ĐỀ SỐ 13

ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC

(Đề thi có 06 trang)

Mơn: Tốn

(Đề có lời giải)

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
1

Câu 1. Cho hàm số y  x  3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và khơng có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
Câu 2. Cho số phức z 
A. z  3

3  11i
. Tính z .
2
B. z  5

C. z  2

D. z  5

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị

như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 2  .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  �; 2  � 0; 2  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  4; � .
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 1 .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 .

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. 

1

 x  1

2

C

B.  ln x  1  C

1

là
x 1
1
2
C.  ln  x  1  C
2

D. ln x  1  C

Trang 1


Câu 6. Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào
dưới đây?
A. y  x 4  2 x 2  1
B. y    x  1  x  2 

2

C. y  x 3  3x 2  4
D. y   x  3

3

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
phương của đường thẳng d?
r
r
A. u   1; 3; 2 
B. u   1;3; 2 


x 1 y  2 z


, véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ
1
3
2
r
C. u   1; 3; 2 

r
D. u   1;3; 2 

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại A cạnh AB  AC  a và thể tích bằng

a3
.
6

Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
B. h  a 3

A. h  a 2

C. h  a

D. h  2a

Câu 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như

hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số đã cho trên đoạn  1;3 . Giá trị của 4M  m bằng
A. 3

B. 5

C. 10

D. 4

3
2
 1 bằng
Câu 10. Cho hàm số f  x    x  3x  2021 . Giá trị của f �

A. 2018

B. 3
1

Câu 11. Biết

C. 0

xdx

 a  b ln 2 (với a, b ��). Giá trị a  2b
�
x 1


D. 3
bằng

0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB  a, AC  2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối
nón trịn xoay có đường kính l bằng bao nhiêu?
A. l  a 3

B. l  3a

C. l  2a 2

Câu 13. Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng  :
với Δ có một véctơ pháp tuyến là
r
r
A. b   8;9;10 
B. v   1; 2; 3

D. l  a 5


x  8 y  9 z  10


. Mặt phẳng    vng góc
1
2
3

r
C. a   1; 2;3

r
D. u   1; 2; 3

Trang 2


3
2
Câu 14. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x  3 x  3 trên đoạn

 1;3 . Khi đó

M  m bằng

A. 5

B. 3

C. 4


D. 2

Câu 15. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng  un  biết u9  5u2 và u13  2u6  5 .
A. u1  3; d  4

B. u1  3; d  5

C. u1  4; d  5

D. u1  4; d  3

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có bảng biến thiên như hình sau:

2
Số nghiệm thực của phương trình 4 f  x   16  0 là

A. 2

B. 4

C. 6

D. 3

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vng cạnh a. Biết SA vng góc với mặt đáy. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SD, BC bằng
A. a

B.


2a

C.

a 2
2

D.

a
2

Câu 18. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  5  0 .
2020
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w   i  2  z0 ?

A. M  2; 1

B. M  1; 2 

C. M  5;0 

x
Câu 19. Cho hàm số f  x   log 2  e  m  thỏa mãn f �
 ln 2  

A. m � 1;1

B. m � 1;3


D. M  0; 5 

1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
ln 2

C. m � 0; 2 

D. m � 2; 1

Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho ABC biết A  2;0;0  , B  0; 2;0  , C  1;1;3 . H  x0 ; y0 ; z0  là chân
đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x0  y0  z0 bằng
A.

38
9

B.

34
11

C.

30
11

D.


11
34

 x  xác định, liên tục
Câu 21. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
 x  như hình vẽ, biết rằng S2  S1 . Khẳng
trên � và có đồ thị f �
định nào sau đây đúng?
A. f  c   f  b   f  a 

B. f  b   f  c   f  a 

Trang 3


C. f  c   f  a   f  b 

D. f  b   f  a   f  c 

B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
BC  bằng
O của tam giác ABC đến mặt phẳng  A�
A.

3a 3 2
8

B.


a
B C là
. Thể tích khối lăng trụ ABC. A���
6

3a 3 2
28

C.

3a 3 2
4

D.

3a 3 2
16

�xy �
Câu 23. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 4 x  log9 y  log 6 �  1�. Giá trị của biểu thức
�4
�
P  x log 4 6  y log9 6 bằng
A. 2

B. 5

C. 4

D. 6


Câu 24. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích tồn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ
là
A. V  36

B. V  9

C. V  18

D. V  32

Câu 25. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2i  z  4 trong mặt phẳng Oy là
A. đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .

B. đường thẳng  : x  y  3  0 .

C. đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .

D. đường thẳng  : x  y  3  0 .

Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau

Số nghiệm của phương trình f  x  1  2 là
A. 5

B. 4

C. 2

D. 3


Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2; 2;1

d2 :

và đường thẳng d1 :

x y 1 z  2


,
2
1
2

x 3 y 2 z

 . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vng góc với d1 và cắt d 2 là
1
2
3

A. d :

x  2 y  2 z 1


1
3
5


�x  2  t
�
C. d : �y  2  t ��
�z  1  t
�

B. d :

x 1 y z  2
 
2
3
4

D. d :

x  2 y  2 z 1


1
2
3

Trang 4


n

� 2 1�

6 9
Câu 28. Trong khai triển �
2 x  �, hệ số của x 3 là 2 Cn . Tính n.
x�
�
A. n  12

B. n  13

C. n  14

D. n  15

Câu 29. Cho hàm số y  e x có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi
S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  e x , x  1, x  k và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y  e x , x  k , x  1 . Xác định k để S1  S 2 .
� 1�
e  � ln 2
A. k  ln �
� e�

� 1�
e  � 1
B. k  2 ln �
� e�

C. k  2 ln 2  1

D. k  ln 2


�x  4  3t
�
Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho điểm M  0; 2;0  và đường thẳng d : �y  2  t . Đường thẳng đi
�z  1  t
�
qua M, cắt và vng góc với d có phương trình là
A.

x
y2 z


1
1
2

B.

x 1 y
z


1
1 2

C.

x 1 y 1 z



1
1
2

D.

x
y z 1
 
1 1
2

2x
x
x
Câu 31. Phương trình 3  2 x  3  1  4.3  5  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 32. Cho f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên �. Nếu
A. 4040

B. 505


f  x
dx  1010 thì
x
�
1

e
1
1

C. 2020

1

f  x  dx bằng
�
0

D. 1010

 0   1 . Gọi hình phẳng  H  giới
Câu 33. Cho hàm số f  x   a sin x  b cos x (với a, b ��; b  0 ), có f �
hạn bởi đồ thị hàm số f  x  với các trục hoành, trục tung và đường thẳng x   . Khi quay  H  quanh
trục Ox thì ta được một vật thể trịn xoay có thể tích bằng

17 2
. Khi đó giá trị biểu thức T  2021a  b10
2


thuộc khoảng nào sau đây?
10
10
A.  2 ;3 

10
10
B.  3 ; 4 

10
10
C.  4 ;5 

2020
2020
D.  7 ;9 

Câu 34. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z  2 w  3, 2 z  3w  6 và z  4w  7 . Tính giá trị của biểu
thức P  z.w  z.w .
A. P  14i

B. P  28i

C.

P  14

D. P  28

Trang 5



4
2
Câu 35. Cho hàm số f  x   ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m

để đồ thị hàm số g  x  

2020x
có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
f  x �
�f  x   m �
�

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

 x  và y  g �
 x  có đồ thị như hình sau.
Câu 36. Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f �
 x .
Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g �

Hàm số h  x   f  x   g  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
11 �

�
A. ��;  �
5�
�

� 13 13 �
 ; �
B. �
� 5 10 �

2�
� 9
C. � ;  �
� 10 5 �

�1 3 �
D. � ; �
10 6 �
�

2
Câu 37. Cho m  log a ab với a, b  1 và P  1010 log a b  2020 log b a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá

trị nhỏ nhất là
A. 1

B. 2

C. 4


D. 5

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A  1;1;1 , B  2;0; 2  , C  1; 1;0  , D  0;3; 4  .
, C�
, D�thỏa mãn
Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B�

AB AC AD


 4 . Phương trình
AB� AC � AD�

C D  biết tứ diện AB���
C D có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?
mặt phẳng  B���
A. 16 x  40 y  44 z  39  0

B. 16 x  40 y  44 z  39  0

C. 16 x  40 y  44 z  39  0

D. 16 x  40 y  44 z  39  0

Câu 39. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 , cung tròn y  2 x  x 2 và trục hoành
(phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình  H  bằng

Trang 6



A.

 1

2 3

B.

 1

4 3

C.

 1

4 3

D.

 1

2 3

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a 2, AC  a 5 . Hình chiếu
của điểm S trên mặt phẳng  ABC  trùng với điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng

 SAB 
A.


và mặt phẳng  SAC  bằng 60�. Thể tích của khối chóp S.ABC là

5a 3 6
12

B.

5a 3 10
12

C.

a 3 210
24

D.

a 3 30
12

B C có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
Câu 41. Cho hình lăng trụ ABC. A���
, A��
C . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
cạnh AB, BB�
A.

5
V
24


B.

1
V
4

C.

