GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
ĐƯỜNG ĐẲNG GIÁC – ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG
I. Đường đối trung trong tam giác.
1. Đường đẳng giác
 , hai tia Az và At được gọi là đẳng giác nếu chúng đối xứng nhau qua
1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy
.
tia phân giác của góc xAy

x
z

t
A

y

1.2. Định lý 1: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 và AA2. Chứng minh rằng
AB 2 BA1.BA2

.
AC 2 CA1.CA2
A

B

A1

A2

Chứng minh:

S ABA1
AB. AA1 sin BAA1 BA1
AB BA1 AA2




.
S ACA2 AC. AA2 sin CAA2 CA2
AC CA2 AA1
S ABA2
S ACA1



AB. AA2 sin BAA2 BA2
AB BA2 AA1



.
AC. AA1 sin CAA1 CA1
AC CA1 AA2

C

(1)
(2)

Nhân các vế của (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

1.3 Định nghĩa: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì. Ta nói điểm M’ được gọi là điểm đẳng
giác (hay điểm liên hợp đẳng giác) của điểm M nếu các đường thẳng AM’, BM’, CM’ lần lượt đối
xứng với các đường thẳng AM, BM, CM qua các đường thẳng phân giác trong của các góc A, B, C.
1.4 Một số kết quả về đường đẳng giác
 . Khi đó
Tính chất 1: Cho tam giác ABC và hai đường thẳng Ax, Ay đẳng giác trong góc BAC

xAB
yAC .

 và hai đường thẳng OA, OB đẳng giác trong góc xOy
 . Kẻ
Tính chất 2: Cho góc xOy
BH  Ox  H  Ox  , BK  Oy  K  Oy  . Khi đó HK  OA .
1


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
 và hai đường thẳng OA, OB đẳng giác trong góc xOy
 . Kẻ
Tính chất 3: Cho góc xOy
BH  Ox  H  Ox  , BK  Oy  K  Oy  . Qua A kẻ AE , AF lần lượt vng góc với Ox, Oy tại các điểm
E , F . Khi đó E , H , F , K đồng viên (ngược lại cũng đúng).
 và hai điểm A, B nằm trong miền góc xOy
 . Qua A kẻ
Tính chất 4: Cho góc xOy
AX  Oy  X  Ox  , AY  Oy Y  Oy  , BZ  Oy  Z  Ox  , BT  Ox T  Oy  . Khi đó X , Y , Z , T đồng viên
.
khi và chỉ khi OA, OB đẳng giác trong góc xOy
Chứng minh:


Gọi ZB  AY  K . Khi đó ta có ZKAX , OZKY , YTBK

  ZBT
.
XAY  KYT
  OZB
, 
 nên OAX
  OBT

Mặt khác xOB
yOA  OAY
OX AX
Do đó OAX  OBT 

 OZ .OX  OY .OT
OT BT

đều là các hình bình hành nên

Điều ngược lại hiển nhiên.
Tính chất 5: Cho tam giác ABC có hai đường đẳng giác AE , AF  E , F  BC  . Khi đó  AEF  tiếp
xúc với  ABC  .
Chứng minh:
Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với (ABC).
  BAE
 C
  FAC


Ta có xAB
AFE . Do đó Ax tiếp xúc với (AEF). Do đó  AEF  tiếp xúc với  ABC 
Tính chất 6: Cho P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC. Khi đó chân các đường vng góc
hạ từ P, Q cùng nằm trên 1 đường trịn (đường trịn Pedal).
Chứng minh:
Áp dụng tính chất 3 ba lần
Tính chất 7: Cho tam giác ABC có hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC. Gọi M là
giao điểm khác A của AP với đường tròn  ABC  . E là giao điểm của MQ và BC. Khi đó PE  AQ.
Chứng minh:
2


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai

Gọi AQ cắt đường tròn  ABC  tại điểm N và cắt BC tại điểm F.

  PCB
  BCM
  QCA
  QAC
  CQN

Vì P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC nên PCM
  QNC
 nên PMC  CNQ  PM  CM
Mà PMC
CN

Tương tự


NQ

MA CM

CN NF

Kết hợp với MN // EF ta có:

PM CM MC NF ME

:


MA NQ NF NQ MQ

Do đó PE  AQ.
2. Đường đối trung
2.1 Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng AX đối xứng với đường trung tuyến AM qua
đường phân giác trong AD gọi là đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.
A

B

C
X

D

M


2.3 Định lí 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). X là điểm thuộc cạnh BC. Khi đó AX là
2

XB  AB 
đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC khi và chỉ khi

 .
XC  AC 

Chứng minh.

3


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
A

B

C
X

D

M

Gọi AD , AM lần lượt là phân giác trong, trung tuyến kẻ từ đỉnh A .
Giả sử AX là đường đối trung của tam giác ABC .
  CAM
   , MAX

   . Sử dụng định lí Sin trong tam giác ta có:
Đặt BAX
XB sin  XC sin    
XB sin C
sin 

,



.
AX sin B AX
sin C
XC sin B sin    
MB sin     MC sin 
sin 
sin C

,



AM
sin B
AM sin C
sin     sin B
2

Từ hai đẳng thức trên ta được:


XB  sin C 
AB 2
.



