ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ
Giảng viên hướng dẫn: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ
Giảng viên hướng dẫn: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Chuyên ngành: Sư phạm Toán
Lớp: 14ST

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn, động viên, nhắc nhở
tác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được
luận văn này.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Ban
Chủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng và
các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè và tất cả
những người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt q trình học tập
và hồn thành luận văn.
Tác giả
Võ Thị Anh Thư


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian mêtric
1.2. Không gian tôpô

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

.................................................4

1.3. Không gian khả mêtric

1.4. Các tiên đề tách

............................................7

................................................. 8

1.5. Một vài không gian mêtric suy rộng

................................. 8

CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP. . . . . . . . . . . . . . .13
2.1. Họ HCP và các tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian tôpô
2.3. Không gian với mạng σ-HCP

. . . . . . . . . . . 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


1

MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là một chun ngành quan trọng của tốn học. Giải tích hiện
đại chuyên nghiên cứu các vấn đề mang tính chất lý thuyết, trong đó việc
nghiên cứu về các họ có tính chất đặc biệt trên không gian tôpô rất được
chú ý. Họ bảo tồn bao đóng di truyền HCP cùng với khơng gian k -mạng σ HCP có vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu không gian mêtric tổng
quát. Những vấn đề này đã được nhiều người quan tâm như: L. Foged
đã giới thiệu về đặc trưng của không gian Fréchet với k -mạng σ -HCP,
Junniala và Ziqiu Yun đã đưa ra mối quan hệ giữa ℵ-không gian và không
gian k -mạng σ -HCP,...
Bởi những lý do như trên cùng với sự góp ý và hướng dẫn tận tình của
thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên
cứu là: “Không gian với họ HCP”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này, tơi nghiên cứu các vấn đề sau:
(1) Họ HCP và các tính chất.
(2) Mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian tôpô.
(3) Không gian với mạng σ -HCP.
3. Đối tượng nghiên cứu
Họ CP, CF, HCP và σ -HCP.
4. Phạm vi nghiên cứu


2

Nghiên cứu tính chất của họ HCP, mối quan hệ với các họ khác cũng
như tính chất của mạng σ -HCP trên trong không gian mêtric suy rộng,
thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài và thực hiện theo quy trình sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống lại những kiến thức của tôpô đại
cương.
(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan
đến họ HCP và mạng σ -HCP và mối quan hệ với các họ khác trên
khơng gian tơpơ.
(3) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả
đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham
khảo dành cho ai đang quan tâm nghiên cứu về mêtric hóa của khơng gian
tơpơ.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 2 chương.
Chương 1, Trong chương này, tôi hệ thống lại một số khái niệm và kiến
thức cơ bản về không gian mêtric, không gian tôpô nhằm phục vụ cho
Chương 2.
Chương 2, Trình bày khái niệm và một số tính chất của của họ HCP
cũng như mạng σ -HCP và mối quan hệ với các họ khác trên không gian tôpô.


3

Trong tồn bộ bài viết, các khơng gian được giả định là T1 -khơng gian
và chính quy.
Sau đây là một vài kí hiệu được quy ước trong tồn bộ bài viết
N là tập hợp các số nguyên dương.
Giả sử X là khơng gian và P ⊂ X , khi đó bao đóng của P được kí hiệu
là P .
Giả sử P là họ các tập con của X và x ∈ X . Khi đó,


P=

{P : P ∈ P},

P=

{P : P ∈ P}.

Giả sử F là họ các tập con của X và K là tập compact trong X . Khi đó,

K ∧ F = {K

F : F ∈ F}.