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 P  : 2 x  2 y  z  3  0 . Gọi

7
V
24

 S  :  x  1

D.
2

1
V
3

  y  2    z  3  9 và mặt phẳng
2

2


M  a; b; c  là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến  P  lớn

nahát. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  b  c  8

B. a  b  c  5

C. a  b  c  6

D. a  b  c  7

Câu 43. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm
tham số a để hàm số y  f  x   a có ba điểm cực trị.
A. 1 �a �3
B. a  1 hoặc a  3
C. a �1 hoặc a �3
D. a �3 hoặc a �1
4
3
2
Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của P  a 2  b 2 để hàm số f  x   x  ax  bx  ax  1 có đồ thị cắt trục hồnh

là
A. P 

5
4

B. P 


2
5

C. P 

5
2

D. P 

4
5

Trang 7


Câu 45. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số
hàng chục là chữ số lẻ?
A. 170

B. 171

C. 172

D. 173

� x2
�
2

Câu 46. Gọi m0 là số nguyên để phương trình log 3 �
� x  x  m   2020 x ,
�2020  m �
2020
2020
1011
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 . Với m0 đó giá trị của biểu thức

 





P  ln x1  x22  2  ln x2  x12  2 thuộc vào khoảng nào dưới đây?
A.  5;1

B.  1;5 

C.  2018; 2020 

D.  2020; 2025 

Câu 47. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 và thỏa mãn f  1  0 ,
( x)
 f�
A. 

2


 4 f ( x)   8 x  16 x  8 với mọi x thuộc  1;1 . Giá trị của
2

5
3

B.

2
3

C.

1

f  x  dx bằng
�
0

1
5

D. 

1
3

Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Có bao
nhiêu


giá

trị

f  x3  3x  

ngun

của

tham

số

m

để

phương

trình

m 1
có 10 nghiệm phân biệt?
10  m

A. 9

B. 5


C. Vơ số.

D. 6

Câu 49. Xét số phức z thỏa mãn 4 z  i  3 z  i  10 . Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Giá trị của 7 P  5 p bằng
A. 5

B. 6

C. 18

D. 2

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 và các điểm A  1;1;1 , B  2;3;1 .
Mặt cầu  S  thay đổi qua A, B và tiếp xúc với  P  tại C. Biết rằng C ln chạy trên một đường trịn cố
định. Diện tích S đường trịn đó bằng
A. 5π

B. 10π

C. 20π

D. 126

ĐÁP ÁN
1-D
11-D
21-D
31-A


2-D
12-D
22-D
32-D

3-D
13-D
23-C
33-C

4-D
14-B
24-A
34-D

5-D
15-A
25-A
35-A

6-C
16-B
26-A
36-C

7-A
17-A
27-C
37-A


8-C
18-D
28-D
38-A

9-C
19-A
29-A
39-C

10-D
20-B
30-A
40-D
Trang 8


41-A

42-D

43-C

44-D

45-C

46-A


47-A

48-B

49-B

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Tập xác định D   0; � .
Ta có: lim x



1
3

 �, lim x



x � �

x �0

1
3

 0.


1

Đồ thị hàm số y  x  3 nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang.
Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  2; 1 và  1;3 ;
nghịch biến trên khoảng  1;1 .
Câu 6:Loại A do đồ thị không phải dạng đồ thị hàm trùng phương.
Loại B do a  0 .
 0 có nghiệm x  0 .
Đồ thị hàm số có cực đại tại x  0 nên y �
Ta có  x  3  x3  9 x 2  27 x  27 nên y   x  3 cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (loại đáp
3

2

án D).
Câu 7: d có véctơ chỉ phương là  1;3; 2  .
r
Xét đáp án A, u   1; 3; 2   1 1;3; 2  .
1
1 1
a3
Câu 8: Ta có: VS . ABC  h.S ABC  h. a 2  � h  a .
3
3 2
6
9
9
�
max y  � M 
�

4
4 � 4 M  m  9   1  10 .
Câu 9: Dựa vào đồ thị ta có � 1;3
min y  1 � m  1
�
� 1;3
3
2
 x   3x 2  6 x � f �
 1  3 .
Câu 10: Ta có f  x    x  3x  2018 � f �
1

1

1
xdx
� 1 �
1
dx   x  ln x  1   1  ln 2 � a  1; b  1 � a  2b  3 .
Câu 11: �  �
�
�
0
x 1 0 � x 1�
0

Câu 12: Ta có: l  BC  AB 2  AC 2  a 2  4a 2  a 5 .
Câu 13: Đường thẳng Δ vng góc với mặt phẳng    nên các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng    có
r

dạng n  k  1; 2;3 , k �0 .
3
2
Câu 14: Xét hàm số f  x    x  3 x  3 trên đoạn  1;3 .

�
x  0 � 1;3
 x   3x 2  6 x; f �
 x  0 � �
Ta có f �
.
x  2 � 1;3
�
3
2
Bảng biến thiên của hàm số f  x    x  3x  3 trên đoạn  1;3 .

Trang 9


Gọi x1 và x2 là hai nghiệm trên đoạn  1;3 (với x1  x2 ) của phương trình  x 3  3 x 2  3  0 .
3
2
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số g  x    x  3x  3 trên đoạn  1;3 .

3
2
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y   x  3 x  3 trên đoạn  1;3 bằng 3 và giá trị
3
2

nhỏ nhất của hàm số y   x  3 x  3 trên đoạn  1;3 bằng 0.