XC  sin B 
AC 2

XB AB 2
. Gọi X ' trên cạnh BC sao cho AX ' là đường đối trung của tam giác

XC AC 2
X ' B AB 2
X ' B XB
ABC . Khi đó theo chứng minh trên ta được



 X  X ' hay AX là đường
2
X ' C AC
X ' C XC
đối trung của tam giác ABC.

Ngược lại nếu

Cách 2:
AB 2 BX .BM
Gọi AM là đường đẳng giác với AX. Khi đó theo định lý 1 ta có


.
AC 2 CX .CM
BX AB 2
Do đó AX là đường đối trung  AM là trung tuyến  BM = CM 

.
CX AC 2

Nhận xét: Đường đối trung chia cạnh đối diện của tam giác theo tỉ lệ bằng bình phương tỉ lệ hai
cạnh bên.
2.3 Định lí 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). X là điểm thuộc cạnh BC. Khi đó AX là
đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC khi và chỉ khi  BCMX   1 , trong đó M là giao
điểm của tiếp tuyến tại A với đường thẳng BC.
Chứng minh.

4


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
A

M

B

Theo kết quả của định lí 2 ta được

X


C

D

XB AB 2
.

XC AC 2

Do đó để chứng minh  BCMX   1 ta sẽ chứng minh

MB AB 2
.

MC AC 2

Ta có tam giác MAB đồng dạng tam giác MCA (g.g) nên
MB MA AB
MB MB MA AB 2
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.




.

MA MC AC
MC MA MC AC 2

Đường AM được gọi là đường đối trung ngoài của tam giác ABC

2.4 Định lý 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). X là điểm thuộc cạnh BC. Khi đó AX là
đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC khi và chỉ khi

d  X ; AB  AB
.

d  X ; AC  AC

Chứng minh.
A

B

C
X

D

M

Nếu AX là đường đối trung của tam giác ABC . Khi đó theo kết quả định lí 2 ta có

XB AB 2
, kết

XC AC 2

hợp với d  X , AB   XB.sin B, d  X , AC   XC.sin C và định lí sin trong tam giác ABC ta được:
d  X ; AB  XB.sin B AB 2 . AC AB




.
d  X ; AC  XC.sin C AC 2 . AB AC

Ngược lại nếu

d  X , AB  AB
XB.sin B AB
XB AB.sin C AB 2
.






d  X , AC  AC
XC.sin C AC
XC AC.sin B AC 2

5


GV Nguyễn Bá Hồng – THPT Chun Lào Cai
A

X

B


E

C

Từ đó theo định lí 2 ta được AX là đường đối trung của tam giác ABC.
Cách 2:
S AEB
d ( X ; AB ) d ( E ; AB )
EB AC AB 2 AC AB

 AB 
.

.

d ( X ; AC ) d ( E ; AC ) S AEC EC AB AC 2 AB AC
AC

Từ định lý trên suy ra tính chất sau:
2.5 Định lý 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn (O)
cắt nhau tại S. Khi đó AS là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.
Cách 1
A

O

Q


P
B

C

X

N

M

S

Sử dụng định lí Ta Let ta được

 sin C AB
XP AX XQ
XP SM SB.sin SBM







.
 sin B AC
SM AS SN
XQ SN SC.sin SCN


Từ đó theo kết quả của định lí 4 ta được định lí 5.
Nhận xét. Gọi K là giao điểm khác A của đường đối trung AX với đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC . Khi đó theo định lí 5 thì tứ giác ABKC điều hồ.
Cách 2
Xét tam giác ABC như hình vẽ. Ta có
B

IB S ABI S MBI S MAB AB MB sin MBA




.
.
IC S ACI S MCI S MAC AC MC sin MCA
M

6

D

I
A
C


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai


AB sin BCA AB 2

.

AC sin CBA AC 2

Do đó I là chân đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.
Cách 3:
A

B

C

M

D

Xét tam giác ABC với (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giả sử tiếp tuyến tại B và C cắt nhau
tại D. Ta cần chứng minh AD là đường đối trung của tam giác ABC.
Thật vậy: Gọi AM là đường thẳng đối xứng với AD qua đường phân giác trong góc A, M thuộc BC.
Khi đó

Suy ra M là trung điểm BC, khi đó AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy AD là
đường đối trung của tam giác ABC.
2.6 Định lý 6: Các đường đối trung của một tam giác thì đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là
điểm Lemoine.
Chứng minh.

7



GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
N
A
P
Y

Z

B

O
C

X

M

Cách 1. Theo kết quả định lí 6 ta có AM, BN, CP là các đường đối trung của tam giác ABC. Theo
tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MB  MC , NC  NA, PA  PB. Từ đó ta được:
AN BP CM  AN  BP  CM
.
.
 
 
 
AP BM CN  AP  BM  CN

  CN  AP  BM 
  
 

 
  1
  AP  BM  CN 
Sử dụng định lí Ceva cho tam giác MNP suy ra AM , BN , CP đồng quy tại một điểm.

Cách 2.
XB AB 2 YC BC 2 ZA CA2
XB YC ZA AB 2 BC 2 CA 2

,

,


.
.

.
.
1
XC AC 2 YA BA2 ZB CB 2
XC YA ZB AC 2 BA2 CB 2
XB YC ZA  AB 2   BC 2   CA2 

. .
 
