BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀI
TẬP MỞ VÀ TẬP ĐĨNG SUY RỘNG TRONG KHƠNG
GIAN TƠPƠ

GVHD: TS. Lương Quốc Tuyển
SVTH: Trần Thị Đào
Lớp: 13CTUD
Khoa: Toán

ĐÀ NẴNG, 2017


LỜI CẢM ƠN
Trải qua 4 năm học tập và rèn luyện tại trường Đại học Sư phạm - Đại
học Đà Nẵng, em đã học tập rất nhiều điều bổ ích, thiết thực trong cuộc
sống. Được học tập và làm việc trong một môi trường trong sạch và lành
mạnh, giúp em trưởng thành hơn rất nhiều cả về tri thức lẫn nhận thức.
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin chân thành
cảm ơn trường Đại học Sư phạm và khoa Tốn đã ln tạo mọi thuận lợi
để em hồn thành khóa học. Xin cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn đã
giảng dạy nhiệt tình, ln tiếp lửa và truyền cảm hứng cho em trên con
đường khó khăn sắp đến.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lương Quốc Tuyển,
thầy đã tận tình dẫn dắt và đốc thúc để em có thể hồn thành bài khóa
luận tốt nghiệp.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình,

bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn.
Đà Nẵng, ngày 07 tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Đào

2


Mục lục
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
6
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng gian tơpơ 6
1.2 Không gian Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Không gian compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CHƯƠNG 2. TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG
18
2.1 Tập nửa mở và tập nửa đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Tập mở chính quy và tập đóng chính quy . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo

42

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Từ những khái niệm cơ bản trong lý thuyết tôpô đại cương, bằng con
đường tương tự hóa, khái qt hóa các nhà tốn học đã đề xuất những
khái niệm, những phép toán, những kết quả mới. Năm 1963, N.levine giới
thiệu một lớp mới các tập mở trong khơng gian tơpơ, đó là các tập nửa
mở, các tập nửa đóng. Dựa trên kết quả và hướng đi của N. Levine các nhà
toán học đã mở rộng và nghiên cứu theo nhiều chiều hướng khác nhau.
Năm 1990 P. Ayra và T. Nour dựa trên khái niệm các tập đóng đã
đưa ra khái niệm các tập nửa - đóng suy rộng. Năm 1997, A. Rani và
K. balachansdran đã nghiên cứu các tính chất của các tập đóng suy rộng
chính quy.
Trên cơ sở các bài báo của A. Rani và K. Balachansdran (1997) cùng
với sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết
định chọn nghiên cứu đề tài ” Tập mở và tập đóng suy rộng trong khơng
gian tơpơ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong bài khóa luận, tơi nghiên cứu những vấn đề trong Tơpơ đại cương
về tập mở và tập đóng suy rộng với các mục đích sau:

(1) Hệ thống lại một số kiến thức về tơpơ đại cương.
(2) Tìm hiểu và chứng minh chi tiết các tính chất của các tập
nửa mở, tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính
quy... trong không gian tôpô .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập
mở chính quy, tập đóng chính quy.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về tập mở và tập đóng suy rộng trong
khơng gian tơpơ.
4. Phương pháp nghiên cứu
4



Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài với quy trình nghiên cứu như sau:
(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống lại một số kiến thức của
tôpô đại cương.
(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến ”tập mở và tập đóng suy rộng”.
(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
(4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng
dẫn kết quả đang nghiên cứu để hồn chỉnh khóa luận.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham
khảo dành cho những ai quan tâm nghiên cứu về tập mở và tập đóng suy
rộng trong khơng gian tơpơ.
6. Cấu trúc của khóa luận
Nội dung khóa luận gồm có 2 chương. Ngồi ra khóa luận cịn có Lời
cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết thúc, Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Trong chương này chúng tơi trình bày
một số khái niệm cơ bản của khơng gian tơpơ.
Chương 2. Tập mở và tập đóng suy rộng. Chương này dành cho
việc trình bày một số khái niệm và mối quan hệ giữa các tập nửa mở, tập
nửa đóng, tập nửa chính quy; mối quan hệ giữa tập mở chính quy và tập
đóng chính quy, tập trù mật địa phương và các tính chất của những tập
hợp trên.

5


CHƯƠNG 1


CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tơi trình bày các vấn đề về tôpô đại cương,
các định nghĩa, định lý nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả
trong Chương 2 của khóa luận.

