điện môi trong bán dẫn khối.
Trong gần đúng mật độ cục bộ đối với hàm mật độ của các hạt tải tự do
thì thế trao đổi tương quan có dạng:
𝑣𝑥𝑐 (𝑧) ≈ 𝑣𝑥 ≈ 0.611

𝑒 2ư
𝑘𝑜

4𝜋


−1
3

(3𝑛(𝑧))

(1.38)

Trong trường hợp này, phương trình Schrodingr cho một hạt có dạng:
2

ħ
⃗ )ɸ ⃗ (𝑟)
{− (2𝑚 ) ∆ − 𝑣𝑠𝑐 (𝑧)} ɸ𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑟) = 𝜀𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑘
𝑖,𝑛,𝑘
𝑖

13

(1.39)


Trong các công thức trên, chỉ số i=e ứng với điện tử; i=vl ứng với lỗ trống
⃗ = (𝑘
⃗ ⏊, 𝑘
⃗ 𝑧 ) là vector
nhẹ; i=vh ứng với lỗ trống nặng; chỉ số n=0, 1, 2, … ; 𝑘
sóng với

−𝜋
𝑑


𝜋

≤ 𝑘𝑧 ≤ .
𝑑

Nếu chúng ta bỏ qua các vùng đan xen với nhau bởi thế 𝑣𝑠𝑐 (𝑧) thì sẽ tách
được nghiệm của các hạt gần tự do truyền song song với lớp pha tạp với động
năng là

2
ħ2 𝑘⏊

2𝑚𝑖

(cho các hạt chuyển động theo trục siêu mạng được chọn hướng

là z). Hàm sóng thu được có dạng:
⃗ )𝑢𝑖,𝑘 (𝑟)𝛹 ⃗
ɸ𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑟) = 𝑒𝑥𝑝(𝑖, 𝑛, 𝑘
𝑖,𝑛,𝑘⏊
𝑜

(1.40)

Với 𝑢𝑖,𝑘𝑜 (𝑟) là hàm Block và 𝛹𝑖,𝑛,𝑘⃗⏊ là hàm sóng bao của vùng (i, n) với
momen 𝑘𝑧 . Khi đó phương trình Schrodinger là năng lượng được viết lại như
sau:
2


2

ħ
𝑑
⃗ )𝛹 ⃗ (𝑧)
{− (2𝑚 ) 𝑑2 + 𝑣𝑘⃗ (𝑠𝑐)} ɸ𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑟) = 𝜀𝑖,𝑛,𝑘⃗ (𝑘
𝑖,𝑛,𝑘𝑧
𝑖

(1.41)

𝑧

⃗)=(
𝜀𝑖,𝑛 (𝑘

ħ2
2𝑚𝑖

2
⃗ 𝑧)
+ 𝜀𝑖,𝑛 (𝑘
) 𝑘⏊

(1.42)

Đối với siêu mạng pha tạp điển hình là siêu mạng pha tạp bù trừ có các
thơng số đặc trưng 𝑑𝑝 = 𝑑𝑛 và nồng độ pha tạp khơng đổi và bằng nhau 𝑛𝐷 =
𝑛𝐴 , điện tích trong khơng gian chỉ chứa 𝑣𝑖 (𝑧) có dạng parabol và biên độ 𝑉𝑜
được viết dưới dạng:

𝑉𝑜 =

4𝜋𝑒 2
𝑘

𝑛𝐷

𝑑2

(1.43)

8

Như vậy, biên độ tỉ lệ thuận với nồng độ pha tạp và bình phương độ dày
lớp. Trong trường hợp này, năng lượng điện tử có dạng:
4𝜋𝑒 2 𝑛𝐷

𝜀𝑒,𝑛 = ħ√

14

𝜒𝑜

𝑚∗

1

(𝑛 + 2)

(1.44)