 . 
. 
  1 .
XC YA ZB  AC 2   BA2   CB 2 


Theo định lí 2 ta được:

Từ đó áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC ta được AX , BY , CZ đồng quy tại một điểm.
Chú ý. Điểm đồng quy của ba đường đối trung gọi là điểm Lemoine. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một
số tính chất quan trọng của điểm Lemoine, các tính chất này được sử dụng rất nhiều trong các bài
toán thi Olimpiad của một số nước và khu vực.
3. Một số tính chất của điểm Lemoine
d ( L; BC ) d ( L; CA) d ( L; AB )


BC
CA
AB
3.2 Tính chất 2: Cho điểm X nằm trong tam giác ABC. Khi đó d 2 ( X ; BC )  d 2 ( X ; CA)  d 2 ( X ; AB)

3.1 Tính chất 1: Cho L là điểm Lemoine của tam giác ABC, khi đó:

nhỏ nhất khi và chỉ khi X là điểm Lemoine của tam giác ABC.
Chứng minh:
Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ X xuống BC, CA, AB. Ta có
a. XD  b. XE  c. XF  2S ABC  const nên 4 S 2  ( XD 2  XE 2  XF 2 )(a 2  b 2  c 2 )
XD 2  XE 2  XF 2 

4S 2
.
a 2  b2  c2
8



GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
XD XE XF


hay X là điểm Lemoine của tam giác ABC.
a
b
c
3.3 Tính chất 3: Cho tam giác ABC và
điểm L là
điểm Lemoine
của tam giác này. Khi đó ta có

 
2
2
2
đẳng thức xác định điểm L như sau: BC .LA  CA .LB  AB .LC  0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh.
A

Y
Z
O

L


B

C

X

Giả sử ba đường đối trung AX , BY , CZ cắt nhau tại điểm L . Khi đó theo định lí 2 ta có:

 

 
XB AB 2 YC BC 2

,

 AC 2 . XB  AB 2 . XC  0, AB 2 .YC  BC 2 .YA  0.
2
2
XC  AC YA
 BA2 


2
Đặt u  BC .LA  CA .LB  AB 2 .LC . Khi đó chiếu u lên đường thẳng BC theo phương AX ta được



 
ChAX u  AC 2 . XB  AB 2 . XC  0 và chiếu u lên đường thẳng CA theo phương BY ta được



 
ChAX u  AB 2 .YC  BC 2 .YA  0 .
 


 
Do hai đường thẳng AX và BY cắt nhau nên u  0 . Do đó BC 2 .LA  CA2 .LB  AB 2 .LC  0 .
3.4 Tính chất 4: Cho tam giác ABC và điểm L là điểm Lemoine của tam giác này.Gọi D , E , F lần




lượt là hình chiếu của L lên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó L là trọng tâm của tam giác DEF.
Chứng minh.
A

E
Z
F

B

Y

L

O

C


D X

9


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
Giả sử ba đường đối trung AX , BY , CZ cắt nhau tại điểm L . Khi đó theo tính chất 3 ta có


 
BC 2 .LA  CA2 .LB  AB 2 .LC  0 (1).
Mặt khác
L là điểm nằm trong tam giác ABC nên theo kết quả quen thuộc ta có:


 
S LBC .LA  S LCA .LB  S LAB .LC  0 (2).
So sánh (1) và (2) ta có:
1
1
1
LD.BC
LE. AC
LF . AB
LD LE LF
S LBC S LCA S LAB
2
2
2




k.





2
2
2
2
2
2
BC
CA
AB
BC
CA
AB
BC CA AB






  
LD

LE
LF
LD
LE
LF
Từ đó ta có: LD  LE  LF  LD.
 LE.
 LF .
 k .BC.
 k .CA.
 k . AB.
LD
LE
LF
LD
LE
LF



 

LD
LE
LF 
 k .  BC.
 CA.
 AB.
  k .0  0 (định lí Con Nhím).
LD

LE
LF 

   
Từ đó suy ra LD  LE  LF  0 hay L là trọng tâm của tam giác DEF .

Cách khác:
Gọi L là giao điểm ba đường đối trung của tam giác ABC. Từ L hạ ba đường vng góc LP, LQ, LR
xuống ba cạnh tam giác ABC. Chứng minh L là trọng tâm tam giác PQR.
A
Q
R
L

Q"

B
C
P
Kéo dài RL một đoạn sao cho LQ’’ = RL
Theo tính chất 2.4 LR/AB = LQ/AC hay LQ’’/AB = LQ/AC và
’’

(góc có cạnh tương

ứng vng góc). Suy ra LQ Q
ABC
Khi đó LP // QQ’’, LP đi trung điểm RQ nên LP là trung tuyến xuất phát từ đỉnh P của tam giác
PQR.Tương tự LQ cũng là trung tuyến của tam giác PQR. Vậy L là trọng tâm tam giác PQR.
4. Đường đối song và các kết quả liên quan.

4.1 Khái niệm đường đối song: Đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua trung
điểm của đoạn thẳng DE (trong đó D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC) khi và chỉ khi DE đường
đối song tương ứng với cạnh BC.
Chú ý: Đoạn thẳng DE (trong đó D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC ) gọi là đường đối song
tương ứng với cạnh BC nếu 
ADE  
ACB .
Chứng minh.