1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng gian
tơpơ

Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập hợp và τ là họ các tập hợp con nào
đó của X . Ta nói τ là một tơpơ trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau.
(1) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;
(2) Nếu U1 ∈ τ ,U2 ∈ τ , thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
(3) Nếu { Ui : i ∈ I } ∈ τ , thì

Ui ∈ τ .
i∈I

Khi đó, cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Các phần tử của X được
gọi là các điểm của không gian tôpô, mỗi phần tử của τ được gọi là một
tập mở trong không gian X .
Ví dụ 1.1.
(1) Giả sử X là tập khơng rỗng và τ = {∅, X}. Khi
đó, τ là một tơpơ trên X và được gọi là tôpô tự nhiên trên
X.
(2) Giả sử X là tập khơng rỗng. Khi đó, họ τ = P (X) là một
tôpô trên X và được gọi là tôpô rời rạc trên X .
(3) Giả sử X là tập vô hạn, đặt


τ = {U ⊂ X : X\U hữu hạn } ∪{∅}.
Khi đó τ là một tôpô trên X và được gọi là tôpô đối hữu
hạn trên X .
6


Chứng minh. (3) Giả sử X là tập vô hạn, đặt

τ = {U ⊂ X : X\U hữu hạn ∪ {∅}.
Khi đó, τ là một tơpơ trên X . Thật vậy, theo giả thiết ta suy ra ∅ ∈ τ và
X\X = ∅ là tập hữu hạn nên X ∈ τ .
Hơn nữa, giả sử {Ui : i ∈ I} là họ gồm những phần tử thuộc τ và đặt
U =
Ui . Khi đó, nếu U = ∅ ta suy ra U ∈ τ . Giả sử U = ∅. Khi đó,
i∈I

tồn tại i ∈ I sao cho Ui = ∅. Bởi vì Ui ∈ τ nên X\Ui hữu hạn. Mặt khác,
vì Ui ⊂ U nên

X\U ⊂ X\Ui .
Do đó, X\U hữu hạn. Bởi vậy, ∪ {Ui : i ∈ I} ∈ τ .
Cuối cùng, giả sử U1 , U2 thuộc τ . Khi đó, nếu U1 ∩ U2 = ∅ ta suy ra
U1 ∩ U2 ∈ τ . Giả sử, U1 ∩ U2 = ∅. Khi đó,

U1 = ∅ và U2 = ∅.
Bởi vì U1 , U2 thuộc τ nên X\U1 và X\U2 hữu hạn. Mặt khác, vì

X\ (U1 ∩ U2 ) = (X\U1 ) ∪ (X\U2 )
nên X\ (U1 ∩ U2 ) hữu hạn. Do vậy, (U1 ∩ U2 ) thuộc τ .

Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X . Ta nói tập con
U ⊂ X là lân cận của x nếu tồn tại tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U .
Nhận xét 1.1. U là tập mở ⇔ U là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Chứng minh. a) Điều kiện cần. Giả sử U ⊂ X và U là tập mở. Khi đó,
đặt V = U . Do đó, với mọi x ∈ U, x ∈ V ⊂ U . Bởi vậy, U là lân cận của
mọi điểm thuộc nó.

b) Điều kiện đủ. Giả sử U ⊂ X và U là lân cận của điểm x thuộc U .
Khi đó, tồn tại tập mở Vx sao cho x ∈ Vx ⊂ U với mọi x ∈ U . Suy ra
{x} ⊂

U=
x∈U

Vx ⊂ U ,
x∈U

7


kéo theo

U=

Vx .
x∈U

Do vậy, U là tập mở.
Định nghĩa 1.3. Cho A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) và x ∈ X .
Khi đó,

(1) x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x.
(2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu X\A là lân cận của x.
Định nghĩa 1.4. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và F ⊂ X . Ta nói F
là tập hợp đóng trong X nếu X\F là tập hợp mở trong X .
Định lý 1.1. Gọi D là họ tất cả tập đóng trong khơng gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó,
(1) ∅ ∈ D, X ∈ D;
(2) Nếu F1 , F2 ∈ D, thì F1 ∪ F2 ∈ D;
(3) Nếu {Fi : i ∈ I} ∈ D, thì

Fi ∈ D.
i∈I

Chứng minh. (1) Suy ra từ định nghĩa tôpô và định nghĩa tập hợp đóng.

(2) Giả sử F1 , F2 ∈ D. Khi đó, X\F1 và X\F2 là các tập mở. Mặt khác,
vì

X\ (F1 ∪ F2 ) = (X\F1 ) ∩ (X\F2 )
nên X\ (F1 ∪ F2 ) là tập mở. Do vậy, F1 ∪ F2 là tập đóng.

(3) Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ gồm các tập đóng trong X . Khi đó, vì mỗi
Fi là tập đóng nên X\Fi là tập mở. Mặt khác, với mọi i ∈ I vì
(X\Fi ) = X\
i∈I

Fi
i∈I

8



nên X\

Fi

Fi là tập đóng.

là tập mở. Do vậy,

i∈I

i∈I

Định nghĩa 1.5. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ). Khi đó
giao của họ tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A. Kí
hiệu là cl (A).
Nhận xét 1.2.
chứa A.

