BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH THU

CHUỖI SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS. LÊ HỒNG TRÍ

Đà Nẵng, N˚
am 2018


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Hồng Trí - người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hồn thành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các
thầy cơ giáo trong khoa toán, Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tình

trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Thu

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang ii


Mục lục

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI SỐ

v

1.1

Các định nghĩa của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . .

v

1.2

Một số tính chất cơ bản của chuỗi số . . . . . . . . . . .

vii


2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG

xi

2.1

Các dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương . . . . . . . .

xi

2.2

Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương . . . . . . . . . . .

xiv

3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

xxv

3.1

Dấu hiệu Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

3.2

Dấu hiệu Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii

3.3


Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . xxix

iii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

LỜI MỞ ĐẦU
Trong khóa luận này em sẽ trình bày sơ lược về lý thuyết chuỗi số,
cũng như dấu hiệu để xét sự hội tụ của một chuỗi bất kỳ.

Bố cục của khóa luận gồm 3 chương:
1. Chương 1 của khóa luận là hệ thống lại các định nghĩa, tính chất
cớ bản về chuỗi số.
2. Chương 2 của khóa luận là giới thiệu về chuỗi số dương và các dấu
hiệu và tính chất để xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi dương, và các
ví dụ minh họa.
3. Chương 3 của khóa luận là giới thiệu các định lý để xét sự hội tụ
của một chuỗi có dấu bất kỳ.
Do thời gian thực hiện khơng nhiều, kiến thức vẫn cịn hạn chế
nên khi làm khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang iv



Chương 1

CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH
CHẤT CỦA CHUỖI SỐ
Chương này trình bày một số lý thuyết cơ bản của chuỗi số như định
nghĩa chuỗi số và các tính chất cơ bản của chuỗi số để phục vụ cho việc
chứng minh ở chương 2.

1.1

Các định nghĩa của chuỗi số.

Định nghĩa
Cho {un } là một dãy số thực.

S1 = u1 , S2 = u1 + u2 ,...
Sn = u1 + u2 + .... + un : được gọi là tổng riêng thứ n.
Khi đó: u1 + u2 + ... + un + ...: gọi là một chuỗi số.
∞
n=1 un .

Kí hiệu:

·

∞
n=1 un

gọi là hội tụ nếu lim Sn là một số thực và khi đó


S = lim Sn gọi là tổng của
·

n→∞
∞
n=1 un

n→∞
∞
n=1 un

∞
n=1 un

= S.

gọi là phân kỳ nếu lim Sn = ∞ hoặc lim Sn khơng tồn tại.
n→∞

n→∞

Ví dụ 1
∞
n
n=0 q

và kí hiệu:

= 1 + q + q 2 + ... + q n + ...


v


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Gọi Sn là tổng riêng thứ n của

∞
n
n=0 q .

1 − q n+1
.
1. Với q = 1 ta có Sn = 1 + q + ... + q =
1−q
1
1
• Nếu |q| < 1 thì lim Sn =
, do vậy ∞
qn =
.
n=0
n→∞
1−q
1−q
• Nếu |q| > 1 thì lim Sn = +∞ chuỗi đã cho phân kỳ.
n


n→∞

2. Với q = 1 ta có Sn = n + 1 do đó lim Sn = +∞ chuỗi đã cho
n→∞

phân kỳ.
3. Với q = −1 chuỗi đã cho phân kỳ vì khơng tồn tại giới hạn của dãy.
1
nếu n chẵn.
Sn =
0
nếu n lẻ.
Như vậy chuỗi số

∞
n
n=1 q

hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1.

Ví dụ 2
Xét sự hội tụ của

∞
n=1

1
.
n2


1
1
1
là
S
=
1
+
+
...
+
.
n
n2
22
n2
1
1
Xét lim Sn = lim (1 + 2 + ... + 2 ).
n→∞
n→∞
2
n
1
Sn+1 = Sn +
≥ Sn , ∀n ∈ N.
(n + 1)2
⇒ {Sn } tăng.
1

1
1
1
Sn = 1 + 2 + ... + 2 ≤ 1 +
+ ... +
, ∀n ≥ 2.
2
n
1.2
n(n − 1)
1 1 1
1
1
1
= 1 + 1 − + − + ... +
− = 2 − ≤ 2, ∀n ≥ 2.
2 2 3
n−1 n
n
1
⇒ {Sn } bị chặn trên ⇒ lim Sn = α ∈ R ⇒ ∞
hội tụ.
n=1
n→∞
n2
Tổng riêng thứ n của