10


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
A
E
N

D

B

X

C

M

Gọi M là trung điểm của các đoạn BC và N là giao điểm của AX và DE.
  MAC
 , kết hợp với 

Nếu AX là đường đối trung của tam giác ABC suy ra DAN
ADE  
ACB suy ra
tam giác ADN đồng dạng ACM . Cùng với tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB ta được:
ND AD DE
1


 ND  DE hay N là trung điểm của đoạn thẳng DE .
MC AC BC
2
Ngược lại nếu trung điểm của đoạn thẳng AX đi qua trung điểm N của đoạn DE . Qua N vẽ đường
đối song D ' E ' tương ứng với cạnh BC . Theo kết quả chứng minh trên thì AX cũng đi qua trung
điểm của đoạn D ' E ' . Nếu hai đoạn DE , D ' E ' khơng trùng nhau thì các điểm D , D ', E , E ' tạo thành

bốn đỉnh của hình bình hành hay DD ' || EE ' điều này vô lý hay DE , D ' E ' trùng nhau. Từ đó suy ra
DE là đường đối song của tam giác ABC.
Nhận xét: 4 điểm B, C, E, D nằm trên một đường trịn.
4.2 Tính chất 1 (đường tròn Lemoine). Cho tam giác ABC , L là giao điểm của các đường đối
trung, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Các đường thẳng qua L song song với
các cạnh của tam giác và cắt các cạnh tạo thành sáu điểm. Khi đó sáu điểm này sẽ nằm trên một
đường trịn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OL .
Chứng minh.

A
R
S
B

Q


T

P

L
K
M

O

X

N

C

Giả sử các đường thẳng đi qua điểm L và song song với các cạnh của tam giác ABC cắt các cạnh tại
các điểm M , N , P , Q , R , S (như hình vẽ). Gọi T là trung điểm của RQ và K là trung điểm của OL .
11


GV Nguyễn Bá Hồng – THPT Chun Lào Cai
Ta có AL là đường đối trung của tam giác ABC và đi qua trung điểm của đoạn RQ nên RQ là
đường đối song của tam giác ABC , kết hợp với SP || BC nên RQ cũng là đường đối song của tam
giác ASP . Do đó tứ giác SRQP nội tiếp.
Lập luận tương tự ta được RSMN , MNPQ cũng nội tiếp. Mặt khác các tứ giác PQRN , QRSM , MNPS
là các hình thang cân nên chúng cũng nội tiếp. Từ đó sáu điểm M , N , P , Q , R,S cùng nằm trên một
đường trịn.
Theo tính chất cơ bản của đường đối song ta có RS  OA , kết hợp KT là đường trung bình của tam

giác KLO nên KT || OA  KT  RS  KS  KR.
Tương tự ta được KS  KM , KN  KP . Do đó K cách đều sáu điểm M , N , P , Q , R,S hay đường tròn
đi qua sáu điểm M , N , P , Q , R,S là trung điểm của OL.
4.3 Tính chất 2. Đường đối song qua điểm Lemoine của tam giác cắt các cạnh bên của tam giác tạo
thành sáu điểm cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh.
A

R

Q
P
L

O

S
B

X
M

N

C

Do SP là đường đối song tương ứng với cạnh BC của tam giác ABC nên theo định lí 2.8 ta được
đường đối trung kẻ từ đỉnh A phải đi qua trung điểm của SP hay L là trung điểm của SP .
Tương tự L là trung điểm của NR , MQ .
Mặt khác ta có NR , MQ , SP là các đường đối song của tam giác ABC nên



  RSL
  LR  LS (1)
LRS
ACB, RSL
ACB  LRS
  BAC
 , LNM
  BAC
  LMN
  LNM
  LM  LN (2)
LMN

Từ (1), (2) và kết hợp với L là trung điểm của SP , NR , MQ suy ra L cách đều sáu điểm
M , N , P , Q , R , S hay sáu điểm này cùng nằm trên một đường trịn.
4.4 Tính chất 3. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại D, E, F. Khi đó điểm Gergonne là điểm Lemoine của tam giác DEF.
Chú ý: Điểm Gergonne là điểm đồng quy của các đường thẳng AD, BE, CF.
Chứng minh.
12


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
A

E
F


I

G
B

C

D

Gọi G là điểm đồng quy của các đường thẳng AD , BE , CF . Ta có các tiếp tuyến tại E , F của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm A . Khi đó theo định lí 5 ta được DA là
đường đối trung của tam giác DEF .
Tương tự EB , FC là đường đối trung của tam giác DEF . Mặt khác ba đường thẳng
AD , BE , CF đồng quy tại G nên G là điểm Lemoine của tam giác DEF .
4.5 Tính chất 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm nằm trên cung BC
không chứa điểm A của đường tròn (O) và D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các
đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó điêm M thuộc đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC khi
và chỉ khi D là trung điểm của EF.
Chứng minh.
A

O
B
X

D

E
C


F
M

Theo định lí 5 ta được tứ giác ABMC là tứ giác điều hoà suy ra
là đường đối trung của tam giác ABC nên

AB MB

, kết hợp với AX
AC MC

XB AB 2
XB MB 2
suy
ra


 MX là đường đối trung
XC AC 2
XC MC 2

của tam giác MBC.

