Nghiên cứu khoa học công nghệ

MộT PHƯƠNG PHáP TíNH TOáN TƯƠNG QUAN
GIữA XUNG NHịP MáY Và PHéP CộNG HAI Số
NGUYêN KHI THùC HIƯN TR£N PHÇN CøNG
LỀU ĐỨC TÂN*, HỒNG VĂN QN**, HỒNG NGỌC MINH*

Tóm tắt: Trong việc thực hiện các hệ mật mã khóa cơng khai, các phép tính
tốn số học trên các số ngun lớn ln là phép tính quan trọng và nặng nề
nhất. Để đánh giá được mức độ tiêu tốn tài nguyên cũng như tốc độ thực hiện
của các phép tốn này, nội dung bài báo trình bày một phương pháp tính tốn
tính tương quan giữa xung nhịp máy và phép cộng hai số nguyên khi thực hiện
trên phần cứng.
Từ khóa: Phép cộng, Xung nhịp máy, ECC.

1. MỞ ĐẦU
Khi thực hiện tính tổng hai số nguyên X, Y  [0, 2k) bằng mạch cộng m-bits thì
số nhịp máy cần thiết để thực hiện phép cộng này, được ký hiệu là flops(X,Y), sẽ
là một số xác định. Tuy nhiên nếu ký hiệu F(k) là số nhịp máy để thực hiện phép
cộng hai số nguyên trong miền [0, 2k) thì đây sẽ là một đại lượng ngẫu nhiên [1,2].
Bài báo này trình bày kết quả nghiên cứu về số nhịp máy trung bình được ký hiệu
là AAF(k) để thực hiện phép cộng hai số nguyên trong miền [0, 2k) và đó cũng
chính là giá trị kỳ vọng của đại lượng F(k). Mục 2 mô tả hoạt động của mạch cộng
làm cơ sở cho việc xác định các giá trị flops(X,Y) cũng như phân phối xác suất của
đại lượng F(k), trong mục này trình bày thêm cách tiếp cận và các cơng cụ được sử
dụng để tìm các giá trị AAF(k). Mục 3 liệt kê các kết quả tính tốn được về các giá
trị AAF(k) và quan trọng nhất là thu được kết quả AAF(k) trình bày trong kết quả 1
và đã được chứng minh trong mục 3.4.
2. MẠCH CỘNG HAI SỐ NGUYÊN
VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG F(k)
2.1. Hoạt động của mạch cộng m-bits và trạng thái các thanh ghi sau mỗi nhịp

máy
Mạch cộng bao gồm thanh ghi A được gọi là thanh ghi tổng (theo nghĩa giá trị
tổng sẽ được lưu trong thanh ghi này khi mạch dừng hoạt động) còn C được gọi là
thanh ghi điều kiển (mạch sẽ dừng khi tất cả các bít trong thanh ghi này bằng 0)
[2]. Cho A và C là hai thanh ghi m-bits với m>k. Để tính tổng X+Y với X, Y 
[0, 2k), xâu m bít biểu diễn nhị phân của hạng tử thứ nhất đưa vào thanh ghi A còn
của hạng tử thứ hai đưa vào thanh ghi C. Tức là nếu biểu diễn nhị phân của X và Y
lần lượt là
X = (xm1, ..., xk, xk1, ..., x1, x0)2 và
(2.1)
Y = (ym1, ..., yk, yk1, ..., y1, y0)2
(2.2)
thì bít thứ i (i=0, ..., k) của các thanh ghi A và C tương ứng, ký hiệu là A[i] và C[i],
là
A[i] = xi và C[i] = yi.
(2.3)

T¹p chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10 - 2014

75


Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính

Chú ý: Do X, Y  [0, 2k) nên trong vế phải của (2.1) và (2.2) ta ln có xs = ys
= 0 với mọi sk.
Mỗi nhịp máy các giá trị ở bít thứ i của A và C được xử lý tại một khâu tương
ứng, bit tổng (không nhớ) được đưa vào bít thứ i của A cịn bit tràn được đưa vào
bit thứ i+1 của C. Khi thanh ghi C có trị tất cả các bít bằng 0 thì giá trị X+Y có
biểu diễn nhị phân chính là các bít tương ứng của thanh ghi A. Ký hiệu A', C' và