4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. Không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X = ∅ và hàm d : X×X → R thỏa mãn các tiên đề sau:
Với mọi x, y, z ∈ X , ta có
(1) d(x, y) 0 với mọi x, y ∈ X
d(x, y) = 0 nếu x = y

(tiên đề đồng nhất)


(2) d(x, y) = d(y, x)

(tiên đề đối xứng)

(3) d(x, z)

(tiên đề bất đẳng thức tam giác)

d(x, y) + d(y, z)

Khi đó,

• d được gọi là một mêtric trên X .
• Cặp (X, d) được gọi là khơng gian mêtric.
• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của X .
• d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y .
1.2. Không gian tôpô
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con
nào đó của X thỏa mãn
(1) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ;
(2) Nếu {Uα }α∈λ ⊂ τ , thì

Uα ∈ τ ;
α∈λ

(3) Nếu U, V ∈ τ , thì U

V ∈ τ.



5

Khi đó,

• τ được gọi là một tơpơ trên X .
• Cặp (X, τ ) được gọi là khơng gian tơpơ, viết tắt là X .
• Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.
Nhận xét 1.2.2. Đối với khơng gian tơpơ X , ta có
(1) ∅, X là các tập hợp mở.
(2) Hợp tùy ý những tập hợp mở là một tập hợp mở.
(3) Giao hai tập mở là một tập mở. Do vậy, nếu U1 , U2 , ..., Un là các tập
n

Ui mở.

mở, thì
i=1

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là tập con của không gian tơpơ (X, τ ).
Khi đó,

• U được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho
A ⊂ V ⊂ U;
• Nếu U mở thì U được gọi là lân cận mở của x;
• Nếu A = {x} thì U được gọi là lân cận của x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, x ∈ X , Ux là họ
gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, họ Vx ⊂ Ux được gọi là cơ sở lân
cận tại điểm x nếu với mọi U ∈ Ux , tồn tại V ∈ Vx sao cho: V ⊂ U .
Định nghĩa 1.2.5. Cho (X, τ ) là một không gian tơpơ và B ⊂ τ . Khi đó,


B được gọi là cơ sở của τ nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần
tử của B , nghĩa là
∀U ∈ τ , ∃{Vα }α∈I ⊂ B : U =

Vα .
α∈I


6

Nhận xét 1.2.6. Giả sử B là cơ sở của τ . Khi đó,

• Mỗi phần tử của B là một tập mở trong X .
• Mỗi tập mở trong X có thể khơng thuộc B .
Bổ đề 1.2.7. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và B ⊂ τ . Khi đó,
B là cơ sở của khơng gian tôpô (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với
mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho: x ∈ V ⊂ U .
Chứng minh. (1) ⇒ (2): Giả sử B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ),

U ∈ τ , x ∈ U . Ta phải chứng minh ∃V ∈ B : x ∈ V ⊂ U .
Thật vậy, vì U ∈ τ và B là cơ sở nên

∃{Vα }α∈I ⊂ B : U =

Vα .
α∈I

Ta có: x ∈ U =

Vα nên

α∈I

∃α0 ∈ I : x ∈ Vα0 .
Suy ra tồn tại V = Vα0 ∈ B sao cho x ∈ Vα0 ⊂ U .

(2) ⇒ (1): Giả sử ∀U ∈ τ , ∀x ∈ U , ∃V ∈ B : x ∈ V ⊂ U . Phải chứng
minh B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ).
Thật vậy, lấy W ∈ τ . Khi đó, ∀x ∈ W , ∃Vx ∈ B : x ∈ Vx ⊂ W .
Suy ra

{x} ⊂

W =
x∈W

Kéo theo W =

Vx ⊂ W .
x∈W

Vx .
x∈W

⇒ W là hợp nào đó các phần tử của B .
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử P là một phủ của không gian X và (P ) là một
tính chất phủ của X . Ta nói rằng P là phủ có tính chất σ -(P ) nếu nó có
thể biểu diễn được dưới dạng