 , kết hợp với MX là đường đối
Do các tứ giác ABMC , DMCE nội tiếp nên BMX
ACB  DME
trung của tam giác MBC suy ra MD là trung tuyến của tam giác MBC hay D là trung điểm của EF .
13



GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
5. Một số bổ đề
Bổ đề 1. Cho tam giác ABC. Một đường tròn qua B, C, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Gọi
AH, AI theo thứ tự là đường cao của tam giác ABC và AEF kẻ từ A. Khi đó AH, AI là hai đường
đẳng giác góc A của tam giác ABC.
Chứng minh.
Ta có ABC  AFE  EAI  CAH . Suy ra AH và AI là hai đường đẳng giác góc A.
A
F
I

E

B

C

H

Bổ đề 2. (Hệ quả của bổ đề 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam
giác ABC. Khi đó AO, AH là hai đường đẳng giác của góc BAC .
Chứng minh.
Hiển nhiên theo bổ đề 1, với chú ý AO  EF .
A
E
F

O

H

B

C

D

 . Một đường trịn khơng đi qua O, cắt các tia Ox tại A, C, cắt tia Oy tại B, D.
Bổ đề 3. Cho góc xOy
.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của tam giác AB và CD. Khi đó OM, ON đẳng giác góc xOy
Chứng minh:
O
D
A
M

N

B

I
C
y

x

14


GV Nguyễn Bá Hồng – THPT Chun Lào Cai

Ta có OAB  ODC  MOB  NOC .
Suy ra OM và ON là hai đường đẳng giác góc xOy .
Bổ đề 4. (Hệ quả của bổ đề 3) Cho tam giác ABC. Một đường tròn qua B, C, cắt các cạnh AB, AC
lần lượt tại E, F. Gọi AM, AN theo thứ tự là trung tuyến của tam giác ABC và AEF. Khi đó AN là
đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh: Hiển nhiên.
A
F
E

B

N

C

M

Bổ đề 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Đường
tròn (AOE) cắt (O) tại điểm thứ hai F. Khi đó AF là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.
A

O
E

B

C


F
S

Ta có CB là đường đối trung của tam giác CAF nên tứ giác CABF điều hòa. Suy ra AF là đường đối
trung của tam giác ABC.
Bổ đề 6. Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn
tâm I. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Khi đó OI vng góc với AD khi và chỉ khi AD là đường
đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.

15


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
A
D'
F'

P

B

E'
I

O

D

C


A'

Thật vậy, đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E', F'. Gọi P là giao
điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC. Dễ thấy IP vng góc với AD, mặt khác theo giả
thiết ta có OI vng góc với AD nên ba điểm O, I, P thẳng hàng hay OP vng góc với AD. Gọi D'
là giao điểm thứ hai của AD với (I) và A' là giao điểm thứ 2 của AD và (O). Áp dụng định lí
Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến EFP ta được:
PB E ' C F ' A
PB F ' B DB
DB
.
.
1



  BCPD   1 .
PC E ' A F ' B
PC E ' C DC
DC

Do OP vng góc với AD nên AD là đường thẳng đối cực của điểm P đối với đường trịn (O). Do
đó, PA, PA' là tiếp tuyến của đường trịn (O). Mặt khác theo chứng minh trên ta có  BCPD   1 , kết
hợp với định lí 3 suy ra AD là đường đối trung của tam giác ABC.
Bổ đề 7. Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) đi qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A,
đường tròn (J) đi qua A, C và tiếp xúc với đường thẳng AC tại A. Đường tròn (I) cắt lại đường tròn
(J) tại điểm D. Khi đó AD là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.
A


K

H
D
B

C

Thật vậy, gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm D lần lượt lên các đường thẳng AB,
AC. Dễ thấy tam giác DAB đồng dạng với tam giác DCA suy ra

DH AB

, kết hợp với định lí 4 ta
DK AC

được AD là đường đối trung của tam giác ABC.
Bổ đề 8. Cho tam giác ABC, đường cao AD, CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA. DE
giao MN tại T. Khi đó AT là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.
16


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai

Ta thấy tứ giác AEDC nội tiếp và AB // TN nên NTD  BED  NCD suy ra TDNC nội
tiếp. Mà NA = ND = NC nên NA2 = ND2 = NM.NT. suy ra hai tam giác ANM và TNA đồng
dạng. Từ đó MAN  NTA  BAT. Suy ra AT là đường đối trung của tam giác ABC.
Bổ đề 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong và ngồi góc A lần lượt cắt

đường thẳng BC tại D, E. Đường trịn đường kính DE cắt lại đường tròn (O) tại F. Chứng minh
rằng AF là đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh.
Thật vậy, Thật vậy, gọi M là trung điểm DE , N là giao điểm của AF và BC. Dễ thấy MA, MF là
tiếp tuyến của đường tròn (O) nên theo kết quả quen thuộc ta được  BCMN   1 , kết hợp với định
lí 3 ta được AN là đường đối trung của tam giác ABC hay AF là đường đối trung của tam giác ABC.
A

O
E

M

B

N D

C

F

6. Bài tập áp dụng
Bài 1 (HSG Chuyên Bến Tre 2021): Cho hai đường tròn O1 ,O2  cắt nhau tại A và B. Các tiếp
tuyến của (O1 ) tại A, B cắt nhau tại O. Gọi I là điểm trên đường tròn (O1 ) nhưng ngoài đường