A", C" là trạng thái của hai thanh ghi A và C trước và sau một nhịp máy nào đó thì
0
C "[0] 

(2.4)
(0  i  m )
 C "[i ]  A '[i  1]C '[i  1]
 A "[i ] 
A '[i ]  C '[i ]
(0  i  m )
2.2. Phân phối xác suất của đại lượng F(k)
Tính chất: F(k) là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên từ 0 đến k+1 có
phân bố
Prob(F(k)=f) = N(k, f ) (f=0, 1, ..., k+1).
(2.5)
4k

k

trong đó, N(k,f) = #{(X,Y): X, Y  [0, 2 ) và flops(X,Y) = f}.
Chứng minh: Với Y = 0 thì trạng thái của thanh ghi C có giá trị tất cả các bít bằng
0 vì vậy mạch dừng và điều này có nghĩa
flops(X,0) = 0.
(2.6)
f1
Với mọi f = 1, 2, ..., k+1; lấy X = 1 và Y = 2  1 thì trạng thái đầu tiên của C là
có đúng f1 bít 1 từ các vị trí thấp nhất cịn của A chỉ có đúng một bít 1 ở vị trí
thấp nhất. Dễ dàng nhận ra rằng
flops(1, 2f1  1) = f (f = 1, 2, ..., k+1).
(2.7)

k
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ với mọi X, Y  [0, 2 ) thì
flops(X,Y)

k+1.
(2.8)
Thật vậy, từ X, Y < 2k nên X + Y < 2k+1 vì vậy trong suốt quá trình thực hiện
của mạch cộng thanh ghi C có các bít 1 chỉ xuất hiện ở k+1 vị trí thấp nhất. Theo
cơng thức (2.4) thì sau mỗi nhịp máy thì số bít thấp nhất bằng 0 của C sẽ tăng thêm
1 (do phép dịch trái 1 vị trí) cho nên nhiều nhất là k+1 nhịp thì C sẽ khơng cịn bít
1 và đương nhiên phép cộng đã hoàn thành. Như vậy, các kết quả (2.6), (2.7) và
(2.8) đã chứng minh tính đúng đắn của tính chất. Từ X, Y  [0, 2k) nên ta có 2k2k
= 4k cặp (X,Y) khác nhau và từ định nghĩa của giá trị N(k,f) ta có ngay (2.5) và
tính chất đã được chứng minh.
2.3. Cách tiếp cận và cơng cụ để tính giá trị AAF(k)
Để tính AAF(k) có hai tiếp cận để thực hiện đó là tính đúng giá trị này trong
trường hợp k<15 và tính gần đúng nó trong trường hợp ngược lại.
2.3.1. Cơng thức tính đúng giá trị AAF(k)
Theo cơng thức (2.5) ta có cơng thức sau để tính đúng giá trị AAF(k):
Cơng thức tính ỳng giỏ tr AAF(k)
AAF(k) =

76

Total ( k )
4k

(2.9)

L. Đ. Tân, H. V. Quân, H. N. Minh, " Một phương pháp tính toán ... trên phần cứng."



Nghiên cứu khoa học công nghệ

trong ú Total k  



flops( x, y ) là tổng số nhịp máy cần thiết để thực hiện
k

x , y[0,2 )

toàn bộ 4k phép cộng các số nguyên trong miền [0, 2k).
k 1
k 1
Thật vậy, AAF(k)= E(F(k))  j  N ( k , f ) = 1  j  N ( k , f ) = Total ( k ) . Như
j 0
4k
4 k j 0
4k
vậy công thức (2.9) đã được chứng minh.