Do đó M  3, m  0 � M  m  3 .
�
u1  8d  5  u1  d 
u9  5u2
4u  3d  0
d 4
�
�
�
�
��
�� 1
��
Câu 15: Xét hệ �
.
u1  3
u13  2u6  5
u1  2d  5
u1  12d  2  u1  5d   5
�
�
�
�
�f  x   2
2
Câu 16: Ta có: 4 f  x   16  0 � �
.
�f  x   2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y  2 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 2 điểm phân biệt và
đường thẳng y  2 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 2 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt.
Câu 17: Vì BC // AD � BC //  SAD 
� d  BC , SD   d  BC , (SAD)   d  B, (SAD )  .
�AB  SA
� AB   SAD  � d  B, ( SAD)   BA  a .
Ta có: �
�AB  AD
2021
Câu 18: Giải phương trình ta có: w   i  2  z0  5i .

Vậy điểm M  0; 5  biểu diễn số phức w.
x
 x 
Câu 19: Ta có f  x   log 2  e  m  � f �

ex
 e x  m  ln 2 .

Trang 10


1
2
1
�

� m  0 � 1;1 .
ln 2

 2  m  ln 2 ln 2
uuur
Câu 20: Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là BC   1; 1;3 .

 ln 2  
Vậy f �

�x  t
�
Nên phương trình đường thẳng BC: �y  2  t  t �� .
�z  3t
�
Gọi H  t ; 2  t;3t  �BC .
uuur
Khi đó: AH   t  2; 2  t;3t  .
Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên
uuur uuur
uuur uuur
4
AH  BC � AH .BC  0 � t  2  2  t  9t  0 � t  .
11
34
�4 18 12 �
� H � ; ; �� x0  y0  z0  .
11 11 11 �
11
�
xa
�
�

 x  ta có: f �
 x   0 � �x  b .
Câu 21: Từ đồ thị hàm f �
�
xc
�
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có f  a   f  b  ; f  c   f  b  .
b

f�
 x  dx  f  x  a  f  b   f  a  .
Diện tích S1  �
b

a

c

f�
 x  dx   f  x  b  f  b   f  c  .
Diện tích S 2  �
c

b

Ta có: S1  S 2 � f  b   f  a   f  b   f  c  � f  c   f  a  .
Vậy f  b   f  a   f  c  .
Câu 22: Gọi M là trung điểm của BC.

AM    A�
BC  theo giao tuyến A�
Ta có  A�
M.
AM  kẻ OH  A�
M
Trong  A�

M  � OH   A�
BC  .
 H �A�

Trang 11


a
a2 3
Suy ra: d  O, ( A�
.
BC )   OH  ; S ABC 
6
4
a
OH
OM
AM # OHM , suy ra
Ta có: A�

� 6 
A�

A A�
M
A�
A
�

1

A�
A

3
2

�a 3 �
A�
A � �
�2 �

� A�
A

2

Thể tích VABC . A���
�
B C  S ABC . A A 

1 a 3
.

3 2
A�
A2  AM 2

a 6
4 .

a 6 a 2 3 3a 3 2
.
.

4
4
16

�xy �
t
t
t
Câu 23: Đặt log 4 x  log9 y  log 6 �  1� t � x  4 , y  9 , xy  4.6  4
�4
�
� 62t  4.6t  4  0 � 6t  2 � t  log 6 2 .
�xy �
log 2
log 2
Khi đó log 4 x  log9 y  log 6 �  1� t  log 6 2 � x  4 6 , y  9 6 .
�4
�




Do đó P  4log6 2



log 4 6



 9log 6 2



log 9 6



 4log4 6



log 6 2



 9log9 6




log6 2

 6log6 2  6log6 2  4 .

2
Câu 24: Ta có S xq  2Rh  24 và Stp  S xq  2R  42 � R  3, h  4 .

Vậy thể tích khối trụ trên là: V  R 2 h  .32.4  36 .
Câu 25: Gọi z  x  yi với x, y ��. Khi đó điểm M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z.
Ta có z  2i  z  4 � x  yi  2i  x  yi  4
� x2   y  2 
2

 x  4

2

 y 2 � 8 x  4 y  12  0 � 2 x  y  3  0 .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .
Câu 26: Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  1 như
sau (trong đó x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình f  x   0 ):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f  x  1  2 có 5 nghiệm.
uur
Câu 27: Véctơ chỉ phương của d1 , d 2 lần lượt là ud1   2;1; 2  ,
uur
ud2   1; 2;3 .
Trang 12



Giả sử d �d 2   B � B �d 2 .
uuu
r
Gọi B  3  t ; 2  2t;3t  � AB  1  t; 2t ;3t  1 .
uuu
r uur
uuu
r uur
Vì d  d1 � AB  ud1 � AB.ud1  0
� 2  1  t   2t  2  3t  1  0 � t  0 .
uuur
Khi đó AB  1;0; 1 .
�x  2  t
uuur
�
d đi qua A  2; 2;1 và có véctơ chỉ phương là AB  1;0; 1 , nên có phương trình: �y  2  t �� .
�z  1  t
�
n