17


GV Nguyễn Bá Hồng – THPT Chun Lào Cai


trịn (O2 ). Các đường thẳng IA, IB cắt đường tròn (O2 ) tại lần lượt tại C , D. Gọi M là trung
điểm của đoạn thẳng CD. Chứng minh rằng I , M , O thẳng hàng.
Giải:

Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Vì A, B , C , D cùng thuộc đường trịn nên ta có IAB IDC.
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng CD và N là trung điểm của đoạn thẳng AB nên theo bổ
đề 4 IM , IN liên hợp đẳng giác với CID.
Mặt khác, O là giao điểm của các tiếp tuyến tại A, B của (O1 ) nên NO là đường trung trực của
tam giác IAB. Điều đó có nghĩa là IO, IN liên hợp đẳng giác đối với AIB.
Do đó I , M , O thẳng hàng
Bài 2 (VMO 2015). Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O), BC khơng là đường
kính. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ
từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F và có tâm I. Giả sử (I) tiếp xúc
với BC tại điểm D. Chứng minh rằng

DB
cot B

.
DC
cot C

Lời giải.
A

P

K


E

L

N
F
B

I
D

O
M

C

Gọi K, L theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (I) với AB, AC.
+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì bài tốn hiển nhiên đúng.
+ Giả sử AB  AC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, KL.
Theo bổ đề 3, AP và AN đẳng giác góc A, AM và AN đẳng giác góc A nên A, P, M thẳng hàng. Do
đó KL // BC.
18


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
Suy ra

DB 2 BF .BK BF AB BF BE cot B
DB
cot B



.

.



.
2
DC
CE.CL CE AC CE CF cot C
DC
cot C

Bài 3 (Russian 2010). Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác nhọn ABC tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Các điểm A2, B2 lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng B1C1, C1A1.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và P là giao điểm của CO và đường tròn (I). N,
M theo thứ tự là giao điểm thứ hai của PA2, PB2 với đường tròn (I). Chứng minh giao điểm của AN
và BM thuộc đường cao hạ từ C của tam giác ABC.
Lời giải.
A

N
H
C1
M

B


B1

A2
K
B2

I O
P
C

A1

Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Ta có CO, CH là hai đường đẳng giác góc  ACB (1)
A2C1. A2 B1  A2 A. A2 I 
  A2 A. A2 I  A2 N . A2 P
A2C1. A2 B1  A2 N . A2 P 
Suy ra tứ giác ANIP nội tiếp. Mặt khác IP = IN nên NAI  PAI .
Suy ra AN, AP là hai đường đẳng giác góc  BAC (2)
Tương tự, BM, BP là hai đường đẳng giác góc  ABC (3)

Vì các tứ giác AC1IB1 và NC1PB1 nội tiếp, ta có :

Do AP, BP, CP đồng qui nên từ (1), (2), (3) suy ra AN, BM, CH đồng qui.
Bài 4. Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm
I. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại đường thẳng AC
tại E và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt lại đường thẳng AB tại F. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của DE, DF. Chứng minh rằng OI  AD khi và chỉ khi AD, BN, CM đồng quy tại một điểm.
Lời giải.

19



GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai

A
D'
F
I

F'

M

N
P

B

D

E'
E
K
O

C
A'

Trước hết ta chứng minh BN, CM là các đường đối trung của tam giác ABC.
Thật vậy, gọi K là trung điểm của AC suy ra BK là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B của tam giác

ABC. Do tứ giác AFDC nội tiếp nên tam giác BDF đồng dạng tam giác BAC suy ra
DB CB
DB
CB
DB CB
  BCK
 ta được tam giác DBN đồng dạng





, kết hợp với BDN
DM CA
2DN 2CK
DN CK

.
với tam giác CBK suy ra BDN  CBK

Do đó theo định nghĩa đường đối trung ta được BN là đường đối trung của tam giác ABC.
Tương tự ta được CM là đường đối trung kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC.
Ta có BN, CM là đường đối trung của tam giác ABC nên AD, BN, CM đồng quy khi và chỉ khi
AD là đường đối trung của tam giác ABC hay OI vng góc với AD (theo bổ đề 6).
Từ đó suy ra đpcm.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong và ngồi góc A lần lượt cắt đường
thẳng BC tại D, E. Đường trịn đường kính DE cắt lại đường trịn (O) tại F. Đường thẳng AF cắt
đường thẳng BC tại điểm M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt lại đường thẳng AC tại điểm N
và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt lại đường thẳng AB tại điểm P. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng MN, MP. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BJ, CI đồng quy tại một

điểm.
Lời giải.
Theo bổ đề 9 AM là đường đối trung của tam giác ABC
Ta chứng minh BJ, CI là đường đối trung của tam giác ABC.
Thật vậy, gọi K là trung điểm của AC suy ra BK là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B của tam giác
ABC. Do tứ giác APMC nội tiếp nên tam giác BMP đồng dạng tam giác BAC suy ra
PB CB
PB
CB
PB CB
  BCK
 ta được tam giác PBJ đồng dạng với





, kết hợp với BPJ
PM CA
2 PJ 2CK
PJ CK
  CBK
 . Do đó theo định nghĩa đường đối trung ta được BJ là đường đối
tam giác CBK suy ra BPJ

trung của tam giác ABC.
Do đó AM, BJ, CI là các đường đối trung của tam giác ABC nên theo định lí 6 ta được AM, BJ,
CI đồng quy tại một điểm.
20



GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai

A
N

P

K

J I
E
B

M

D

C

F

Bài 6 (PTNK TPHCM TST 2021) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường trịn (O ) có trực
tâm H và AH , BH , CH cắt cạnh đối diện lần lượt tại D , E , F . Gọi I , M , N lần lượt là trung điểm
BC , HB , HC và BH , CH cắt lại (O ) theo thứ tự tại L, K . Giả sử KL cắt MN ở G.
a) Trên EF , lấy điểm T sao cho AT vng góc với HI . Chứng minh rằng GT vng góc với
OH .
b) Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của DE , DF và MN . Gọi S là giao điểm của BQ , CP. Chứng
minh rằng HS đi qua trung điểm của EF .
Lời giải.

a) Giả sử tia IH cắt (O ) ở R thì theo kết quả quen thuộc, ta có ARH  90. Vì thế nên T  AR.
Bằng cách xét trục đẳng phương của các đường tròn đường kính AH , BC và đường trịn (O ), ta có
AR, EF , BC đồng quy. Từ đó suy ra T  BC.
A
K
R
L

E
F
M

G
T

H

O'

O

S

Q

B

N

P

D

I

C

Gọi (O) là đường tròn Euler của tam giác ABC thì D, E , F , M , N  (O ). Dễ thấy rằng

21


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai

1
1
HB  HK  HC  HL  HN  HL
2
2
nên M , N , K , L cùng thuộc đường tròn. Suy ra
GL  GK  GM  GN nên G /( O )  G /( O) .
Ngoài ra, ta cũng có T /( O )  T /( O) nên GT chính là trục đẳng phương của (O ),(O). Điều này cho
thấy GT  OO  hay GT  OH (do O  là trung điểm của OH ).
b) Ta có DH là phân giác của góc PDQ , và PQ  HD nên dễ thấy tứ giác HPDQ là hình thoi. Ta
biến đổi góc như sau HPQ  DQP  QDB  FHB .
Suy ra HPN  MHN nên HN tiếp xúc với ( HMP) hay NP  NM  NH 2  NC 2 .
Do đó, hai tam giác NPC và NCM đồng dạng với nhau. Suy ra NCP  NMC  MCB ,
nên CP là đối trung của tam giác HBC. Chứng minh tương tự thì BQ là đối trung trong tam giác
HBC nên điểm S chính là điểm Lemoine của tam giác này, kéo theo HS cũng là đối trung của tam
giác HBC. Lại có EF là đối song ứng với đỉnh H trong tam giác HBC nên suy ra HS chia đôi
đoạn thẳng EF .

Nhận xét. Điểm mấu chốt ở câu b là chứng minh được BQ , CP là các đường đối trung trong tam
giác HBC. Đây là kết quả đã có trong đề thi Sharygin. Ngoài cách thuần túy cho câu b như trên, ta
cũng có thể dùng biến đổi tỷ số diện tích đem lại lời giải tự nhiên hơn.
Bài 7 (Lê Bá Khánh Trình). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn O. Gọi D, E, F lần lượt
 , CBA
, 
là trung điểm cung BAC
ACB . DE, DF cắt AC, AB tại M, N. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của A lên BE, CF. Chứng minh rằng CH, BK, MN đồng quy
Giải:
HM  HK 

Gọi BE giao CF tại X , CF giao AD tại Y, AD giao BE tại Z. Ta thấy X, Y, Z là 3 tâm đường tròn bàng
tiếp của tam giác ABC; A, B, C và D, E, F là chân các đường cao, các đường trung tuyến của tam
giác XYZ , vì thế XHK  XAK  XYZ  XBC , suy ra BC // HK.
22


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
Mặt khác, áp dụng bổ đề 8 ta có X, M, N thẳng hàng vì cùng nằm trên đường đối trung của tam giác
XYZ , đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm BC vì hai tam giác XBC và XYZ đồng dạng
ngược. Từ đó áp dụng bổ đề hình thang, ta có BH, CK, MN đồng quy
Bài 8 (Sharygin 2017 G10 – Pr6). Cho tam giác ABC đường cao AA1, BB1, CC1. Gọi M là trung
điểm BC. P là giao điểm khác A của (AB1C1) và (ABC). T là giao điểm thứ hai của tiếp tại B, C của
(ABC). AT cắt (ABC) tại S. Chứng minh rằng P, A1, S và trung điểm MT thẳng hàng.
Lời giải
A
B1
L


O

P
C1
Q

B

H
C

M

A1
S

T

a) Chứng minh P, A1, S thẳng hàng.
Ta có B1C1 là đường đối song ứng với cạnh BC của tam giác ABC nên AS là đường đối trung của
tam giác ABC. Theo định lí 2.8 AS đi qua trung điểm L của B1C1.
Mặt khácM, H, P thẳng hàng.
Gọi Q tà tâm đẳng phương của (ABC), (AB1C1) và (BCB1C1)
Suy ra Q là điểm đồng quy của BC, B1C1, AP
Xét phép nghịch đảo  cực A, phương tích k = AB1. AC .
Khi đó  : B1  C; C1  B
Do đó  : (ABC)  B1C1; S  L, P  Q, H  A1
Do đó P, A1, S thẳng hàng khi và chỉ khi A, L, H, Q đồng viên.
Điều này đúng vì H là trực tâm tam giác ABC nên AHQ = 1800 - AMB = AMC.
Mà ∆AB1C1  {L} đồng dạng với ∆ACB  {M} ALQ = AMC