(1) cl (A) là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất

(2) A ⊂ cl (A).
(3) A ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi cl (A) = A.
(4) Nếu A ⊂ B thì cl (A) ⊂ cl (B).
Chứng minh. (1), (2) Suy ra từ định nghĩa 1.5.

(3) Giả sử A ⊂ X . Khi đó,
a) Điều kiện cần. Bởi vì cl (A) là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng
là tập đóng chứa A nên cl (A) ⊂ A. Mặt khác, theo (2), ta có A ⊂ cl (A).

Do vậy, A = cl (A).
b) Điều kiện đủ. Hiển nhiên
(4) Giả sử A ⊂ B . Khi đó, theo (2), ta có B ⊂ cl (B), kéo theo
A ⊂ cl (B). Mặt khác, theo (1), ta suy ra cl (A) là tập đóng nhỏ nhất
chứa A. Do vậy, cl (A) ⊂ cl (B).
Định lý 1.2. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ, F là tập đóng trong X và
x ∈ X . Khi đó, x ∈ F khi và chỉ khi tồn tại lân cận U của x sao cho
U ∩ F = ∅.
Chứng minh. Giả sử F là tập đóng trong khơng gian tơpơ (X, τ ) và x ∈ X .
Khi đó,

a) Điều kiện cần. Giả sử x ∈ F và U là lân cận của x sao cho U ∩F = ∅.
Khi đó, vì U ∩ F = ∅ nên x ∈
/ F . Điều này trái với giả thiết x ∈ F . Do
vậy, U ∩ F = ∅.
9


b) Điều kiện đủ. Giả sử x ∈
/ F và U là lân cận của x sao cho U ∩ F = ∅.
Khi đó, vì x ∈
/ F nên x ∈ X\F . Lại vì F là tập đóng nên X\F là tập mở.
Do đó, theo Nhận xét 1.1, ta suy ra U = X\F là lân cận của x. Bởi thế,
U ∩ F = ∅ . Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U ∩ F = ∅. Do vậy,
x ∈ F.
Định lý 1.3. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A, B ⊂ X . Khi đó,
(1) cl (∅) = ∅; cl (X) = X ;
(2) cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) ∩ cl (B);
(3) cl (A ∪ B) = cl (A) ∪ cl (B);
(4) cl (cl (A)) = cl (A).

Chứng minh. (1) và (4). Hiển nhiên.

(2) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.2, ta suy ra
cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) và cl (A ∩ B) ⊂ cl (B).
Suy ra

cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) ∩ cl (B).
(3) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên
cl (A) ⊂ cl (A ∪ B) và cl (B) ⊂ cl (A ∪ B).
Suy ra

cl (A) ∪ cl (B) ⊂ cl (A ∪ B).
Mặt khác, vì A ⊂ cl (A) và B ⊂ cl (B) nên

A ∪ B ⊂ cl (A) ∪ cl (B).
Hơn nữa, vì cl (A) ∪ cl (B) là tập đóng và A ∪ B ⊂ cl (A) ∪ cl (B) nên nhờ
Nhận xét 1.2(1), ta suy ra
10


cl (A ∪ B) ⊂ cl (A) ∪ cl (B).
Do vậy, cl (A ∪ B) = cl (A) ∪ cl (B).
Định nghĩa 1.6. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A. Kí
hiệu là int (A).
Nhận xét 1.3.
trong A.

(1) int (A) là tập mở và là tập mở lớn nhất nằm


(2) int (A) ⊂ A;
(3) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi int (A) = A;
(4) x ∈ int (A) khi và chỉ khi x là điểm trong của A;
(5) Nếu A ⊂ B , thì int (A) ⊂ int (B).
Chứng minh. (1) và (2) Suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.6.

(3) Giả sử A ⊂ X . Khi đó,
a) Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở. Khi đó, vì int (A) là tập mở lớn
nhất nằm trong A và A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ int (A).
Mặt khác, theo (2), ta có int (A) ⊂ A. Do vậy, A = int (A).
b) Điều kiện đủ. Hiển nhiên.
(4) Giả sử A ⊂ X và x ∈ X . Khi đó,
a) Điều kiện cần. Giả sử x ∈ int (A). Khi đó, x ∈ int (A) ⊂ A. Do vậy,
x là điểm trong của A.
b) Điều kiện đủ. Giả sử x là điểm trong của A. Khi đó, tồn tại tập mở
U sao cho x ∈ U ⊂ A. Mặt khác, vì int (A) là tập mở lớn nhất trong A
nên U ⊂ int (A). Do vậy, x ∈ int (A).
(5) Giả sử A ⊂ B . Khi đó, vì int (A) ⊂ A nên int (A) ⊂ B . Mặt khác,
vì int (B) là tập mở lớn nhất nằm trong B nên int (A) ⊂ int (B).
Định lý 1.4. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X . Khi đó,
11


int (A) = X\cl (X\A)
Chứng minh. Bởi vì

X\cl (X\A) ⊂ X\ (X\A) = A
và X\cl (X\A) là tập mở nên theo Nhận xét 1.3(1), ta suy ra

X\cl (X\A) ⊂ int (A).

