CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH
Nguyễn Xuân Hãn –biên dich
SUPA Graduate School
October/November 2008
/>Tài liệu đề xuất: Quarks & Leptons của F. Halzen và A. Martin (khơng hồn tồn cần thiết)

Các chủ đề
1. Phương trình Schrodinger:
2. Phương trình Klein Gordon:
3. Phương trình Dirac:
4. Điện động lực học lượng tử:
5. Lý thuyết nhiễu loạn và tán xạ:
6. Sắc động lực học lượng tử:

* Cơ học lượng tử phi tương đổi tính
* Phương trình sóng tương đối tính cho hạt boson
* Phương trình sóng tương đối tính cho hạt fermion
* Phương trình Dirac trong thế điện từ
* Các quy tắc Feynman, tiết diện và bề rộng
* Quark, gluon và màu, tái chuẩn hóa, sự kết cặp

1


Phần 1: Phương trình Schrodinger
r
r
* Xét một sóng phẳng có năng lượng E = hω và động lượng p = hk :
r r
r
i k . x − ωt )

ψ ( t , x ) = Ne (
Các giá trị này được rút ra nhờ các toán tử năng lượng và động lượng:
r
r
∂
Eˆ = ih
pˆ = −ih∇
∂t
* Khơng có gì ngạc nhiên khi các toán tử năng lượng và động lượng tương ứng khơng giao
hốn với thời gian và vị trí, mà tn theo các hệ thức giao hốn thơng thường:
r
r
r
r
∂
∂
 xˆi , pˆ j ψ ( t , x ) = −ihxi
ψ ( t , x ) + ih
xiψ ( t , x ) ) = ihψ ( t , x ) δ ij
(
∂x j
∂x j
* Quả thật, chúng ta nên sử dụng hệ thức giao hoán như một định đề và phát triển theo hướng
khác.
Nhớ lại rằng hàm sóng chỉ là hệ số khi ta viết véctơ trạng thái theo các véctơ riêng vị trí x ,

ψ = ∫ d 3 xψ ( x ) x ,

nghĩa là ψ ( x ) ≡ x ψ


+) Bài tập: Chỉ xem xét trong không gian một chiều với giả thiết hệ thức giao hoán
 xˆi , pˆ j  = ih , chỉ ra rằng
∂ 

φ pˆ ψ = ∫ dx φ * ( x )  −ih ÷ψ ( x )
∂x 

∂
Gợi ý: Xét x [ xˆ , pˆ ] y và sử dụng δ ( x − y ) = ( x − y ) δ ( x − y )
∂y
r
∂
* Điều này thể hiện rằng −ih∇ và −ih
nói một cách chính xác chỉ là các biểu diễn trong
∂x
khơng gian tọa độ của toán tử động lượng. Em hãy xây dựng (hoặc dự đốn) các biểu diễn
trong khơng gian động lượng của vị trí và động lượng.
•

p2
+ V , và viết phương trình này dưới dạng
2m
chứa các tốn tử cho ta phương trình Schrodinger:
Theo lý thuyết cổ điển, ta đã biết E =

∂ψ
h2 2
=−
∇ ψ + Vψ
∂t

2m
* Nhưng chúng ta sẽ giải thích ra sao về phương trình Schrodinger và hàm sóng tương ứng?
Cách tốt nhất là ta đi xem xét đại lượng nào được bảo tồn. Các dịng và mật độ được bảo
tồn là gì?
ih

2


ψ × S .E.:
*

ψ × S .E.* :

∂ψ
h2 * 2
ψ ih
=−
ψ ∇ ψ + Vψ *ψ
∂t
2m
*
∂ψ
h2
−ψ ih
=−
ψ∇ 2ψ * + Vψψ *
∂t
2m
*


(1)
(2)

Lấy (1) – (2):
r
r
∂ ψ *ψ  h2
h2 r
 −ψ *∇ 2ψ +ψ∇ 2ψ *  =
⇒ ih 
=
∇. ψ *∇ψ + ψ∇ψ * 
∂t
2m
2m

(

r
r
r r
∇. ψ *∇ψ  = ∇ψ *∇ψ + ψ *∇ 2ψ

)

mật độ được bảo toàn

Ta đã chỉ ra rằng đại lượng ρ = ψ *ψ thỏa mãn phương trình liên tục:
r

r
∂ρ r r
h  * r
+ ∇.J = 0 với J =
ψ ∇ψ − ∇ψ * ψ 

∂t
2im 

(

) (

)

dịng được bảo tồn

Tích phân trên tồn thể tích V:
và sử dụng Định luật Gauss

r r
∂ρ
dV = − ∫ ∇.J dV
V ∂t
V

∫

r r
∂

ρ
dV
=
−
J
∫A .dA
∂t ∫V

Bất kỳ sự thay đổi nào của tổng ρ trong thể tích đều phải thơng qua
một dịng J chạy qua bề mặt của thể tích đó.

J

Hình 1

Thể tích V được bao
bởi mặt diện tích A

* ρ = ψ *ψ là mật độ được bảo tồn và ta gọi nó là mật độ xác suất để tìm thấy hạt tại một vị
trí xác định.
Chú ý rằng ρ xác định dương, là điều kiện cần đối với xác suất.

3


Phần 2: Phương trình Klein-Gordon
Phương trình Schrodinger chỉ mơ tả các hạt trong giới hạn phi tương đối tính. Để mô tả các
hạt trong các máy gia tốc, ta cần kết hợp với lý thuyết tương đối hẹp.
Tổng hợp nhanh về tương đối hẹp
Ta xây dựng véctơ bốn chiều như sau


r
x µ ≡ ( x 0 , x1 , x 2 , x3 ) ≡ ( ct , x )

( µ = { 0,1, 2,3} )

µ
µ ν
Một quan sát viên trong hệ quy chiếu S’ sẽ quan sát thấy véctơ bốn chiều x′ = Λν x với Λ

ký hiệu phép biến đổi Lorentz.
Ví dụ: trong trường hợp v hướng theo chiều dương của trục x:
u


γ
− γ 0 0÷
 ct ′  
c
÷
 ′÷ 
1
 x ÷=  − u γ
γ
0 0÷
γ=

÷
 y′ ÷
c

v2
÷
1
−
 ÷  0
0
1 0÷
c2
 z′  
 0
ữ
0
0 1

à
* i lng x xà l bt bit vi phép biến đổi Lorentz

r2
2
x µ xµ ≡ g µν x µ xν = ( ct ) − x

ν
(định nghĩa của véctơ hiệp biến covector xµ ≡ g µν x )

với g à

1 0 0 0

ữ
0 1 0 0 ữ


=
l tensor metric của không gian Minkowski.
 0 0 −1 0 ÷

÷
 0 0 0 −1

* Sự bất biến này cho thấy biến đổi Lorentz là trực giao.
x′µ xµ′ ≡ g µν x′µ x′ν = g µν Λ µ α xα Λ µ β x β 

x µ xµ ≡ g µν x µ xν

x µ xµ = x′µ xµ′ ⇔ g µν Λ µ α Λ µ β = gαβ ⇔  Λ −1  = Λνµ
µν
(Chú ý rằng ta có thể chứng minh tính bất biến từ tính trực giao của phép biến đổi)
dx µ
dτ
τ
với là thời gian riêng, thời gian trong hệ gắn với hạt, liên hệ với thời gian của người quan
sát theo biểu thức t = γτ
Thành phần thời gian của động lượng bốn chiều là năng lượng của hạt, cịn thành phần khơng
gian là động lượng ba chiều của nó.
* Động lượng bốn chiều của một hạt được định nghĩa bởi p µ = m

