TRƯỜNG THPT KIM LIÊN

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 - LẦN 1

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 143
MỤC TIÊU

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT trường THPT Kim Liên Hà Nội luôn được đánh giá là đề thi hay, đặc sắc và bám
sát đề chính thức của Bộ GD&ĐT, giúp các em học sinh không những sớm ơn tập cho kì thi Tốt nghiệp mà cịn
ơn tập chính xác và đúng trọng tâm, để đạt được hiệu quả cao nhất, đồng thời đề thi luôn đổi mới để cập nhật
những câu hỏi hay và hóc búa nhất, giúp học sinh ôn tập tốt và phát triển tốt trên đà ơn tập đó.
Câu 1: Tập xác định của hàm số y = x 2021 là
A. [ 0; +∞ ) .

B. ( −∞;0 ) .

Câu 2: Tìm x để biểu thức ( 2 x 2 − 1)

1
A. ∀x ≠ .
2

−2

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( 0; +∞ ) .

1 
C. ∀x ∈  ; 2 ÷.
2 

1
D. ∀x > .
2

C. 9π cm 2 .

D. 36π cm3 .

C. Hình 1.

D. Hình 3

có nghĩa.

1
B. ∀x ≥ .
2

Câu 3: Tính thể tích khối cầu có bán kính bằng 3cm.
A. 9π cm3 .

B. 36π cm 2 .

Câu 4: Hình nào dưới đây khơng phải hình đa diện?


A. Hình 2.

B. Hình 4.

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) , có bảng biến thiên như sau:

1


Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số không có cực đại.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −6.

D. Hàm số bốn điểm cực trị.

Câu 6: Cho hình nón có chiều cao bằng 4a và bán kính đáy bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình nón là
A. 12π a 2 .

B. 36π a 2 .

C. 14π a 2 .

Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = −3x + 5.

D. 15π a 2 .


x +1
tại điểm có hồnh độ bằng 1 là
x−2

B. y = −3 x + 1.

C. y = 3x − 5.

D. y = −3 x − 1.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) , có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x

−∞

−3

−

y'

+∞

0

+

0

0


−

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoản nào dưới đây?
A. ( −3;0 ) .

B. ( −4;1) .

C. ( −∞; −3) .
D. ( 0; +∞ ) .
r r r r r
r
r r
r r
Câu 9: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a = i + 2 j − 3k , b = −3 j + 4k , c = −i − 2 j. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
r
r
r
r
r
r
A. a = ( 1; 2; −3) , b = ( 0; −3; 4 ) , c = ( −1; −2;0 ) .
B. a = ( 1; 2;3) , b = ( 0;3; 4 ) , c = ( −1; −2;0 ) .
r
r
r
C. a = ( 1; 2;3) , b = ( 0; −3; 4 ) , c = ( −1; 2;0 ) .

r

r
r
D. a = ( 1; 2; −3) , b = ( −3; 4;0 ) , c = ( −1;0; −2 ) .

Câu 10: Một chiếc hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Có bao nhiêu cách rút được từ hộp trên 2 thẻ đều đánh
số chẵn.
2
A. C5 .

2
B. C4 .

2
C. A5 .

2
D. A4 .

C. y ' = 42 x.ln 2.

D. y ' = 2.42 x.ln 4.

C. 2.

D. 3.

Câu 11: Đạo hàm của hàm số y = 42 x là
A. y ' = 2.42 x.ln 2.

B. y ' = 42 x.ln 4.


Câu 12: Số thực a thỏa mãn điều kiện log 3 ( log 2 a ) = 0 là

1
A. .
3

B.

1
.
2

Câu 13: Diện tích tồn phần của hình trụ có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r là:
A. 2π r ( h + r ) .

B. 2π rh + π r 2 .

C.

2
Câu 14: Tập nghiệm của phương trình log 0,25 ( x + 3 x ) = −1 là

2

1 2
π r h.
3

D. π r 2 h + 2π r 2 .



A. { 1; −4} .

B. { −1; 4} .

C. { 4} .

 3 − 2 2 3 + 2 2 
;
D. 
.
2 
 2

Câu 15: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. y = x3 + 2 x 2 − 2 x − 1.

B. y = − x 3 − 2 x 2 + x − 1.

C. y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1.

D. y = − x 3 + 3 x + 1.

Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. x +

1
+ C.

x−2

B.

x2 − 2 x + 1
x−2

x2
+ ln x − 2 + C.
2

2
C. x + ln x − 2 + C.

D. 1 +

1

( x − 2)

2

+ C.

Câu 17: Tìm cơng bội q của cấp số nhân ( un ) biết u1 = 1 và u2 = 4.
A. q = 3.

1
C. q = .
4


B. q = 4.

D. q = ±2.

Câu 18: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. y = 2 x − 5.