Mặt khác, vì X\A ⊂ X\ int (A) và X\int (A) là tập đóng nên

cl (X\A) ⊂ cl (X\int (A)) = X\int (A).
Từ đó ta suy ra
int (A) ⊂ X\cl (X\A).
Do vậy, int (A) = X\cl (X\A).
Định lý 1.5. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô (X, τ ) và A, B ⊂ X . Khi
đó,
(1) int (X) = X ; int (∅) = ∅;
(2) int (A ∩ B) = int (A) ∩ int (B);
(3) int ( int (A)) = int (A);
(4) int (A) ∪ int (B) ⊂ int (A ∪ B).
Chứng minh. (1) và (3). Suy ra từ định nghĩa 1.6.

(2) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.3(5), ta suy
ra
int (A ∩ B) ⊂ int (A) và int (A ∩ B) ⊂ int (B).
Do đó,
int (A ∩ B) ⊂ int (A) ∩ int (B).
12


Mặt khác, vì int (A) ⊂ A và int (B) ⊂ B nên
int (A) ∩ int (B) ⊂ A ∩ B .
Hơn nữa, vì int (A) ∩ int (B) là tập mở và int (A ∩ B) là tập mở lớn nhất
chứa trong A ∩ B nên
int (A) ∩ int (B) ⊂ int (A ∩ B)
Do vậy,
int (A ∩ B) = int (A) ∩ int (B).


(5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo Nhận xét 1.3(5),
int (A) ⊂ int (A ∪ B) và int (B) ⊂ int (A ∪ B).
Suy ra
int (A) ∪ int (B) ⊂ int (A ∪ B).

Định nghĩa 1.7. Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là trù
mật trong X nếu cl (A) = X .
Ví dụ 1.2.
(1) Giả sử X = R với tơpơ thơng thường. Khi đó,
A = Q là tập trù mật trong X .
(2) Giả sử X là không gian các số thực với tơpơ đối hữu hạn.
Khi đó, A = N là tập trù mật trong X .
Chứng minh. (2) Giả sử X là không gian các số thực với tơpơ đối hữu
hạn. Khi đó, mỗi tập mở trong X là vơ hạn và mỗi tập đóng trong X là
hữu hạn. Bởi vì A = N là tập vơ hạn nên tập đóng duy nhất chứa A là
X . Suy ra cl (A) = X . Do vậy, A là tập trù mật trong X .
Nhận xét 1.4. Tập con A trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập mở
khác rỗng trong X đều có điểm chung với A.

13


Chứng minh. Giả sử A ⊂ X và U ∈ τ, U = ∅. Khi đó,

a) Điều kiện cần. Giả sử A trù mật trong X . Khi đó, ta chứng minh
rằng U ∩ A = ∅. Giả sử ngược lại U ∩ A = ∅. Khi đó, A ⊂ X\U . Mặt
khác, vì U mở nên X\U là tập đóng, kéo theo
cl (A) ⊂ cl (X\U ) = X\U .
Hơn nữa, vì A trù mật trong X nên cl (A) = X . Do đó, X ⊂ X\U ,
kéo theo U = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U = ∅. Do vậy,

U ∩ A = ∅.

b) Điều kiện đủ. Giả sử mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có điểm
chung với A. Khi đó, với mỗi x ∈ X và V là lân cận tùy ý của x, theo Định
nghĩa 1.2, tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V . Theo giả thiết, ta suy ra
U ∩ A = ∅, kéo theo V ∩ A = ∅. Lại vì A ⊂ cl (A) nên V ∩ cl (A) = ∅. Bởi
vì, cl (A) là tập đóng nên theo Định lí 1.2, x ∈ cl (A) với x ∈ X . Bởi thế,
cl (A) = X . Do vậy, A là tập trù mật.
Định nghĩa 1.8. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và U là họ các tập con
nào đó của X .
(1) Ta nói U là phủ của X nếu X = ∪ {U : U ∈ U}.
(2) U được gọi là phủ mở của X nếu nó là phủ của X và mỗi
U ∈ U là tập con mở trong X .
(3) V được gọi là phủ con hữu hạn của U nếu V ⊂ U, V hữu hạn
và