� 2 1 � n k n  k 2 n 3 k
Câu 28: Ta có: �
2 x  � �Cn 2 x
� ak  Cnk 2n  k x 2 n 3 k .
x
�
� k 0
�
Cnk 2n  k  26.Cn9

� n  15 .
Hệ số chứa x là 2 C � �
2n  3k  3
�
6

3

k

9
n

1

1
� 1�
  e  ek � k  ln �
e  � ln 2 .
e
� e�
1
k
uu
r
Câu 30: Ta có: d đi qua N  4; 2; 1 và có véctơ chỉ phương ud   3;1;1 .
Câu 29: Ta có:

e dx  �
e dx � e

�
x

x

x

Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d
�x  4  3t
uuuur uu
r
�
�
�MH  d
�MH .ud  0
�y  2  t
��
��
��
� H  1;1; 2  .
z


1

t
�H �d
�H �d
�
�

3x  y  2  z  0
�

uuuur
r
Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là u  1 . MH   1; 1; 2  .
Phương trình  :

x y2 z

 .
1
1
2

2x
x
x
2x
x
x
Câu 31: Ta có: 3  2 x  3  1  4.3  5  0 �  3  1  2 x  3  1   4.3  4   0

�  3x  1  3x  1   2 x  4   3x  1  0 �  3x  2 x  5   3x  1  0 � 3x  2 x  5  0 .
x
 x   3x ln 3  2  0; x ��. Do đó hàm số f  x 
Xét hàm số f  x   3  2 x  5 , ta có: f  1  0 và f �

đồng biến trên �.
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x  1 .

Câu 32: Do f  x  là hàm số chẵn nên f   x   f  x  và

1

1

1

0

f  x  dx .
�f  x  dx  2�

f  x
dx  1010 . Đặt x  t � dx  dt .
�
1  ex
1
1

Xét I 

Trang 13


Đổi cận: x  1 � t  1 .
x  1 � t  1 .
1
1 t
1 t

1
f  x
f  t 
e . f  t 
e .f t
ex. f  x 
dx


dt

dt

dt



�
�
�1  et
�1  et
�1  e x dx
1  ex
1  et
1
1
1
1
1
1


�I 

1
1 x
f  x
e . f  x
� � x dx  � x dx  1010 .
1 e
1 e
1
1
1 x
1
1
e x  1 . f  x 
f  x
e . f  x

dx  � x dx  �
dx  �
f  x  dx  1010  1010  2020
�
1  ex
1 e
1 ex
1
1
1
1

1

Khi đó:
1

1

0

0

� 2�
f  x  dx  2020 � �
f  x  dx  1010 .
Câu 33: Thể tích của vật thể là:




17 2
2
 �
a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  2ab sin x cos x  dx
 a sin x  b cos x  dx  �

2
0
0



� 2 1  cos 2 x 2 1  cos 2 x
�
 �
a
b
 ab sin 2 x �
dx
�
2
2
�
�
0


2
�2 �x sin 2 x � 2 �x sin 2 x � ab
�
2
2 
 �
a �

b


cos
2
x


a

b
.


� �
�
�
4 � �2
4 � 2
2
� �2
�0

Suy ra có a 2  b 2  17 .

 x   a cos x  b sin x � 1  f �
 0  a � a  1 � b  4 .
Mặt khác f �
Ta được T  2020  410 .










Câu 34: Ta có: z  2 w  3 � z  2 w  9 �  z  2 w  . z  2 w  9 �  z  2 w  z  2 w  9
2





2

2

� z.z  2 z.w  z.w  4w.w  9 � z  2 P  4 w  9 (1).
Tương tự:





2 z  3w  6 � 2 z  3w  36 �  2 z  3w  2 z  3w  36 � 4 z  6 P  9 w  36 (2).
2





2

2

z  4w  7 �  z  4 w  z  4w  49 � z  4 P  16 w  49 (3).

2

2

�z 2  33
�
�
Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có: �P  28 � P  28 .
� 2
�w  8
g  x   0 , do
Câu 35: Ta có g  x  là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên xlim
���
đó đồ thị hàm số g  x  ln có một tiệm cận ngang là y  0 .