B. y = log 0,5 x.

C. y = log 2 x.

D. y = 0,5 x.

Câu 19: Trong ngày hội giao lưu văn hóa – văn nghệ, giải cầu lơng đơn nữ có 12 vận động viên tham gia, trong
đó có hai vận động viên Kim và Liên. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 6
người. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để haivận động viên Kim
và Liên thi đấu chung một bảng.
A.

6
.
11

B.

5
.
22


C.

5
.
11

D.

1
.
2

Câu 20: Trong không gian cho tam giác ABC vng cân tại A. Góc ở đỉnh của hình nón nhận được khi quay
tam giác ABC xung quanh trục AB bằng
3


A. 900.

B. 600.

C. 450.

D. 300.

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x + log32 + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một
3
nghiệm thực thuộc đoạn 1;3  .


B. m ∈ [ 0; 2] .

A. m ∈ ( 0; 2 ) .

C. m ∈ [ 0; 2 ) .

D. m ∈ ( 0; 2] .

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx + cos x đồng biến trên ¡ .
A. m > 1.

B. m ≥ 1.

C. m ≥ −1.

Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = x 2021 ( x − 1)
trị?
A. 3.

2020

( x + 1) ; ∀x ∈ ¡ .

B. 0.

Câu 24: Cho hàm số f ( a ) =

a
a


A. M = 1 − 20212020.

−

1
8

1
3

(

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực

C. 2.

(

3

8

a − a

a − 3 a4
8

3

−1


x 2 − x +1

5
Câu 25: Cho bất phương trình  ÷
7
trị của biểu thức A = 2b − a là

D. 1.

) với a > 0, a ≠ 1. Tính giá trị M = f ( 2021
)

2020

B. M = −20211010 − 1.

A. 1.

D. m ≤ −1.

2 x −1

5
> ÷
7

C. M = 20211010 − 1.

).


D. M = 20212019 − 1.

. Tập nghiệm của bất phương trình có dạng S = ( a; b ) . Giá

C. −2

B. 2.

D. 3.

Câu 26: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
x 2 + 2mx + 4m
f ( x) =
trên đoạn [ −1;1] bằng 3. Tích các phần tử của S bằng
x+2
A.

1
.
2

1
B. − .
2

3
C. − .
2


D. 1

1

Câu 27: Hàm số f ( x ) = ( x3 − 3x 2 + 2 ) 4 có tập xác định là

(
C. ( 1 +

) (
3; +∞ ) .

)

(
D. ( 1 −

A. −∞;1 − 3 ∪ 1;1 + 3 .

)
3;1) ∪ ( 1 +

B. 1 − 3;1 .

Câu 28: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

4

)


3; +∞ .


A. y =

2x + 2
.
1− 2x

B. y =

2x + 2
.
x −1

C. y =

x−2
.
1− x

D. y =

x+3
.
x −1

Câu 29: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng, AB = AC = a, A ' A = a 2. M
là trung điểm của đoạn thẳng A ' A . Tính thể tích khối tứ diện MA ' BC ' theo a.
A.


a3 2
.
9

B.

a3 2
.
6

C.

a3 2
.
18

D.

a3 2
.
12

Câu 30: Khối đa diện như hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 42 mặt.

B. 28 mặt

C. 30 mặt.


D. 36 mặt.

Câu 31: Tính bán kính đường trịn giao tuyến của mặt cầu S ( O; r ) và mặt phẳng ( α ) biết rằng khoảng cách từ
r
tâm O đến ( α ) bằng .
3
A.

2r
.
3

B.

6r
.
3

C.

8r
.
9

D.

2 2r
.
3


Câu 32: Cho các số thực dương x, a, b, c, thỏa mãn log x = 2 log ( 2a ) − 2 log b − 4 log 4 c . Biểu diễn x theo
a, b, c được kết quả là:
A. x =

2a 2
.
b2c

B. x =

4a 2 c
.
b2

C. x =
5

4a 2
.
b2c

D. x =

2a 2 c
.
b2


Câu 33: Đồ thị hàm số y =


x −1
9 − x2

A. 2.

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình
f ( x ) − m + 6 = 0 với m > 3 là:

A. 4.

B. 2.

C. 3.
2 x+2

x
2

 1 
Câu 35: Tổng các nghiệm của phương trình 9 + 9. 
÷

 3
A. 2.

D. 1.

B. 0.

− 4 = 0 là
C. 1.

D. 4.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 2; −1;1) , B ( 2;1;0 ) và C ( 1;0;3) . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200.
B. Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều.
C. Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông.
D. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Câu 37: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 0.
A. min
[ 0;3]

x2 − 4 x
trên đoạn [ 0;3] .
2x +1

3
B. min y = − .
[ 0;3]

7

y = −4.
C. min
[ 0;3]

y = −1.
D. min
[ 0;3]

Câu 38: Cho tam giác ABC có ∠BAC = 1200 ; BC = 2a 3. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
( ABC ) tại A lấy điểm S sao cho SA = a 3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a.
A.

a 19
.
2

B. a 7.

C. a 16.

6

D.

a 15
.
2



Câu 39: Mặt phẳng đi qua trục của khối trụ, cắt khối trụ theo thiết diện là hình vng có cạnh bằng 6 R. Thể
tích của khối trụ bằng
A. 36π R 3 .