∞
n=1


Ví dụ 3
Xét sự hội tụ của

∞
n=1

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

1
.
n
Trang vi


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

1
1
1
là Sn = 1 + + ... + .
n
2
n
∀n0 ∈ N, ∃n = 2n0 ≥ n0 , chọn p = n0 ∈ N ⇒ |Sn+p − Sn | =
1
1
n0
1

1
|S2n0 − Sn0 | =
+
+ ... +
≥
= = ε0 .
n0 + 1 n0 + 2
2n0
2n0
2
⇒ {Sn } không là dãy Cauchy.
1
⇒ lim Sn không tồn tại ⇒ ∞
phân kỳ.
n=1
n→∞
n
Tổng riêng thứ n của

1.2

∞
n=1

Một số tính chất cơ bản của chuỗi số

Định lý 1.2.1
Nếu

∞

n=1 un

hội tụ thì lim un = 0.
n→∞

Chứng minh
Giả sử

∞
n=1 un

hội tụ và Sn là tổng riêng thứ n của

⇒ lim Sn = α

∈ R.

n→∞

⇒ lim Sn−1 = α
n→∞

∞
n=1 un .

∈ R.

⇒ lim (Sn − Sn−1 ) = α − α = 0 (đpcm).
n→∞


Ví dụ 4

− 1 n+1
)
2n + 1
Ta viết số hạng tổng quát của chuỗi dưới dạng
2n
∞
n=1 (

Xét sự hội tụ của chuỗi

un =

2n−1
2n+1

= 1−

n+1

2
2n+1

= 1−

2
2n+1

n+1


.

−2(n+1)
− 2n+1
2 . 2n+1

Do đó

lim un = lim (

n→∞

n→∞

2n − 1 n+1
)
= e−1 = 0.
2n + 1

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang vii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí


Định lý 1.2.2
∞
n=1 un

hội tụ ⇔

∞
m=n+1 um

∀n ∈ N.

hội tụ

Chứng minh
∞
m=n+1 um .

(⇒) ∀n ∈ N, gọi Vk là tổng riêng thứ k của
⇒ Vk = un+1 + un+2 + ... + un+k .
Gọi Sn+k tổng riêng thứ n + k của

∞
n=1 un

.

Lúc này có Vk + Sn = Sn+k ⇒ Vk = Sn+k − Sn .
Do

∞

n=1 un

hội tụ ⇒ lim Sn+k = α
k→∞

⇒ lim Vk = α − Sn

∈ R, ∀n ∈ N.

∀n ∈ N.

k→∞
⇒ ∞
m=n+1 un hội tụ.
(⇐) Do ∞
m=n+1 um hội
⇒ ∞
n=2 un hội tụ.

tụ ∀n ∈ N.

Gọi Sn là tổng riêng thứ n của

∞
n=1 un

và Vn là tổng riêng thứ n của

∞
n=2 un .


⇒ lim Vn = α
n→∞

∈ R.

Vn = u2 + u3 + ... + un .
Sn = u1 + u2 + ... + un .
⇒ Sn = Vn + u1 .
⇒ lim Sn = α + u1 ⇒
n→∞

∞
n=1 un

hội tụ.

·Dãy Cauchy:{un } gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho
∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N
|un+p − un | < ε

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang viii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí


Định lý 1.2.3 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số.
∞
n=1 un

hội tụ ⇔∀ε > 0 tồn tại n0 ∈ N, sao cho ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N thì

|un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε
Chứng minh
Gọi Sn là dãy tổng riêng thứ n của
∞
n=1 un

hội tụ ⇔ lim Sn = α
n→∞

∞
n=1 un .