X = ∪ {U : U ∈V}.
Ví dụ 1.3.
(1) Trong không gian mêtric X với r > 0 cho trước
bất kì. Họ các hình cầu mở {B (x, r) : x ∈ X} là một phủ
mở của X .
(2) Trong không gian tôpô các số thực với tôpô thông thường.
Họ các khoảng mở (−n, n) với n ∈ ω là một phủ mở của R
nhưng khơng có phủ con hữu hạn.
14


1.2

Không gian Hausdorff


Định nghĩa 1.9. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó, (X, τ ) được
gọi là không gian Hausdorff nếu x, y ∈ X mà x = y tồn tại lân cận U của
x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Ví dụ 1.4.
(1) Nếu X là tập khác rỗng với tơpơ rời rạc thì
(X, τ ) là khơng gian Hausdorff.
(2) Nếu X là khơng gian mêtric thì X là không gian Hausdorff.

1.3

Không gian compắc

Định nghĩa 1.10. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X . Khi đó,
tập A được gọi là compắc nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ con
hữu hạn.
Định nghĩa 1.11. Giả sử (X, τ ) là không gian tơpơ. Khi đó, (X, τ ) được
gọi là khơng gian compắc nếu với mọi phủ mở U của X có phủ con hữu
hạn.
Ví dụ 1.5.
(1) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ với tơpơ rời
rạc. Khi đó, (X, τ ) là không gian compắc khi và chỉ khi X
hữu hạn.
(2) Giả sử (X, τ ) là không gian tơpơ với tơpơ đối hữu hạn. Khi
đó, (X, τ ) là không gian compắc.
(3) Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ với tơpơ τ có hữu hạn phần
tử. Khi đó, (X, τ ) là khơng gian compắc.
Định lý 1.6. Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff. Khi đó, mọi tập
compắc đều là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và A là tập compắc

trong X . Khi đó, với mỗi x ∈ A và y ∈ X\A, bởi vì x = y nên có một lân
cận mở Vx của x và một lân cận mở Vx (y) của y sao cho Vx ∩ Vx (y) = ∅.
Bởi vì họ {Vx : x ∈ A} là một phủ mở của A và A là tập compắc nên có
n

hữu hạn phần tử x1 , x2 , ..., xn của A sao cho

Vxi là phủ mở của A. Đặt
i=1

15


n

n

Vxi (y) và V =

U=
i=1

Vx i .
i=1

Do đó, U là lân cận mở của y và V là một tập mở chứa A. Bởi vì
n

A∩U ⊂


n

Vx i
i=1
n

⊂

∩

Vxi (y)
i=1

(Vxi ∩ Vxi (y))
i=1

= ∅
nên U ⊂ X\A. Do đó, tập X\A là lân cận của y với mọi y ∈ X\A. Theo
Nhận xét 1.1, ta suy ra X\A là tập mở. Bởi vậy, A là tập đóng.
Định lý 1.7. Giả sử (X, τ ) là không gian compắc và A là tập con đóng
của X . Khi đó, A là tập compắc.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian compắc và A là tập con đóng
của X và {Ui : i ∈ I} là một phủ mở của A. Khi đó, bởi vì A là tập đóng
nên X\A là tập mở. Do đó,

(X\A) ∪ (∪ {Ui : i ∈ I}) = X
là phủ mở của X . Lại vì X là không gian compắc nên tồn tại tập con hữu
hạn I0 của I sao cho

X = (X\A) ∪ (∪ {Ui : i ∈ I0 })

Do đó, {Ui : i ∈ I0 } là phủ con hữu hạn của A. Bởi vậy, A là tập compắc.
Mệnh đề 1.1.
(1) Giả sử A1 , A2 là hai tập compắc trong không
gian tôpô (X, τ ). Khi đó, A1 ∪ A2 là tập compắc.
(2) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff. Khi đó, giao một số
hữu hạn các tập compắc là tập compắc.

16


Chứng minh. (1) Giả sử A1 , A2 là hai tập compắc trong không gian tôpô
(X, τ ) và {Ui : i ∈ I} là phủ mở tùy ý của tập A1 ∪ A2 . Khi đó, vì

A1 ⊂ (A1 ∪ A2 ) và A2 ⊂ (A1 ∪ A2 )
nên {Ui : i ∈ I} cũng là phủ mở của A1 và A2 . Lại vì A1 và A2 là tập
compắc nên tồn tại hai tập con hữu hạn J1 , J2 của I sao cho

{Ui : i ∈ J1 } là phủ mở của A1
và

{Ui : i ∈ J2 } là phủ mở của A2 .
Đặt

J = J1 ∪ J2 .
Bởi vì J1 , J2 hữu hạn nên J là tập con hữu hạn của I . Do đó, {Ui : i ∈ J}
là phủ con hữu hạn của A1 ∪ A2 . Bởi vậy, A1 ∪ A2 là tập compắc.