2.3.2. Cơng thức tính gần đúng giá trị AAF(k)
Theo [1] khi khảo sát một đại lượng ngẫu nhiên X nào đó người ta tiến hành M
phép thử (quan sát giá trị nhận được của X), giả sử trong phép thử thứ i, giá trị
M

nhận được của X là xi (i=1, ..., M). Khi này (1/ M ) xi được gọi là kỳ vọng mẫu,
i 1


M được gọi là kích thước mẫu và như một hệ quả của định lý Markov ta có với
mọi >0 nhỏ tùy ý thì
 1 M

lim Pr ob 
 xi  E ( X )   
M 
M
i

1



=1

(2.10)

Áp dụng cho X=F(k) ta có
 1 M

lim Pr ob 
 Fi ( k )  AAF ( k )   
M 
 M i 1


=1


(2.11)

M

Từ (2.11) thì ta có thể lấy (1 / M ) Fi (k ) là giá trị gần đúng của AAF(k) và chứng
i 1

minh tương tự như cho công thức (2.9) ta có cơng thức tính gần đúng giá trị
AAF(k)
AAF(k)  Total ( k , M )
(2.12)
M

trong đó, Total(k,M)= 

i 1.. M

flops( xi , yi ) là tổng số nhịp máy cần thiết để thực hiện

M phép cộng các số nguyên được lấy một cách ngẫu nhiên trong miền [0, 2k).
Biểu thức vế phải Total (k , M ) = 1 M F ( k ) trong công thức (2.12) được ký hiệu là
M

M i 1 i

AAF(k,M).
2.4. Đánh giá |AAF(k)AAF(k,M)|
2.4.1. Cơ sở lý thuyết
Trong [1] cho biết với M khá lớn ta có thể sử dụng cơng thức đánh giá sau:
Pr ob X  E ( X )  t D ( X ) = 2(t).

(2.13)



trong đó

M

X   Xi / M
i 1



với Xi là các đại lượng cùng phân phối và độc lập với nhau.

Theo tính chất của kỳ vọng và phương sai ta có: E( X )=m ; D( X ) =  2 M
Nên (2.13) trở thành
  = 2(t).

(2.14)
Pr ob  X  m  t



M 

T¹p chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10 - 2014

77



Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính

Đại lượng F(k) chỉ nhận hữu hạn giá trị do đó kỳ vọng AAF(k) và phương sai
của nó, ký hiệu là (k)2, đều hữu hạn dó đó theo cơng thức (2.14) ta có cơng thức
đánh giá tương ứng đó là:
 (k )  = 2(t).

Pr ob  AAF (k , M )  AAF (k )  t

M 


(2.15)

Ví dụ 1: Với t = 3.1, giá trị (3.1) tra được trong bảng 1A (trang 72 [5]) (chú ý:
với cùng một ký hiệu (t) nhưng trong tài liệu [5] chính là 2(t) trong [1] là
0.999032 và điều này có nghĩa nếu lấy (k)= 3.1 / M  ( k ) thì theo cơng thức





(2.15) ta có Pr ob  AAF ( k , M )  AAF ( k )   ( k )  = 0.9990322.
2.4.2 Ước lượng giá trị (k)
Để áp dụng được công thức (2.15) việc quan trọng tiếp theo là xác định được
giá trị (k). Trong điều kiện F(k) chưa biết phân bố nên chúng ta chỉ có thể ước
lượng giá trị (k), mà điều cần thiết để ước lượng là một cận trên của nó. Trong
mục này chúng ta sẽ đưa ra cách ước lượng nói trên, chúng ta cần chứng minh một
bổ đề sau:

Bổ đề: Cho sự kiện ngẫu nhiên A có phân phối xác xuất Prob(A)=p, nếu trong M
phép thử độc lập ta thấy sự kiện này xuất hiện đúng M lần thì với mọi >0 cho
trước ta có
M 1

Prob(1p > ) = 1   
(2.16)
Chứng minh: Biết rằng xác suất để sự kiện A xuất hiện M lần trong M phép thử là
pM , do đó,
1
1
M 1
Prob(1p > ) =  p M dp /  p M dp = 1   
.
0

0

Ví dụ 2. Với M=10 và =0.0000006908 ta có 1  M 1 = 0.001.
Từ bổ đề trên ta dễ dàng thu được kết quả sau dùng để ước lượng cận trên cho
giá trị .
Hệ quả: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có miền giá trị là {0, 1, ..., n}. Nếu thực hiện
7

M phép thử độc lập X chỉ nhận giá trị trong miền [s,e] và E(X)

s  e n .
; 
 2 2


min 

Khi đó với mọi 0<<1 ta đánh giá
2

2

2 (1   )  e  (1   )  s     n  (1   )  s  .