∈ R ⇔ {Sn } là dãy Cauchy

⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 thì |Sn+p − Sn | < ε ⇔ ∀ε > 0 tồn
tại n0 ∈ N, sao cho ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N thì |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε.
Hệ quả 1.2.4
∞
n=1 un

phân kỳ ⇔ ∃ε > 0 sao cho ∀n0 ∈ N, tồn tại n ≥ n0 và p ∈ N

để |un+1 + un+2 + ... + un+p | > ε.
Ví dụ 5


sin nx
.
2n
1
Vì với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 = [log2 ( ) + 1] sao cho với mọi
ε
n > n0 và mọi p ∈ N ta có
Xét sự hội tụ của chuỗi

∞
n=1

1
1
1
=ε
<
<
1
2n
2n0
2log2 ( ε )
và

sin(n + 1)x
1 1
sin(n + p)x
1
1

1
<
+
...
+
(
+
...
+
)
=
(1
−
)
2n+1
2n+p
2n 2
2p
2n
2p
1
<ε
2n
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi đã cho hội tụ.
<

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang ix



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Ví dụ 6
Xét sự hội tụ của chuỗi

1 1 1 1 1
1
1
1
− + + − + ... +
+
−
+ ...
2 3 4 5 6
3n − 2 3n − 1 3n
Với n = 3k , p = 3k , trong đó k là số nguyên dương ta có
1+

|Sn+p − Sn | = |S6k − S3k |
=
≥

1
3k+1
1
3k+1


+
+

1
3k+2
1
3k+4

−

1
3k+3

+ ... +

Từ đó ta thấy nếu chọn ε =

+ ... +
1
6k−2

>

1
1
6k−2 + 6k−1
k
1
6k−2 > 6


−

1
6k

1
thì với mọi n0 , ta có thể chọn n = 3k >
6

n0 và với p = 3k ta sẽ có
|un+1 + ... + un+p | = |S6k − S3k | > ε =

1
6

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ.
Định lý 1.2.5
Cho

∞
n=1 an ;

∀α, β ∈ R thì

∞
n=1 bn hội tụ và
∞
n=1 (αan + βbn )

có tổng lần lượt A, B. Khi đó,

hội tụ và có tổng αA + βB

Chứng minh
Đặt An =

n
k=1 ak ;

n
k=1 bk
của ∞
n=1 (αan

Bn =

Gọi Sn là tổng riêng thứ n

+ βbn )

⇒ Sn = (αa1 + βb1 ) + (αa2 + βb2 ) + ... + (αan + βbn )
= α(a1 + a2 + ... + an ) + β(b1 + b2 + ... + bn ) = αAn + βBn
Do

∞
n=1 an ,

∞
n=1 bn

hội tụ.


⇒ lim An = A ∈ R, lim Bn = B ∈ R
n→∞

n→∞

⇒ lim (αAn + βBn ) = αAn + βBn ∈ R
n→∞

⇒

∞
n=1 (αan

+ βbn ) hội tụ và có tổng αA + βB.

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang x


Chương 2

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ
DƯƠNG
Chương 2 trình bày định nghĩa về chuỗi số dương và giới thiệu các
định lý, dấu hiệu để xét sự hội tụ của một chuỗi dương bất kỳ.

2.1


Các dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương

Chuỗi số

∞
n=1 un

mà mọi số hạng un đều dương được gọi là chuỗi số

dương.
Khi đó Sn+1 = Sn + un+1 , tức là dãy tổng riêng tăng. Do vậy
1. Nếu {Sn } bị chặn thì tồn tại lim Sn = S tức là chuỗi hội tụ.
n→∞

2. Nếu {Sn } khơng bị chặn thì lim Sn = +∞ tức là chuỗi phân kỳ.
n→∞

Định lý 2.1.1 Định lý so sánh thứ nhất của chuỗi dương.
Cho 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ∈ N. Khi đó,
1.

∞
n=1 bn

hội tụ ⇒

2.

∞
n=1 an


phân kỳ ⇒

∞
n=1 an

hội tụ.

∞
n=1 bn

phân kỳ.

Chứng minh
Gọi An và Bn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi
∞
n=1 bn .
xi

∞
n=1 an

và


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

1. Ta có 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ∈ N ⇒ An ≤ Bn , ∀n ∈ N.

∞
n=1 bn

Vì

hội tụ nên lim Bn = B ∈ R.
n→∞

⇒ An ≤ B, ∀n ∈ N.
∞
n=1 an

⇒ {An } bị chặn trên ⇒
∞
n=1 an

2.

hội tụ.

phân kỳ nên lim An = ∞ theo bất đẳng thức trên ta có
n→∞

lim Bn = ∞ tức là chuỗi

n→∞

∞
n=1 bn


phân kỳ.