(2) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và {Ui : i ∈ I} là họ tất cả
các tập compắc trong X . Khi đó, đặt
U = ∩ {Ui : i ∈ I}.

Bởi vì X là khơng gian Hausdorff nên theo Định lý 1.6, Ui là tập đóng
với mọi i ∈ I . Do đó, theo Định lí 1.1, ta suy ra U là tập đóng. Mặt khác,
vì U ⊂ Ui với mọi i ∈ I nên U là tập đóng trong Ui với mọi i ∈ I . Lại vì
Ui là tập compắc với mọi i ∈ I nên theo Định lí 1.7, ta suy ra U là tập
compắc. Do vậy, ∩ {Ui : i ∈ I} là tập compắc.
Định nghĩa 1.12. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A là tập con khác
rỗng của X . Đặt τA = {V : V = A ∩ U, U ∈ τ }. Khi đó, τA là một tôpô
trên A và không gian (A, τA ) được gọi là không gian con của (X, τ ), τA
được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô τ trên X lên tập hợp A.

17


CHƯƠNG 2

TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG
2.1

Tập nửa mở và tập nửa đóng

Định nghĩa 2.1. Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là nửa
mở (semi − open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl (U ).
Kí hiệu SO (X, τ ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ ).
Ví dụ 2.1. Cho X = {a, b, c} và τ = {∅, a, X}. Khi đó, A ⊂ X và
A = {a, b} là tập nửa mở trong X .
Chứng minh. Giả sử X = {a, b, c} với τ = {∅, a, X} và A = {a, b}. Khi
đó, U = {a} ⊂ A là tập mở trong X . Mặt khác, vì cl (U ) = X nên
A ⊂ cl (U ). Suy ra U ⊂ A ⊂ cl (A). Do vậy, A là tập nửa mở.
Nhận xét 2.1.
(1) Nếu A là tập mở trong khơng gian tơpơ

(X, τ ), thì A là tập nửa mở.
(2) Nếu x ∈ X và {x} là tập nửa mở, thì {x} là tập mở.
Chứng minh. (1) Giả sử A ⊂ X và A là tập mở. Khi đó, A ⊂ A ⊂ cl (A).
Do vậy, A là tập nửa mở.

(2) Giả sử x ∈ X và {x} là tập nửa mở. Khi đó tồn tại tập mở U sao
cho
U ⊂ {x} ⊂ cl (U ).
Do đó, U = ∅ hoặc U = {x}. Dễ thấy, U = ∅ không thỏa mãn U ⊂ {x} ⊂
cl (U ) nên U = {x}. Do vậy, U là tập mở.
Mệnh đề 2.1. Hợp của một họ tùy ý các tập nửa mở là tập nửa mở.
Chứng minh. Giả sử {Ai : i ∈ I} là một họ các tập nửa mở trong khơng
gian tơpơ (X, τ ). Khi đó, với mỗi i ∈ I tồn tại tập mở Ui sao cho

Ui ⊂ Ai ⊂ cl (Ui ).
18


Suy ra

Ui ⊂
i∈I

Ai ⊂
i∈I

Ui là tập mở nên

Bởi vì
i∈I


cl (Ui ) = cl
i∈I

Ui .
i∈I

Ai là tập nửa mở.
i∈I

Định nghĩa 2.2. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,
hợp của tất cả các tập nửa mở nằm trong A được gọi là nửa phần trong
(semi−interior) của A và kí hiệu là sint(A).
Mệnh đề 2.2. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi đó,
sint (A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X . Khi đó, theo
Mệnh đề 2.1, hợp các tập nửa mở là tập nửa mở cho nên sint (A) là tập
nửa mở. Mặt khác, theo Định nghĩa 2.2, ta suy ra sint (A) là tập nửa mở
lớn nhất nằm trong A.
Định nghĩa 2.3. Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tập
nửa đóng (semi − closed) nếu X\A là tập nửa mở.
Kí hiệu SC (X, τ ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ ).
Ví dụ 2.2. Giả sử X là khơng gian các số thực với tơpơ thơng thường.
Khi đó,

A = (−∞; a) ∪ [b; +∞)
với a, b ∈ R là tập nửa đóng.
Chứng minh. Giả sử X là khơng gian các số thực với tôpô thông thường
và A = (−∞; a) ∪ [b; +∞) với a, b ∈ R. Khi đó, X\A = [a; b). Mặt khác,
vì U = (a, b) là tập mở trong X và cl(U ) = [a; b] nên


U ⊂ (X\A) ⊂ cl(U ).
Do đó, X\A là tập nửa mở. Bởi vậy, A là tập nửa đóng.
Nhận xét 2.2. Nếu A là tập đóng trong khơng gian tơpơ (X, τ ), thì A là
tập nửa đóng.
19