Do đó AHQ = AMCA, L, H, Q đồng viên.
Vậy ta được P, A1, S thẳng hàng.
Gọi Z là giao điểm của A1S với MT.
Khi đó ta có A1(ASTM) = - 1 A1(AZMT) = - 1 Z là trung điểm của MT.
Từ đó có điều phải chứng minh.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
23


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
Bài 9. Cho tam giác ABC không cân tại A , nội tiếp trong đường tròn  O  . Các tiếp tuyến tại B và
C của  O  cắt nhau tại T , đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X . Gọi Y là điểm đối xứng của

X qua O . Các đường thẳng YB , XC cắt nhau tại P , các đường thẳng XB , YC cắt nhau tại Q .
a) Chứng minh rằng P , Q , T thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng PQ , BC , AY đồng quy.
Bài 10 (Balkan MO 2017). Cho tam giác ABC nhọn, AB  AC và  là đường tròn ngoại tiếp. Gọi
t B , tC là tiếp tuyến của  lần lượt tại B , C và hai tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm L . Đường thẳng đi
qua B , song song với AC cắt tC tại D . Đường thẳng đi qua C , song song với AB cắt t B tại E .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC cắt AC tại T , T nằm giữa A và C . Đường tròn ngoại tiếp tam
giác BEC cắt AB tại S , B nằm giữa S và A . Chứng minh rằng ST , AL , BC đồng quy.
Bài 11 (ELMO 2014). Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp O và trực tâm H . Gọi
1 , 2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC , BHC . Đường trịn đường kính AO cắt 1
tại điểm M và đường thẳng AM cắt 1 tại điểm X . Đường trịn đường kính AH cắt 2 tại điểm
N và đường thẳng AN cắt 2 tại điểm Y . Chứng minh rằng MN || XY .

Bài 12 (VMO 2019) Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường trịn  O  và có trực tâm
H . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB và D, E , F lần lượt là chân
đường cao ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC .
Hai đường thẳng DE , MP cắt nhau tại X ; Hai đường thẳng DF , MN cắt nhau tại Y .


 của  O  tại Z . Chứng minh rằng K , Z , E , F đồng viên.
a) Đường thẳng XY cắt cung BC

b) Hai đường thẳng KE , KF cắt lại  O  tại S , T . Chứng minh rằng BS , CT , XY đồng quy.

Bài 13 (USA TST 2017).Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân và nội tiếp đường trịn  O  . Gọi T là
  900. Đường tròn đường kính AT cắt đường trịn ngoại
điểm trên đường thẳng BC sao cho TAO
tiếp tam giác BOC tại A1 và A2 , OA1  OA2 . Các điểm B1 , B2 , C1 , C2 được xác định tương tự.
a) Chứng minh rằng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh rằng AA2 , BB2 , CC2 đồng quy tại một điểm trên đường thẳng Euler của tam giác
ABC .
Bài 14 (VMO 2014). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  , trong đó B , C cố định và A

thay đổi trên  O  . Trên các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MA  MC và
NA  NB . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P  P  A . Đường

thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q .
a) Chứng minh rằng ba điểm A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Các đường trịn có tâm là M , N và cùng đi qua điểm A cắt
nhau tại K  K  A . Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC tại E. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác ADE cắt  O  tại F  F  A  . Chứng minh rằng đường thẳng AF luôn đi qua một điểm cố
định.
24


GV Nguyễn Bá Hoàng – THPT Chuyên Lào Cai
Bài 15 (Romania TST 2014). Cho tam giác ABCcó đường trịn ngoại tiếp (O). Các tiếp tuyến với
đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại các điểm B và C gặp nhau tại điểm P. Đường trịn tâm P

và bán kính PB cắt phân giác trong của góc BAC trong tam giác ABC tại điểm S, và D  OS  BC .
Chân đường vng góc của S trên AC và AB lần lượt là E và F. Chứng minh rằng AD, BE và CF
đồng qui.
Bài 16 (USA TST 2008). Cho tam giác ABC với trọng tâm G . Gọi P là điểm bất kì trên đoạn BC .
Điểm Q và R lần lượt nằm trên các cạnh AC và AB sao cho PQ || AB và PR || AC . Chứng minh
rằng khi P thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR đi qua một điểm cố định X sao cho
  CAX
.
BAG

Bài 17 (USAMO 2008). Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Trung trực các cạnh AB , AC cắt trung
tuyến AM lần lượt tại D , E . Các đường thẳng BD , CE cắt nhau tại F . Chứng minh rằng A, P , N , F
cùng nằm trên một đường tròn (ở đây N , P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CA, AB ).
Bài 18 (Lâm Đồng TST 2019). Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC , nội tiếp đường tròn (O ).
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC . Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và ACD
cắt nhau tại điểm K khác A. Đường thẳng AK cắt (O ) tại L khác A. Đường thẳng LB cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại điểm thứ hai M và đường thẳng LC cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác ACD tại điểm thứ hai N .
a) Chứng minh rằng ba điểm M , K , N thẳng hàng và MN  OL.
b) Chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn MN .

25