4


E r
pà = , p ữ

c
v lớn của động lượng bốn chiều là bất biến:
E2 r 2
p µ pµ = 2 − p = m 2 c 2
c
* Cuối cùng, ta định nghĩa đạo hàm
∂µ ≡

∂
1

=
,ữ
à
x
c t

õy l mt vộct hip bin (ch số dưới).
Đơi khim ta sử dụng biểu thức véctơ
1 ∂

∂µ =
, ữ
c t



à bin i thnh: ∂ µ → ∂′µ =  Λ −1 

µ


Chú ý dấu trừ

∂ν

 µ ∂x′µ ν
µ
ν
 ∂x′ = ν ∂x = x
x



x

1


=
=

nờn
ữ
à
à


à
x
x x

x

* Cho n giản, từ đây về sau ta sẽ sử dụng các đơn vị tự nhiên.
Thay vì viết các đại lượng theo đơn vị kg, m và s, ta có thể viết chúng theo các đơn vị la c, h
và eV:
c = 299792458 ms −1
h = 6.58211889 ( 26 ) × 10−16 eV s
1eV = 1.782661731( 70 ) c 2 kg
Khi đó các đại lượng có đơn vị kg a mb s c có thể viết theo đơn vị cα hβ eV γ , trong đó

α = b + c − 2a
β =b+c
γ = a−b−c
Sau đó, chúng ta bỏ qua h và c trong các đại lượng (có thể tìm lại chúng từ thứ nguyên) –
chúng ta không đơn giản chỉ là “đặt chúng bằng đơn vị”.
Phương trình Klein-Gordon
Tính bất biến của độ lớn xung lượng bốn chiều cho chúng ta mối liên hệ giữa năng lượng,
động lượng và khối lượng:
r2
p µ pµ = E 2 − p = m 2
r
∂ r
Thay nằng lượng và xung lượng bởi E → i , p → −i∇ cho ta phương trình Klein-Gordon:
∂t

 ∂2
2
2
 − 2 + ∇ ÷φ = m φ
 ∂t



5


(Tôi đã đặt V = 0 cho đơn giản)
2
Một cách khác, trong ký hiệu hiệp biến p pµ = m thay p µ → i∂ µ thu được
µ

(∂

2

+ m2 ) φ = 0

2
µ
( ∂ ≡ ∂ ∂ µ đơi khi được viết thành hay
r r
r
− i ( Et − p . x )
Phương trình này có nghiệm dạng sóng phẳng φ ( t , x ) = Ne

2

)

chuẩn hóa


Đây là phương trình sóng tương đối tính cho hạt có spin bằng 0, mà cho tiện lợi được ký
hiệu là φ .
* Phương trình Klein-Gordon liệu có như nhau trong mọi hệ quy chiếu?
Dưới phép biến đổi Lorentz, toán tử Klein-Gordon là bất biến, nên

 ∂ ∂

 ∂ ∂

+ m 2 ÷φ ′ ( x′ ) =  µ
+ m 2 ÷φ ′ ( Λx )
 µ
÷
 ∂x′ ∂x′
÷
µ
 ∂x′ ∂xµ′



Để thu được hiện tượng vật lý trong hệ mới giống như ban đầu, ta cần có:
(do Λ là thực)
S là số thực
φ ′ ( x′ ) = Sφ ( x ) với |S|2 = 1
(biến đổi Lorentz bảo toàn chuẩn)

Dưới các phép biến đổi Lorentz liên tục, S phải bằng đơn vị nghĩa là S = 1.
r
r
Nhưng đối với phép đảo ( t , x ) → ( t , − x ) , S có thể lấy nhận cả hai dấu.

r
r
r
φ ′ ( t ′, x′ ) = φ ′ ( t ′, − x′ ) = φ ( t , x )
Nếu S = 1, thì φ là một vô hướng
r
r
r
φ ′ ( t ′, x′ ) = φ ′ ( t ′, − x′ ) = −φ ( t , x )
Nếu S = −1, thì φ là một giả vô hướng
Do φ là bất biến nên φ

2

không đổi với phép biến đổi Lorentz.

Nghĩa là sác xuất không thay đổi theo hệ quy chiếu.
* Tuy nhiên, sác xuất phải thay đổi theo hệ quy chiếu!
Nhớ rằng φ

2

là mật độ sác xuất:

1
V
γ
Sác xuất P = ρV nên để P là bất biến, ta cần có ρ ′ = γρ
* Chúng ta cần định nghĩa mới cho mật độ ρ và dịng J thỏa mãn các phương trình liên tục
ur

∂ρ ur ur
+ ∇.J = 0 hoặc, ∂ µ j µ = 0 với j µ = ( ρ , J )
∂t
Một sự lựa chọn có thể là:



 * ∂φ ∂φ * 
ρ = i φ
−
φ
J = −i[φ * (∇φ ) − (∇φ * )φ ]
∂t 
 ∂t
Sự co ngắn của chiều dài làm thay đổi thể tích V ′ =

[

Như j µ = i φ * (∂ µ φ ) − (∂ µ φ * )φ

]

6


Bài tập:
Xét nghiệm sóng phẳng của chúng ta:

r r
r

φ ( t , x ) = Ne −i( Et − p. x )

∂2
φ = ( ∇2 − m2 ) φ
2
∂t

r2
⇒ E 2 = m2 + p
r2
⇒ E = ± m2 + p

Ta thu được nghiệm ứng với năng lượng âm, thậm chí

 ∂φ ∂φ * 
2
ρ = i φ *
−
φ = 2 N E
∂t 
 ∂t
Nên các trạng thái năng lượng âm này có phân bố xác suất âm.
Ta khơng thể bỏ qua nghiệm này vì chúng có thể xuất hiện trong bất kỳ khai triển Fourier nào
Đây là lý do Schrodinger bỏ qua phương trình này và thay vào đó phát triển phương trình
Schrodinger phi tương đối tính – ơng (đơn giản) lấy dấu dương trong phép khai căn nên ơng
có thể bỏ qua các nghiệm năng lượng âm.
Giải thích Feynman-Stuckelberg
Lý thuyết Trường Lượng tử phát biểu rằng các trạng thái năng lượng dương phải truyền về
trước theo thời gian để bảo tồn tính nhân quả.
* Feynman và Stuckelberg đưa ra giả thiết rằng các trạng thái năng lượng âm truyền ngược

chiều thời gian.
Các nghiệm sóng phẳng ứng với năng lượng âm (E < 0) là
r r
r r
r
r
− i E − t − p. x
φE , pr ( t , x ) = Ne − i ( Et − p. x ) = Ne ( ( ) ) = φ E ,− pr ( −t , x )
chuyển dấu âm sang
cho thời gian

nhớ rằng

r
r
r
dx
dx
p=m
= −m
dτ
d ( −τ )
Các hạt chuyển động ngược chiều thời gian sau đó được giải thích là các phản hạt chuyển
động cùng chiều thời gian.
Nếu trường là tích điện, ta có thể giải thích lại j µ là mật độ điện tích thay vì mật độ sác xuất:
j µ = −ie φ * ( ∂ µφ ) − ( ∂ µφ * ) φ 
2

Khi đó ρ = j 0 , nên đối với hạt có năng lượng E:


j 0 = −2e N E

còn đối với phản hạt có năng lượng E:

j 0 = +2e N E = −2e N

2

tức tương đương với mật độ điện tích đối với một electron có năng lượng − E .

7

2

( −E )


Khơng gian

Trong thực tế, ta chỉ có thể thấy các trạng thái của các hạt, nên chúng ta vẫn phải bao gồm
các phản hạt này.

Thời gian

trạng thái năng
lượng dương truyền
theo chiều thời gian

trạng thái năng lượng âm truyền
theo chiều thời gian

≡
trạng thái năng lượng dương
truyền ngược chiều thời gian

Hình 2

Cơ học lượng tử không giải quyết đầy đủ về sự tạo cặp hạt-phản hạt từ chân không. Để xem
xét vấn đề này ta cần Lý thuyết Trường Lượng tử.
Chuẩn hóa nghiệm KG
Mật độ hạt (hay điện tích) cho phép ta chuẩn hóa nghiệm KG trong một hệ kín.
2

ρ = 2 N E nên trong hệ kín có thể tích V, số hạt là:

∫

V

ρ dV = ∫ 2 N EdV = 2 N EV
2

2

V

Nếu ta chuẩn hóa về 2E hạt trong một đơn vị thể tích, thì N = 1.
Chú ý rằng để là chọn lực hiệp biến. Tuy số hạt trong hệ kín khơng phụ thuộc vào hệ quy
chiếu, nhưng thể tích của hệ thay đổi trong phép biến đổi Lorentz, nên mật độ cũng thay đổi
theo phép biến đổi. Trên thực tế, mật độ là thành phần thời gian của véctơ bốn chiều j 0 .
Phương trình Klein-Gordon từ Lagrangian

Trong cơ học cổ điển, chúng ta có thể sử dụng các Lagrangian để mô tả hệ động lực học,
thông qua nguyên lý tác dụng tối thiểu.
Hàm tiến hóa của một hệ phát triển theo đường đi có tác dụng tối thiểu, trong đó tác dụng
được định nghĩa theo Lagrangian
Thực tế L là mật độ Lagrange
S = ∫ L ( φ , ∂ µφ ) d 4 x
Lagrangian là
L = ∫ L ( φ , ∂ µφ ) d 3 x

Liệu có phải điều này chứng tỏ S cũng phụ thuộc vào ∂ µφ ?

8


*
*
Thực tế, một cách chính xác hơn L =L ( φ , φ , ∂ µφ , ∂ µφ )

Chúng ta muốn tìm cấu hình của trường sao cho với một biến thiên vơ cùng nhỏ của trường
thì tác dụng không đổi.
nghĩa là: φ ( x ) → φ ( x ) + δφ ( x ) ⇒ S → S + δ S với δ S = 0

δ S = δφ

∂
∂
L ( φ , ∂ν φ ) d 4 x + δ ( ∂ µφ )
L ( φ , ∂ν φ ) d 4 x
∫
∫

∂φ
∂ ( ∂ µφ )

 ∂L
∂L
= ∫  δφ
+ ∂ µ ( δφ )
 ∂φ
∂ ( δ µφ )

Nhưng ∂ µ ( δφ )


∂L
∂L
= ∂ µ  δφ
 ∂ ( ∂ µφ )
∂ ( ∂ µφ )


 ∂L

∂L
+ ∂ µ  δφ
nên δ S =
( à )



4

ữd x
ữ



L
ữ à
ữ


( à )


L
ữ à
ữ
( à )




ữ
ữ


4
ữ d x
÷



đạo hàm tồn phần bằng khơng
do triệt tiêu tại ∞

Điều này đúng với mọi φ nên:

 ∂L
∂L
− ∂µ 
 ∂ ( à )


õy l phng trỡnh Euler-Lagrange.

9


ữ=0
ữ



Phần 3: Phương trình Dirac
Vấn đề của phương trình Klein-Gordon đều do phép khai căn khi đi tính năng lượng :
r2
E = ± m2 + p
Dirac tìm cách tránh vấn đề này bằng cách tìm phương trình hàm phụ thuộc tuyến tính theo
các tốn tử.
r r
rr
∂ψ

E = α. p + β m → i
= −iα .∇ + β m ψ
∂t
r
Giờ ta chỉ cần đi tìm α và β

(

)

Ta có: E = α i pi + β m với i và j được lấy tổng theo các giá trị 1, 2, 3.
⇒ E 2 = α iα j pi p j + ( α i β + βα i ) mpi + β 2 m 2
=

1
α iα j + α jα i ) pi p j + ( α i β + βα i ) mpi + β 2 m 2
(
2

đổi ký hiệu i ↔ j , hay

∑α α
i

i, j

j

pi p j = ∑ α jα i p j pi =∑ α jα i pi p j
j ,i


i, j

r2
So sánh với E = m + p , ta có:
2

2

α iα j + α jα i = 2δ ij
α i β + βα i = 0
β 2 =1
r
α và β là các phần tử phản giao hốn – khơng đơn giản chỉ là các số!
r
Các hệ thức giao hoán này xác định α và β . Ta có thể chọn bất kỳ phần tử nào thỏa mãn
các mối liên hệ này. Một khả năng, được gọi là biểu diễn Dirac, là các ma trận 4x4:
r
r 0 σ
1 0 
α = r
β =
÷
÷
σ 0 
 0 −1

với σ i là các ma trận Pauli thông thường:

các ma trận 2x2


0 1
 0 −i 
1 0 
σ1 = 
÷ σ2 = 
÷ σ3 = 
÷
1 0
i 0 
 0 −1
Do các ma trận này tác động lên trường ψ , ψ cũng phải là véctơ 4 thành phần, được gọi là
spinor.
 • • • • ã
Núi mt cỏch

ữ ữ
r
chớnh xỏc, õy
ã ã ã • ÷ • ÷
r
−iα .∇ + β m ψ ~
cng ch l mt
ã ã ã ã ữ ã ÷

÷ ÷
biểu diễn .
 • • • •  • 

(


)

10


Chúng ta có thể viết


σ 

  1

γ ≡ βα =  
 − σ − 1

1 0 

γ ≡ β = 
 0 − 1
0

….
{γ µ , γ υ } = 2 g µυ
Và cơng thức Dirac là: (với p µ → i∂ µ )
(iγ µ ∂µ − m)ψ = 0
+) Bài tập: Chỉ ra rằng các mối liên hệ phản giao hoán ở trên lại cho ta các mối liên hệ phản
giao hoán giữa α và β.
+) Bài tập: Chỉ ra rằng các mà trận α và β trong phương trình Dirac là Hermitian, khơng có
vết, có số chiều chẵn và có các giá trị riêng ±1 .

+) Bài tập: Chứng minh rằng ( γ 0 ) = γ 0 và ( γ i ) = γ i , i = 1, 2,3 và do đó ( γ µ ) = γ 0γ µ γ 0
†

†

†

Liệu Phương trình Dirac có các tính chất phù hợp?
Mật độ sác xuất có xác định dương hay khơng?

(ψ

†

= (ψ * )

T

)

r
r
Đại lượng được bảo toàn trong trường hợp này là ρ = ψ †ψ với J = ψ †αψ
Trong ký hiệu véctơ bốn chiều:
j µ = ψγ µψ với J ≡ ψ †γ 0 (Chú ý rằng γ 0γ 0 = β 2 = 1 )
Rõ ràng ρ = ψ †ψ > 0 (ln đúng).
+) Bài tập: Xuất phát từ phương trình Dirac, dẫn ra phương trình liên tục cho các đại lượng
mật độ và dòng ở trên (trong bài này, em có thể dùng đến các ký hiệu hiệp biến nếu thích)
Có đúng là Phương trình Dirac chỉ có đúng các nghiệm ứng với năng lượng dương?
Xét cho các nghiệm sóng phẳng:

r r
r r
χ
r
r
ψ ( t , x ) = u ( p ) e − i( Et − p.x ) =  ÷e −i( Et − p . x )
φ
spinor 4 thnh phn

u

spinor 2 thnh phn
ã
ữ
ã
ã
ữ
ã


11


÷
÷
÷
÷
÷



χ
φ


Do chúng ta cần tìm năng lượng, sẽ dễ dàng hơn khi không sử dụng ký hiệu véctơ 4 chiều:
r r
rr
 χ   m σ . p  χ 
∂ψ
i
= −iα .∇ + β m ψ ⇒ E  ÷ =  r r
÷ ÷
∂t
 φ   σ . p − m  φ 
r
Đối với một hạt đứng yên, p = 0

(

)

 χ   m 0  χ 
E  ÷= 
÷ ÷
 φ   0 −m  φ 
Các nghiệm:
1
 ÷
0
u =  ÷,

0÷
 ÷
0

0
 ÷
 1 ÷ với E = m
0÷
 ÷
0

các nghiệm ứng với
năng lượng dương
hay

các nghiệm ứng với
năng lượng âm

0
 ÷
0
u =  ÷,
1÷
 ÷
0

0
 ÷
 0 ÷ với E = −m
0÷

 ÷
1

Oops! Chúng ta vẫn cịn nghiệm ứng với năng lượng âm!
Dirac tránh điều này bằng cách sử dụng nguyên lý loại trừ Pauli.

Dirac Sea

Năng lượng

Ông lý luận rằng phương trình của mình đi mơ tả các hạt có spin (ví dụ electron) nên chỉ có
hai hạt có thể chiếm giữ một mức năng lượng xác định (một hạt spin hướng lên, hạt còn lại
spin hướng xuống).

E=0

Nếu tất cả cac mức năng lượng
với E < 0 đã được phủ đầy,
electron khơng thể rơi vào trạng
thái năng lượng âm

Hình 3

Chuyển một electron từ mức
năng lượng âm lên mức năng
lượng dương sẽ để lại một chỗ
trống mà ta giải thích là phản hạt

Chú ý rằng ta không thể sử dụng lý luận này đối với hạt boson (khơng có ngun lý loại trừ)
nên giải thích Feynman-Stuckelberg hữu dụng hơn.

Nghiệm tổng quát
12


r r
 χ   m σ.p χ 
E  ÷=  r r
÷ ÷
 φ   σ . p −m   φ 
Kiểm tra lại:

r r
σ.p

 χ = E − m φ
⇒
r r
φ = σ . p χ
E+m


r2
r r
r r
r2
p
 σ . p  σ . p 
2
2
φ =

φ = φ do E = m + p
÷
÷φ = 2
2
E −m
 E + m  E − m 
r r 2 r2
r r r r2
⇒
{ σ iσ j = δ ij + iε ijkσ k
( σ . p ) = p + i ( p × p ) .σ = p }
tính chất của ma trận Pauli, ví dụ σ 1σ 2 = iσ 3

Ta cần chọn một cơ sở cho các nghiệm của chúng ta. Chọn:
1
0
ξ ( 1) =  ÷
ξ ( 2) =  ÷
0
1
Các nghiệm ứng với năng lượng dương, E > 0, là ψ ( 1) ,ψ ( 2)
r r
σ.p
φ=
χ
E+m

ψ

( s)


( x) = u

χ = ξ ( s)

r r

σ . p ( s)
φ
=
ξ

E+m


⇒

( s)

e

− ip . x

( s = 1, 2 )

 ξ ( s)


r
r

= E + m σ . p ( s ) ÷e − ip. x

ξ ÷

÷
 E+m

chuẩn hóa – sẽ xét sau

Các nghiệm ứng với năng lượng âm, E < 0, là ψ ( 3) ,ψ ( 4)
r r
σ . p ( s)

r r
ξ
σ .p
χ =
E−m
χ=
φ ⇒
( s = 1, 2 )

E−m
 φ = ξ ( s)

r r
 σ . p ( s) 
ξ ÷ − ip. x
ψ ( s + 2) ( x ) = u ( s + 2) e− ip. x = − E + m  E − m
e

÷
 ξ ( s)
÷


Ta có thể viết lại theo năng lượng và động lượng của phản hạt:
Các nghiệm ứng với năng lượng dương, E > 0, là ψ ( 1) ,ψ ( 2)
r
r
u ( 3,4) ( − p ) e − i ( − p ) . x ≡ v ( 1,2) ( p ) eip. x
đôi lúc thứ tự có thể bị đảo ngược
Tính trực giao và hồn chỉnh
Với điều kiện chuẩn hóa 2E hạt trên một đơn vị thể tích, hiển nhiên là
u ( r ) †u ( s ) = 2 Eδ rs
Điều này chứng tỏ tính trực giao.

v ( r ) †v ( s ) = 2 Eδ rs
năng lượng dương

13


Ít hiển nhiên hơn, nhưng cũng dễ dàng tìm được các mối liên hệ về tính hồn chỉnh:

∑ u( ) ( p ) u ( ) ( p ) =

p +m

Chú ý đây là phương
trình ma trận:


∑ v( ) ( p ) v ( ) ( p ) =

p −m

 •
•
 ÷

 • ÷( • • • • ) = ã
ãữ
ã
ữ

ã
ã

s

s

s =1,2

s

s

s =1,2

ã ã ã

ữ
ã ã •÷
• • •÷
÷
• • •

+) Bài tập: Chứng mính các mơi liên hệ về tính hồn chỉnh ở trên.
Phương trình Dirac từ Lagrangian
Xét Lagrangian cho trường Dirac tự do:

các chỉ số spinor

)

(

L =ψ ( γ µ ∂ µ − m ) ψ = ψ i γ µ  ∂ µ − mδ ij ψ j
ij
Ta thu được hai cặp Phương trình Euler-Lagrangian: Một cho ψ và một cho ψ :
 ∂L
∂L
− ∂µ 
 ∂ ( ∂ µψ i )
∂ψ i

Sử dng phng trỡnh cho :


ữ= 0
ữ



L
L
à
( à i )
i


)

(


ữ= 0
ữ


L
L
=0
= à  ∂ µ − mδ ij ψ j ;
ij
∂ ( ∂ µψ i )
∂ψ i

µ
Do vậy: ( γ ∂ µ − m ) ψ = 0 chính là phương trình Dirac!

Ta có thể sử dụng cặp Phương trình Euler-Lagrangian cịn lại để viết phương trình cho các

phản hạt:
s
( ∂ µψ ) γ µ + mψ = 0 đơi khi viết dưới dạng ψ γ µ ∂ µ + m = 0

(

)

mũi tên thể hiện chiều tác
dụng từ bên trái

Lagrangian Dirac có vẻ khá đối xứng theo ψ và ψ .
Ta có thể viết lại Lagrangian:
L =ψ ( γ µ ∂ µ − m ) ψ = ∂ µ ( ψγ µψ ) − ( ∂ µψ ) γ µψ − mψψ
đạo hàm tồn phần

hay thậm chí thành
1
1
L = ψ µ ∂ µψ − ( ∂ µψ ) γ µψ − mψψ
2
2
s
1
1
= ψ ( γ µ∂µ − m) ψ − ψ γ µ∂µ + m ψ
2
2

(


Mơmen động lượng và Spin

r r r
Mômen xung lượng của một hạt được cho bởi L = r × p .

14

)


Nếu nó giao hốn với Hamilonian thì mơmen xung lượng được bảo toàn.
r
r r r r
r r
 H , L  = [ α . p, r × p ] = −iα × p


r r r
Giá trị này khác khơng, nên L = r × p khơng bảo tồn!
r
r σ 0 
r
r
( = −iγ 1γ 2γ 3γ )
Nhưng nếu ta định nghĩa Σ = 
r ÷ = −iα1α 2α 3α
0 σ
r
r r

r
r r
 H , Σ  = [ α . p, −iα1α 2α 3α ] = 2iα × p
thì
r
r r 1r
Do đó đại lượng J = L + Σ được bảo toàn:  H , J  = 0
2
i
+) Bài tập: Kiểm tra các hệ thức giao hoán trên. (Gợi ý: trước tiên chỉ ra Σi = − ε ijkα jα k )
2
r
1r
Σ là mơmen xung lượng nội tại.
là
mơmen
xung
lượng
quỹ
đạo,
cịn
L
2
1 0

1 3 1  0 −1
Σ
=
Chú ý rằng các spinor cơ sở của chúng ta là các véctơ riêng của
2

2 0 0

0 0

0 0
÷
0 0÷
1 0÷
÷
0 −1

1
với các trị riêng ± .
2
Từ đó, ta hiểu được tại sao spinor có bốn bậc tự do:
+ nghiệm ứng với năng lượng dương, spin hướng lên.
+ nghiệm ứng với năng lượng dương, spin hướng xuống.
+ nghiệm ứng với năng lượng âm, spin hướng lên.
+ nghiệm ứng với năng lượng âm, spin hướng xuống.
Helicity của các hạt fermion không khối lượng
Nếu khối lượng bằng khơng, phương trình sóng trở thành:
r r
r r
 χ   0 σ .p  χ 
 Eφ = σ . p χ
E  ÷=  r r
r r
÷ ÷ ⇒ 
 φ  σ . p 0   φ 
 E χ = σ . pφ

1
( χ ± φ ) , ta thấy các phương trình tách thành
2
r r
r r
E Ψ R = σ . pΨ R và E Ψ L = −σ . pΨ L
Các spinor hai thành phần này, được gọi là các spinor Weyl, hoàn tồn độc lập, thậm chí có
thể xem là các hạt riêng biệt!
r r
σ .p
Chú ý rằng chúng là các trạng thái riêng của toán tử r ứng với trị riêng ±1
p
Đặt Ψ R , L ≡

r

( p = E với trạng thái hạt không khối lượng)

15


r r
Σ. p
Với spinor Dirac toàn phần, chúng ta định nghĩa tốn tử Helicity như sau: r
2 p
Hình chiếu của spin trên phương chuyển động

p
1
Một hạt ứng với trị riêng helicity + là chiều thuận

2
p
Một hạt ứng với trị riêng helicity −

1
là chiều nghịch
2
Hình 4

Do phản hạt có xung lượng ngược chiều nên nó sẽ có helicity ngược chiều.
Hạt chiều thuần → Phản hạt chiều nghịch
(đó là lý do tại sao chỉ số của nghiệm trong spinor phản hạt v đơi khi được viết ngược lại)
Ta có thể chiểu ra một giá trị helicity cụ thể từ spinor Dirac sử dụng ma trận γ .
0 1
5
0 1 2 3
Định nghĩa γ ≡ iγ γ γ γ = 
÷
1 0

Đây là biểu diễn
Dirac

1
1  1 ±1
1± γ 5 ) = 
(
÷
2
2  ±1 1 

Khi đó spinor PLu sẽ theo chiều thuận, cịn PR u sẽ theo chiều nghịch
Và tốn tử chiếu PR / L ≡

Ví dụ:
r r
Σ. p
Nhưng r
2 p

1  1 1 χ  1  χ + φ 
PR u = 
÷ ÷ = 
÷
2  1 1 φ  2  χ + φ 
1  χ +φ  1 1  χ +φ 

÷= . 
÷ nên PR u là theo chiều nghịch.
2  χ +φ  2 2  χ +φ 

Ta có thể làm rõ ràng hơn bằng cách sử dụng một biểu diễn khác của ma trận γ .
Biểu diễn đối xứng gương (đôi khi được gọi là biểu diễn Weyl) như sau:
r
0 1 r  0 σ 
 −1 0 
0
5
0 1 2 3
γ =
÷ γ = r

÷ γ ≡ iγ γ γ γ = 
÷
1 0
 −σ 0 
 0 1
PL ≡

1 0
1
1− γ 5 ) = 
(
÷
2
0 0

PR ≡

 0 0
1
1+ γ 5 ) = 
(
÷
2
0 1

Các spinor Weyl chiều thuận nằm ở phần trên của spinor Dirac, còn các spinor Weyl chiều
nghịch nằm ở phần dưới.
 0 0 ΨL   0 
PR u = 
÷= 

÷
÷
 0 1  ΨR   ΨR 
Tương tác yếu chỉ tác dụng lên các hạt chiều nghịch.
16


r
r
Phép biến đổi tính chẵn lẻ chuyển r → −r nhưng không thay đổi spin (không phụ thuộc vào
nghiệm mà ta chọn). Do đó phép biến đổi chẵn lẽ thay đổi helicity - nó chuyển các hạt chiều
nghịch thành các hạt chiều thuận và ngược lại.
PΨ L = Ψ R và PΨ R = Ψ L .
Nghĩa là
Vậy tương tác yếu vi phạm tính chẵn lẻ.
Ngồi ra, helicity chỉ là một số lượng tử “tốt” cho các hạt không khối lượng.
Nếu một hạt có khối lượng, ta ln có thể chuyển sang hệ quy chiếu mà trong đó ta chuyển
động nhanh hơn hạt, là đảo chiều của động lượng. Điều này làm đổi dấu của helicity.
Đối với hạt không khối lượng, ta khơng có hệ này và helicity là một số lượng tử “tốt”.
Ta đã biết thành phần khối lượng trong Lagrangian Dirac có dạng
 0 1 ΨL 
†
†
mψψ = m ( Ψ †L Ψ †R ) 
÷ Ψ ÷ = m ( Ψ L Ψ R + Ψ R Ψ R )
1
0

 R 
biểu diễn đối xứng gương


Các thành phần khối lượng có cả các trạng thái chiều thuận lẫn chiều nghịch.
Do đó các hạt lơn khơng tương thích với tương tác yếu!
Lời giải cho bài toán này dẫn đến một trường mới gọi là trường Higgs. Nó kết cặp các hạt
chiều thuận với các hạt chiều nghịch, kết hợp chúng và cho chúng một khối lượng hiệu
dụng.
L Higgs ⊃ Yψ L .φψ R
Nếu chân không (trạng thái năng lượng thấp nhất) của hệ chứa một số lượng khác không
trường mới này φ ≠ 0 , ta tạo ra khối lượng Y φ .
Lý thuyết cũng tiên đoán một hạt mới, boson Higgs, mà chúng ta hy vọng sẽ tìm ra sớm.
Tính đối xứng của Phương trình Dirac
Phép biến đổi Lorentz
Trường ψ ( x ) thể hiện như thế nào dưới phép biến đổi Lorentz?
ν

x′µ = Λ µν xν

( iγ
Nhân trái với S −1 :

ψ ( x ) → ψ ′ ( x′ ) = Sψ ( x )

∂ µ → ∂′µ =  Λ −1  ∂ν
µ
µ

(

∂ µ − m ) ψ ( x ) = 0 → iγ µ  Λ −1 


( iS

ν
µ

)

∂ν − m Sψ ( x ) = 0

( γ µ và m là các số nên khơng biến đổi)
ν

)

γ µ S  Λ −1  µ ∂ν − m ψ ( x ) = 0

−1

17


⇒

S −1γ µ S = Λ µν γ ν

µ
µ
µ
Ta có thể tìm được S bằng phép biến đổi riêng rất nhỏ Λ ν = g ν + ω ν


Λ µν γ ν = S −1γ µ S
i
4

µν
Đặt S = 1 + σ µν ω

phản đối xứng

(chỉ là phép tham số hóa)
i
 i
 

γ µ + ω µν γ ν = 1 ữ à 1 + σ σρ ω σρ ÷
 4
  4


2
⇒ 2iω αβ ( δ µ α γ β − δ µ β γ α ) = γ µ , σ αβ  ω αβ
(bỏ qua số hạng O ( ω ) )
i
⇒ σ µν = γ µ , γ ν 
2
Biểu thức này cho ta thấy trường fermion thay đổi như thế nào dưới phép biến đổi Lorentz

+) Bài tập: Thể hiện rằng σ µν ở trên thỏa mãn phương trình biến đổi (bỏ qua số hạng
O ( ω2 ) )
Phép biến đổi liên hợp ψ ≡ ψ †γ 0 → ψ † S †γ 0 = ψ †γ 0 S −1 = ψ S −1

(do S †γ 0 = γ 0 S −1 với dạng cụ thể của S dẫn ra ở trên)

Do đó ψψ là bất biến.
µ
µ
−1 µ
µ
ν
Và j = ψγ ψ → ψ S γ Sψ = Λ νψγ ψ nên dòng của chúng ta là véctơ bốn chiều.
Các song tuyến fermion thông thường
ψψ → ψψ
ψγ 5ψ → Det ( Λ ) ψγ 5
ψγ µψ → Λ µνψγ µψ

ψγ µ γ 5ψ → Det ( Λ ) Λ µνψγ µ γ 5ψ
ψσ µν γ 5ψ → Λ µ α Λν βψσ αβ γ 5ψ

vô hướng
giả vô hướng
véctơ
véctơ axial
tensor

r
r
Chẵn lẻ: t → t , x → − x
r
r
Phép biến đổi chẵn lẻ là một phép biến đổi Lorentz suy rộng t → t , x → − x biểu diễn bởi
1 0 0 0 


÷
0 −1 0 0 ÷
µ

 Λ ν  =
 0 0 −1 0 ÷

÷
 0 0 0 −1
i
i
µ
ν
−1 µ
Mà Λ ν γ = P γ P nên Pγ 0 = γ 0 P và Pγ = −γ P ( i = 1, 2,3)
Do γ 0 giao hốn với chính nó (tầm thường) và phản giao hoán với γ i , một lựa chọn phù hợp
là
18


P = ηγ 0 ,

η =1
r
r
r
P :ψ ( t , x ) → ψ P ( t , − x ) = Pψ ( t , x ) = γ 0ψ ( t , x )
Bạn hãy dẫn ra phép biến đổi chẵn lẻ của các song tuyến nêu ra trong phần trên?
Bạn sẽ thấy là η bị rút gọn, nên khơng mất tính tổng qt, ta đặt η = 1 .


Charge Conjugation
Một tính đối xứng khác của phương trình Dirac là việc chuyển đổi giữa các hạt và
phản hạt.
ψ → ψ C ≡ Cψ T
Lấy liên hợp phức phương trình Dirac:

( iγ

µ

(

)

∂ µ − m ) ψ * ( x ) = −i ( γ µ † ) ∂ µ − m ( ψ † )
*

T

T

= γ 0T ( −iγ µT ∂ µ − m ) ψ T
(sử dụng γ µ † = γ 0γ µ γ 0 và ψ ≡ ψ †γ 0 )

Nhân trái với Cγ 0T thì phương trình Dirac trở thành

( −iCγ

µT


C −1∂ µ − m ) ψ C = 0

Vậy ta cần tìm C thỏa mãn:

Cγ µT C −1 = −γ µ
Dạng của C phụ thuộc vào phép biểu diễn của các ma trận γ . Với phép biểu diễn Dirac, một
lựa chọn phù hợp là
 0 0 0 −1
−iσ 2   0 0 1 0 ÷
 0
2 0
÷
C = iγ γ = 
÷= 
÷
−
i
σ
0
0
−
1
0
0

2


÷

1 0 0 0 
r
r
r
r
C :ψ ( t , x ) → ψ C ( t , x ) = Cψ T ( t , x ) = iγ 2γ 0ψ T ( t , x )
Phép biến đổi này sẽ ảnh hưởng thế nào tới các nghiệm tĩnh?
1
1
0
 ÷
 ÷
 ÷
0
0
0
ψ =  ÷e − imt → ψ C = C  ÷eimt =  ÷eimt
0÷
0÷
0÷
 ÷
 ÷
 ÷
0
0
1
0
0
0
 ÷

 ÷
 ÷
1
1
0
ψ =  ÷e − imt → ψ C = C  ÷eimt =  ÷eimt
0÷
0÷
1÷
 ÷
 ÷
 ÷
0
0
0
Chúng ta đã biến đổi các trạng thái của hạt thành các trạng thái của phản hạt như dự tính.
Đảo ngược chiều thời gian

19


r
r
Phép biến đổi đơn giản hàm sóng t → −t , x → x chưa đầy đủ để thực hiện phép đảo chiều
thời gian. Do động lượng của một hạt, là sự thay đổi theo thời gian, cũng phải đổi dấu.
Đổi chiều động lượng và thời gian của một sóng phẳng cho:

(

)


r r
r r
r r
r r *
−i E −t − − p x
e − i ( Et − p. x ) → e ( ( ) ( ) ) = ei ( Et − p. x ) = e −i ( Et − p. x )
r
r
r
*
Chúng ta phải lấy liên hợp phức: ψ ( t , x ) → ψ T ( −t , x ) = Tψ ( t , x )
Lấy liên hợp phức của phương trình Dirac, đổi t → −t và nhân trái với T:


 −1 *
rr
r r
r
r
∂
 0 ∂

+ iγ .∇ − m ÷ψ ( t , x ) → T  −iγ 0*
− iγ * .∇ − m ÷
T Tψ ( −t , x )
 iγ
÷
∂t
∂ ( −t )





r
r
r
∂


=  i T γ 0*T −1  + i  −T γ *T −1  .∇ − m ÷ψ T ( t , x )
∂t


Ta cần:

r
r
T γ *T −1 = −γ

T γ 0*T −1 = γ 0 ,
Một lựa chọn phù hợp là:

 0 1 0 0
0   −1 0 0 0 ÷
 −iσ 1σ 3
1 3
÷
T = iγ γ = 
÷= i 

÷
0
−
i
σ
σ
0
0
0
1
1 3


÷
 0 0 −1 0 
r
r
r
r
T :ψ ( t , x ) → ψ T ( −t , x ) = Tψ * ( t , x ) = iγ 1γ 3ψ * ( t , x )

CPT
Đối với các đối xứng gián đoạn, ta đã chỉ ra được:
r
r
r
r
C : ψ ( t , x ) → ψ C ( t , x ) = Cψ T ( t , x ) = iγ 2γ 0ψ T ( t , x )
r
r

r
r
P : ψ ( t , x ) → ψ P ( t , − x ) = Pψ ( t , x ) =
γ 0ψ ( t , x )
r
r
r
r
T : ψ ( t , x ) → ψ T ( −t , x ) = Tψ * ( t , x ) = iγ 1γ 3ψ * ( t , x )
Thực hiến tất cả các phép biến đổi trên cho ta:
r
r
r *
CPT :ψ ( t , x ) → ψ CPT ( −t , − x ) = iγ 2γ 0γ 0T γ 0iγ 1γ 3ψ * ( t , x ) 
r
= iγ 2γ 0γ 0γ 0 ( −i ) γ 1γ 3ψ ( t , x )
r
= γ 0γ 1γ 2γ 3ψ ( t , x )
r
= −iγ 5ψ ( t , x )
Vậy: nếu ψ ( x ) là một electron thì ψ CPT ( − x ) là một positron chuyển động ngược lại trong
không-thời gian nhân với một hệ số −iγ 5 .
Điều này kiểm chứng giải thích Feynman-Stuckelberg!

20


Phần 4: Điện động lực học lượng tử (không sử dụng QFT)

Điện từ học cổ điển

Các phương trình Maxwell:

r r
r r
∇.E = ρ
∇.B = 0
r
r
r r ∂B
r r ∂E r
∇× E +
=0
∇× B −
=J
∂t
∂t
Maxwell đã tìm được chúng từ 1864, nhưng điều ngạc nhiên chúng có tính hiệp biến.
 0 E1 E2 E3

ữ
r
E1
0
B3 B2 ữ
à
à

F

t

v j ≡ ρ , J , chúng trở thành
 E2 B3
0
− B1 ÷

÷
0 
 E3 − B2 B1

(

)

Chú ý: Việc viết các phương trình
Maxwall dưới dạng này khơng
chứng tỏ tính hiệp biến

∂ µ F µν = jν

Chú ý: F µν = − F νµ

Các phương trình Maxwell cũng có thể viết theo Thế năng Aµ .
Đặt F µν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
µν
µ ν
ν µ
Ta có: ∂ µ F = ∂ µ ∂ A − ∂ µ ∂ A

Chú ý rằng ta có thể thay đổi Aµ đi một lượng bằng đạo hàm của một vô hướng mà vẫn
khơng làm thay đổi Fµν

Aµ → Aµ + λ∂ µφ

⇒

F µν → F µν + λ∂ µ ∂ν φ − λ∂ν ∂ µφ = F µν

Chọn λ thỏa mãn

∂ µ Aµ = 0
µ
Đây là phép biến đổi chuẩn, và lựa chọn ∂ µ A = 0 được gọi là chuẩn Lorentz.

Trong chuẩn này:

∂ 2 Aµ = j µ
Phương trình sóng khi khơng có nguồn ∂ 2 Aµ = 0 có nghiệm
Aµ = ε µ eiq.x với

q2 = 0

véctơ phân cực với 4 bậc tự
do
µ
Điều kiện Lorentz ( ∂ µ A = 0 )

⇒

qµ ε µ = 0

Nên ε µ chỉ có 3 bậc tự do (2 bậc tự do ngang và 1 bậc tự do dọc)

Chúng ta vẫn còn vài bậc tự do để thay đổi Aµ , ngay cả sau khi áp dụng chuẩn Lorentz:
Aµ → Aµ + ∂ µ χ là OK, miễn sao ∂ 2 χ = 0
r r
Thông thường ta chọn χ sao cho ∇. A = 0 . Đây là chuẩn Coulomb.

21


r r
∇. A = 0

rr
q.ε = 0

⇒

Khi đó chỉ cịn lại hai trạng thái phân cực (đều là bậc tự do ngang).
Lagrangian cho trường photon tự do
µν
Chúng ta cần đi tìm Lagrangian cho ta ∂ µ F = 0 (Các phương trình Maxwell khi khơng có

nguồn)

Nhớ rằng: Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ , nên
∂Fµν

∂ ( ∂σ Aρ )
⇒

1

L = − Fµν F µν
4
∂Fµν
=0
⇒
∂Aρ

∂L
=0
∂Aρ

= g µσ gνρ − g µρ gνσ

∂Fµν
∂L
1
1
1
= − F µν
= − F µν ( g µσ gνρ − g µρ gνσ ) = − ( F σρ − F ρσ ) = − F σρ
2
2
2
∂ ( ∂σ Aρ )
∂ ( ∂σ Aρ )

 ∂L

 ∂ ( ∂σ Aρ )


σρ
⇒ ∂σ F = 0
∂L
− ∂σ
∂Aρ


÷= 0
÷


F ρσ

phản đối xứng

Phương trình Dirac trong Trường Điện từ
Cho tới giờ, các tính tốn đều là cổ điển. Ta cần làm gì để kết hợp trường điện từ vào
phương trình Dirac lượng tử?
Chúng ta vẫn cịn một đối xứng trong Lagrangian Dirac mà ta chưa xét đến.
Xét sự dịch pha của điện trường: ψ → eiθψ .
r
Trường liên hợp biến đổi như sau: ψ → ψ e − iθ và Lagrangian chuyển thành
L = ψ ( iγ µ ∂ µ − m ) ψ → ψ e − iθ ( iγ µ ∂ µ − m ) eiθψ = L

Lagrangian không thay đổi nên các hiện tượng vật lý cũng không đổi.
Điều này được biết đến là đối xứng U(1) tồn bộ
do eiθ là ma trận
unita 1x1

do eiθ khơng phụ thuộc vào tọa

độ không thời gian

Sẽ như thế nào nếu ta địa phương hóa phép biến đổi, nghĩa là phụ thuộc vào tọa độ không
thời gian?

ψ → eiθ ( x )ψ

ψ → ψ e − iθ ( x )

L → ψ e − iθ ( x ) ( iγ µ ∂ µ − m ) eiθ ( x )ψ = L −ψγ µ ( ∂ µθ ( x ) ) ψ
Lagrangian Dirac tự do khơng cịn bất biến nữa. Nếu ta muốn biến nó thành một đối xứng
trong lý thuyết, ta cần thêm vào một số thành phần mới.
Định nghĩa một trường mới Aµ kết cặp với electron theo
22


L = ψ ( iγ µ ∂ µ − eγ µ Aµ − m ) ψ
điện tích của electron = - e
Thông thường ta viết chúng theo “đạo hàm hiệp biến”

D µ ≡ ∂ µ + ieAµ

(

)

µ
µ − iθ ( x )
Dµ′ eiθ ( x ) − m ψ
Khi đó: L = ψ ( iγ Dµ − m ) ψ → ψ iγ e


Vậy, để bảo tồn Lagrangian thì Dµ cũng biến đổi
Dµ → Dµ′ = eiθ ( x ) Dµ e − iθ ( x )
⇒ ∂ µ + ieAµ′ = e − iθ ( x ) ( ∂ µ + ieAµ ) e − iθ ( x ) = ∂ µ − i∂ µθ ( x ) + ieAµ
Do vậy, Aµ biến đổi thành
1
Aµ → Aµ′ = Aµ − ∂ µθ ( x )
e
Đây là phép biến đổi chuẩn ta đã dùng cho photon (cổ điển)!
1
LQED = − Fµν F µν + ψ iγ µ Dµ − m ψ
4

(

( iγ

µ

Dµ − m ) ψ = 0,

)

µ

∂ A = j
2

j µ = eψγ µψ


µ

Momen từ của electron
Ta đã biết tương tác giữa một electron với một trường điện từ được cho bởi

( iγ

∂ µ − eγ µ Aµ − m ) = 0
r
r
r

m

.

i


eA


t u à ữ nh lúc trước, E  ÷ =  r
r
r
φ 
 φ   σ . −i∇ − eA
−m

µ


(

Nên φ =

r
r
r
σ . −i∇ − eA

Mặt khác:

(

E+m

)

)

(

) ÷ χ 

÷ φ ÷


(chuẩn Coulomb ⇒ A0 = 0 )

r 2

r

σr . −i∇ − eA  


 ÷χ = 0
χ và  E − m +
÷
E+m

÷



(

)

r
r
r
σ iσ j = δ ij + iε ijk σ k ⇒ σ . −i∇ − eA

r r
r
r r
r r
∇ × Aψ + A × ∇ψ = ∇ × A ψ − A ×

(


(

r r
r r2

p − eA − eB.σ 
÷χ = 0
Vậy:  E − m +
÷
E+m

÷



)

r2

r

r

r

r r

)  = −i∇ − eA − e ( ∇ × A + A × ∇ ) .σr
r r

r
r r
r
( ∇ψ ) + A × ( ∇ψ ) = ( ∇ × A) ψ = Bψ
2

Trong giới hạn phi tương đối tính, E ≈ m và φ ≈
phương trình Dirac:
23

r r r
σ . p − eA

(

2m

) χ << χ , nên ta có thể xấp xỉ


rr
r2
1 r
eB.Σ
p − eA ψ −
ψ =0
2m
2m
r
e r

r r
Σ.
Đây là tương tác mơmen từ − µ .B với µ = −
2m
r
Mơmen từ µ được tạo ra từ đóng góp của mơmen xung lượng quỹ đạo
r
e r
µL = −
L
2m
và mơmen xung lượng spin nội tại
r
e r
µs = − g
s
2m
r 1r
s= Σ
tỉ số từ hồi chuyển
2

Phương trình Dirac tiên đốn tỉ số từ hồi chuyển g = 2
Ta có thể so sánh với giá trị thực nghiệm: gexp = 2.0023193043738 ±
0.0000000000082
Độ lệch của g – 2 khỏi không là do hiệu chỉnh phóng xạ
Electron có thể phát ra một photon, tương tác và tái hập thụ photon đó.
Nếu thực hiện phép tính toán cẩn thận hơn, bao gồm cả các hiệu ứng
này, QED tiên đoán:
2


3

4

g −2 α
α 
α 
α 
=
− 0.328  ÷ + 1.181 ÷ − 1.510  ÷ + ... + 4.393 × 10−12
2
2π
π 
π 
π 
Lý thuyết:
Thực nghiệm:

gth − 2
= 1159652140 ( 28 ) ×10−12
2
g exp − 2
= 1159652186.9 ( 4.1) ×10−12
2

phù hợp tốt

Mơmen từ của muon thú vị hơn vì nó nhạy cảm hơn với các hiện tượng vật lý mới.


24

Hình 5


Phần 5: Lý thuyết Nhiễu loạn và Tán xạ
Từ phương trình Dirac trong trường Điện từ, ta có thể đi tính bài tốn tán xạ electron (do điện
từ trường) a + b → c + d
a
c

γ
b

d
Hình 6

Chúng ta giả thiết rằng cặp e là nhỏ, và ở rất xa tương tác, nghĩa là bên ngồi vùng bơi đen,
các electron là các hạt tự do.
* Khi đó, trạng thái ban đầu là nghiệm của Phương trình Dirac tự do.
* Nó tiến hóa theo thời gian dựa vào Hamiltonian của Phương trình Dirac tương tác.
* Xác suất tìm thấy một trạng thái cuối xác định (cũng là một nghiệm của Phương trình Dirac
tự do) là hình chiếu của trạng thái tiến hóa lên trạng thái cuối này.
Phương trình Dirac (trong một trường) có thể viết như sau:
∂ψ
0 µ
i
= −iγ 0γ i∇ iψ + mγ 0ψ + eVψ
với V = γ γ Aµ
∂t

0 0
rút ra từ phương trình Schrodinger với thế V.
(Nhớ rằng γ γ = 1 )
Giả thiết rằng trạng thái tại thời điểm t = −∞ là một trạng thái riêng động lượng Ψ pr của
r
phương trình Dirac tự do (V = 0) với năng lượng E = p 2 + m 2
hay H 0 Ψ pr = i

∂
Ψ pr
∂t

Phương trình Dirac trong trường ngoài là

với

H 0 = −iγ 0γ i ∇ i + mγ 0

( H 0 + eV ) ψ

=i

Ta cần giải phương trình này để tìm ψ .

∂ψ
.
∂t

Do Ψ pr tạo thành một tập hoàn chỉnh, bất kỳ một nghiệm nào cũng đều phải có dạng


ψ = ∫ d3 p

1
κ pr ( t ) Ψ pr ( x )
2 E pr

với

(lựa chọn chuẩn hóa này để đảm bảo κ

Khai triển κ theo chuỗi lũy thừa của e:

∫d
2

3

r r
xΨ †qr Ψ pr = 2 E pr δ ( 3) ( p − q )

có thể giải thích là xác suất)

(rn ) n
κ pr = ∑ n κ%
p e .

25