Chứng minh. Giả sử A là tập đóng. Khi đó, X\A là tập mở. Theo Nhận
xét 2.1, ta suy ra X\A là tập nửa mở. Do vậy, A là tập nửa đóng.
Định nghĩa 2.4. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi
đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là bao nửa đóng
(semi−closure) của A và kí hiệu là scl (A).
Mệnh đề 2.3. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó,
scl (A) là tập nửa đóng bé nhất chứa A.
Chứng minh. Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa đóng chứa A.
Khi đó,

X\scl (A) = X\

Fi
i∈I

=

(X\Fi ).
i∈I

Bởi vì Fi là nửa đóng với mọi i ∈ I nên X\Fi là nửa mở với mọi i ∈ I .
Nhờ mệnh đề 2.1, ta suy ra X\scl (A) =

(X\Fi ) là tập nửa mở. Do
i∈I

đó, scl (A) là tập nửa đóng. Từ định nghĩa của scl (A) ta suy ra điều phải
chứng minh.
Mệnh đề 2.4. Giả sử (X, τ ) là khơng gian tơpơ. Khi đó,các khẳng định
sau đây là tương đương.
(1) A là tập nửa mở trong (X, τ );
(2) sint(A) = A;
(3) A ⊂ cl (int (A)) ;
(4) A ⊂ scl(sint(A)).
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó, theo Mệnh đề
2.2, sint (A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A và A là tập nửa mở
nằm trong A nên A ⊂ sint (A). Mặt khác, theo Định nghĩa 2.2, ta suy ra
sint (A)⊂ A. Do vậy, sint (A)= A.

(2) ⇒ (1) Giả sử sint (A)= A. Khi đó, theo Mệnh đề 2.2, sint (A) là
tập nửa mở lớn nhất nằm trong A. Do vậy, A là tập nửa mở.
(1) ⇒ (3) Giả sử A là tập nửa mở trong (X, τ ). Khi đó, tồn tại tập mở
U sao cho U ⊂ A ⊂ cl (U ). Mặt khác, vì U mở nên ta có
20


A ⊂ cl (U ) = cl (int (U )).
Hơn nữa, vì U ⊂ A nên int (U ) ⊂ int (A). Suy ra

cl (int (U )) ⊂ cl (int (A)).
Do vậy, A ⊂ cl (int (A)).

(3) ⇒ (1) Giả sử A ⊂ cl (int (A)). Khi đó, nếu đặt int (A) = U ta suy

ra U là tập mở. Bởi vì, int (A) ⊂ A nên U ⊂ A. Suy ra U ⊂ A ⊂ cl (U ).
Do vậy, A là tập nửa mở.
(1) ⇒ (4) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó,
A = sint (A) và A ⊂ scl (A).
Do vậy,
A ⊂ scl (A) = scl (sint (A)).

(4) ⇒ (1) Giả sử A ⊂ scl (sint (A) ). Khi đó, đặt U = sint (A). Nhờ
Mệnh đề 2.2 và Mệnh đề 2.3, ta suy ra U là tập nửa mở và
U ⊂ A ⊂ scl (U ).
Hơn nữa, vì cl (U ) là tập đóng nên theo Nhận xét 2.2, cl (U ) là tập nửa
đóng chứa U . Theo Mệnh đề 2.3, vì scl (U ) là tập nửa đóng nhỏ nhất chứa
U nên scl (U ) ⊂ cl (U ). Do đó,

U ⊂ A ⊂ cl (U ).
Mặt khác, vì U là tập nửa mở nên tồn tại tập mở V sao cho

V ⊂ U ⊂ cl (V ).
Bởi vì cl (U ) là tập đóng nhỏ nhất chứa U nên cl (U ) ⊂ cl (V ). Suy ra tồn
tại V là tập mở sao cho

V ⊂ A ⊂ cl (U ) ⊂ cl (V ).
Do vậy, A là tập nửa mở.

21


Mệnh đề 2.5. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ (X, τ ). Khi đó,
(1) X\scl (A) = sint(X\A);
(2) X\sint(A) = scl (X\A).

Chứng minh. (1) Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ gồm tất cả các tập con nửa
đóng trong X chứa A. Khi đó,
Fi = scl (A). Với mỗi i ∈ I , ta đặt
i∈I

Ui = X\Fi .
Bởi vì mỗi Fi là tập nửa đóng nên Ui là tập nửa mở trong X với mọi i ∈ I .
Mặt khác, vì A ⊂ Fi với mọi i ∈ I nên Ui ⊂ X\A với mọi i ∈ I . Hơn nữa,
vì {Fi : i ∈ I} là họ các tập con nửa đóng chứa A nên {Ui : i ∈ I} là họ
các tập nửa mở nằm trong X\A. Do vậy,

X\scl (A) = X\

Fi
i∈I

=

(X\Fi )
i∈I

Ui = sint (X\A) .

