- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 10
SKKN hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.91 KB, 7 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TỐN</b>
<i>Các hằng đẳng thức đóng vai trị quan trọng trong hầu hết tất cả các bài</i>
<i>toán đại số. Chúng giúp chúng ta thận tiện trong các phép biến đổi đơn giản</i>
<i>hay rút gọn biểu thức đại số mà trong nhiều trường hợp các hằng đẳng thức có</i>
<i>vai trị như “sứ giả” để giúp chúng ta tư duy tìm ra lời giải cho bài toán một</i>
<i>cách hiệu quả bất ngờ.</i>
<i>Các bài toán dưới đây sẽ giúp các bạn thấy rõ điều đó:</i>
<b>Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:</b>
2
2
2
2
2
2
2010
1
2009
1
1
...
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
C
.
c
128
18
12
2
3
2
2
6
B
.
b
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
A
.
a
<i><b>Giải</b></i>:
a. Chú ý rằng:
21
3
3
2
4 . Do dó ta biến đổi:
3
2
2
2
2
3
2
4
3
2
2
2
2
3
2
4
A
3
2
4
2
2
2
1
3
3
2
4
2
2
2
1
3 2 2
22
2
2
1
3
2
2
2
1
3
1
3
2
2
2
1
3
2 2
2
3 1
1
3
1
3
2
2
2
1
3 2 2
6 23
2
6
1
3
6
1
3
3
3
2
1
3
3
3
2
1
3 2 2
Vậy A 2.
b. B 62 2 3 2 12 16 2.4. 22
2
2
4
3
2
2
3
2
2
6
2
4
3
2
2
3
2
2
6
4
3
2
3
2
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
3 1
6 2 4 2 33
2
2
6
3 1
4 2 3 3 12
6
c. Sử dụng hằng đẳng thức: x y z2 x2 y2 z2 2xy yz zx
Ta có:
abc
c
b
a
2
c
1
b
1
a
1
ca
1
bc
1
ab
1
2
c
1
b
1
a
1
c
1
b
1
a
1
2
2
2
2
2
2
2
Nếu abc0 thoả mãn a<sub></sub>b<sub></sub>c<sub></sub>0 thì ta có hằng đẳng thức;
2
2
2
2
c
1
b
1
a
1
c
1
b
1
a
1
Từ đó suy ra được: *
c
1
b
1
a
1
c
1
b
1
a
1
c
1
b
1
a
1 2
2
2
2
<sub></sub> <sub></sub>
(Với abc0 và a<sub></sub>b<sub></sub>c<sub></sub>0)
Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta có:
i 1, i 2,20091
i
1
1
1
i
1
i
1
1
1
i
1
i
1
1
1
i
1
i
1
1 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
Khi đó thay
2009
...,
,
3
,
2
i vào ta được:
2010
1
2009
1
1
...
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
C
2010
1
2009
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
1
...
1
1
C
2008
1005
502
2008
2010
1
2
1
2008
C
<b>Bài 2. Tính giá trị của biểu thức </b>M a3 b3 3a b 2010
. Với
3
3 <sub>3</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
a và b31712 2 317 12 2
<i><b>Giải</b></i>: Áp dụng hằng đẳng thức: x y3 x3 y3 3xyx y
ta có:
33
3
3 <sub>3</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
a
3 2 2 3 2 2
3 2 2.
2
2
3
.
2
2
3
.
3
2
2
3
a3 3 3
3 2 2
.3 2 2
.a 6 3a.
3
6
a3
Tương tự: b3 34 3b
. Thay vào biểu thức đã cho ta được:
6 3a 34 3b 3a b 2010
M
2050
2010
40
M . Vậy M2050
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
x 2
3
1
x
10
.
b
x
6
5
x
3
1
x
2
4
x
.
a
2
3
<i><b>Giải</b></i>:
a. Điều kiện xác định:
5x
05
x
04
x
Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với
x4 2
ta được:
x4 2
x42
x13 x 5
6x
x4 2
x 1 3 x 5
6x
x 4 2
x
12
4
x
6
5
x
3
1
x
0
4
x
6
5
x
3
13
x
x4 6 x49
3 x 50
x4 3
23 x 50 (*)
Do
0
5
x
3
0
3
4
x
2
0
5
x3
0
3
4
x
(*)
5x
05
x
34
x
(tmđk)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x5
b. Nhận xét:<i> Ta nhận thấy quan hệ giữa </i>x3 1
<i> và </i>x32<i> có mặt ở hai vế</i>
<i>của phương trình trên thơng qua hằng đẳng thức: </i>x3 1 x 1
x2 x 1
<i> trong đó</i>
x 1
x2 x 1
x2 2
<i>.</i>
Chính vì vậy ta có thể giải như sau:
<i><b>Giải</b></i>: Điều kiện xác định: x3 1 0 x 1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
x 1
x x 1
3
x 1
x x 1
10 2 2
x 1 3
x x 1
3
1
x
x
1
x
10 2 2
Đặt x1u và x2 x1v,u;v0
Ta được phương trình hai ẩn sau:
<sub></sub>
u
3
v
v
3
u
0
v
u
3
v
3
u
0
uv
10
v
3
u
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Với u3v, ta có:
x x 1
9
1
x
1
x
x
3
1
x 2 2
9x2 10x80 (vô nghiệm)
Với v3u, ta có:
x 1 x 10x 8 0
9
1
x
x
1
x
3
1
x
x2 2 2
33
5
x
33
5
x
33
5
x
(do x<sub></sub><sub></sub>1)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x5 33
<b>Bài 4. Giải các hê phương trình sau:</b>
8
y
x
y
1
x
12
y
x
y
1
x
.a
2
2
6
4
x
4
y
1
y
2
6
x
b
<i><b>Giải</b></i>:
a. Điều kiện xác định: y0
Dễ thấy 2x<sub>y</sub>
y
1
x
y
1
x 2 <sub>2</sub>
2
nên hệ đã cho viết được:
)2(
8
y
x
y
1
x
)1(0
20
y
1
x
y
1
x
8
y
x
y
1
x
12
y
x
y
1
x
2
2
Giải phương trình (1) với ẩn
y
1
x <sub> ta có: </sub>
4
y
1
x
5
y
1
x
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
y13x
01y5
y13
y13x
5
y
1
x
13
y
x
5
y
1
x
<sub>2</sub>
(Vơ nghiệm)
Với x1<sub>y</sub>4, ta được hệ:
2
1
y
2x
y4x
01y4y4
y4x
4
y
1
x
4
y
x
4
y
1
x
<sub>2</sub>
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2
1
;
2
y
;
x
b. Điều kiện xác định:
1y
4x
11y
04x
Cộng từng vế của các phương trình trong hệ ta được:
4
x
4
1
y
2
y
x
0
4
x
4
x
1
y
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
y1 2 y11
x 4 4 x 44
0
y11
2
x 4 2
20
2y
8x
011
y
02
4x
Thử x8;y2 vào hệ thoả mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x;y8;2.
<b>Bài 5. Cho </b>x.y1 và xy, x,yR. Chứng minh rằng: 2 2<sub> </sub>*
y
x
y
x2 2
<i><b>Giải</b></i>: Do xy<sub> nên </sub>x y0. Suy ra:
* x2 y2 2 2x y x2 y2 2 2x y 0 1
Theo giả thiết x.y1 nên:
1
x2 y2 2xy
2 2x y 2 0
x y2 2 2x y
2 2 0
x y 2
2 0 (luôn đúng). Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi:
62
2
y
2
62
x
1xy
2y
x
<i>Rất nhiều các bài toán mà trong q trình tìm ra lời giải địi hỏi các bạn</i>
<i>phải có kỷ năng nhuần nhuyển sử dụng hằng đẳng thức. Các ví dụ trên đây</i>
<i>phần nào đã giúp các bạn hình dung ra lợi ích khi sử dụng hằng đẳng thức.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
1
2
3
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
1
b. Rút gọn: A 62 5 2912 5; B 8 8 20 40
<b>Bài 2. Tính giá tri của biểu thức: </b>
y
1
x
1
.
y
x
y
2
y
x
P <sub> với </sub>
4
21
5
y
;
4
21
5
x
<b>Bài 3. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:</b>
2
4
1
x
2
1
x
x
.
a
2
x
x
2
3
x
1
x
3
x
6
.
b
2010
2009
2009
2009
2
2
2
3
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
.c
<b>Bài 4. Cho các số thực x, y thoả mãn </b>x2 8x y 2xy 2y2 13 0
. Tìm giá trị
</div>
<!--links-->