Trang 14


�
x  x1 � 2; 1
�
x  x2 � 1;0 
�
Phương trình f  x   0 � �
.
x

x
�
0;1



3
�
�
x  x4 � 1; 2 
�
Ta thấy phương trình f  x   0 có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x  x1 , x  x2 , x  x3 , x  x4 là 4
tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  .
Vậy để đồ thị hàm số g  x  có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình
�3
 m2
�
f  x   m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm xi ( i  1, 4 ) � � 2
�
m �0
�
mà m �� nên m � 1;1 .
9
2�
 ;  �, ta có:
 x  f �
 x   g�
 x  . Với x ��
Câu 36: Ta có: h�
�
� 10 5 �
9
2�
 x  nằm hồn tồn phía dưới đồ thị y  g �

 x  nên h�
 x   0, x ��
Đồ thị y  f �
� ;  �.
� 10 5 �
2�
� 9
Nên hàm số h  x  nghịch biến trên khoảng � ;  �.
� 10 5 �
2
2
Câu 37: Ta có P  1010 log a b  2020 log b a  1010 log a b 

2
Đặt t  log a b . Khi đó P  1010t 

2020
.
log a b

2020
.
t

Vì a, b  1 nên t  log a b  0 . Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
P  1010t 2 

2020
1010 1010
 1010t 2 


�3 3 10103  3030 .
t
t
t

2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1010t 

Ta có m  log a ab 

1010
� t  1.
t

1
1
1
1
log a  ab    1  log a b    1  t    1  1  1 .
2
2
2
2

Câu 38: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: 4 
AB '.AC'.AD'
 � �
AB. AC. AD


27
64

VAB ' C ' D '
VABCD

AB AC AD
AB.AC.AD
.


�3 3
AB� AC � AD�
AB '. AC '. AD '

AB '.AC'.AD'
AB.AC .AD

27
64

VAB���
CD

27
VABCD
64

Trang 15



r
�uuur 3 uuu
�7 1 7 �
 AB � B�
AB� AC � AD� 3 �AB�
�; ; �
4



�
�4 4 4 �.
Để VAB���
nhỏ
nhất
khi
và
chỉ
khi
�
CD
AB AC
AD 4 �
C D  //  BCD 
 B���
�
uuu
r
uuur

Ta có CB   3;1; 2  , CD   1; 4; 4  suy ra mặt phẳng  BCD  có véctơ pháp tuyến là
r
uuu
r uuur
�
n�
CB
� ; CD �  4; 10;11 .
�7 1 7 �
C D  song song với mặt phẳng  BCD  và đi qua B�
Lúc đó mặt phẳng  B���
�; ; �
�4 4 4 �
�  B���
C D  :16 x  40 y  44 z  39  0 .

Câu 39: Phương trình hồnh độ giao điểm giữa parabol
x 1
�
2
2
và cung tròn: x  2 x  x � �
.
x0
�
1

2

2


1
2
x 2 dx  �2 x  x 2 dx   �1   x  1 dx .
Khi đó: S  �
3 1
0
1
�  �
 ; � dx  cos tdt .
Đặt x  1  sin t , t ��
� 2 2�
�
Đổi cận: x  1 � t  0; x  2 � t 

2


.
2


2



1
�2 1  .
Suy ra S  1  cos 2 tdt  1  1  1  cos 2t  dt  1  1 �
t


sin
2
t
�
� 
3 �
3 2�
3 2� 2
�0 3 4
0
0
Câu 40: Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ HI  SM .
Ta có  SAB  � SAC   SA , kẻ BE  SA và GH // BE , suy ra
�  60�
.
( SAC ), ( SAB)   �
GH , ( SAC )   HGI
�
Đặt SH  h , ta tính được SA  h 2 

7a 2
5a 2
và SP  h 2 
.
4
4

5a 2
a 2. h 

2 S SAB
4
BE


Vậy
2
SA
7a
h2 
4
2

HI 

a 2
h
MH .SH
2

MH 2  SH 2
a2
2
h 
2
2

2

Tam giác GIH vuông tại I có

Trang 16


a 2 2 5a 2
a 2
h 
h
IH
3 2
7a 2 2 15a 4
2a 3
4
4
2
 sin 60��
.

�h 
h 
0�h
.
2
2
HG
2
4
8
4
7a
a

2
2
h 
h 
4
4
Vậy VSABC 

1
a 3 30
.
AB. AC.SH 
6
12

Câu 41: Gọi I là trung điểm AC � NP �BI   J  .
Lại có BP 

1
NI và BN // IP suy ra BN là đường trung bình tam
2

giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.
Suy ra CM �BI   G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có:

S JCM
JG
2
5


mà JG  BJ  BG  BI  BI  BI
S BCM BG
3
3

5
BI
S JCM 3
5
5
5
�

 � S JCM  S BCM � S JCM  .S ABC .
S BCM 2 BI 2
2
4
3
1
5
1 1
1 5
5
Ta có V1  VP.MJC  hS JMC  V ; V2  VN .MJC  . hS JMC  .h. S ABC  V .
3
12
3 2
3 8
24

Vậy VP.CMN  V1  V2 

5
V.
24

Câu 42: Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;3 , R  3 .
Ta có: d  I , ( P)  

2.1  2.2  3  3
22   2   12
2



4
 R nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
3

Gọi M  a; b; c  là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến  P  lớn nhất thì điểm M thuộc đường
thẳng  đi qua điểm I và vng góc với  P  .
�x  1  2t
�
2
2
2
1
Phương trình  : �y  2  2t . Thay vào mặt cầu  S  ta có:  2t    2t    t   9 � 9t 2  9 � t  �.
�z  3  t
�

Với t  1 ta có: M  3;0; 4  � d  M , ( P)  

2.3  2.0  4  3
22   2   12

Với t  1 ta có: M  1; 4; 2  � d  M , ( P)  

2



13
3.

