Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TIN
----------

HUỲNH THỊ CẢNH

SỬ DỤNG MATHCAD PROFESSINAL
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

....................................................................................................................... 3

Chương 1:

NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN ................................................................... 3

1.1

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .................................................................................... 3

1.2

Các dạng toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.................................. 11

1.2.1 Dạng 1: Các bài toán tiếp xúc .......................................................................... 11
1.2.2 Dạng 2: Các bài toán về cực trị ........................................................................ 12
1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 đi qua.............................. 13
1.3

Phần mềm Mathcad Professional ........................................................................... 14

1.3.1 Giới thiệu ............................................................................................................ 14
1.3.2 Các phép toán trong Mathcad.......................................................................... 14
Chương 2:

GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT ................................................................. 19

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD ................................................................... 19
2.1

Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .................................................................... 19

2.1.1 Hàm số bậc 3: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 .......................................................... 19
2.1.2 Hàm số bậc 4: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 ................................................................... 22
2.1.3 Hàm số 𝒚 =
2.1.4 Hàm số 𝒚 =
2.2

𝒂𝒙+𝒃

𝒄𝒙+𝒅

................................................................................................ 24

𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄
𝒅𝒙+𝒆

......................................................................................... 26

Các dạng liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .......................................... 28

2.1.1 Dạng 1: Bài toán tiếp xúc .................................................................................. 28
2.1.2 Dạng 2: Bài tốn về cực trị ................................................................................ 30
2.1.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định của họ đường cong (𝑪𝒎 ) đi qua ........................... 30
2.3

Bài toán tổng hợp .................................................................................................... 32

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.4

Một số bài toán tham khảo ...................................................................................... 40

KẾT LUẬN

..................................................................................................................... 41


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trước đây, khi gặp một bài toán phức tạp, người ta thường nghĩ ngay đến
việc sử dụng các ngôn ngữ lập trình để giải quyết. Tuy nhiên, khơng phải ai cũng
có thể làm được được điều này. Vì để làm được điều đó, địi hỏi người thực hiện
phải có một trình độ nhất định về lập trình.
Ngày nay, để giải quyết các vấn đề đó, người ta đã tạo ra các phần mềm
toán chuyên dùng như Mathcad, Matlab, Maple… Trong số đó thì Mathcad là một
phần mềm có giao diện trên nền Window rất thân thiện, gần gũi và dễ sử dụng.
Trong chương trình tốn Phổ thơng trung học thì khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số là một trong các dạng cơ bản, và được xem là then chốt, kiến thức về hàm số
tạo nên một tuyến chủ yếu trong chương trình tốn học phổ thơng.
Nhằm để giúp người dạy cũng như người học có thể giải các bài toán khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số được dễ dàng và nhanh chóng hơn, tơi đã chọn đề tài “Sử
dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” làm
luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích chọn đề tài
Khai thác các tính năng của phần mềm tốn học để có thể áp dụng giải các vấn
đề tốn học Trung học phổ thơng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm toán học Mathcad Professional.
 Phạm vi nghiên cứu: Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề
liên quan trong Giải tích 12.
4. Các phương pháp nghiên cứu
 Lý thuyết:
-

Tìm hiểu về lý thuyết khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề
liên quan.


-

Tìm hiểu về phần mềm Mathcad Professional về tính năng, cơng dụng
và cách sử dụng.

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
 Thực nghiệm: Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề
liên quan thơng qua phần mềm tốn học Mathcad Professional.
5. Nội dung đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết bài, luận văn gồm 2 chương:
 Chương 1: Nghiên cứu tổng quan
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về lý thuyết khảo sát hàm số cùng
các vấn đề liên quan. Đồng thời, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về phần mềm tốn học
Mathcad Professional, về cơng dụng, tính năng và các phép tính tốn được thực hiện
của nó.
 Chương 2: Giải bài tốn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bằng Mathcad.
Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu việc sử dụng Mathcad để giải các bài
toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cùng các vấn đề liên quan.

