<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC </b>
<b>I. ĐỊNH LÝ HAØM SIN VAØ COSIN </b>

Cho ΔABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của _{A, B, C, R} _{là bán kính}

đường trịn ngoại tiếp ΔABC, S là diện tích ΔABC thì

= = =

= + − = + −

= + − = + −

= + − = + −

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a b c _2R

sin A sin B sin C

a b c 2bc cos A b c 4S.cotg

b a c 2ac cos B a c 4S.cotgB

c a b 2ab cos C a b 4S.cotg

A
C

<b>Bài 184</b> Cho ΔABC. Chứng minh:

2 2

A 2B= ⇔a = b +bc

Ta coù: _a2 ₌ _b2 ₊_bc _⇔ _{4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC}2 2 ₌ 2 2 ₊ 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

⇔ − =

⇔ − − − =

⇔ − =

⇔ − + − =

⇔ + − =

⇔ − = + = >

⇔ − = ∨ − = π −

⇔ =

2 2

sin A sin B sin B sin C

1 _{1 cos 2A} 1 _{1 cos 2B} _{sin B sin C}

2 2

cos 2B cos 2A 2 sin B sin C

2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C

sin A B sin B do sin A B sin C 0
A B B A B B loại

A 2B

Caùch khaùc:

− =

⇔ − + =

+ − + −

⇔ =

2 2

sin A sin B sin B sin C

(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

A B A B A B A B

2 cos sin .2 sin co s sin B sin C

2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

⇔ + − =

⇔ − = + = >

⇔ − = ∨ − = π −

⇔ =

sin B A sin A B sin B sin C

sin A B sin B do sin A B sin C 0

A B B A B B loại

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 185:</b> Cho ΔABC. Chứng minh: sin A B

(

)

a2 ₂b2

sin C c

− ₌ −

Ta coù a2 −₂b2 = 4R sin A 4R sin B2 2 ₂ − ₂ 2 2

c 4R sin C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

− − −

−

= =

− + −

−

= =

+ − −

= =

+ = >

2 2

2 2

2 2

2

1 _{1 cos 2A} 1 _{1 cos 2B}

sin A sin B ₂ ₂

sin C sin C

2 sin A B sin B A

cos 2B cos 2A

2 sin C 2 sin C
sin A B .sin A B sin A B

sin C
sin C

do sin A B sin C 0

<b>Bài 186:</b> Cho ΔABC biết rằng tgA tgB 1

2 ⋅ 2 = ⋅3

Chứng minh a b+ = 2c

Ta coù : tgA ⋅tgB 1= ⇔3sin sinA B =cos cosA B

2 2 3 2 2 2 2

A B

do cos 0,cos 0

2 2

⎛ _> _> ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

A B A B A

2sin sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2 2

A B A B A B

cos cos cos

2 2 2

A B A B

cos 2cos *

2 2

⇔ = −

+ − +

⎡ ⎤

⇔ −_⎢ − _⎥ =

⎣ ⎦

− +

⇔ =

B

Maët khaùc: a b 2R sin A sin B+ =

(

+

)

( )

(

)

(

)

+ −

=

+ +

=

= +

= =

A B A B

4R sin cos

2 2

A B A B

8R sin cos do *

2 2

4R sin A B
4R sin C 2c

Caùch khaùc:

(

)

+ =

⇔ + =

a b 2c

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ −

⇔ =

− + ⎛ + ⎞

⇔ = = _⎜ = _⎟

⎝ ⎠

A B A B C C

2 sin cos 4 sin cos

2 2 2 2

A B C A B A B

cos 2 sin 2 cos do sin cos

2 2 2 2

C
2

⇔ + = −

⇔ =

A B A B A B A

cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin

2 2 2 2 2 2 2

A B A B

3sin sin cos cos

2 2 2 2

B
2

⇔ tgA ⋅tgB 1=

2 2 3

<b>Bài 187:</b> Cho ΔABC, chứng minh nếu cotgA,cotgB,cotgCtạo một cấp số cộng thì
2 2 2

a , b ,c cũng là cấp số cộng.