7


P=

{Pn : n ∈ N},

trong đó, mỗi Pn là phủ có tính chất (P ) và

Pn ⊂ Pn+1
với mọi n ∈ N.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử X là một không gian tơpơ. Khi đó,
(1) X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu với mọi x ∈ X
có một cơ sở lân cận đếm được.
(2) X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tồn tại cơ sở
B đếm được.
Nhận xét 1.2.10. Nếu X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
hai thì nó là khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Tuy nhiên,
chiều ngược lại không đúng.
Nhận xét 1.2.11. Cho A là tập con của không gian tơpơ X . Khi đó,
(1) A ln tồn tại;
(2) A là tập đóng nhỏ nhất chứa A;
(3) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B ;
(4) A ∪ B = A ∪ B ;
(5) A ∩ B ⊂ A ∩ B ;
(6) A = A;
(7) A đóng ⇔ A = A.
1.3. Không gian khả mêtric
Định nghĩa 1.3.1. Định nghĩa tôpô sinh bởi một mêtric
Giả sử (X, ρ) là một không gian mêtric. Khi đó, họ τ các tập mở trong X
là một tơpơ trên X . Ta nói rằng τ là tôpô sinh ra bởi mêtric ρ.
Như vậy, các không gian mêtric là những không gian tôpô.



8

Định nghĩa 1.3.2. Định nghĩa không gian khả mêtric
Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là khả mêtric nếu tồn tại một mêtric

ρ: X × X → R sao cho tôpô sinh bởi ρ trùng với tôpô τ .
1.4. Các tiên đề tách
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử X là một khơng gian tơpơ. Khi đó,
(1) X được gọi là T1 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x = y , tồn tại
lân cận Ux của x, Vy của y sao cho x ∈
/ Vy và y ∈
/ Ux .
(2) X được gọi là T2 -không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi
x, y ∈ X mà x = y , tồn tại lân cận U của x, V của y sao cho

U

V = ∅.

(3) X được gọi là khơng gian chính quy nếu với mọi tập F đóng trong
X , với mọi x ∈
/ F , tồn tại các lân cận U của x, V của F sao cho

U

V = ∅.

(4) X được gọi là T3 -khơng gian nếu nó là T1 -khơng gian và chính quy.

1.5. Một vài khơng gian mêtric suy rộng
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử P là một họ gồm các tập con của X . Khi đó,
(1) P được gọi là điểm-đếm được nếu mỗi x ∈ X thuộc đếm được phần
tử của P .
(2) P được gọi là điểm-hữu hạn nếu mỗi x ∈ X thuộc hữu hạn phần tử
của P .
(3) P được gọi là rời rạc nếu mỗi x ∈ X , tồn tại lân cận V của x sao cho

V chỉ giao với nhiều nhất một phần tử của P .
∞

(4) P được gọi là σ -rời rạc nếu P =

Pn , trong đó mỗi Pn là họ rời rạc.
n=1

(5) P được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mỗi x ∈ X , tồn tại lân cận

V của x sao cho V chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .


9
∞

(6) P được gọi là σ -hữu hạn địa phương nếu P =

Pn , trong đó mỗi
n=1

Pn là họ hữu hạn địa phương.

(7) P được gọi là đếm được địa phương nếu với mỗi x ∈ X , tồn tại lân
cận V của x sao cho V chỉ giao với đếm được phần tử của P .
∞

(8) P được gọi là σ -điểm-hữu hạn nếu P =

Pn , trong đó mỗi Pn là
n=1

điểm-hữu hạn.
(9) P được gọi là compact-hữu hạn nếu mỗi tập compact K ⊂ X thì K
chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử X là một khơng gian tơpơ. Khi đó,
(1) X được gọi là k-khơng gian nếu nó được xác định bởi phủ gồm các
tập con compact của X .
(2) X được gọi là ℵ-khơng gian nếu nó có k -mạng σ -hữu hạn địa phương.
(3) X được gọi là k -khơng gian nếu với mọi tập con khơng đóng H ⊂ X
và với mọi điểm x ∈ H\H , tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho

x∈H

K.