Ví dụ 7

0, ∀n ∈ N và an

Cho an
∞
n=1 an

(1 − n1 )2 .an−1 , ∀n ∈ N, n

2. Chứng minh

hội tụ.

Chứng minh

(n + 1)2
an+1 ·
.
n2

∀n ∈ N, ta có an
Như vậy

22
32 22
a1 ≥ a2 · 2 ≥ a3 · 2 · 2 = a3 ·32 ≥ ... ≥ an · n2
1

2 1
⇒ an

a1
n2

0, ∀n ∈ N∗ ).

(an

1
∞ a1
hội
tụ
⇒
n=1 2 hội tụ.
n2
n
Theo định lý so sánh thứ nhất, ta suy ra ∞
n=1 an hội tụ.

Mặt khác

∞
n=1

Định lý 2.1.2 Định lý so sánh thứ hai của chuỗi dương
Cho

∞

n=0 un ;

un
Đặt k = lim
n→∞ vn

∞
n=0 vn

• k = 0, nếu

thỏa un

∞
n=1 vn

0, vn

hội tụ thì

0 ∀n ∈ N

∞
n=1 un

• k = +∞, nếu

∞
n=1 un


hội tụ thì

• k ∈ (0; +∞),

∞
n=1 un ,

∞
n=1 vn

hội tụ.

∞
n=1 vn

hội tụ.

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chứng minh
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

un

• Do lim
= 0 < 1 ⇒ ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 , thì
n→∞ vn
un
≤ 1 ⇒ un ≤ vn , ∀n ≥ n0
vn
∞
∞
Do ∞
n=1 vn hội tụ ⇒
n=n0 vn hội tụ ⇒
n=n0 un hội tụ (định lý
so sánh thứ nhất)

⇒

∞
n=1 un

hội tụ.
vn
un
= +∞ ⇒ lim
=0
• k = +∞ ⇒ lim
n→∞ un
n→∞ vn
∞
Nếu ∞
n=1 un hội tụ thì

n=1 vn hội tụ.

• k ∈ (0; +∞)
k
un
Do lim
=k>0⇒ >0
n→∞ vn
2

un
k
− k| <
vn
2
un
k
k
3k
k
< k + ⇒ .vn < un < .vn
⇒k− <
2
vn
2
2
2
⇒ ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 thì |

Nếu


⇒
Nếu

⇒

∞
n=1 vn
∞
n=n0

un hội tụ ⇒

∞
n=1 un
∞
n=1

hội tụ ⇒

hội tụ ⇒

k
vn hội tụ ⇒
2

⇒

∞
n=n0


3k
.vn hội tụ
2

un hội tụ ⇒

∞
n=n0

k
vn hội tụ
2

∞
n=n0 vn hội tụ
∞
n=1 un hội tụ.
∞
n=n0

∞
n=1 vn

hội tụ.

Ví dụ 8
Xét sự hội tụ của các chuỗi.
n+2
π

∞
a) ∞
.
b)
sin
.
n=1
n=1
2n3 + 3
3n
n+2
a) Ta có un = 3
≥0
2n + 3
1
Chọn vn = 2
2n
n+2
3+3
un
2n2 (n + 2)
2n
Xét lim
= lim
= lim
=1
1
n→∞ vn
n→∞
n→∞ 2n3 + 3

2n2
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xiii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

n+2
1
∞
hội
tụ
⇒
hội tụ.
n=1
2n2
2n3 + 3
π
π
π
b) Trước hết chú ý rằng sin n > 0 với mọi n và sin n ∼ n khi
3
3
3
n → ∞.
1
π

Chuỗi ∞
hội
tụ
(vì
đó
là
cấp
số
nhân
lùi
vơ
hạn
với
cơng
bội
).
n=1 n
3
3
π
Do đó theo dấu hiệu so sánh, chuỗi ∞
n=1 sin n hội tụ.
3
∞
n=1

Có

Ví dụ 9
Cho an ≥ 0, ∀n ≥ N và lim nan = α ∈ R\{0}. Xét sự hội tụ của

n→∞

∞
n=1 an .

chuỗi

1
Với mọi n ∈ N ta đặt un = an ≥ 0 và vn = ≥ 0. Khi đó,
n
un
an
lim
= lim
= lim nan = α > 0.
n→∞ vn
n→∞ 1
n→∞
n
1
Vì ∞
phân kỳ.
n=1
n
⇒ ∞
n=1 an phân kỳ.
2.2

Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương


Định lý 2.2.1 Dấu hiệu tích phân.
Cho chuỗi số dương

∞
n=1 an

và f (x) là hàm không âm, đơn điệu giảm

và liên tục trên đoạn [1,+∞) sao cho f (n) = an ,

∀n. Khi đó,

t

1. Nếu tồn tại giới hạn hữa hạn lim

t→∞

f (x)dx thì chuỗi

∞
n=1 an

∞
n=1 an

phân kỳ.

hội


1

tụ.
t

2. Nếu giới hạn lim

f (x)dx = +∞ thì chuỗi

t→∞
1

Chứng minh
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xiv


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Do hàm f (x) giảm nên

ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak ,

∀x ∈ [k; k + 1]
k+1

Theo định lý trung bình tích phân ta có ak+1 ≤


f (x)dx ≤ ak
k

Lấy tổng theo k từ 1 đến n ta có
n+1

n

ak+1 ≤

n

f (x)dx ≤

k=1

ak
k=1

1

Gọi An+1 và An là tổng riêng thứ n + 1 và n của chuỗi số, lúc này ta có
n+1

An+1 − a1 ≤

f (x)dx ≤ An .
1


Từ đây ta có
t

f (x)dx thì

1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

t→∞
1

n+1

f (x)dx < M ∈ R,
1

{An } bị chặn, suy ra

∀n hay An+1 < M + a1 ,

∞
n=1 an

hội tụ.

t

2. Nếu giới hạn lim

n


f (x)dx = +∞ thì lim

f (x)dx = +∞ suy

n→∞

t→∞
1

ra dãy {An } khơng bị chặn tức là
Ví dụ 10
Xét sự hội tụ của chuỗi

∀n tức là dãy

∞
n=1

∞
n=1 an

1

phân kỳ.

1
.
nα

1

= 0, do vậy chuỗi phân kỳ.
n→∞ nα
1
2. α = 1 thì chuỗi điều hòa ∞
phân kỳ.
n=1
n
1
−α
3. Nếu α > 0, α = 1, xét hàm f (x) = α có f (x) = α+1 < 0 nên
x
x
f (x) đơn điệu giảm trên [1; +∞).
1. Nếu α ≤ 0 thì lim

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xv


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Mặt khác,

 −1
nếu α > 1
1
1

1−α
1−α
lim
dx
=
lim
(t
−
1)
=
t→∞ 1 xα
t→∞ 1 − α

+∞
nếu 0 < α < 1
1
Vậy chuỗi số ∞
n=1 α hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.
n
t

Ví dụ 11

1 √
x
n
Xét sự hội tụ của chuỗi ∞
dx
n=1
1 + x2

0
1
1 √
x
n √xdx = 2
dx
≤
Chú ý rằng an = n
3
1 + x2
0
0
3n 2
2
∞
vì chuỗi n=1
hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi đã cho hội
3
3n 2
tụ.
Định lý 2.2.2 Dấu hiệu Cauchy.
Cho chuỗi số dương

∞
n=1 an ,

giả sử tồn tại hữu hạn hay vơ hạn lim

n→∞


√
n

an =

c, khi đó:
1. Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chứng minh

√
1. Chọn c < q < 1, do lim n an = c nên ∃n0 ∈ N sao cho ∀n n0 ta
n→∞
√
n
có an < q hay an < q n , ∀n n0 . Mặt khác, do q < 1 nên chuỗi
∞
n
n=1 q

hội tụ. Theo dấu hiệu so sánh ta có

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

∞
n=1 an

hội tụ.

Trang xvi



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

√
2. Chọn 1 < q < c do lim n an = c nên tồn tại n0 sao cho ∀n n0
n→∞
√
n
thì an > q hay an > q n , ∀n n0 . Mặt khác, do q> 1 nên chuỗi
∞
n
n=1 q

phân kỳ. Theo dấu hiệu so sánh thì

∞
n=1 an

phân kỳ.

Ví dụ 12

1 n2
Xét sự hội tụ của ∞
n=1 (1 − ) .
n
1

√
Ta có lim n an = lim (1 − )n = lim
n→∞
n→∞
n→∞
n

1
1
= < 1.
1 −n
e
(1 +
)
−n
Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.

Ví dụ 13

2 n
) .
n
2
sin
2
√
n = 2 > 1.
Ta có lim n an = lim n sin = lim 2.
2
n→∞

n→∞
n n→∞
n
Vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ.

Xét sự hội tụ của chuỗi

∞
n
n=1 n (sin

Chú ý
Trong định lý trên c = 1 thì ta khơng kết luận được gì vì khi đó chuỗi
có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Ta có ví dụ sau để chỉ ra điều đó:
√
1
1
n
∞
n 1
Chuỗi ∞
và
đều
có
lim
=
lim
n2 = 1, tuy nhiên
n=1 2
n=1

n→∞
n→∞
n
n
n
1
∞ 1
theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi n=1 phân kỳ còn chuỗi ∞
n=1 2
n
n
hội tụ.
√
√
Tuy nhiên nếu lim n an = 1 đồng thời n an ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì ta có
n→∞

an > 1, ∀n ≥ n0 suy ra an không dần về 0 do vậy chuỗi

∞
n=1 an

phân

kỳ.

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xvii



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Ví dụ 14

a n3
) .
n
Nếu a = 0 thì số hạng tổng quát an = 1 với mọi n, do đó chuỗi phân

Xét sự hội tụ của chuỗi

∞
n=1 (cos

kỳ.
Nếu a =0, áp dụng dấu hiệu Cauchy đối với chuỗi dương (với n đủ lớn)
ta có

√
n

3
an = (cos na )n
2a
n2
2 ln(1−sin n )
n


= cos

2
a n
n

= 1−

sin2 na

n2
2

=e
Từ đó

lim

√
n

x→∞

an = e

2
lim n
n→∞ 2


ln(1−sin2 na )

=e

2
lim n
n→∞ 2

(−sin2 na )

a2

= e− 2 < 1

Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.
Định lý 2.2.3 Dấu hiệu D’Alembert.
Cho chuỗi số dương ∞
n=1 an , giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô
an+1
hạn lim
= d, khi đó:
n→∞ an
1. Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chứng minh

an+1
= d < 1 ta chọn q cố định d < q < 1. Khi đó
n→∞ an
an+1

∃n0 > 0 sao cho ∀n > n0 ta có
< q hay an+1 < qan . Suy ra
an

1. Giả sử lim

an0 +m < qan0 +m−1 < q 2 an0 +m−2 < ... < q m an0 .
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xviii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Như vậy an < an0 q n−n0 , ∀n > n0 , mặt khác do 0 < q < 1 nên
chuỗi
∞
n=1 an

∞
−n0 n
.q
n=n0 +1 an0 q

hội tụ, theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗi

hội tụ.


an+1
= d > 1 ta chọn cố định q cố định 1 < q < d. Khi
n→∞ an
an+1
đó ∃n0 > 0 sao cho ∀n > n0 ta có
> q hay an+1 > qan . Suy ra
an

2. Giả sử lim

an0 +m > qan0 +m−1 > q 2 an0 +m−2 > ... > q m an0 .
Như vậy an > an0 q n−n0 , ∀n > n0 , mặt khác do q > 1 nên chuỗi
∞
−n0 n
.q
n=n0 +1 an0 q
∞
n=1 an phân kỳ.

phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗi

Ví dụ 15
Xét sự hội tụ của chuỗi

∞
n=1

n
.
2n


n+1
an+1
n+1 1
n+1
Ta có lim
= lim 2 n = lim
= < 1.
n→∞ an
n→∞
n→∞ 2n
2
n
2
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 16
Cho α = e, xét sự hội tụ của chuỗi

α n
∞
n=1 n!( ) .

α n+1 n
(n + 1)!(
)
an+1
n
+
1
Ta có lim

= lim
α
n→∞ an
n→∞
n!( )n
n
α
α
= lim
= .
1 n
n→∞
e
(1 + )
n
Vậy nếu 0 ≤ α < e thì chuỗi hội tụ, cịn nếu α > e thì chuỗi phân kỳ.
Tương tự như dấu hiệu Cauchy, khi d = 1 ta khơng kết luận được gì vì
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xix


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

an+1
khi đó chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Đặc biệt nếu lim
=1
n→∞ an

an+1
đồng thời
≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi ∞
n=1 an phân kỳ vì an+1 ≥ an ≥
an
... ≥ an0 tức là an không dần về 0 khi n → ∞.

Đinh lý 2.2.4 Dấu hiệu Raabe.
∞
n=1 an ,

Cho chuỗi số dương

giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô

hạn

lim Rn = lim n.(

n→∞

n→∞

an
− 1) = R.
an+1

Khi đó:
1. Nếu R > 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu R < 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

3. Nếu R = 1 và Rn ≤ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 17
Xét sự hội tụ của

∞
n=1

n!
, (α > 0)
(α + 1)...(α + n)

Ta có
n
Rn = n.( aan+1
− 1) = n.

= n.( α+n+1
n+1 − 1) =

n!
(α+1)...(α+n)
(n+1)!
(α+1)...(α+n)(α+n+1)

−1

nα
n+1

Suy ra lim Rn = α.

n→∞

Vậy theo dấu hiệu Raabe, nếu α ∈ (0; 1] thì chuỗi phân kỳ, cịn nếu

α > 1 thì chuỗi hội tụ.
Ví dụ 18
Xét sự hội tụ của chuỗi

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

∞
n=1

(2n − 1)!!
1
.
trong đó (2n − 1)!! =
(2n)!! 2n + 1
Trang xx


Khóa luận tốt nghiệp

1.3.5...(2n − 1),

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

(2n)!! = 2.4.6...2n.

Ta có


Rn = n

(6n + 5)n
(2n + 2)(2n + 3)
an
−1 =
−1 =n
an+1
(2n + 1)!
(2n + 1)2

Do đó

n(6n + 5) 3
= >1
n→∞ (2n + 1)2
2

lim Rn = lim

n→∞

Theo dấu hiệu Raabe chuỗi đã cho hội tụ.
Định lý 2.2.5 Dấu hiệu Gauss.

an
µ
θn
= λ + + 1+ε .

an+1
n n
Trong đó ε > 0, θn là đại lượng bị chặn. Khi đó,
Cho chuỗi số dương

∞
n=1 an ,

giả sử

1. Nếu λ > 1 thì chuỗi hội tụ.
2. Nếu λ < 1 thì chuỗi phân kỳ.
3. Nếu λ = 1 và µ > 1 thì chuỗi hội tụ.
4. Nếu λ = 1 và µ ≤ 1 thì chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 19
Xét sự hội tụ của chuỗi

− 1)!! p
] , trong đó p là tham số và
(2n)!!
(2n)!! = 2.4.6...2n.

∞ (2n
n=1 [

(2n − 1)!! = 1.3.5...(2n − 1),
Ta có

an
(2n − 1)!!

=
an+1
(2n)!!

p

(2n + 2)!!
(2n + 1)!!

p

1
= 1+
2n + 1

p

Theo khai triển Taylor

(1 + x)p = 1 + px +

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

p(p − 1) 2
x + 0(x2 ), ∀|x| < 1
2
Trang xxi


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Vậy ta có:

1
1+
2n + 1

p

=1+

p
p(p − 1)
1
+
)
+
0(
2n + 1 2(2n + 1)2
n2

Theo dấu hiệu Gauss

p
> 1 nên chuỗi đã cho hội tụ.
2
p
2. Nếu p ≤ 2 thì µ = ≤ 1 nên chuỗi đã cho phân kỳ.

2
Định lý 2.2.6
1. Nếu p > 2 thì µ =

Giả sử {an } đơn điệu giảm và an ≥ 0, ∀n ∈ N. Khi đó,

⇔

∞
k
k=1 2 a2k

∞
n=1 an

hội tụ

hội tụ.

Chứng minh

(⇐) Giả sử

∞
k
k=1 2 a2k

hội tụ.

Gọi Sn là tổng riêng thứ n của


∞
n=1 an .

Vì Sn+1 = Sn + an+1 ≥

Sn , ∀n ∈ N
⇒ {Sn } đơn điệu tăng.
⇒ Sn ≤ S2n −1 (vì 2n − 1 ≥ n, ∀n ∈ N)
Do tính chất đơn điệu giảm của {an }.

2k a2k ≥ a2k + a2k +1 + ... + a2k+1 −1
...
2 2 a4 ≥ a4 + a5 + a6 + a7
2a2 ≥ a2 + a3
Với ∀n ∈ N thì

Sn ≤ S2n+1 −1 = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ) + ...
+(a2n + ... + a2n+1 −1 )
≤ a1 + 2a2 + 22 a4 + ... + 2n a2n
≤ a1 + 2a2 + 22 a4 + ... + 2n a2n + 2n+1 a2n+1
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xxii


Khóa luận tốt nghiệp

⇒ lim Sn ≤ lim (
n→∞


p→∞

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

n+p k
k=0 2 .a2k )

= B (vì

∞
k
k=1 2 a2k

hội tụ)

⇒ {Sn } bị chặn trên.
⇒ lim Sn = α ∈ N ⇒
n→∞

∞
n=1 an

hội tụ.

(⇒) Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi

∞
k
k=1 2 a2k


⇒ tk = a1 + 2a2 + 4a4 + ... + 2k a2k
tk+1 = tk + 2k+1 a2k+1 ≥ tk , ∀k ∈ N
⇒ {tk } đơn điệu tăng.
∞
n=1 an

Do

hội tụ và có tổng là A.

tk = a1 + 2a2 + 4a4 + ... + 2k a2k
a1 ≤ a1
2a2 ≤ a1 + a2 .
4a4 ≤ (a2 + a3 + a4 ) + a3 = (a3 + a4 ) + (a2 + a3 ).
8a8 ≤ (a4 + a5 + a6 + a7 + a8 ) + (a5 + a6 + a7 ) =
(a5 + a6 + a7 + a8 ) + (a4 + a5 + a6 + a7 ).
...
2k a2k ≤ (a2k−1 + a2k−1 +1 + ... + a2k ) + (a2k−1 + a2k−1 +1 + ... + a2k −1 )
⇒ tk ≤ S2k + S2k −1 ≤ 2.S2k ≤ 2.S2k +p , ∀p ∈ N.
⇒ lim tk ≤ lim 2S2k +p .
p→∞

p→∞

⇒ tk ≤ 2A, ∀k ∈ N
⇒ {tk } bị chặn trên.
⇒ lim tk = α ∈ R.
⇒


k→∞
∞
k
k=1 2 a2k

hội tụ.

Ví dụ 20
Xét sự hội tụ của chuỗi
SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

∞
n=1

1
nα
Trang xxiii


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

1
1
Giả sử α > 0, { α } đơn điệu giảm, α ≥ 0, ∀n ∈ N.
n
n
1
1

∞
∞
k
hội tụ
n=1 α hội tụ ⇔
k=1 2
n
(2k )α
k(1−α)
1−α k
k
⇔ ∞
= ∞
) = ∞
k=1 2
k=1 (2
k=1 q
Chuỗi đã cho phân kỳ khi |q|≥ 1.
Chuỗi hội tụ khi |q| < 1 ⇔ 21−α < 1 ⇔ 1 − α < 0 ⇔ α > 1.

SVTH: Nguyễn Thị Thanh Thu

Trang xxiv


Chương 3

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CÓ
DẤU BẤT KỲ
Chương 3 trình bày khái niệm chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ cũng

như các định lý để xét sự hội của một chuỗi có dấu bất kì.

3.1

Dấu hiệu Leibnitz

Định lý 3.1.1 Dấu hiệu Leibnitz.
Nếu dãy {an } giảm và lim an = 0 thì chuỗi
n→∞

∞
n−1
n=1 (−1)

· an hội tụ.

Chứng minh
Do dãy {an } giảm và dần về 0 nên an ≥ 0, ∀n ∈ N∗ và ta có

A2m+2 = A2m + (a2m+1 − a2m+2 ) ≥ A2m
Ngoài ra

A2m = a1 − [(a2 − a3 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ] < a1
Vậy {A2m } là dãy tăng bị chặn bởi a1 do đó ∃ lim A2m = A.
m→∞

Mặt khác

A2m+1 = A2m + a2m+1 mà lim a2m+1 = 0 nên
m→∞


lim A2m+1 = lim A2m + lim a2m+1 = A.

m→∞

(1)

m→∞

m→∞

Vậy từ (1) và (2) suy ra lim An = A tức là chuỗi
n→∞

xxv

(2)
∞
n−1
· an
n=1 (−1)

hội