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 2


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1:


NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tập xác định
Định nghĩa: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là tập hợp tất cả các số thực 𝑥 sao
cho biểu thức 𝑓(𝑥) có nghĩa.
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 =
Giải: Biểu thức y 

3.x  1
4 x 2  5x  1

3x  1
1
có nghĩa khi 4 x 2  5x  1  0 tức là 𝑥 ≠ 1 và x 
4
4 x  5x  1
2

1
Vậy: TXD của hàm số là 𝐷 = 𝑅\{ , 1}.
4

2. Sự biến thiên của hàm số
a. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, 𝑏).
- Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (𝑎, 𝑏) nếu
với mọi số thực 𝑥1 và 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có:
𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )

- Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (𝑎, 𝑏) nếu
với mọi số thực 𝑥1 và 𝑥2 thuộc (𝑎, 𝑏) ta có:
𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 (𝑥1 ) > 𝑓 (𝑥2 )
Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (𝑎, 𝑏) là xét xem hàm số đó
đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này.
Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là bảng biến
thiên của hàm số.

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 3


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số đồng biến trên (𝑎; 𝑏)

Hàm số nghịch biến trên (𝑎; 𝑏)
b. Tính đơn điệu của hàm số
Định lý: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên khoảng (𝑎; 𝑏).
Nếu 𝑓’(𝑥)  0 (hoặc 𝑓’(𝑥)  0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hửu hạn điểm
trên khoảng (𝑎; 𝑏 ).
Thì hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số
𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 4.
Giải: Hàm số đã cho xác định với mọi 𝑥 ∈ 𝑅.
Đạo hàm 𝑦’ = 2𝑥 − 5 = 2(𝑥 −
- 𝑦 ’ > 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 >

5
2


- 𝑦 ’ < 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 <

5
2

5
) cũng xác định trên R.
2

Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau gọi là bảng biến thiên của
hàm số:

5
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( ; +  ) và nghịch biến trong khoảng
2

(−  ;

5
).
2

c. Điểm tới hạn

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 4



Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên các khoảng (𝑎; 𝑏)và 𝑥0 
(𝑎; 𝑏). Điểm 𝑥0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó 𝑓’(𝑥)
khơng xác định hoặc bằng 0.
Ví dụ: Xét hàm số 𝑦 = 3𝑥 +

3
+5
x

Giải:
TXD: (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
Đạo hàm 𝑦’ =

3(𝑥 2 −1)
𝑥2

= 0 khi 𝑥 = ±1 và không xác định tại = 0 .

Nhưng điểm 0 không thuộc tập xác định của hàm số.
Vậy hàm số đã cho chỉ có điểm tới hạn là 𝑥 = ±1 .
d. Cực đại và cực tiểu
 Định nghĩa:
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎; 𝑏) và điểm 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏).
a) Khoảng (𝑥0 −  ; 𝑥0 +  ) kí hiệu là 𝑉(  ), trong đó (𝛿 > 0)được gọi là
một lân cận của điểm 𝑥0 .
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu với mọi x
thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) của điểm 𝑥0 ta có:
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 )
Lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm 𝑥0 .

- 𝑓(𝑥0 ) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu 𝑓𝐶𝐷 = 𝑓(𝑥0 )
- Điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm 𝑥0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu với mọi 𝑥
thuộc lân cận 𝑉(  )  (𝑎; 𝑏) của điểm 𝑥0 , ta có:
𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0 ) (𝑥  𝑥0 )
Lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm 𝑥0 .
Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị .
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm số đã
cho.
 Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Giả thiết hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng (𝑎; 𝑏) và 𝑥0 ∈ (𝑎; 𝑏).
Định lý Fecma ( Pierre De Fermat 1601-1665).
SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 5


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 và đạt cực trị tại điểm đó thì
𝑓’(𝑥0 ) = 0.
 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
 Dấu hiệu 1
Định lý 1: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đạo hàm trên một lân cận của 𝑥0
(có thể trừ tại 𝑥0 ).
- Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < 0 trên khoảng (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 );
và 𝑓 ′ (𝑥) > 0 trên khoảng (𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛿)
thì 𝑥0 là một điểm cực tiểu của hàm số 𝑓(𝑥).
- Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > 0 trên khoảng (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 );
và 𝑓 ′ (𝑥) < 0 trên khoảng (𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛿)
thì 𝑥0 là một điểm cực đại của hàm số 𝑓(𝑥).

Tóm lại: Nếu khi 𝑥 đi qua 𝑥0 , đạo hàm đổi dấu thì 𝑥0 là một điểm cực trị.
Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số.
Quy tắc 1
1) Tìm 𝑓’(𝑥)
2) Tìm các điểm tới hạn
3) Xét dấu đạo hàm
4) Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cực trị
Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số 𝑦 = 4. 𝑥 +

4
+1
x

Giải:
Hàm số xác định với mọi 𝑥 ≠ 0, 𝑥  𝑅.
4
4.x2 - 4
4.(x 2  1)
Đạo hàm của hàm số là: 𝑦’ = 4 − 2 =
=
x2
x2
x

𝑦’ cũng xác định với mọi 𝑥  0 , 𝑥  𝑅.
Dấu của 𝑦’ là dấu của 𝑥 2 − 1 chiều biến thiên được cho trong bảng biến thiên
sau:

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh


Trang 6


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy 𝑥 = −1 là điểm cực đại và 𝑥 = 1 là điểm cực tiểu
củả hàm số đã cho.
 Dấu hiệu 2
Định lý 2: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại 𝑥0 và
𝑓’(𝑥0 ) = 0, 𝑓’’(𝑥0 )  0 thì 𝑥0 là một điểm cực trị của hàm số.
Khi đó,
- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) > 0 thì 𝑥0 là điểm cực tiểu.
- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) < 0 thì 𝑥0 là điểm cực đại.
Áp dụng dấu hiệu 2 ta có quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số.
Quy tắc 2
1) Tính 𝑓’(𝑥). Giải phương trình 𝑓’(𝑥) = 0. Gọi 𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2 … )𝑙à các nghiệm
2) Tính 𝑓’’(𝑥).
3) Từ dấu của 𝑓’’(𝑥) suy ra tính chất cực trị của điểm 𝑥𝑖 theo dấu hiệu 2.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2
Giải: Hàm số đã cho xác định với mọi 𝑥 ∈ 𝑅.
1) 𝑓’(𝑥) = 4. 𝑥 3 − 6. 𝑥 2 + 2. 𝑥 = 2. 𝑥 (2𝑥 2 − 3. 𝑥 + 1) = 0
1
 (𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = )
2

2) 𝑓’’(𝑥) = 12. 𝑥 2 − 12. 𝑥 + 2.
3) 𝑓’’(0) = 2 > 0  𝑥 = 0 là điểm cực tiểu
𝑓’’(1) = 2 > 0  𝑥 = 2 là điểm cực tiểu
1
2


𝑓’’( ) = −1 < 0  𝑥 =

1
là điểm cực đại
2

Kết luận: 𝑓(𝑥) đạt cực tiểu tại 2 điểm 𝑥 = 0 và 𝑓𝐶𝑇 = 2;𝑥 = 1 và 𝑓𝐶𝑇 = 2;
𝑓(𝑥) đạt cực đại tại điểm 𝑥 =

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

1
𝑣à 𝑓𝐶𝐷 = −1.
2

Trang 7


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3. Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
a. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
Xét đồ thị 𝐴𝐵𝐶 của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) biểu diễn trong hình dưới đây: Ta giả
thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến.
Tại mọi điểm của cung 𝐴𝐶 tiếp tuyến ln ở phía trên của cung 𝐴𝐶. Ta nói
cung 𝐴𝐶 là một cung lồi. Nếu 𝑎 là hồnh độ của 𝐴, 𝑐 là hồnh độ của 𝐶, thì khoảng
(𝑎; 𝑐) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị.
Tại mọi điểm của cung 𝐶𝐵 tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung 𝐶𝐵. Ta nói
cung 𝐶𝐵 là một cung lõm. Nếu 𝑐 là hoành độ của 𝐶, 𝑏 là hồnh độ của B, thì khoảng
(𝑐; 𝑏) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị.


Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn. Chẳng hạn,
điểm 𝐶 của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn.
b. Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn
Định lý 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (𝑎; 𝑏).
- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) < 0 với mọi 𝑥  (𝑎; 𝑏) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng
đó.
- Nếu 𝑓’’(𝑥0 ) > 0 với mọi 𝑥  (𝑎; 𝑏) thì đồ thị của hàm số lõm trên
khoảng đó.
Định lý 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm 𝑥0
và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó.
Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi 𝑥 đi qua 𝑥0 thì điểm 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) là điểm
uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Ví dụ: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥.

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 8


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Giải:
TXD: 𝐷 = 𝑅.
Ta có: 𝑦’ = 3. 𝑥 2 − 6. 𝑥 + 1
𝑦’’ = 6𝑥 − 6
𝑦” = 0  𝑥 = 1;
Ta có bảng xét dấu:

4. Tiệm cận

a. Định nghĩa:
 Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị là (𝐶) và 𝑀(𝑥, 𝑦) là một điểm thay đổi
trên (𝐶 ).
Ta nói (𝐶) có một nhánh vơ cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa độ 𝑥, 𝑦 của 𝑀(𝑥, 𝑦)
dần tới  .
Khi đó ta cũng nói điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) dần tới  .
Ký hiệu 𝑀   .

 Giả sử đồ thị (𝐶) có nhánh vơ cực ,cho đường thẳng 𝑑.
Kí hiệu 𝑀𝐻 là khoảng cách từ 𝑀(𝑥, 𝑦)  ( 𝐶) đến đường thẳng 𝑑.
𝑑 được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( 𝐶) nếu 𝑀𝐻 dần đến 0 khi
𝑀 dần đến  𝑡rên (𝐶).
Nói cách khác, 𝑑 là tiệm cận của ( 𝐶) khi và chỉ khi
lim 𝑀𝐻 = 0

𝑀→∞

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 9


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Cách xác định các tiệm cận
 Tiệm cận đứng
Định lý: Nếu
lim 𝑦 = ∞

𝑥→𝑥0


thì đường thẳng 𝑑 có phương trình 𝑥 = 𝑥0 là một tiệm cận đứng của đồ thị
(𝐶).
Ví dụ: Cho hàm số : 𝑦 =

3.x  4
x  5.x  6
2

Ta có:
lim

𝑥→1 𝑥 2

3𝑥 − 4
3𝑥 − 4
= ∞ 𝑣à lim 2
=∞
𝑥→6 𝑥 + 5𝑥 − 6
+ 5𝑥 − 6

Cho nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng là 𝑥 = 1 và 𝑥 = 6.
 Tiệm cận ngang
Định lý: Nếu
lim 𝑓(𝑥) = 𝑦0

𝑥→∞

thì đường thẳng 𝑑 có phương trình 𝑦 = 𝑦0 là một tiệm cận ngang của đồ thị
(𝐶 ).
2x 2 1

Ví dụ: Đồ thị (𝐶) của hàm số y  2
có tiệm cận ngang là đường
x  3.x  2

thẳng 𝑦 = 2
𝑣ì lim

𝑥→∞

2x2 1
=2
x 2  3.x  2

 Tiệm cận xiên
Giả sử 𝑀(𝑥; 𝑦) thuộc đồ thị (𝐶) dẫn đến vô cực khi cả hai tọa độ 𝑥 và 𝑦 đều
dần tới vô cực.
Giả sử đường thẳng 𝑑 có phương trình là 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏.
Định lý: Điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng 𝑑 là một tiệm cận của đồ thị
(𝐶 ) là
lim [𝑓 (𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

𝑥→∞

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 10


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
hoặc

lim [𝑓 (𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

𝑥→−∞

hoặc
lim [𝑓 (𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

𝑥→+∞

Ví dụ: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 2𝑥 − 1 +

2
𝑥−1

có tiệm cận xiên là đường

thẳng 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑣ì

lim [2𝑥 − 1 +

𝑥→∞

2
2
− (2𝑥 − 1)] = lim
=0
𝑥→∞ 𝑥 − 1
𝑥−1

Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃

a = lim
𝑥→∞

𝑓(𝑥)
𝑥

;

𝑏 = lim [𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥]
𝑥→∞

1.2 Các dạng toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.2.1 Dạng 1: Các bài toán tiếp xúc
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), đồ thị là (𝐶) có 3 loại phương trình tiếp tuyến như sau:
a. Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ (𝐶).
- Tính đạo hàm và giá trị 𝑓’(𝑥0 ).
- Hệ số góc 𝑘 = 𝑓’(𝑥0 )
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: = 𝑘(𝑥 – 𝑥0 ) + 𝑦0 .
b. Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 𝑘.
- Giải phương trình 𝑓’(𝑥) = 𝑘, tìm nghiệm 𝑥0 suy ra 𝑦0 .
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: = 𝑘(𝑥 – 𝑥0 ) + 𝑦0 .
 Chú ý: Cho đường thẳng ∆: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, khi đó:
-

Nếu 𝑑 ∥ 𝛥  (𝑑’): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 có hệ số góc 𝑘 = 𝑎.

-

1
Nếu 𝑑  Δ  (𝑑’): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 có hệ số góc 𝑘 =  .

a

c. Loại 3: Tiếp tuyến của (𝐶) đi qua điểm 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) (𝐶).
-

Gọi 𝑑 là đường thẳng đi qua 𝐴 và có hệ số góc là 𝑘, khi đó (𝑑) :

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 11


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑘(𝑥 – 𝑥𝐴 ) + 𝑦𝐴 .
-

Điều kiện để tiếp xúc của (𝑑) và (𝐶) là hệ phương trình sau phải có
 f ' ( x)  k
nghiệm: 
 f ( x)  k ( x  x A )  y A

Tổng quát: Cho 2 đường cong (𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) và (𝐶’): 𝑦 = 𝑔(𝑥).
Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm
 f ( x)  g ( x)

 f ' ( x)  g ' ( x)

1.2.2 Dạng 2: Các bài toán về cực trị
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), đồ thị là (𝐶) các vấn đề về cực trị cần nhớ:
- Nghiệm của phương trình 𝑓’(𝑥) = 0 là hồnh độ của điểm cực trị.

 f ' ( x0 )  0
- Nếu 
thì hàm số đạt cực đại tại = 𝑥0 .
f
'
'
(
x
)

0
0


 f ' ( x0 )  0
- Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại = 𝑥0 .
 f ' ' ( x0 )  0

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp đó là tìm điều kiện của tham số m để
thõa mãn yêu cầu bài tốn:
- Đối với bài tốn tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị thì ta sẽ đi giải
𝑎≠0
hệ phương trình sau: {∆ > 0
𝑦′
Với ∆𝑦′ là biểu thức Delta có giá trị: ∆𝑦′ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
- Đối với bài tốn tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục
hồnh thì ta đi xét: 𝑦𝐶𝐷 . 𝑦𝐶𝑇 < 0.
- Đối với bài tốn tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục
hồnh thì ta đi xét: 𝑥𝐶𝐷 . 𝑥𝐶𝑇 < 0.

- Đối với bài tốn tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị nằm phía trên
trục hồnh ta sẽ đi giải hệ phương trình: {

𝑦𝑐𝑑 + 𝑦𝑐𝑡 > 0
𝑦𝑐𝑑 . 𝑦𝑐𝑡 > 0

- Đối với bài tốn tìm điều kiện của m để hàm số có 2 cực trị nằm phía dưới
trục hồnh ta sẽ đi giải hệ phương trình: {

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

𝑦𝑐𝑑 + 𝑦𝑐𝑡 < 0
𝑦𝑐𝑑 . 𝑦𝑐𝑡 < 0
Trang 12


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Đối với bài toán tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục
hồnh thì ta giải phương trình: 𝑦𝐶𝐷 . 𝑦𝐶𝑇 = 0.
1.2.3 Dạng 3: Tìm điểm cố định mà họ đường cong 𝑪𝒎 đi qua
a. Bài toán: Cho họ đường cong (𝐶𝑚 ) có phương trình 𝑓(𝑥, 𝑚), trong đó m là
tham số, hãy tìm những điểm cố định khi 𝑚 thay đổi.
b. Cách giải:
Với mỗi giá trị của tham số 𝑚, ta được một đồ thị của (𝐶𝑚 ) tương ứng. Như
vậy, khi m thay đổi thì đồ thị (𝐶𝑚 ) cũng thay đổi theo hai trường hợp:
- Hoặc mọi điểm của (𝐶𝑚 ) đều di động.
- Hoặc có một vài điểm của (𝐶𝑚 ) đứng yên khi 𝑚 thay đổi. Những điểm
đứng yên đó được gọi là những điểm cố định của họ đường cong (𝐶𝑚 ).
Đó là những điểm mà mọi đường cong (𝐶𝑚 ) đều đi qua với mọi giá trị
của 𝑚.

Nếu 𝐴(𝑥0 ; 𝑦0 ) là điểm cố định của đồ thị (𝐶𝑚 ) thì 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ; 𝑚) thõa mãn
với mọi 𝑚. Điều này có nghĩa là phương trình 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ; 𝑚) vô định theo tham
số 𝑚.
Vậy để tìm điểm cố định của họ đường cong (𝐶𝑚 ) ta làm các bước sau:
- Đưa phương trình 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑚) về dạng phương trình theo ẩn m dạng
𝐴𝑚 + 𝐵 = 0 hoặc 𝐴𝑚2 + 𝐵𝑚 + 𝐶 = 0.
- Cho các hệ số bằng 0 ta được hệ phương trình:
A  0
A  0

và B  0 (∗)

B  0
C  0


- Giải hệ phương trình (∗).
o Nếu hệ phương trình (∗) vơ nghiệm thì (𝐶𝑚 ) khơng có điểm cố
định.
o Nếu hệ phương trình (∗) có nghiệm (𝑥0 ; 𝑦0 ) thì điểm (𝑥0 ; 𝑦0 )là
điểm cố định của (𝐶𝑚 )

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 13


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.3 Phần mềm Mathcad Professional
1.3.1 Giới thiệu

Mathcad 7.0 là phần mềm về tốn, có thể thực hiện các tính tốn một cách đơn
giản và tiện lợi. Nó có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như:
 Giải các bài toán của toán cao cấp: tính giá trị gần đúng hoặc xấp xỉ, rút gọn,
đơn giản biểu thức, tính tích phân, đạo hàm, giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, vẽ đồ thị hàm số, tính diện tích,
thể tích…
 Giải các bài tốn trong lĩnh vực hóa học, cơ đất đá, cấu trúc dữ liệu, điện,
phương pháp số…
Mathcad có thể sử dụng để lập trình giải các bài tốn phức tạp khơng những
tính tốn trên số mà cịn tính tốn trên các kí hiệu.
Với Mathcad 7.0 ta có thể giao lưu, trao đổi kinh nghiệm với các người dùng
khác trên thế giới ( nếu có kết nối internet); Mathcad cịn có thể chuyển dữ liệu từ nó
sang Excel và ngược lại thơng qua MathConnex.

1.3.2 Các phép tốn trong Mathcad
Mathcad có rất nhiều cơng thức tốn học, nhưng trong khn khổ đề tài này,
chúng ta sẽ đi tìm hiểu về các cơng thức được sử dụng trong bài tốn khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số.
a. Giải phương trình và bất phương trình
 Cách giải:
- Các dấu “ =, <, >, ≥, ≤ lần lượt được thực hiện từ bàn phìm bằng các cách
bấm sau : Ctrl-=, <, >, Ctrl-9, Ctrl-0.
- Nhấp biểu tượng

trong Math Palette, chọn Solve, gõ biến, ấn Enter

được kết quả.
Hoặc
- Chọn biến
- Menu Symbolics / Variable / Solve.

 Ví dụ:
Giải phương trình 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 14


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

x2

1

4 x 5 0 solve  x

5

b. Giới hạn hàm số tại một điểm
 Cách giải
- Chọn từ dải Math Palette biểu tượng
lim

lim

hoặc

-

, chọn


lim

+

hoặc

.

- Điền biểu thức, biến, trị vào.
- Ctrl-., Enter.
Hoặc
- Gõ Ctrl-L hoặc Ctrl-A hay Ctrl-B.
- Điền biểu thức, biến, trị vào.
- Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate / Symbolically.
 Ví dụ
Tìm giới hạn bên phải của hàm số 𝑦 =
x 1
lim
+
x 2 x 2

𝑥−1
𝑥+2

tại 𝑥 = 2

1
4


c. Đạo hàm
Đạo hàm cấp 1
 Cách giải
Cách 1:
- Đưa biểu thức cần tính đạo hàm
- Chọn biến
- Menu Symbolics / Evaluate /Diferentiate.
Cách 2:
- Nhấp biểu tượng

, chọn

, hoặc gõ ?

- Gõ biểu thức và dấu hiệu đạo hàm.
- Chọn biểu thức gồm cả dấu hiệu đạo hàm.
- Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically.
 Ví dụ

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 15


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
d
3 x 4 x 5
dx


6 x 4

Đạo hàm cấp n
 Cách giải
- Nhấp biểu tượng

, chọn

, hoặc gõ Ctrl- Shift-?.

- Điền vào các lổ trống, ấn Ctrl-., Enter.
 Ví dụ
d

2

d x2

2

3 x

4x 5

6

d. Vẽ đồ thị
 Đồ thị dạng X-Y Plot
Để tạo vùng vẽ có thể thực hiện theo các cách sau:
- Từ thanh công cụ : chọn Insert/Graph/X-Y Plot

- Từ thanh Math

: nhấp vào biểu tượng

- Từ bàn phím

: nhấn @

Hình1 .vùng thể hiện đồ thị
- Trong khung trống nằm dưới trục hoành (trục x) nhập giá trị đồ thị
muốn dựa theo. Giá trị này là thang đo đã xác định trước đó. Nếu không
xác định trước, Mathcad tự động xác định thang đo từ -10 đến 10.
- Trong khung trống nằm bên cạnh trục tung (trục y), nhập biểu thức
muốn vẽ.
 Lưu ý

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 16


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác, để
chúng có thể dùng chung giá trị độc lập. Ngồi ra còn thể hiện được nhiều đường
biểu diễn trên cùng một đồ thị.
 Hiệu chỉnh đồ thị
Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:
- Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot
- Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh
Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình 2)


Hình 2.
Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:
- Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vng
góc thơng thường ,nếu chọn None thì
- Nếu chọn Equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau.
- Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)
o Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ
o Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of Grids- đó là
số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn sửa số 5 nghĩa là trong
khoảng 0..10 có 5 đoạn chia.
- Nhấp Apply-OK.
 Đưa các tiêu đề vào đồ thị
SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 17


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị
- Menu Format / Graph / X-Y Plot
 Chọn labels sau đó nhấp vào các cột như hình dưới đây:
- Title : đặt tên cho hình biểu diễn trên đồ thị, khi đó phải chọn để thể hiện.
Bạn có thể đặt tên ở trên () hoặc ở dưới đồ thị ().
- Axis labels : gán chú thích trên mỗi trục.

Gán chú giải vào trục x

Gán chú giải vào trục y


Hình 3.

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 18


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 2:

GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MATHCAD
Trong chương này, chúng ta sẽ giải một số các dạng bài toán khảo sát và vẽ đồ
thị hàm số bằng Mathcad. Ở mỗi dạng, chúng ta sẽ chỉ giải một vài bài tập mẫu, cịn
các bài tương tự thì ta chỉ việc thay các tham số tương ứng vào thì sẽ được kết quả. Ở
cuối chương sẽ có một số bài tốn tổng hợp và bài toán tham khảo để giúp chúng ta có
thể hiểu rõ hơn và có thể áp dụng Mathcad để tự giải.
2.1 Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.1.1 Hàm số bậc 3: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4.
Ta có:

a

1

b


3

3

y( x)

a x

y( x)

x

3

c
2

b x
2

3 x

0

d

4

c x d


4

TXĐ: D = R.
Sự biến thiên:
s( x)

d
y( x)
dx

2

3 x

6 x

x 2

s ( x)  0 solve  x

0 x
( 2  x) ( x 0 )

s ( x)  0 solve  x

Ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞)
Hàm số nghịch biển trên khoảng (−2; 0).
Cực trị:
0


s( x) 0 solve x

h( x)

d
s( x)
dx

2

6 x 6

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 19


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

h( 0)



y( 0)



6
4


h( 2)



y( 2)



6
0

Ta thấy: ℎ(0) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 0 và 𝑦𝐶𝑇 = −4.
ℎ(−2) = −6 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = −2 và 𝑦𝐶𝐷 = 0.
Giới hạn:



lim y ( x)
x 



lim
y ( x)
x


Đồ thị khơng có tiệm cận.
Bảng biến thiên:


Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị:
h( x) 0 solve x

1

y( 1 )  2

Đồ thị:

Truc Oy

5

y( x)

4

0

4

5
x
T ruc Ox

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 20



Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 + 2.
Ở ví dụ này, ta chỉ cần thay các tham số :
a

1

b

3

4

c

d

2

Vào bài toán mẫu 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Ta được:
y( x )

a x

3

b x


2

c x d

y( x)

x

3

3x

2

4x 2

Sau đó, Mathcad sẽ thực hiện thay ta tất cả các cơng thức tính tốn như trong ví
dụ trên.
TXĐ : D = R.
Sự biến thiên:
s( x)

2

3x

d
y( x)
dx


s( x) 0 solve x

6x 4

( x x)

Vậy hàm số nghịch biến trên R.
Cực tri:
Hàm số đã cho khơng có cực trị.
Giới hạn:
lim y( x)
x 

lim
y( x)
x






Đồ thị khơng có tiệm cận.
Bảng biến thiên:

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

Trang 21



Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị.
h( x) 0 solve x

1

y( 1 )  0

Đồ thị:

Truc Oy

4

y( x)

4

0

4

4
x
T ruc Ox

2.1.2 Hàm số bậc 4: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄
Ví dụ: Khảo sát hàm số 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 2.
Ta có:
a


1

y( x)

y( x)

b
2 c
4
2
a x b x c

2

4
2
x 2 x 2

TXĐ: 𝐷 = 𝑅
Sự biến thiên:
s( x)

d
y( x)
dx

s( x)  0 solve x

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh


3

4x

4x
x 1

( 0 x) ( x 1)

Trang 22


Sử dụng Mathcad Professional để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
( 1 x) ( x 0)

s( x)  0 solve x

1 x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).
Hàm số đồng biến trên các khoảng

( 0; −1) và (1; +∞).

Cực trị:
h( x)

2


12x

d
s( x)
dx

4

0
s( x ) 0 solve x

1
1

h( 0)  4
h( 1)  8
h( 1)  8
y( 0)  2
y( 1)  1
y( 1)  1
Hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 0 và 𝑦𝐶𝐷 = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = ±1 và 𝑦𝐶𝑇 = 1.
Giới hạn:
lim
y( x)
x

lim y( x)
x 





Đồ thị khơng có tiệm cận.
Bảng biến thiên

Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị.

h( x ) 0 solve x

SVTH: Huỳnh Thị Cảnh

1
3
3
1
3
3
Trang 23