(2.17)

Thì xác suất sai lầm loại 2 của đánh giá trên là  = 1  M 1 .
3. KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ AAF(k) VÀ AAF(k,M)

3.1. Cách tính giá trị AAF(k)
Chúng ta sử dụng hàm flops(X,Y) để tính số nhịp máy. Trong trường hợp k
nhỏ, cụ thể k14, và tiến hành đếm toàn bộ số nhịp máy cho tất cả 22k phép cộng,
giá trị thu được ký hiệu là Total(k) và khi này ta có
AAF(k) = Total(k)22k.
(3.1)
Ngược lại, chọn phương pháp thống kê đó là tiến hành lấy ngẫu nhiên M=107
78

L. Đ. Tân, H. V. Quân, H. N. Minh, " Một phương pháp tính toán ... trên phần cứng."


Nghiên cứu khoa học công nghệ

cp s nguyờn X, Y  [0, 2k), tính Total(k,107) tổng của 107 giá trị flops(X,Y)
trong mỗi lần lấy ngẫu nhiên đó và khi này

AAF(k,107) = Total(k,107)107
(3.2)
Để phục vụ cho việc đánh giá sai số như đã đưa ra trong mục 2.4, ngồi việc
tính Total(k) chúng ta còn phải xác định hai tham số fs(k) và fe(k) (dùng trong công
thức 3.3) với fs(k) là giá trị đầu tiên và fe(k) là giá trị cuối cùng có N(k,f)0.
3.2. Kết quả duyệt tồn bộ 22k phép cộng khác nhau với k từ 0 đến 14
Total(1) =
3, AAF(1) = 0.750000
Total(2) =
21, AAF(2)= 1.312500
Total(3) =
113, AAF(3)= 1.765625
Total(4) =
547, AAF(4)= 2.136719
Total(5) =
2509, AAF(5)= 2.450195
Total(6) = 11135, AAF(6)= 2.718506
Total(7) = 48373, AAF(7)= 2.952454
Total(8) = 206991, AAF(8)= 3.158432
Total(9) = 876061, AAF(9) =3.341908
Total(10)=3677047, AAF(10)=3.506705
Total(11)=15334149, AAF(11)=3.655946
Total(12)=63619791, AAF(12)=3.792035
Total(13)=262861101, AAF(13)=3.91693
Total(14)=1082389767, AAF(14)=4.032216

3.3. Kết quả thống kê với 107 mẫu cho mỗi k từ 15 đến 4096
Bảng 3.1 dưới đây ghi kết quả thống kê được của 112 giá trị k bao gồm k từ 15
đến 64; k từ 96 đến 1024 trong dạng k=32i (i=1,..., 30); k từ 1088 đến 2048 trong
dạng k=64i (i=1,..., 16) và ; k từ 2176 đến 4096 trong dạng k=128i (i=1,..., 16).

Các số liệu được ghi trong bảng bao gồm: k, AAF(k,107), fs(k), fe(k) và (k).
Các số liệu AAF(k,107), fs(k), fe(k) có được từ thống kê cịn (k) được ước
lượng theo ví dụ 1 mục 2.4.1 (để đạt được độ tin cậy 0.999032), giá trị 2 được
đánh giá theo công thức (2.17) cịn  = 0.0000006908 được lấy theo ví dụ 2 mục
2.4.2 (để đảm bảo xác suất sai không quá 0.001). Tóm lại (k) được tính theo cơng
thức sau
(k) = 3.1 

2
2
(1   )( f e  (1   )  f s )   ( k  1  (1   )  f s )
7
10

(3.3)

Bảng 3.1. Kết quả thống kê 112 giá trị của k.
k
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

27
28
29
30

7

AAF(k,10 )

fs (k)

fe (k)

4.1399501
4.2386532
4.3320945
4.4200825
4.5026766
4.5807384
4.6553482
4.7249131
4.7923977
4.8568043
4.9183709
4.9770195
5.0349873
5.0876514
5.1409723
5.1919811