=
i∈I

(2) Thay A bởi X\A trong (1), ta suy ra
X\scl (X\A) = sint (A).
Suy ra


X\ (X\scl (X\A)) = X\sint (A).
Do vậy,

scl (X\A) = X\sint (A).

Hệ quả 2.1. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định
sau đây là tương đương.

22


(1) A là tập nửa đóng trong (X, τ );
(2) Tồn tại tập đóng F trong (X, τ ) sao cho int (F ) ⊂ A ⊂ F ;
(3) scl (A) = A;
(4) int (cl (A)) ⊂ A;
(5) sint (scl (A)) ⊂ A.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử A là tập nửa đóng trong (X, τ ). Khi đó,
X\A là tập nửa mở. Do đó, tồn tại tập mở U sao cho

U ⊂ X\A ⊂ cl (U ).
Từ đó suy ra rằng

X\cl (U ) ⊂ A ⊂ X\U .
Đặt F = X\U . Bởi vì, U là tập mở nên F là tập đóng.Nhờ Định lý 1.4,
ta suy ra

X\cl (X\U ) = int (U ).
Thay U bởi X\U ta được

X\cl (U ) = int (X\U ).

Do vậy, tồn tại tập đóng F trong (X, τ ) sao cho int (F ) ⊂ A ⊂ F .

(2) ⇒ (1) Giả sử F là tập đóng thỏa mãn int (F ) ⊂ A ⊂ F . Khi đó, vì
F là tập đóng nên F = cl (F ). Mặt khác, vì
int (F ) ⊂ A ⊂ F = cl (F )
nên

X\cl (F ) ⊂ X\A ⊂ X\int (F ).
Nhờ Định lý 1.4 ta có

23


X\cl (F ) = int (X\F ).
Lại vì F là tập đóng nên X\F là mở. Bởi thế, int (X\F = X\F ). Do đó,
int (X\F ) = X\F ⊂ X\A ⊂ X\int (F ) = cl (X\F ).
Vì thế, X\A là tập nửa mở, kéo theo A tập nửa đóng.

(1) ⇒ (3) Giả sử A là tập nửa đóng trong (X, τ ).Khi đó, theo Mệnh đề
2.3, scl (A) là tập nửa đóng bé nhất chứa A và A là tập nửa đóng trong
A nên scl (A) ⊂ A. Mặt khác, theo Định nghĩa 2.4, A ⊂ scl (A). Do vậy,
scl (A) = A
(3) ⇒ (1) Suy ra từ Mệnh đề 2.3.
(1) ⇒ (4) Giả sử A là tập nửa đóng. Khi đó, X\A là tập nửa mở. Nhờ
Mệnh đề 2.4, ta có
X\A ⊂ cl (int (X\A)),
kéo theo

X\cl (int (X\A)) ⊂ A.
Mặt khác, nhờ Định lý 1.4, ta suy ra

int (X\B) = X\cl (B).
Thay B bởi int (cl (A)), ta suy ra

X\int (cl (X\A)) = int (X\int (X\A))
= int [X\ (X\cl (A))]
Vì thế, nhờ X\cl (int (X\A)) ⊂ A ta suy ra
int [X\ (X\cl (A))] ⊂ A.
Do vậy, int (cl (A)) ⊂ A.

(4) ⇒ (1) Giả sử int (cl (A)) ⊂ A. Khi đó,
X\A ⊂ X\int (cl (A)).
Theo Định lý 1.4 ta có
24


int (B) = X\cl (X\B).
Thay B = cl (A) ta suy ra
int (cl (A)) = X\cl (X\cl (A)).
Thay B bởi X\A, ta có
int (X\A) = X\cl (A),
kéo theo
int (cl (A)) = X\cl (int (X\A)).
Theo X\A ⊂ X\int (cl (A)) ta thu được

X\A ⊂ X\ [X\cl (int (X\A))] = cl (int (X\A)).
Do đó, theo Mệnh đề 2.4, X\A là tập nửa mở. Bởi vậy, A là tập nửa đóng.

(1) ⇒ (5) Giả sử A là tập nửa đóng. Khi đó, X\A là tập nửa mở. Nhờ
Mệnh đề 2.4, ta suy ra
X\A ⊂ scl (sint (X\A)),

kéo theo

X\scl (sint (X\A)) ⊂ A.
Mặt khác, nhờ Mệnh đề 2.5, ta có

X\scl (A) = sint (X\A);
X\sint (A) = scl (X\A).
Do đó,

X\scl (sint (X\A)) = sint (X\sint (X\A))
= sint (scl (X\ (X\A)))
= sint (scl (A)) .
Vì thế, nhờ X\scl (sint (X\A)) ⊂ A ta suy ra
25