B. 18π R 3 .

C. 54π R 3 .

D. 216π R 3 .

mx − 18
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến
x − 2m
trên khoảng ( 2; +∞ ) . Tổng các phần tử của S bằng:
Câu 40: Cho hàm số y =

A. −2.

B. −3. .

D. −5.

C. 2.

Câu 41: Biết mo là giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho
x12 + x22 − x1 x2 − 10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. m0 ∈ ( −15; −7 ) .

B. m0 ∈ ( −1;7 ) .


C. m0 ∈ ( −7; −1) .

D. m0 ∈ ( 7;10 ) .

Câu 42: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − sin x và F ( 0 ) = 21. Tìm F ( x ) .
2
A. F ( x ) = x − cos x + 20.

C. F ( x ) =

2
B. F ( x ) = x + cos x + 20.

1 2
x − cos x + 20.
2

D. F ( x ) =

1 2
x + cos x + 20.
2

Câu 43: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy tam giác vng tại A, SA ⊥ ( ABC ) . Biết mặt bên ( SBC ) tạo
với đáy một góc 450 và AB = AC = 2a. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
A.

a 3
.

2

B. a.

C. a 2.

D.

2a 3
.
3

Câu 44: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = AD = a 2, A ' A = a. Tính theo a khoảng cách d
giữa hai đường thẳng A ' B và AC.
A. d =

2a 2
.
3

B. d =

a 2
.
2

C. d =

a 2
.

3

D. d = a 2.

Câu 45: Dân số Việt Nam được ước tính theo cơng thức S = Ae ni , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc
tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2020, Việt Nam có khoảng 97,76
triệu người và tỷ lệ dân số là 1,14%. Hỏi năm 2030 Việt Nam sẽ có bao nhiêu triệu người nếu tỉ lệ tăng dân số
hàng năm không đổi (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 109,49 triệu người.

B. 109,56 triệu người.

C. 11,80 triệu người.

D. 109,50 triệu người.

x
x
Câu 46: Tập nghiệm của bất phương trình 9 − 2 ( x + 5 ) .3 + 9 ( 2 x + 1) ≥ 0 là S = [ a; b ] ∪ [ c; +∞ ) . Khi đó
a − 2b + c bằng:

A. 0.

B. 4.

C. 3.

7

D. 1.



1
f ( x ) = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( 3m 2 + 4m + 5 ) x + 2021
và
3
g ( x ) = ( m 2 + 2m + 5 ) x 3 − ( 2m 2 + 4m + 9 ) x 2 − 3x + 2 với m là tham số. Hỏi phương trình g ( f ( x ) ) = 0 có bao
nhiêu nghiệm?
Câu

47:

Cho

hai

A. 9.

hàm

số:

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 48: Trong mặt phẳng ( P ) cho đường tròn ( C ) tâm O , đường kính AB = 4. Gọi H là điểm đối xứng của


O qua A. Lấy điểm S sao cho SH ⊥ ( P ) và SH = 4. Tính diện tích mặt cầu đi qua đường tròn ( C ) và điểm
S.

A. π 65.

B.

343π
.
6

C. 65π .

D.

65
.
2

Câu 49: Cho tam giác ABC vuông tại A. Mặt phẳng ( P ) chứa BC và hợp với mặt phẳng

( ABC )

góc

α ( 00 < α < 900 ) . Gọi β , γ lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và ( P ) . Tính giá trị biểu thức
P = cos 2 α + sin 2 β + sin 2 γ .
B. P = −1.

A. P = 0.


C. P = 2.

D. P = 1.

Câu 50: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB / / CD, AB = 2 DC , ∠ABC = 450. Hình chiếu vng
góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của cạnh AB và SC ⊥ BC , SC = a. Gọi góc giữa
hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) là α . Khi α thay đổi, tìm cos α để thể tích khối chóp S . ABCD có giá trị
lớn nhất.
A. cos α = −

6
.
3

B. cos α =

6
.
3

C. cos α =

3
.
3

D. cos α = ±

6

.
3

---------------- HẾT ---------------

BẢNG ĐÁP ÁN
1-C

2-A

3-D

4-D

5-B

6-D

7-B

8-A

9-A

10-B

11-D

12-C


13-A

14-A

15-D

16-B

17-B

18-B

19-C

20-A

21-B

22-B

23-C

24-B

25-D

26-B

27-D


28-A

29-D

30-C

31-D

32-C

33-A

34-B

35-C

36-C

37-D

38-A

39-C

40-A

41-C

42-B


43-B

44-B

45-B

46-A

47-D

48-C

49-D

50-B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: (NB)
Phương pháp:
8


Hàm số lũy thừa x n với n ∈ ¢ + xác định với mọi x.
Cách giải:
Hàm số u = x 2021 xác định với x ∈ ¡ .
Chọn C.
Câu 2: (NB)
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa x n với n ∈ ¢ − xác định với mọi x ≠ 0.
Cách giải:

Để biểu thức ( 2 x − 1)

−2

1
có nghĩa khi 2 x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ .
2

Chọn A.
Câu 3: (NB)
Phương pháp:
4
3
Thể tích khối cầu bán kính R là V = π R .
3
Cách giải:
4 3
3
Khối cầu có bán kính 3cm ⇔ V = π r = 36π cm .
3
Chọn D.
Câu 4: (NB)
Phương pháp:
Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác bất kì hoặc khơng có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Cách giải:
Ta có hình số 3 khơng phải hình đa diện vì tồn tại những cạnh chỉ là cạnh của 1 đa giác.
Chọn D.
Câu 5: (NB)

Phương pháp:
Dựa vào bảng biến thiên để xác định điểm cực đại của hàm số: điểm mà tại đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi
dấu từ dương sang âm và điểm cực tiểu của hàm số: điểm mà tại đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ âm
sang dương.
Cách giải:
9


Dựa vào BBT ta thấy: Hàm số có 2 điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại bằng 5 tại x = −1.
Hàm số đạt cực tiểu bằng −6 tại x = 2.
Vậy chỉ có đáp án B đúng.
Chọn B.
Câu 6: (TH)
Phương pháp:
- Tính độ dài đường sinh l = h 2 + r 2 .
- Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có đường sinh l , bán kính đáy r là S xq = π rl.
Cách giải:
Đường sinh của hình nón bằng l = h 2 + r 2 =

( 4a )

2

+ ( 3a ) = 5a.
2

2
Khi đó diện tích xung quanh hình nón bằng S xq = π rl = π .3a.5a = 15π a .


Chọn D.
Câu 7: (NB)
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số là:
y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Cách giải:
TXĐ: D = ¡ \ { 2} .
x +1
−3
−3
⇒ y ' ( 1) =
= −3.
Ta có: y = x − 2 ⇒ y ' =
2
1
( x − 2)
Với x = 1 ⇒

1+1
= −2.
1− 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3 ( x − 1) − 2 = −3 x + 1.
Chọn B.
Câu 8: (NB)
Phương pháp:
Dựa vào bảng xét dấu xác định các khoảng mà tại đó f ' ( x ) > 0.
Cách giải:
10



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khi f ' ( x ) > 0 ⇔ −3 < x < 0. Vậy hàm số y = f ( x ) đồng
biến trên ( −3;0 ) .
Chọn A.
Câu 8: (NB)
Phương pháp:
Dựa vào bảng xét dấu xác định các khoảng mà tại đó f ' ( x ) > 0.
Cách giải:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khi f ' ( x ) > 0 ⇔ −3 < x < 0. Vậy hàm số y = f ( x ) đồng
biến trên ( −3;0 ) .
Chọn A.
Câu 9: (NB)
Phương pháp:
r
r
r r r
Sử dụng tọa độ của 1 vectơ: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk .
Cách giải:
r
a = ( 1; 2; −3)
r r r r r
r
r r
r r  r
Ta có: a = i + 2 j − 3k , b = −3 j + 4k , c = −i − 2 j ⇒ b = ( 0; −3; 4 )
r
c = ( −1; −2;0 )
Chọn A.
Câu 10: (NB)
Phương pháp:

Sử dụng tổ hợp.
Cách giải:
Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn là 2, 4, 6,8.
2
Để rút 2 thẻ đều đánh số chẵn ta có C4 cách

Chọn B.
Câu 11: (TH)
Phương pháp:
u
u
Áp dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm mũ: ( a ) ' = u ' a ln a.

Cách giải:
11


y = 42 x ⇒ y ' = ( 2 x ) '.42 x.ln 4 = 2 ln 4.42 x.
Chọn D.
Câu 12: (NB)
Phương pháp:
b
Giải phương trình logarit: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a .

Cách giải:
log 3 ( log 2 a ) = 0 ⇔ log 2 a = 1 ⇔ a = 2.
Chọn C.
Câu 13: (NB)
Phương pháp:
2

Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là Stp = 2π rh + 2π r

Cách giải:
2
Diện tích tồn phần của hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là Stp = 2π rh + 2π r = 2π r ( h + r ) .

Chọn A.
Câu 14: (NB)
Phương pháp:
b
Giải phương trình logarit: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a .

Cách giải:
log 0,25 ( x 2 + 3 x ) = −1 ⇔ x 2 + 3 x = 0, 25−1
 x = −4
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ 
x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là { 1; −4} .
Chọn A.
Câu 15: (NB)
Phương pháp:
Dựa vào hình dáng, chiều hướng của đồ thị để xác định công thức hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có chiều hướng xuống ⇒ A < 0 ⇒ loại A, C.
Đồ thị hàm số cắt trụng tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên loại đáp án B.
12


Chọn D.
Câu 16: (TH)

Phương pháp:
- Chia tử thức cho mẫu thức.
x n +1
dx
1
- Áp dụng các cơng thức tính ngun hàm: ∫ x dx =
+ C ( n ≠ −1) , ∫
= ln ax + b + C.
n +1
ax + b a
n

Cách giải:
Ta có: f ( x ) =
⇒∫

x2 − 2 x + 1
1
= x+
.
x−2
x−2

1 
x2

f ( x ) dx = ∫  x +
÷dx = + ln x − 2 + C.
x−2
2



Chọn B.
Câu 17: (NB)
Phương pháp:
n −1
Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân un = u1q .

Cách giải:
Ta có: u2 = u1q ⇒ q =

u2 4
= = 4.
u1 1

Chọn B.
Câu 18: (NB)
Phương pháp:
Dựa vào TXĐ, chiều biến thiên của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số xác định trên ( 0; +∞ ) nên loại đáp án A và D.
Lại có hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ ) nên loại đáp án C.
Chọn B.
Câu 19: (TH)
Phương pháp:
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”, sử dụng tổ hợp chọn 4 người
còn lại vào cùng bảng đó, và tính số phần tử của biến cố A .
13



- Tính xác suất của biến cố.
Cách giải:
6
6
Chia 12 người vào 2 bảng ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là n ( Ω ) = C12 .C6 = 924.

Gọi A là biến cố: “hai vận động viên Kim và Liên thi đấu chung một bảng”.
Số cách chọn bảng cho A và B là 2 cách.
4
Khi đó cần chọn thêm 4 bạn nữa là C10 cách.

⇒ n ( A ) = 2.C104 = 420.
Vậy xác suất để Kim và Liên thi chung 1 bảng là P ( A ) =

420 5
= .
924 11

Chọn C.
Câu 20: (TH)
Phương pháp:
- Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB nhận được hình nón có chiều cao h = AB, bán kính đáy
r = AC.
r
- Góc ở đỉnh của hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r là 2α thỏa mãn tan α = .
h
Cách giải:
Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB nhận được hình nón có chiều cao h = AB, bán kính đáy r = AC.
Gọi góc ở đỉnh là 2α ta có: tan α =


r AC
=
= 1 (do tam giác ABC vuông cân tại A ) ⇒ α = 450.
h AB

Vậy góc ở định của hình nón 2α = 900.
Chọn A.
Câu 21: (TH)
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ

log 32 x + 1 = t , t ∈ [ 1; 2] , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.


f ( t ) ; max f ( t )  .
- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f ( t ) có nghiệm t ∈ [ 1; 2] . Khi đó m ∈  min

1;2
[
]
[ 1;2]

f ( t ) ; max f ( t ) .
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm min
[ 1;2]
[ 1;2]
Cách giải:
Đặt


3
log 32 x + 1 = t. Với x ∈ 1;3  ⇒ log 3 x ∈ 0; 3  ⇒ t ∈ [ 1; 2] .

14


Khi đó bài tốn trở thành:
2
2
Tìm m để phương trình t + t − 2m − 2 = 0 ⇒ t + t − 2 = 2m ( *) có nghiệm t ∈ [ 1; 2] .

1
2
Xét f ( t ) = t + t − 2 với t ∈ [ 1; 2] ta có: f ' ( t ) = 2t + 1 = 0 ⇒ t = − ∉ [ 1; 2] .
2
f ( t ) = 0; min f ( t ) = 4.
Ta có f ( 1) = 0, f ( 2 ) = 4 ⇒ min
[ 1;2]
[ 1;2]
f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2
Vậy khi đó để phương trình (*) có nghiệm t ∈ [ 2; 4] thì min
[ 1;2]
[ 1;2]
Vậy m ∈ [ 0; 2] .
Chọn B.
Câu 22: (TH)
Phương pháp:
- Để hàm số đồng biến trên ¡ thì y ' ≥ 0∀x ∈ ¡ .
g ( x) .
- Cơ lập m, đưa bất phương trình về dạng m ≥ g ( x ) ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≥ max

¡
Cách giải:
Hàm số y = mx + cos x đồng biến trên ¡ khi
y ' = m − sin x ≥ 0∀x ∈ ¡
⇔ m ≥ sin x∀x ∈ ¡
m ≥ 1.
Chọn B.
Câu 23: (TH)
Phương pháp:
Tìm nghiệm bội lẻ của phương trình f ' ( x ) = 0.
Cách giải:
 x = 0 ( nghiem boi le )

2020
2021
( x + 1) = 0 ⇔  x = 1( nghiem boi chan ) .
Ta có: f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 1)
 x = −1 nghiem boi le
(
)

Vậy hàm số f ( x ) có 2 điểm cực trị x = 0, x = −1.
Chọn C.
Câu 24: (TH)
Phương pháp:
15


Sử dụng công thức


m

n
m

a = a , a m .a n = a m + n .
n

Cách giải:
a

f ( a) =

a

=

1− a
1
2

−

1
8

=

a −1


1
3

(

(

3

8

a 3 − 8 a −1

a− a
3

1− a
=−
a −1

4

(

)
)

1
4
 1


a3  a3 − a 3 ÷

= 1 3
1


a8  a8 − a8 ÷



)(

a −1

) =−

a +1

a −1

a −1

⇒ f ( 20212020 ) = − 20212020 − 1 = −20211010 − 1.
Chọn B.
Câu 25: (TH)
Phương pháp:

f ( x)
> ag( x)

Giải bất phương trình logarit: a

 0 < a < 1

0 < f ( x ) < g ( x )
⇔
 a > 1
  f ( x ) > g ( x ) > 0


Cách giải:
x 2 − x +1

2 x −1

5
5
>  ÷ ⇔ x2 − x + 1 < 2 x −1
 ÷
7
7
2
⇔ x − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2
a = 1
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 1; 2 ) ⇒ 
.
b = 2
Vậy A = 2b − a = 2.2 − 1 = 3.
Chọn D.
Câu 26: (VD)

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp hàm số xác định GTLN, GTNN của hàm số y =


f ( x ) = max  max f ( x ) ; min f ( x ) .
- Khi đó max
[ −1;1]
[ −1;1]
 [ −1;1]

f ( x ) = 3 tìm m.
- Giải phương trình max
[ −1;1]
16

x 2 + 2mx + 4m
trên [ −1;1] .
x+2


Cách giải:
Xét hàm số g ( x ) =

x 2 + 2mx + 4m
ta có:
x+2

2 x + 2m ) ( x + 2 ) − x 2 − 2mx − 4m x ( x + 4 )
(
g '( x) =

=
2
2
( x + 2)
( x + 2)
x = 0
g '( x) = 0 ⇔ x ( x + 4) = 0 ⇔ 
.
 x = −4
Bảng biến thiên:

Ta có: 2m + 1 =

6m + 3 6m + 1
f ( x ) = 2m + 1; min f ( x ) = 2m.
>
nên ta có: max
[ −1;1]
[ −1;1]
3
3

⇒ max f ( x ) = max { 2m + 1 ; 2m }
[ −1;1]

  2m + 1 = 3

m = 1
  2m + 1 ≥ 2m
 3

⇒
⇔
⇒ S = 1; − 
3
m = −
 2
 2m = 3

2

  2m ≥ 2m + 1
3
 3
Vậy tích các phần tử của S bằng 1.  − ÷ = − .
2
 2
Chọn B.
Câu 27: (TH)
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa y = x n , n ∉ ¢ xác định khi x > 0.
Cách giải:

(

1

) (

3
2

Hàm số f ( x ) = ( x3 − 3x 2 + 2 ) 4 xác định khi x − 3 x + 2 > 0 ⇔ x ∈ 1 − 3;1 ∪ 1 + 3; +∞

17

)


Chọn D.
Câu 28: (TH)
Phương pháp:
- Dựa vào đường tiệm cận của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
- Đồ thị hàm số y =

ax + b
a
d
có TCN y = , TCÐ x=- .
cx + d
c
c

Cách giải:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang nằm dưới trục hoành ⇒ Loại đáp án B và D.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ âm nên loại đáp án C.
Chọn A.
Câu 29: (TH)
Phương pháp:
- So sánh S A ' MB và S ABB ' A ' , từ đó so sánh VC '. A ' MB và VC '. ABB ' A ' .
2
- Sử dụng: VC ' ABB ' A ' = VABC . A ' B ' C ' , tính VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC .

3
Cách giải:

Ta có: S A ' MB =

1
1
S A '. AB = S ABB ' A ' nên VC . ABB ' A ' .
2
4

2
1
Mà VC . ABB ' A ' = VABC . A ' B 'C ' nên VMA ' BC ' = VC '. A ' MB = VABC . A ' B ' C ' .
3
6
Vì tam giác ABC vng và có AB = AC = a nên ∆ABC vuông cân tại A, suy ra S ∆ABC =
⇒ VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a 2.

a2 a3 2
=
.
2
2
18

1
a2
AB. AC = .
2

2


1
a3 2
Vậy VMA ' BC ' = VABC . A ' B ' C ' =
.
6
12
Chọn D.
Câu 30: (TH)
Phương pháp:
Dựa vào khối đa diện, lập cơng thức tính tổng qt.
Cách giải:
Khối đa diện tạo bởi 7 hình lập phương kích cỡ bằng nhau.
Nhưng chỉ 6 hình lập phương lộ măt, mỗi hình lộ 5 mặt
Vậy khối đa diện có tổng 30 mặt.
Chọn C.
Câu 31: (TH)
Phương pháp:
Áp dụng định lý Pytago.
Cách giải:
Gọi khoảng cách từ O đến ( α ) là d , bán kính đường trịn giao tuyến là R.
2

r
2 2r
Áp dụng định lí Pytago ta có: R + d = r ⇒ R = r − d = r −  ÷ =
.
3

3
2

2

2

2

2

2

Chọn D.
Câu 32: (TH)
Phương pháp:
m
- Sử dụng các công thức log an b =

m
x
log a b, log a x + log a y = log a ( xy ) , log a x − log a y = log a (giả sử các biểu
n
y

thức có nghĩa).
- So sánh logarit: log a x = logb y ⇔ x = y.
Cách giải:
log x = 2 log ( 2a ) − log b − 4 log 4 c
⇔ log x = log ( 2a ) − log b 2 − log

2

( 2a )
⇔ log x = log

b 2c

2

⇔x=

( c)
4

4

4a 2
.
b 2c

Chọn C.
19


Câu 33: (VD)
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) :
- Đường thẳng y = y0 là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
lim f ( x ) = y0 hoặc lim f ( x ) = y0
x →−∞


x →+∞

- Đường thẳng x = x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
lim f ( x ) = +∞ hoặc lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ .
x →+ x0
x →+ x0
x →+ x0

x →+ x0+

Cách giải:
ĐKXĐ: 9 − x 2 > 0 ⇔ −3 < x < 3, do đó khơng tồn tại giới hạn của hàm số khi x → ±∞, do đó đồ thị hàm số
khơng có tiềm cận ngang.
Ta có:
lim−

x →3

lim +

x →( −3 )

x −1
9 − x2

= +∞ nên x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x −1
9 − x2


= −∞ nên x = −3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số y =

x −1
9 − x2

có 2 đường tiệm cận đứng x = ±3.

Chọn A.
Câu 34: (TH)
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m
song song với trục hoành.
Cách giải:
Ta có f ( x ) − m + 6 = 0 ⇔ f ( x ) = m − 6 > −3 vì m > 3.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m − 6 .
Mà m − 6 > −3 m nên đường thẳng y = m − 6 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình f ( x ) − m + 6 = 0 có 2 nghiệm.
Chọn B.
Câu 35: (VD)
Phương pháp:
20


- Đưa về cùng cơ số 3.
- Giải phương trình bậc hai đối với hàm số mũ.
Cách giải:
2 x+2


x
2

 1 
Ta có 9 + 9. 
÷
 3
−

⇔ 3 + 3 .3
x

2

1
( 2 x+2)
2

− x −1+ 2

⇔ 3 +3
x

−4 = 0

−4 =0

−4=0


− x +1

⇔ 3 +3 −4 = 0
3
⇔ 3x + x − 4 = 0
3
2x
⇔ 3 − 4.3x + 3 = 0
x

3 x = 3
x =1
⇔ x
⇔
x = 0
3 = 1
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã chó là 1 + 0 = 1.
Chọn C.
Câu 36: (TH)
Phương pháp:
uuur uuur uuur
- Tính các vectơ AB, AC , BC.
uuur uuur
- Tính tích vơ hướng AB. AC và kết luận.
Cách giải:
uuur
 AB = ( 0; 2; −1)
 uuur
Ta có  AC = ( −1;1; 2 ) .
 uuur

 BC = ( −1; −1;3)
uuur uuur
⇒ AB. AC = 0. ( −1) + 2.1 + ( −1) .2 = 0
⇒ ∆ABC vuông tại A.

Chọn C.
Câu 37: (TH)
Phương pháp:
Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính y ', giải phương trình y ' = 0 xác định các nghiệm xi ∈ [ 0;3] .
21


- Tính y ( 0 ) , y ( 3) , y ( xi ) .
y = min { y ( 0 ) , y ( 3) , y ( xi ) } , max y = max { y ( 0 ) , y ( 3) , y ( xi ) } .
- Kết luận: min
[ 0;3]
[ 0;3]
Cách giải:
Hàm số y =
Ta có y =

x2 − 4 x
xác định và liên tục trên [ 0;3] .
2x +1

( 2 x − 4 ) ( 2 x + 1) − 2 ( x 2 − 4 x ) 2 x 2 + 2 x − 4
x2 − 4 x
⇒ y'=
=

2
2
2x +1
( 2 x + 1)
( 2 x + 1)

( 2 x − 4 ) ( 2 x + 1) − 2 ( x 2 − 4 x ) 2 x 2 + 2 x − 4
x2 − 4 x
⇒ y'=
=
Ta có y =
2
2
2x +1
( 2 x + 1)
( 2 x + 1)
 x = −2 ∈ [ 0;3]
2
.
Cho y ' = 0 ⇔ 2 x + 2 x − 4 = 0 ⇔ 
x
=
1
∉
0;3
[
]

3
Ta có: y ( 0 ) = 0, y ( 3) = − , y ( 1) = −1.

7
y = y ( 1) = −1.
Vậy min
[ 0;3]
Chọn D.
Câu 38: (VD)
Phương pháp:
- Sử dụng công thức giải nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vng góc với đáy là
h2
2
trong đó Rday là bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy, h là chiều cao của hình chóp.
R = Rday
+
4
- Áp dụng định lí sin trong tam giác:

a
b
c
=
=
= 2 R.
sin A sin B sin C

Cách giải:
Gọi Rday là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta có:
2 Rday =

BC
2a 3

=
= 4a ⇒ Rday = 2a.
sin ∠BAC sin1200

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S . ABC là R = R

2
day

Chọn A.
Câu 39: (TH)
22

SA2
+
=
4

2

a 3
a 19
=
.
( 2a ) + 
÷
÷
2
2



2


Phương pháp:
- Dựa vào giả thiết mặt phẳng đi qua trục của khối trụ, cắt khối trụ theo thiết diện là hình vng có cạnh bằng
6R xác định chiều cao và bán kính đáy của hình trụ.
- Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy R là V = π R 2 h.
Cách giải:

Mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là hình vng cạnh 6R nên hình trụ có bán kính đáy là r = 3R
và chiều cao h = 6 R.
Vậy thể tích khối trụ là V = π r 2 h = π . ( 3R ) .6 R = 54π R 3 .
2

Chọn C.
Câu 40: (VD)
Phương pháp:
- Tìm TXĐ D = ¡ \ { x0 } .
 y ' > 0
.
- Để hàm số đồng biến trên ( a; b ) thì y ' > 0∀x ∈ ( a; b ) ⇔ 
 x0 ∉ ( a; b )
Cách giải:
TXĐ: D = ¡ \ { 2m} .
Ta có y =

mx − 18
−2m 2 + 18
⇒ y'=

2
x − 2m
( x − 2m )

Để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) thì y ' > 0∀x ∈ ( 2; +∞ )
18 − 2m 2 > 0
 −3 < m < 3 −3 < m < 3
⇔
⇔
⇔
⇔ −3 < m ≤ 1
 2m ≤ 2
m ≤ 1
2m ∉ ( 2; +∞ )
Mà m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −2; −1;0;1} = S .
Vậy tổng các phần tử của S bằng: −2 − 1 + 0 + 1 = −2.
23


Chọn A.
Câu 41: (VD)
Phương pháp:
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Tìm điều kiện để phương trình y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
TXĐ: D = ¡ .
Ta có y = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 ⇒ y ' = 3x 2 − 6 x + m.
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị x1 ; x2 thì phương trình y ' = 3x 2 − 6 x + m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
x1 ; x2 .

⇒ ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.

 x1 + x2 = 2

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có 
m .
 x1 x2 = 3
Theo bài ra ta có:
x12 + x22 − x1 x2 = 10
⇔ ( x12 + x22 ) − 3x1 x2 = 10
2

⇔ 4 − m = 10 ⇔ m = −6 ( tm )
Vậy mo = −6 ∈ ( −7; −1) .
Chọn C.
Câu 42: (TH)
Phương pháp:
- Áp dụng các cơng thức tính ngun hàm:

n
∫ x dx =

x n +1
+ C ( n ≠ −1) ,
n +1

- Sử dụng giả thiết F ( x ) = 21 tìm hằng số C và suy ra F ( x ) .
Cách giải:
2
Ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2 x − sin x ) dx = x + cos x + C .


Mà F ( 0 ) = 21 ⇒ 1 + C = 21 ⇔ C = 20.
2
Vậy F ( x ) = x + cos x + 20.

24

∫ sin xdx = − cos x + C.


Chọn B.
Câu 43: (VD)
Phương pháp:
- Gọi H là trung điểm của BC , chứng minh BC ⊥ ( SAH ) .
- Trong ( SAH ) kẻ AK ⊥ SH , chứng minh AK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A : ( SBC ) ) = AK .
- Xác định góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vng
góc với giao tuyến.
- Tính AH . Sử dụng tính chất tam giác vng cân hoặc hệ thức lượng trong tam giác vng tính AK .
Cách giải:

Gọi H là trung điểm của BC , vì ∆ABC vuông cân tại A nên AH ⊥ BC và AH =

AB
= a 2.
2

 BC ⊥ AH
⇒ BC ⊥ ( SAH ) .
Ta có: 
 BC ⊥ SA

 AK ⊥ SH
⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AK .
Trong ( SAH ) kẻ AK ⊥ SH , ta có: 
 AK ⊥ SB ( SB ⊥ ( SAH ) )
( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

Ta có: BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SH , khi đó ta có:  SH ⊂ ( SBC ) , SH ⊥ BC ( cmt )

 AH ⊂ ( ABC ) , AH ⊥ BC ( cmt )
⇒ ∠ ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ∠ ( SH ; AH ) = ∠SHA = 450.
⇒ ∆AKH vuông cân tại K ⇒ AK =

AH
= a.
2

Vậy d ( A; ( SBC ) ) = a.
25