Công thức trên chỉ áp dụng với độ dày các lớp đủ mỏng (𝑑𝑝 = 𝑑𝑛 <
70𝑛𝑚) và nồng độ pha tạp 𝑛𝐷 = 𝑛𝐴 < 1018 𝑐𝑚−3
1.2.3. Hố lượng tử
Một trong những tham số quan trọng của chất bán dẫn là độ vùng cấm
năng lượng. Nếu chúng ta tạo ra các lớp tiếp xúc của chất bán dẫn bằng phương
pháp Epitaxy thì có thể xảy ra một số khả năng [14]. Khả năng thứ nhất, các
điện tử trong lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp sẽ bị phản xạ khi chúng đi đến dị
tiếp xúc bên phải, vì thế chúng bị giam giữ trong lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp.
Vì các điện tử trong lớp bán dẫn có vùng cấm rộng là ở trong miền có thế năng
cao hơn nên khi tiến tới lớp dị tiếp xúc từ bên trái các điện tử được gia tốc bởi
điện trường tại mặt phân cách và hiệu thế năng chuyển thành động năng của
chúng. Chuyển động của các điện tử này được tăng tốc theo chiều vng góc
với mặt tiếp xúc. Khả năng thứ hai, hai lớp dị tiếp xúc được ghép cạnh nhau
tạo thành một hàng rào thế hoặc tạo thành một hố lượng tử. Các cấu trúc này
rất được chú ý khi các kích thước của chúng nhỏ hơn bước sóng De Broglie đối
với điện tử.
Trong trường hớp hai lớp dị tiếp xúc ghép cạnh nhau tạo thành một hố
lượng tử, đó là cấu trúc một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp
chất bán dẫn khác có cấu trúc mạng gần như nhau. Sự khác biệt giữa các cực
tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo nên một hế lượng tử đối với điện tử. Các
hạt tải nằm trong vùng bán dẫn có vùng cấm này không thể xuyên qua mặt phân
cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Vì vậy, trong các cấu trúc này hạt tại
bị định xứ mạnh và gần như bị cách li lẫn nhau trong các hố lượng tử hai chiều.
Hàm sóng của điện tử sẽ bị phản xạ tại các thành của hố và phổ năng lượng của
nó bị lượng tử hóa. Các giá trị xung lượng được phép của điện tử theo chiều
vng góc với mặt tiếp xúc cũng bị giới hạn. Sự lượng tử hóa năng lượng của
điện tử trong hố lượng tử thành các mức năng lượng gián đoạn, người ta có thể
điểu chỉnh hoặc tối ưu hóa bằng cách lựa chọn độ rộng và độ sâu của hố thế

15


(hay độ cao của hàng rào thế) của các vật liệu cho một mục đích ứng dụng cụ
thể hoặc điều khiển chính xác sự dịch chuyển của điện tử trong các thiết bị kiểu
transistor.
Chúng ta xem xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử tự do trong hố
thế lượng tử. Trước hết, về mặt hình thức, ta thấy cấu trúc với hệ điện tử chuẩn
về hai chiều đều có thể xem như hố thế một chiều V(z) theo hướng mà chuyển
động của các điện tử bị giới hạn theo hướng z. Sự khác biệt giữa cấu trúc này
là dạng của V(z).
Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố thế đó bị lượng
tử hóa và năng lượng của điện tử sẽ được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào
đó 𝜀𝑛 (n= 1, 2, …). Trong khi đó, chuyển động của các điện tử trong mặt phẳng
(x, y) là tự do, phổ năng lượng của điện tử sẽ có dạng parabol thơng thường:
𝜀⊥ =

ℏ2
2𝑚∗

(𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )

(1.45)

Trong đó 𝑘𝑥2 , 𝑘𝑦2 lần lượt là các thành phần của vector sóng của điện tử
theo các hướng x và y. Vì vậy phổ năng lượng tổng cộng của điện tử có dạng:
𝜀 = 𝜀𝑛 + 𝜀⊥

(1.46)