2.  1  2.4  2  3
22   2   12
2

5
 .
3

Vậy M  3;0; 4  nên a  b  c  7 .

Trang 17


Câu 43: Đồ thị hàm số y  f  x   a là đồ thị y  f  x  tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi
a  0 tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng a khi a  0 .


Hơn nữa đồ thị y  f  x   a là:
+) Phần đồ thị của y  f  x   a nằm phía trên trục Ox.
+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y  f  x   a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của
y  f  x   a nằm dưới Ox.
Vậy để đồ thị hàm số y  f  x   a có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y  f  x   a xảy ra hai trường
hợp:
+) Đồ thị hàm số y  f  x   a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hồnh hoặc thuộc trục hồnh và cực
đại dương. Khi đó a �3 .
+) Đồ thị hàm số y  f  x   a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực
tiểu âm. Khi đó a �1 .
Vậy giá trị a cần tìm là a �1 hoặc a �3 .
2

� 1� � 1�
Câu 44: Xét phương trình: x  ax  bx  ax  1  0 � �x  � a �x  � b  2  0  x �0  .
� x� � x�
4

Đặt t  x 

1
x

 t �2  � t

2

3

2


 at  b  2  0 (*)

2
2
2
Xét đường thẳng  : tx  y  t  2  0  t �2  và đường tròn  C  : x  y  P có tâm O  0;0  , bán kính

R P.
Để (*) có nghiệm thì Δ và  C  tiếp xúc hoặc cắt nhau:
t2  2

ۣ
�
d O ,�ۣ

R

Xét f  u 

t 1
2

 u  3
 �
u

2

,u 5


P

P
f  u

t

2

 2

t 1
2

4
5

P

2

t

2 ;

t

 2


2

t 1
2

2

 u  3
u

2

u

t 2 1 5 .

4 khi u  5 � x  1  �2 .
x
5

Câu 45: Gọi abcd là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng
chục là chữ số lẻ.
Ta có: abcd M4 � 1000a  100b  10c  d M4 � 2c  d M4 (1).
Mặt khác do c lẻ nên 2c chia cho 4 dư 2, nên để thỏa mãn (1), thì d phải chia cho 4 dư 2.
 Trường hợp 1: a � 1;3 . Khi đó do c lẻ suy ra c � 1;3;5;7;9 \  a suy ra c có 4 cách chọn.
Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d � 2;6 .
Sau khi chọn a, c, d thì b có 7 cách chọn.
Trang 18



Vì vậy trong trường hợp này có 2.4.2.7  112 số thỏa mãn.
 Trường hợp 2: a  2 . Khi đó do c lẻ suy ra c � 1;3;5;7;9 suy ra c có 5 cách chọn.
Sau khi chọn a, c, d thì b có 7 cách chọn.
Vì vậy trong trường hợp này có 1.5.1.7  35 số thỏa mãn.
 Trường hợp 3: a  4, b � 1;3 . Khi đó do c lẻ suy ra c � 1;3;5;7;9 \  b suy ra c có 4 cách chọn.
Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d � 2;6 .
Vì vậy trong trường hợp này có 1.2.4.2  16 số thỏa mãn.
 Trường hợp 4: a  4, b  2 . Khi đó do c lẻ suy ra c � 1;3;5;7;9 suy ra c có 5 cách chọn.
Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d  6 .
Vì vậy trong trường hợp này có 1.1.5.1  5 số thỏa mãn.
 Trường hợp 5: a  4, b  5 . Khi đó c � 1;3 . Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d � 2;6 .
Vậy trong trường hợp này có 2.2  4 số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 172 số.
�x �0
Câu 46: Điều kiện: �
.
�m  2020
Phương trình có dạng: log3 x  x  log3  2020  m   x  2020  m 
2

3

� log 3 x  log 3 x  x  log 3 x  log 3  2020  m   x  2020  m 
2

3

� log 3 x  x  log 3  x  2020  m    x  2020  m  (1).
3


3

Xét hàm số: f  t   t  log 3 t trên D   0; � .
Vì f �
 t   1

1
 0, t �D nên hàm số f  t  đồng biến trên D.
t ln 3

   f  x  2020  m  

Từ phương trình (1) � f x

3

�
x  2020  m
3
2
� x  x  2020  m  � x  2020  m � �
 m  2020  (2).
x   2020  m
�
Mà x12020  x22020  21011 � 2  2020  m 

1010

 21011 �  2020  m   2 � m  2018 .


�
�x1  2
Khi đó �
.
�x2   2



 

 

2
2
Vậy P  ln x1  x2  2  ln x2  x1  2  ln







2  2  ln  2  2  ln 2 �0, 693 .

Câu 47: Ta có:

Trang 19





1

1

f�
( x )   4 f  x   8 x 2  16 x  8 � �
�
2 f  x  dx 
 x �
�f �
�dx  2 �
2

2

1

1

1

 8x
�

2

1

 16 x  8  dx (1).


�
u  f  x
�
du  f �
 x  dx
2 f  x  dx , đặt �
��
Xét I  �
.
dv  2dx
v  2x  2
�
�
1
1

1

2 f  x  dx   2 x  2  f  x 
Do đó I  �
1

1

1
1

1


1

1

1

�
 2x  2 f �
 x  dx   �
 2x  2 f �
 x  dx .

1

�
2 f  x  dx 
 x �
Từ (1) suy ra �
�f �
�dx  2 �
2

1

1

1

1


1

1

1

1

 8x
�

2

1

 16 x  8  dx
1

��
�
 x �
 2x  2 f �
 x  dx  �
 2 x  2  dx  �
 12x 2  24 x  4  dx
�f �
�dx  2 �
2

1

1

2

1

��
�
 x    2x  2 �
 x   2 x  2 � f  x   x 2  2x  C .
�f �
�dx  0 � f �
2

1

Vì f  1  0 nên C  3 . Suy ra

1

1

f  x  dx  �
x
�

2

0


0

3
Câu 48: Xét phương trình: f  x  3x  

5
 2 x  3 dx   .
3

m 1
(1).
10  m

 3x 2  3, t �
 0 � x  �1 .
Đặt t  x 3  3x , ta có: t �
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:
Ứng với mỗi giá trị t  2 hoặc t  2 thì phương trình x 3  3 x  t có một nghiệm x duy nhất.
Ứng với mỗi giá trị t  2 hoặc t  2 thì phương trình x 3  3 x  t có 2 nghiệm x.
Ứng với mỗi giá trị 2  t  2 thì phương trình x 3  3 x  t có 3 nghiệm x.
Phương trình (1) trở thành f  t  

m 1
với t ��.
10  m

Từ đồ thị hàm số y  f  x  ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  t  như sau:


Trang 20


(trong đó f  a   1 ),
3
Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  t  để phương trình f  x  3 x  

biệt thì phương trình f  t  
Hay 0 

m 1
 0 có 10 nghiệm phân
10  m

m 1
có 6 nghiệm thỏa mãn t1  2  t2  t3  2  t4  t5  t6 .
10  m

m 1
9
 1 � 1  m  . Do m �� nên m � 0;1; 2;3; 4 .
10  m
2

Câu 49: Gọi A  0; 1 , B  0;1 , có trung điểm là O  0;0  . Điểm M biểu diễn số phức z.
2

Theo cơng thức trung tuyến thì z  OM 2 

MA2  MB 2 AB 2

.

2
4

Theo giả thiết 4 MA  3MB  10 . Đặt MA  a � MB 
10  7 a
Khi đó MA �
MB
� � �
AB
� 2�
3

6 10 7 a

10  4a
.
3
6

4
7

a

16
.
7


10  4a � 25a 2  80a  100  5a  8   36
Ta có MA  MB  a  �
.

�
�
9
9
� 3 �
2

2

2

2

36
Do � �5a�8
7
Vậy p  1; P 

2

24
7

0

 5a


8

2

�z 1
�MA2  MB 2 �4
1296
�
�
nên � 2
340 � � 2 121
2
49
�MA  MB �
�z �
49
�
49
�

z

11 .
7

11
� 7P  5 p  6 .
7


Câu 50: Giả sử C  xC ; yC ; zC  , ta có: xC  yC  zC  2  0 (1).
�x  xC  t
uur
�
Đường thẳng Δ qua C nhận nP   1;1; 1 làm véctơ chỉ phương có phương trình: �y  yC  t .
�z  z  t
� C
Gọi I là tâm mặt cầu  S  , có: IA  IB � I thuộc mặt phẳng trung trực    của AB.
Mặt phẳng    có phương trình: 2 x  4 y  11  0 . Mặt khác  I    �   � t 

11  2 xC  4 yC
(2).
6

2

2
2
2
�
Lại có: IC  IA nên: 3t 2  �
 xC  1  t �
 yC  1  t �
 zC  1  t �
�
� �
�
� �
�


Trang 21


�  xC  1   yC  1   zC  1  2t  xC  yC  zC  1  0 .
2

2

2

11  2 xC  4 yC
2
2
2
�
Kết hợp (1) và (2) ta được:  xC  1   yC  1   zC  1  6 �
6
�

�
� 0
�

� xC2   yC  1   zC  1  10 (3).
2

2

�
�xC  yC  zC  2  0

Từ (1) và (3), suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến: � 2
.
2
2
�xC   yC  1   zC  1  10
Khi đó bán kính của đường tròn là: r  10 .
Vậy S  R 2  10 .

Trang 22