(4) X được gọi là không gian dãy nếu với mọi A ⊂ X , A là đóng trong
X khi và chỉ khi khơng có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằm
ngồi A.
(5) X được gọi là khơng gian Fréchet nếu với mọi A ⊂ X và x ∈ A, tồn
tại dãy xn ⊂ A hội tụ đến x.
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử X là khơng gian tơpơ. Ta nói rằng X là khơng
gian có tính chất mỗi điểm của X là Gδ -tập nếu với mọi x ∈ X , tồn tại

dãy giảm gồm các tập mở {Un (x) : n ∈ N} sao cho
∞

{x} =

Un (x).
n=1


10

Mệnh đề 1.5.4. Đối với không gian Hausdorff, các khẳng định sau đây
là đúng
(1) Mỗi không gian mêtric là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất;
(2) Mỗi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất là không gian
Fréchet;
(3) Mỗi không gian Fréchet là không gian dãy;
(4) Mỗi không gian dãy là k-không gian;
(5) Mỗi không gian Fréchet là k -không gian;
(6) Mỗi k -không gian là k-không gian.
Chứng minh. (1) Giả sử X là không gian mêtric. Khi đó, với mọi x ∈ X ,
họ

Bx = {B(x; n1 ) : n ∈ N}
là cơ sở lân cận đếm được gồm các tập mở của x. Do đó, X là khơng gian
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
(2) Giả sử X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Ta
cần chứng minh X là khơng gian Fréchet. Thật vậy, vì X là khơng gian
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nên mỗi x ∈ X , tồn tại một cơ sở

lân cận đếm được

Bx = {Vn (x) : n ∈ N}
Ta có thể giả thiết rằng Vn+1 (x) ⊂ Vn (x) với mọi n ∈ N.
Bây giờ, giả sử F là tập con bất kỳ của X và x ∈ F . Khi đó,

Vn (x)

F = ∅ với mọi n ∈ N.


11

Do đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại xn ∈ Vn (x) F . Suy ra tồn tại dãy
{xn : n ∈ N} ⊂ F sao cho xn ∈ Vn (x) với mọi n ∈ N. Ta cần chứng minh
dãy {xn } hội tụ đến x. Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của x. Vì Bx
là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại n0 ∈ N sao cho:

x ∈ Vn0 (x) ⊂ U .
Mặt khác, vì xn ∈ Vn (x) ⊂ Vn0 (x) với mọi n n0 nên suy ra xn ∈ U với
mọi n n0 . Điều này chứng tỏ rằng xn hội tụ đến x.
Vậy X là không gian Fréchet.
(3) Giả sử X là không gian Fréchet. Ta cần chứng minh X là không
gian dãy.
(i) Giả sử F là tập con đóng trong X và {xn } là dãy trong F hội tụ
đến x ∈ X . Khi đó, vì F là tập đóng nên x ∈ F .
(ii) Giả sử F ⊂ X sao cho mọi dãy trong F hội tụ đến điểm x ta đều
có x ∈ F . Ta cần chứng minh F là tập hợp đóng.
Giả sử ngược lại F khơng là tập đóng trong X . Khi đó, tồn tại x ∈ F \F .
Vì X là không gian Fréchet nên tồn tại dãy {xn } ⊂ F hội tụ đến x ∈

/ F.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó, X là khơng gian dãy.
(4) Giả sử X là không gian dãy và A là tập con của X thỏa mãn A

K
đóng trong K với mọi tập con compact K ⊂ X . Ta chỉ cần chứng minh
rằng A đóng trong X .
Giả sử ngược lại rằng A khơng đóng trong X . Khi đó, vì X là khơng
gian dãy nên tồn tại dãy {xn } ⊂ A, hội tụ đến x ∈
/ A. Đặt

K0 = {x} {xn : n ∈ N}.
Khi đó, K0 là tập compact trong X và A K0 = {xn : n ∈ N} là tập
đóng trong K0 , kéo theo A K0 đóng trong X . Suy ra x ∈ {xn : n ∈ N}
kéo theo x ∈ A. Mâu thuẫn với x ∈
/ A. Do vậy, A đóng trong X và X là
k -không gian.