0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1

16
17
18
19
20
21
22
23
23
24
23
24
25

24
25
24

(k)
0.016039
0.017042
0.018044
0.019046
0.020049
0.021051
0.022054
0.023056
0.022054
0.024059
0.022054
0.023056
0.024059
0.023056
0.024059
0.023056

k
288
320
352
384
416
448
480

512
544
576
608
640
672
704
736
768

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10 - 2014

AAF (k,107)
8.4977167
8.6502339
8.7886398
8.9146046
9.0295142
9.1369311
9.2362259
9.3298887
9.4175886
9.5004907
9.5784751
9.6527988
9.7229998
9.7910969
9.8535831
9.9160444


fs(k)
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

fe (k)
30
34
33
31
31
30
31
31
30
32
33

32
34
31
34
34

(k)
0.026065
0.030074
0.029072
0.027068
0.027068
0.025064
0.026067
0.026067
0.025065
0.027070
0.028073
0.027071
0.029076
0.026070
0.029077
0.029078

79


Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính
31
32

33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

63
64
96
128
160
192
224
256

5.2410299
5.2881423
5.3332005
5.3778501
5.4209489
5.4637941
5.5035587
5.5434711
5.5817211
5.6189158
5.6558295
5.6920440
5.7259800
5.7601316
5.7937005
5.8254527
5.8576532
5.8874458
5.9189435
5.9480496
5.9780568

6.0063450
6.0338280
6.0620954
6.0884972
6.1156798
6.1410676
6.1666951
6.1914261
6.2161775
6.2402992
6.2647414
6.2882122
6.3104244
6.9032910
7.3216611
7.6464142
7.9104545
8.1340866
8.3274409

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4


26
27
25
25
28
27
26
27
26
26
26
28
27
31
27
27
26
29
28
27
33
27
26
27
29
28
28
33
27

28
33
29
29
27
29
29
29
28
29
30

0.025061
0.026063
0.024059
0.024059
0.027066
0.026064
0.025061
0.026064
0.025061
0.025061
0.025061
0.027066
0.026064
0.030073
0.026064
0.026064
0.025061
0.028068

0.027066
0.026064
0.032078
0.026064
0.025061
0.026064
0.028068
0.026064
0.026064
0.032078
0.025061
0.027066
0.031076
0.027066
0.027066
0.025061
0.027066
0.026064
0.026064
0.025062
0.026064
0.026064

800
832
864
896
928
960
992

1024
1088
1152
1216
1280
1344
1408
1472
1536
1600
1664
1728
1792
1856
1920
1984
2048
2176
2304
2432
2560
2688
2816
2944
3072
3200
3328
3456
3584
3712

3840
3968
4096

9.9746949
10.0314707
10.0860103
10.1386865
10.1888623
10.2389178
10.2861217
10.3310832
10.4188155
10.5008227
10.5797636
10.6537093
10.7234819
10.7905204
10.8558274
10.9169641
10.9755471
11.0313155
11.0867588
11.1397614
11.1900650
11.2385736
11.2870085
11.3325767
11.4198410
11.5021737

11.5800870
11.6550679
11.7249838
11.7917189
11.8547999
11.9175576
11.9760081
12.0320870
12.0871429
12.1393587
12.1904356
12.2395965
12.2859574
12.3345439

5
5
6
5
5
6
5
5
6
6
6
6
6
6
6

6
6
6
6
6
6
7
7
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8

33
33
31
32

34
35
32
34
33
35
34
32
33
34
34
35
33
34
34
33
32
32
30
33
32
32
35
35
35
34
33
33
31
35

32
35
33
34
33
32

0.028076
0.028077
0.025071
0.027076
0.029081
0.029082
0.027078
0.029083
0.027081
0.029087
0.028086
0.026085
0.027089
0.028093
0.028095
0.029099
0.027099
0.028102
0.028105
0.027107
0.026109
0.025112
0.023115

0.027119
0.025126
0.025134
0.028141
0.028149
0.028157
0.027167
0.026178
0.026188
0.024205
0.028205
0.025225
0.028226
0.026246
0.027254
0.026272
0.024299

3.4. Đánh giá về hàm AAF(k)
Kết quả 1: Trong phạm vi k từ 1 đến 4096 ta có bất đẳng thức sau với xác suất tin
cậy trên 0.998
log2(k)  AAF(k)  log2(k)+1.
(3.4)
Chứng minh: Như đã được đánh giá trong ví dụ 1 mục 2.4 thì
|AAF(k)AAF(k,M)| < (3.1/ M ) (k )
(3.5)
2
với  (k) là phương sai của F(k) có xác suất tin cậy là 0.9990322 hay nói một cách
khác là xác suất sai của bất đẳng thức (3.5) là không đến 0.001. Mặt khác theo bất
đẳng thức (2.17) trong hệ quả trong mục 2.4.2 thì

2  (1  )e  (1  )  s 2  n  (1  )  s 2
(3.6)
Ví dụ 2 mục 2.4.2 cho thấy xác suất sai của bất đẳng thức trên trong trường hợp
M=107 và =0.0000006908 là 0.001.
Cho nên xác định giá trị (k) theo cơng thức (3.3) ta có
(k) 3.1/ M  (k )





và vì thế ta thu được
AAF(k,107)  (k)  AAF(k) AAF(k,107)+(k)
(3.7)
Với xác suất sai không đến 0.002 và do vậy xác suất tin cậy của (3.7) là trên 0.998.
Từ số liệu thống kê về các giá trị AAF(k,107) và (k) tính được đưa ra trong
bảng 1 ta có ngay được kết quả 1, tuy nhiên để dễ quan sát hơn chúng tôi đã thực
hiện vẽ 4 đồ thị của các hm AAF(k,107)(k), ký hiu l AAF- ,
80

L. Đ. Tân, H. V. Quân, H. N. Minh, " Một phương pháp tính toán ... trên phần cứng."


Nghiên cứu khoa học công nghệ

AAF(k,107)+(k), c ký hiu l AAF + , log2(k) và log2(k)+1 trong hình vẽ 1.
Rõ ràng bất đẳng thức trên là đúng và kết quả 1 đã được chứng minh.
14
12


Flops

10
8
6
4
2
0

Hình 1. Đồ thị các hàm AAF(k,107)(k), AAF(k,107)+(k), log2(k) và log2(k)+1
trong khoảng [1, 4096].
4. KẾT LUẬN

Trên thực tế, phép cộng là phép tính cơ sở cho việc thực hiện các phép tính như
phép nhân điểm, phép lũy thừa, phép nghịch đảo trong các thuật toán mật mã. Bài
báo đã đưa ra được một cơng thức tính tương quan gần đúng giữa xung nhịp máy
và phép cộng hai số nguyên, nói cách khác là số xung nhịp máy tiêu tốn trung bình
cho phép cộng hai số nguyên. Kết quả này sẽ là tiền đề để đánh giá tính hiệu quả
của một số phép nhân số lớn trong các thuật toán mật mã [4].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. T.T. Điệp, L.H.Tú, “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” NXBGD,Hà Nội 1999.
[2]. N.T. Vân, “ Kỹ thuật số ”, Nhà xuất bản Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội 1999.
[3]. Daniel Tabak, “ Advanced Microrocessors ”, McGraw-Hill Inc, 1995.
[4]. Darrel Hankerson, Alfred Menezes, Scott Vanstone, “Guide to Elliptic Curve
Crytography”, Springer-Verlag New York, Inc. 2004.
[5]. J.Likeš, J. Laga, “Základní Statiscke Tabulky", Nakl. tech. literatury, Praha 1978.
ABSTRACT
A METHOD OF CALCULATING THE CORRELATION BETWEEN THE
MACHINE CLOCK AND THE ADDITION OF TWO INTEGER WHEN
IMPLEMENTED ON HARDWARE


In the implementation of public-key cryptography systems, numerical
calculations on the large integer calculation is always important and hardest.
To assess the level of resource consumption as well as the speed of execution of
this operation, in this paper we propose a method of calculating the correlation
between the machine clock and the addition of two integers to real on
hardware.
Keywords: Addition, machine clock, Elliptic Curve Cryptography.

Nhận bài ngày 15 tháng 6 năm 2014
Hoàn thiện ngày 10 tháng 9 năm 2014
Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 9 năm 2014
Địa chỉ:

* Ban Cơ yếu Chính phủ;
** Cục Cơ yếu – BTTM; DĐ 0983074784.

T¹p chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 33, 10 - 2014

81