Trong trường hợp có mặt của điện trường ngồi yếu, có thể sử dụng mơ
hình lý tưởng hóa hố thế chữ nhật và chiều cao của hố lượng tử được coi là vơ
hạn. Giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế
này, phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử có dạng:
𝜀𝑘⊥ =

ℏ2
2𝑚∗

(𝑘⊥2 + 𝑘𝑧𝑛 2 )

(1.47)

Ψ𝑒 (𝑟) = Ψ0 𝑒 𝑖𝑘⃗⊥𝑟⊥ sin(𝑘𝑧𝑛 𝑧)

(1.48)

⃗ ⊥ tương ứng là vị trí và vector
Trong đó Ψ0 là hằng số chuẩn hóa , 𝑟⊥ , 𝑘
sóng của của điện tử trong mặt phẳng (x, y), 𝑘𝑧𝑛 =
16

𝑛𝜋
𝐿

là các giá trị của vector


sóng của điện tử theo chiều z, L là độ rộng của hố lượng tử, 𝑛 = 1, 2, … là chỉ
số các mức năng lượng gián đoạn trong hố lượng tử.

Như vậy, trong hố lượng tử xuất hiện hiệu ứng lượng tử kích thích, tách
các vùng năng lượng thành các “mini” vùng và khí điện tử mang đặc trưng
điện tử hai chiều.
1.3.

Tổng quan về hệ bán dẫn một chiều
Dây lượng tử cũng như ống nano cacbon đều thuộc hệ cấu trúc bán dẫn

một chiều. Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo hai
chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại.
Sự giam cầm điện tử trong dây lượng tử làm xuất hiện các hiệu ứng giảm kích
thước, hàm sóng và phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai
chiều.
Mật độ trạng thái của hệ một chiều có dạng:
1

ρ1D(E) =

2𝑚∗ 2
(ħ2𝜋2) ∑𝑛𝑥,𝑛𝑦

1
√𝐸− 𝜀𝑛𝑥, 𝑛𝑦

ʘʘ (𝐸 − 𝜀𝑛𝑥,𝑛𝑦 )

(1.49)

Mật độ trạng thái này rất đặc biệt vì nó phân kì khi động năng nhỏ (ở đáy
của các tiểu vùng nx, ny)

Dây lượng tử được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau như
phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một
cách chế tạo khác là sử dụng các cổng trên một transistor hiệu ứng trường, bằng
cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều.
Người ta có thể tạo ra các dây lượng tử có hình dạng khác nhau, như dây
hình trụ, dây hình chữ nhật,… Mỗi dây lượng tử được đặc trưng bởi một thế
giam giữ khác nhau.

17


Bài tốn tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có
thể được tìm thấy nhờ giải phương trình Schrodinger cho điện từ trong hệ một
chiều:
HΨ = {−

ħ2
2𝑚∗

𝛻 2 + 𝑉(𝑟) + 𝑈(𝑟)} 𝛹 = E𝛹

(1.50)

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng
giam giữ điện tử do sự giảm kích thước.
1.3.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vô hạn khi vắng mặt từ trường
Xét dây lượng tử hình trụ bán kính R chiều dài dây 𝐿𝑧 . Điện tử bên trong
dây được giam cầm bởi một hố thế cao vơ hạn có dạng:
𝑉(𝑟) = { 0 𝑛ế𝑢 𝑟 < 𝑅

∞ 𝑛ế𝑢 𝑟 > 𝑅

(1.51)

Hàm sóng của điện tử bị giam cầm trong dây lượng tử hình trụ với hố thế
tương ứng thu được từ việc giải phương trình Schodinger:
𝜓𝑛,𝑙,𝑝⃗⃗⃗ (𝑟, 𝜙, 𝑧) =

1
√𝑉0

𝑒 𝑖𝑛𝜙 𝑒 𝑖𝑝𝑧𝑧 𝜓𝑛,𝑙 (𝑟), 𝑟 < 𝑅

(1.52)

Trong đó V0 = 𝜋𝑅2 𝐿𝑧 là thể tích của dây, n=0,±1, ±2, ±3 …. là số lượng
tử phương vị, l= 1,2,3,.. là số lượng tử xuyên tâm, 𝑝 = (0,0, 𝑝𝑧 ) là vector sóng
của điện tử dọc theo trục z của dây, 𝜓𝑛,𝑙 (𝑟) là hàm sóng xuyên tâm của điện tử
chuyển động trong mặt phẳng (Oxy) có dạng:
𝜑𝑛,𝑙 (𝑟) =

1
𝐽𝑛+1 ( 𝐵𝑛,𝑙

𝑟

𝐽 (𝐵𝑛,𝑙 ),
) 𝑛
𝑅


(1.53)

Trong đó 𝐵𝑛,𝑙 là nghiệm thứ 𝑙 của hàm Bessel cấp n tương ứng với phương
trình 𝐽𝑛 ( 𝐵𝑛,𝑙 ) = 0, ví dụ, 𝐵01 = 2.405 và 𝐵11 = 3.832.
Phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong dây lượng tử hình trụ được
viết như sau [15]:
18


𝜀𝑛,𝑙 (𝑝) = 𝜀(𝑝𝑧) + 𝜀𝑛,𝑙

(1.54)

Trong đó, 𝜀(𝑝𝑧) = 𝑝𝑧2 ⁄2𝑚∗ là động năng theo phương chuyển động tự do
2
⁄2𝑚∗ 𝑅 2 là năng lượng bị lượng tử theo các
(Oz) của electron, 𝜀𝑛,𝑙 = 𝐵𝑛,𝑙

phương còn lại, 𝑚∗ là khối lượng hiệu dụng của điện tử (chọn ℏ = 1).
1.3.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của lượng tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vơ hạn khi vắng mặt từ trường ngồi
Hàm sóng và phổ năng lượng điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố
thế cao vơ hạn là nghiệm của phương trình Schrodiger và được viết dưới dạng:
0 < 𝑥 < 𝐿𝑥
1
2
𝑛𝜋𝑥
2
𝑙𝜋𝑥
√𝐿 𝑒 𝑖𝑝𝑧𝑧 √𝐿 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 ) √𝐿 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 ) , {0 < 𝑦 < 𝐿

𝑧
𝑥
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝛹𝑛,𝑙,𝑃𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(1.55)
𝑥 > 𝐿𝑥
0
, {𝑦 > 𝐿
{
𝑦

𝜀𝑛,𝑙 (𝑝) =

𝑝𝑧2
2𝑚

+
∗

𝜋2

𝑛2

𝑙2

𝑥


𝐿2𝑦

( +
2𝑚∗ 𝐿2

)

(1.56)

Trong đó, n, l là các số lượng tử, n = ±1, ±2, ±3, …, l= 1,2,3,… ; Lx, Ly
là kích thước của dây lượng tử theo hai phương x, y.
1.3.3. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình
trụ hố thế Parabol khi vắng mặt từ trường
Giả sử hố thế giam giữ dạng Parabol đối xứng trong mặt phẳng xy:
1

𝑉 = 𝑚∗ 𝜔0∗ 2 𝑅2

(1.57)

2

Với 𝜔0 ∗ là tần số hiệu dụng của hố thế.
Hàm sóng và phổ năng lượng thu được từ việc giải phương trình
Schrodinger cho hố thế dạng Parabol như sau:
Ψ=

𝑒 𝑖𝑘𝑧
√𝐿


2!

√(𝑛+|𝑙|)!

1
𝑎0

19

𝑒

𝑟2
2𝑎2
0

−

𝑟

|𝑙|

𝑟2

( )|𝑙| 𝐿𝑛 ( 2)
𝑎
𝑎
0

0


(1.58)