Ta có: cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng⇔ cot gA cot gC 2 cot gB *+ =

( )

<b>Caùch 1: </b>

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

sin A C 2cosB

Ta coù: * sin B 2sin A sin C cos B

sin A sin C sin B

sin B cos A C cos A C cos A C

sin B cos A C cos A C cos A C

1

sin B cos B cos 2A cos 2C

2
1

sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C

2
2sin B sin A sin C

+

⇔ = ⇔ =

⇔ = −⎡_⎣ + − − ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}− + ⎤_⎦

⇔ = + − − +

⇔ = − +

⎡ ⎤

⇔ = − − _⎣ − + − _⎦

⇔ = +

⇔ 2₂ 2₂ 2₂

2 2 2

2 2 2

2b a c

4R 4R 4R

2b a c

a , b ,c là câùp số cộng

= +

⇔ = +

⇔ •

<b>Cách 2: </b>

( )

= + −

⎛ ⎞

⇔ = + _{− ⎜} _⎟

⎝ ⎠

⇔ = + −

+ −
=

+ − + −

= =

+ − + − + −

⇔ + = ⋅

⇔ = +

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

Ta coù: a b c 2ab cos A
1

a b c 4 bc sin A .cotgA
2

a b c 4S cot gA
b c a

Do đó cotgA

4S

a c b a b c

Tương tự cotgB , cotgC

4S 4S

b c a a b c a c b

Do đó: * 2

4S 4S 4S

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 188:</b> Cho ΔABC có _{sin B sin C 2sin A}2 ₊ 2 ₌ 2
Chứng minh _{BAC 60 .} _≤ 0

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Ta coù: sin B sin C 2sin A

b c 2a

4R 4R 4R
b c 2a *

+ =

⇔ + =

⇔ + =

A

Do định lý hàm cosin nên ta coù

2 2 2

a = b +c −2bc cos

(

)

_{( )}

(

)

+ − −

+ −

⇔ = =

+

= ≥ =

≤

2 2 2 2

2 2 2

2 2

0

2 b c b c

b c a

cos A ( do * )

2bc 4bc

b c 2bc 1 _{do Cauchy}

4bc 4bc 2

Vạây : BAC 60 .

Cách khác:

định lý hàm cosin cho

= + − ⇒ + = +

2 2 2 2 2 2

a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó

(*) a bc cos A a

a b c

cos A ( do Cauchy)

bc bc

⇔ + =

+

⇔ = = ≥

2 2

2 2 2

2 2

1

2 4 2

<b>Bài 189:</b> Cho ΔABC. Chứng minh :

(

2 2 2

)

R a b c

cotgA+cotgB+cotgC

abc

+ +

=

+ −

=

+ − + −

= =

+ + + +

+ + = =

+ +

=

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

b c a

Ta coù: cotgA

4S

a c b a b c

Tương tự: cot gB , cot gC

4S 4S

a b c a b c

Do đó cot gA cot gB cot gC _abc

4S ₄

4R

a b c

R

abc

2

<b>Bài 190:</b> Cho ΔABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có cơng bội q = 2.
Giả sử A < B < C.