12

(5) Giả sử X là không gian Fréchet, A là tập con khơng đóng của X
và x ∈ A\A. Ta cần chứng minh tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho

x∈A

K.

Thật vậy, vì X là khơng gian Fréchet và x ∈ A nên tồn tại


{xn : n ∈ N} ⊂ A.
hội tụ đến x. Đặt

K = {x} {xn : n ∈ N}.
Hiển nhiên K là tập compact trong X . Từ cách đặt suy ra

A = {xn : n ∈ N}.

K

Mặt khác, vì x ∈ {xn : n ∈ N} nên x ∈ A

K.

Do vậy X là k -không gian.
(6) Giả sử X là k -không gian. Ta cần chứng minh X là k -không gian.
Giả sử ngược lại X khơng là k -khơng gian. Khi đó, tồn tại tập con A
của X sao cho A K đóng trong K với mọi tập compact K ⊂ X nhưng
A không đóng trong X .
Vì A khơng đóng trong X nên tồn tại x ∈ A\A. Mặt khác, vì X là
k -không gian nên tồn tại tập compact K0 ⊂ X sao cho x ∈ A K0 . Hơn

K0 đóng trong không gian con K0 nên A ∩ K là tập compact
trong X . Suy ra A ∩ K là tập con đóng trong X . Do đó

nữa, vì A

A
Từ đó suy ra x ∈ A

k -không gian.

K=A

K.

K . Điều này mâu thuẫn với x ∈
/ A. Do vậy, X là


13

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

2.1. Họ HCP và các tính chất
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ các tập con của X .
Khi đó,
(1) P là họ bảo tồn bao đóng di truyền (HCP) nếu

{Aα : α ∈ J} =

{Aα : α ∈ J},

với mọi J ⊂ Λ, Aα ⊂ Pα , với mỗi α ∈ J .
(2) P là họ bảo tồn bao đóng (CP) nếu

P =


{P : P ∈ P },

với mọi P ⊂ P .
(3) P là họ σ -bảo tồn bao đóng di truyền (σ -HCP) nếu
∞

P=

Pn ,
n=1

trong đó mỗi Pn là họ HCP.
Nhận xét 2.1.2.
(1) Mỗi họ HCP là họ CP.
(2) Mỗi họ con của họ HCP (tương ứng, CP) là họ HCP (tương ứng, CP).
Bổ đề 2.1.3. Nếu P là họ HCP trong không gian X, thì P = {P : P ∈ P}
cũng là họ HCP.


14

Chứng minh. Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ}, ta cần chứng minh
P = {P : P ∈ P} là họ HCP. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử ngược lại P không phải là họ HCP. Khi đó, tồn tại J ⊂ Λ sao
cho với mỗi α ∈ J , tồn tại tập con Aα ⊂ Pα sao cho

{Aα : α ∈ J} =
Do đó, tồn tại x ∈

{Aα : α ∈ J} \


{Aα : α ∈ J}.
{Aα : α ∈ J}.

Vì X là khơng gian chính quy nên với mỗi α ∈ J , tồn tại các tập mở

Uα và Vα của X sao cho
x ∈ Uα , Aα ⊂ Vα và Uα

Vα = ∅.

Mặt khác, vì Vα là tập mở nên

Aα ⊂ Pα

V α ⊂ Pα

Vα .

Hơn nữa, vì P là họ HCP nên

x∈

{Pα

Vα : α ∈ J} =

Do đó, tồn tại α ∈ J sao cho x ∈ Pα

Uα

Do đó, mâu thuẫn với Uα

(Pα

{Pα

Vα : α ∈ J}.

Vα . Bởi vì Uα là lân cận của x nên
Vα ) = ∅.

Vα = ∅ với mọi α ∈ J .

Vì vậy, điều giả sử trên là vô lý.
Hệ quả 2.1.4. Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó của khơng gian
X. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(1) P là họ HCP;
(2) P = {P : P ