<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề chứng minh chia hết

I. D¹ng bµi chøng minh chia hÕt khi vµ chØ khi.

1) <i>dcba</i>₄ ₍<i>a</i>₂<i>b</i>₎₄ 11) (3<i>a</i>2<i>b</i>)17 (10<i>a</i><i>b</i>)17

2) <i>N</i> <i>dcba</i>8 (<i>a</i>2<i>b</i>4<i>c</i>)8 12) <i>abb</i>7 (<i>a</i>2<i>b</i>)7

3) <i>_N</i> _<i>_dcba</i>_₁₆_ ₍<i>_a</i>_₂<i>_b</i>_₄<i>_c</i>_₈<i>_d</i>₎_₁₆_{, b ch½n.} 13) <i>_abcd</i>_₁₀₁_ <i>_ab</i>_<i>_cd</i>

4) <i>ab</i>₁₃ ₍<i>a</i>₄<i>b</i>₎₁₃ 14) (<i>a</i> 5<i>b</i>)17,<i>CMR</i>,(10<i>a</i><i>b</i>)17

5) <i>_ab</i>_₁₇_ ₍₃<i>_a</i>_₂<i>_b</i>₎_₁₇ 15) _{Chøng minh r»ng (}₃<i>_x</i>_₅<i>_y</i>₎_₁₇_th×

17
)
4

(<i>x</i> <i>y</i>  điều ngợc lại có đúng
khơng x, y <i>N</i>.

6) <i>abcd</i>₂₉ ₍<i>a</i>₃<i>b</i>₉<i>c</i>₂₇<i>d</i>₎₂₉

7) (2<i>x</i>3<i>y</i>)17 (9<i>x</i>5<i>y</i>)17
8) ₍₁₁<i>_a</i>_₂<i>_b</i>₎_₁₉_ ₍₁₈<i>_a</i>_₅<i>_b</i>₎_₁₉
9) ₍<i>_a</i>_₄<i>_b</i>₎_₁₃_ ₍₁₀<i>_a</i>_<i>_b</i>₎_₁₃
10) ₍<i>abc</i>₃₇_,<i>CMR</i>_,<i>bca</i>_,<i>cab</i>₃₇

II. Dạng Tìm số sử dụng dấu hiệu chia hết.

Bài tập: T×m x, y sao cho:

1) 135<i>x</i>4<i>y</i>45 9) 7<i>xy</i>963

2) 1234<i>xy</i>72 10) 6<i>x</i>5<i>y</i>2;9

3) 34<i>x</i>5<i>y</i>36 11) 75<i>xy</i>45

4) 64<i>x</i>5<i>y</i>36 12) 31<i>x</i>4<i>y</i>2;5;4

5) 71<i>x</i>1<i>y</i>45 13) 17<i>xy</i>2;3chia cho 5 d 1

6) 56<i>x</i>3<i>y</i>36

7) 135<i>xy</i>45

8) 47<i>x</i>5<i>y</i>28

III. Dạng bài chứng minh chia hết sử dụng ph ơng pháp đặt nhân tử chung.

1)

_

₁₂₀<i>_a</i>_₃₆<i>_b</i>

_

_₁₂ 16) ₍₇6 ₇5 ₇4₎₁₁





2)

_

₅7 _ ₅6 _₅5

_

_₂₁ ₁₇₎ ₍₈₁7 ₂₇9 ₉13₎ ₄₅





3)

_

₄39_₄46_₄41

_

_₂₈ ₁₈₎

_

₁₀9 _₁₀8 _₁₀7

_

_₅₅₅

4)

_

₅2003 ₅2002 ₅2001

_

₃₁




 19)



333 35 ...31991



13;31
5)

_

₇6 ₇5 ₇4

_

₇₇




 20)



119 118 117 ...111



5
6)

_

₁₀19 ₁₀18 ₁₀17

_

₅₅₅




 21) <i>ab</i><i>ba</i>11

7)

_

₂ ₂2 ₂3 _... ₂60

_

₃_;₇_;₁₅






 22) (<i>abc</i> <i>cba</i>)99

8)

_

₁ ₅ ₅2 ₅3 _... ₅96 ₅97 ₅98

_

₃₁









 23)



5<i>n</i>7



4<i>n</i>6



2 <i>n</i>

9)

_

₂ ₂2 ₂3 _... ₂8

_

₃






 24)



8<i>n</i>1



6<i>n</i>5



kh«ng chia hÕt cho 2 víi mäi n

10)

_

₅ ₅2 ₅3 _... ₅8

_

₆







11)

_

₃ ₃2 ₃3 _... ₃9

_

₁₃







12) ₍₁ ₇ ₇2 ₇3 _.... ₇101₎₁₃








13)

_

₅2005 ₅2004 ₅2003

_

₃₁






14)

_

₁ ₉ ₉2 ₉3 _... ₉9

_

₁₀









15) ₍₈10 ₈9 ₈8₎ ₅₅

IV. Dạng bài tìm số sử dụng tính chất chia hÕt. “

a = b. q + r

”

Bài tập 1.Một số chia cho 7 d 6, chia cho 8 d 5. Hỏi số đó chia cho 56 d bao nhiờu.

HD. Gọi số bị chia là a theo bµi ra ta cã: a = 7p + 6 vµ a = 8q + 5 víi p, q _<i>_Z</i> , ( 7; 8 ) = 1 nªn ta cã

8a = 56p + 48, 7a = 56q + 35. Trừ vế với vế ta đợc: a = 56( p – q ) + 13.Vậy khi chia cho 56 ta đợc số d là
13.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bµi tËp 2.Tìm dạng chung của số tự nhiên N sao cho N chia cho 30 d 7, N chia cho 40 d 17.

HD. Theo bµi ra ta cã N = 30p + 7 vµ N = 40q + 17 v× ( 3; 4) = 1, nªn ta cã

4N = 4.30p + 28; 3N = 3.40 q + 51. Trừ vế với vế ta có: N = 120 (p – q ) – 23,
nên N + 23 120(<i>p</i> <i>q</i>) <i>N</i>23120 <i>N</i>120 23 <i>N</i>97 <i>N</i>97.<i>k</i>(<i>k</i><i>N</i>*) .
Thử lại 97 = 30.3 + 7; 97 = 40.2 + 17. Vậy 97 thoả mẵn bài tốn đẵ cho.

Theo bµi ra ta cã dạng chung của N = 97.k ( k<i>N</i>*)

Bài tập 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia cho 29 d 5, chia cho 31 d 28.

HD. Gọi số phải tìm là A theo bài ra ta cã A = 29p + 5 vµ A = 31q + 28 v× ( 29; 31) = 1, nªn ta cã

31A = 29.31p + 155; 29A = 31.29q + 812. Trõ vÕ víi vÕ ta cã: 2A = 899 (p – q ) – 657,

nªn 2A + 657 899(<i>p</i> <i>q</i>) 2<i>A</i>657899 2<i>A</i>899 657 2<i>A</i>242 <i>A</i>121 v× A là STN nhỏ nhất nên
ta lấy A= 121.

Thử lại 121 = 4.29 + 5; 121 = 3.31 + 28. Vậy 121 thoả mẵn bài toán cho.

Bài tập 4.Tìm số tự nhiên có bốn ch÷ sè sao cho chia cho 8 d 7, chia cho 125 d 4.

HD. Gọi

Bài tập 5.Tìm sè tù nhiªn nhá nhÊt khi chia cho 5 d 1, chia cho 7 d 5.

HD. Gäi sè phải tìm là A theo bài ra ta có A = 5p + 1 vµ A = 7 q + 5 vì ( 5; 7 ) = 1, nên ta cã
7A = 35 p + 7 ; 5A = 35 q + 25. Trõ vÕ víi vÕ ta cã: 2A = 35 (p – q ) – 18,

nªn 2A + 18

2
18
35
35

18
2
)
(

35 <i>p</i> <i>q</i>  <i>A</i>   <i>A</i> <i>k</i>

( k là số tự nhiên chẵn ) vì A là STN nhỏ nhất nên ta

lấy k = 2 th× A = 26.

Thử lại 26 = 5.5 + 1; 26 = 7.3 + 5. Vậy ta có số tự nhiên 26 tho mn bi toỏn cho.

Bài tập 6.Tìm số tù nhiªn nhá nhÊt khi chia cho 17 d 5, chia cho 19 d 12.

HD. Gäi số phải tìm là A theo bài ra ta có A = 17p + 5 vµ A = 19 q + 12 vì ( 17; 19 ) = 1, nên ta cã
19A = 323 p + 95 ; 17A = 323 q + 204. Trõ vÕ víi vÕ ta cã: 2A = 323 (p – q ) – 109,

nªn 2A + 109 323(<i>p</i> <i>q</i>) 2<i>A</i>109323 2<i>A</i>323 109 2<i>A</i>214 <i>A</i>107 <i>A</i>107<i>k</i>(<i>k</i><i>Z</i>) vì A là
STN nhỏ nhất nên ta lÊy k = 1 th× A = 107.

Thử lại 107 = 17.6 + 5 ; 107 = 19.5 + 12. Vậy ta có số tự nhiên 107 thoả mẵn bài tốn đẵ cho.

Bµi tập 7. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 4 và số kia chia hết cho
25.

V. Dạng bài chøng minh chia hÕt sư dơng ch÷ sè tËn cïng.

1)

_

₈₉26 _ ₄₅21

_

_₂ ₄₎ ₍₁₉₉₁1990 ₁₉₉₀1991₎ ₁₂




2)

_

₁₀<i>n</i> _ ₄

_

_₃ ₅₎ ₍₉_.₁₀<i>n</i> _₁₈₎_₂₇

3)

_

₄₁10 _ ₁

_

_₁₀ ₆₎



₉2<i>n</i> _ ₁₄



_₅

</div>

<!--links-->