Chứng minh: 1 = 1 1+

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A

2 4

Maø A B C neân A ,B ,C

7 7 7

π π π

+ + = π = = =

<b>Caùch 1: </b>

+ = +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ _π + _π⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

π ₊ π

=

π π

π π

π π

⎛ ⎞

= ⋅ _⎜ = _⎟

π _{π ⎝} _⎠

π

= ⋅ =

π π

=

1 1 1 1

Ta coù:

b c 2R sin B 2R sin C

1 1 1

2 4

2R sin sin

7 7

4 2

sin sin

1 ₇ ₇

2 4

2R sin sin

7 7

3
2 sin .cos

1 ₇ _{7 dosin}4 _sin3

2 3

2R _sin _.sin 7 7

7 7

cos

1 ₇ 1

R _{2 sin .cos} 2R sin A

7 7

1
a
<b>Caùch 2: </b>

= + ⇔ = +

+

⇔ = + =

⇔ = = =

π π

= = = •

1 1 1 1 1 1

a b c sin A sin B sin C

1 1 1 sin 4A sin 2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A

1 2 sin 3A.cos A 2 cos A 2 cos A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A

3 4

do : sin 3A sin sin sin 4A

7 7

<b>Bài 191:</b> Tính các góc của ΔABCnếu

sin A sin B sin C

1 = 3 = 2

Do định lý hàm sin: a b c 2R
sin A = sin B = sin C =

neân : sin A sin B sin C *

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a b c

2R 2R 3 4R

b c b a 3

a

2

3 c 2a

⇔ = =

⎧ =
⎪

⇔ = = _{⇔ ⎨}

=
⎪⎩

( )

( )

2

2 2

2 2 2

0
0

Ta có: c 4a a 3 a

c b a

Vạây ABC vuông taïiC

Thay sin C 1 vào * ta được

sin A sin B 1

1 3 2

1
sin A

2
3

sin B

2
A 30
B 60

= = +

⇔ = +

Δ

=

= =

⎧ ₌

⎪⎪
⇔ ⎨

⎪ ₌

⎪⎩
⎧ =
⎪
⇔ ⎨

=
⎪⎩

2

Ghi chuù:

Trong tam giác ABC ta có

a b= ⇔ = ⇔A B sin A sin B= ⇔cos A cos B=

<b>II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN </b>

Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2

2 2 2 BC

AB AC 2AM

2

+ = +

hay : 2 2 2 2
a

a

c b 2m

2

+ = +

<b>Baøi 192:</b> Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α, AC = b, AB = c, S là diện tích

UABC. Với 0 < < α 900

a/ Chứng minh: cotg b2 −c2
4S

α =

b/ Giả sử α =₄₅0, chứng minh: cotgC – cotgB = 2

a/ UAHM vuoâng cotg HM MB BH

AH AH

−

⇒ α = =

( )

a BH

cotg 1

2AH AH

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Mặt khác:

(

)

2 2

2 2 a c 2ac cosB c

b c

4S 2AH.a

+ − −

− ₌ 2

Đặt BC = a

2 2

b c a c cos B a BH

4S 2AH AH 2AH AH

−

⇒ = − = − (2)

Từ (1) và (2) ta được : cotg b2 c2
4S

−

α =
Caùch khaùc:

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH

p dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có:

+ −

α = 2 2

1

2

AM BM c

cotg

4S (3)

+ −

− α = 2 2

2

2

AM CM b

cotg

4S (4)

Lấy (3) – (4) ta có :
−

α = b2 c2

cotg

4S ( vì S1=S2 =

S

2)

b/Ta coù: cotgC – cotgB = HC HB HC HB

AH AH AH

−

− =

=

(

MH MC

) (

MB MH

)

AH

+ − −

= 2MH 2cotg= α = _{2 cotg 45}0 =₂

AH

Cách khác:

p dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có:

+ −

= 2 2

1

BM c AM

cotg B

4S

2

(5)

+ −

= 2 2

2

CM b AM

cotg C

4S

2

(6)
Laáy (6) – (5) ta coù :

−
− = b2 c2 =

cotg C cot gB 2 cot g

2S α=2 ( vì S1=S2 =

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 193</b> Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là m ,m_b _c thỏa

b
c

m

c ₁

b = m ≠ . Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta coù: 2 2b

2 2

c

m
c

b = m

(

)

(

)

(

)(

( )

)

⎛ ⎞

+ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ =

⎛ ⎞

+ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ + − = + −

⇔ − = −

⇔ − = − +

⎛ ⎞

⇔ = + _⎜ ≠ _⎟

⎝ ⎠

2

2 2

2

2 2

2 2

4 4

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 _a _c b

2 2

c

b 1 _b _a c

2 2

c b

b c a c a b b c

2 2

1

a c a b c b
2

1

a c b c b c b

2

c
2a c b 1 do 1

b

Thay _b2 +_c2 = _a2 +_{2bc cos A} vào (1), ta có (1) thành
_a2 =_{2bc cos A}

(

) (

)

(

)

⇔ = =

+

⇔ = =

2 2 2

a 4R sin A

cos A

2bc 2 2R sin B 2R sin C

sin B C

cos A sin A

2

sin A sin B sin C sin B sin C

+

⇔2 cotgA = sinBcosC sinCcosB = cotgC cotgB+

sin B sin C

<b>Bài 194</b>: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vng góc với trung tuyến
BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB)

UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’
Vậy AB 2C

3 ′

= C

2 2

c

2

2 2 2

2 2 2

9c 4m

c
9c 2 b a

2
5c a b

⇔ =

⎛ ⎞

⇔ = _⎜ + − _⎟

⎝ ⎠

⇔ = +

2 2

5c c 2abcosC

⇔ = + (do định lý hàm cos)

(

)

(

)(

)

2

2

2c ab cosC

2 2R sin C 2R sin A 2R sin B cosC

⇔ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

⇔ =

⇔ =

2

2 sin C sin A sin B cos C

2 sin C cos C

sin A sin B sin C

(

+

)

⇔ 2 sin A B =cotgC

sin A sin B

(

)

(

)

+

⇔ =

⇔ + =

2 sin A cos B sin B cos A

cotgC
sin A sin B

2 cotg B cotgA cotgC

<b>III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC </b>

Gọi S: diện tích UABC

R: bán kính đường trịn ngoại tiếp UABC

r: bán kính đường trịn nội tiếp UABC
p: nửa chu vi của UABC

thì

(

)(

)(

)

a b c

1 1 1

S a.h b.h c.h

2 2 2

1 1 1

S absin C ac sin B bc sin A

2 2 2

abc
S

4R
S pr

S p p a p b p c

= = =

= = =

=

=

= − − −

<b>Bài 195:</b> Cho UABC chứng minh: sin 2A sin 2B sin 2C 2S₂
R

+ + =

Ta coù:

(

)

sin2A+ sin2B + sin2C

= sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C)
= 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C)
= 2sinA[cosA + cos(B - C)]

= 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)]
= 2sinA.[2sinB.sinC]

= ₃

a b c 1 abc

= 4. . .

2R 2R 2R 2 R = 3 = 2

1 4RS 2S

2 R R

<b>Bài 196</b> Cho UABC. Chứng minh :

S = Diện tích (UABC) = 1 a sin2B b sin2A

(

2 2

)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta coù : S = dt ABC

(

)

1absin C
2

Δ =

= ab sin A B1

(

+

)

2

= ab sin A cos B sinB cos A1

[

+

]

2

(

)

⎡⎛ ⎞ ₊⎛ ⎞ ⎤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢_⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎣ ⎦

+

2 2

2 2

1 a b

= ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin)

2 b a

1

= a sin B cos B+ b sin A cos A
2

1

= a sin 2B b sin 2A
4

<b>Baøi 197</b>: Cho ΔABC có trọng tâm G và_GAB _{= α}_,GBC _{= β}_,GCA _{= γ}_.

Chứng minh:

(

)

2 2 2

3 a b c

cotg + cotg +cotg =

4S

+ +

α β γ

Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH ⊥ AB
AH

AMH cos

AM

BH 2BH
BHM cos B

MB a

Δ ⊥⇒ α =

Δ ⊥⇒ = =

Ta coù: AB = HA + HB

( )

a

c AM cos cos B
2

1 a

cos c cos B 1

AM 2

⇔ = α +

⎛ ⎞

⇔ α = _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có :

MB AM _sin 1 _{MBsin B} a _{sin B (2)}

sinα = sin B ⇔ α = AM = 2AM

Lấy (1) chia cho (2) ta được :

− ₋

α =

a

c cos B _{2c a cos B}

2
cotg =

a_{sin B} _a. b

2 2R

(

₋

)

(

−

)

+ − + −

2

2 2 2 2 2 2

R 4c 2ac cos B

R 4c 2a cos B

= =

ab abc

3c b a 3c b a

= _abc =

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Chứng minh tương tự :

2 2

2 2

3a c b
cotg

4S
3b a c
cotg

4S
+ −
β =

+ −

γ =

2

2

Do đó:

(

)

α + β + γ

+ − + − + −

= + +

+ +

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

cotg cotg cotg

3c b a 3a c b 3b a c

4S 4S 4S

3 a b c

=

4S

2

<b>Cách khác</b> : Ta có 2 2 2

(

2 2 2

)

a b c

3

m m m a b c (*)

4

+ + = + +

Δ

+ − ₊ ₋

α = =

2

2 2

2 2 2

a

a
ABM

a

c m _4c _4m _a

4

cotg (a)

4S 8S

Tương tự _cotg 4a2 4mb2 b2_(b),cotg 4b2 4m2c c2 _(c)

8S 8S

+ − + −

β = γ =

Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có:

(

+ +

)

α + β + γ =

2 2 2

3 a b c
cotg cotg cotg

4S

<b>IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN </b>

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC

và r bán kính đường trịn nội tiếp ΔABC thì

(

)

(

)

(

)

= =

=

= − = − = −

a abc
R

2 sin A 4S
S

r
p

A B C

r p a tg p b tg p c tg

2 2 2

<b>Bài 198:</b> Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

2

A B C

a/ r 4R sin sin sin

2 2

b/ IA.IB.IC 4Rr

=

=

2

a/ Ta coù : IBH cotgB BH

2 IH

Δ ⊥⇒ =

B
BH rcotg

2

⇒ =

Tương tự HC r cotg= C

2

Maø : BH + CH = BC
neân

(

)

⎛ ₊ ⎞ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

B C

r cotg cotg a

2 2

B C
r sin

2 _a

B C

sin sin

2 2

A B C

r cos 2R sin A sin sin

2 2 2

A A A B C

r cos 4R sin cos sin sin

2 2 2 2 2

A B C A

r 4R sin sin sin . (do cos >0)

2 2 2 2

b/ Ta coù : sin IK

IA

Α

Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ =

2

r

IA _A

sin
2

⇒ =

Tương tự IB = r_B

sin
2

; IC= r_C

sin
2

Do đó : IA.IB.IC _A r3_B _C
sin sin sin

2 2

=

2

r3 _{4Rr (do keát quả câu a)}2

r
4R

= =

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

⎛ ⎞

+ = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

=

a' b ' C A B

a/ 2 sin sin sin

a b 2 2 2

S' A B C

b/ 2 sin sin sin

S 2 2 2

a/ Ta coù : _{C'A 'B'} 1_C'IB' 1

₍

_A

₎

1

₍

_{B C}

₎

2 2 2

= = π − = +

Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C'

a ' _2r

sin A ' = (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC)

B C

a ' 2r sin A ' 2r sin (1)

2

+

⇒ = =

ABC

Δ coù : a BC BA ' A 'C= = +

B C

a r cot g r cot g

2 2

B C
sin

2

a r _B _C (2)
sin sin

2 2

⇒ = +

+
⇒ =

Laáy (1)

(2) ta được

a _{2sin sin}B

a 2

′

= C

2

Tương tự b' 2sin .sinA C

b = 2 2

Vaäy a ' b' 2sinC sin A sinB .

a b 2 2 2

⎛ ⎞

+ = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

b/ Ta coù: _{A 'C'B'} 1_{.B'IA '} 1

₍

_C

₎

1

₍

_{A B}

₎

2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Vậy sin C' sinA B cosC

2 2

+

= =

Ta có:

(

)

(

)

1 a'b'sinC'
dt A 'B'C'

S' ₂

1

S dt ABC _{absin C}
2

Δ

= =

Δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ _{= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅

⋅ ⋅

2

S ' a ' b ' sin C '

S a b sin C

C
cos

B C A ₂

= 4 sin sin sin _C _C

2 2 _{2 2sin cos}

2 2

B C A

= 2 sin sin sin

2 2 2

<b>Bài 200:</b> Cho ΔABC có trọng tâm G và tâm đường trịn nội tiếp I. Biết GI vng
góc với đường phân giác trong của _BCA . Chứng minh:

a b c 2ab

3 a b

+ + ₌

+

Veõ GH AC,GK⊥ ⊥ BC,ID AC⊥

IG cắt AC tại L và cắt BC tại N
Ta coù: Dt( CLN) 2Dt( LIC)Δ = Δ

=ID.LC = r.LC (1)
Mặt khác:

(

)

Dt( CLN) Dt( GLC) Dt( GCN)
1 GH.LC GK.CN (2)

2

Δ = Δ + Δ

= +

Do ΔCLN cân nên LC = CN
Từ (1) và (2) ta được:

(

)

1

rLC LC GH GK

2
2r GH GK

= +

⇔ = +

Gọi h , h_a _b là hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B

Ta coù:

a

GK MG 1

h = MA = 3 và _b
GH 1

h = 3

Do đó: 2r 1

(

h_a h (3)_b

)

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Maø:

(

)

a b

1 1

S Dt ABC pr a.h b.h

2 2

= Δ = = =

Do đó: h_a 2pr
a

= và h_b 2pr
b

=
Từ (3) ta có: 2r 2pr 1 1

3 a b

⎛ ⎞

= _⎜ + _⎟

⎝ ⎠

+

⎛ ⎞

⇔ = _⎜ _⎟

⎝ ⎠

+ + +

⇔ = ⋅

+ +

⇔ =

+

1 a b

1 p

3 ab

a b c a b
3

2 a

2ab a b c

a b 3

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>BAØI TẬP </b>

1. Cho ΔABC có ba cạnh là a, b, c. R và r lần lượt là bán kính đừơng trịn ngoại
tiếp và nội tiếp ΔABC. Chứng minh:

a/

(

a b cotg

)

C

(

b c cotg

)

A

(

c a cotg

)

B 0

2 2 2

− + − + − =

b/ 1 r cos A cos B cosC

R

+ = + +

c/ Neáu cotg ,cotg ,cotgA B

2 2

C

2 là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng.

d/ Diện tích ΔABC R r sin A sin B sin C=

(

+ +

)

e/ Nếu : _a4 ₌ _b4 ₊_c4 thì _Δ_ABC_{có 3 góc nhọn và}_{2sin A tgB.tgC}2 ₌

2. Nếu diện tích (ΔABC) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC 8

15

=

3. Cho ΔABC có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,
C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

ABC

Δ . Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp,
nội tiếp của ΔA 'B'C'. Chứng minh:

a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC
b/ R ' R

2

=

c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC

4. ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng. Với a < b < c
Chứng minh :

a/ ac = 6Rr

b/ cosA C 2sinB

2 2

− ₌

c/ Coâng sai d 3r tgC tgA

2 2 2

⎛ ⎞

= _⎜ − _⎟

⎝ ⎠

5. Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có cơng bội q = 2.
Chứng minh:

a/ 1 1 1

a = b c+

b/ _{cos A cos B cos C}2 2 2 5

4

</div>

<!--links-->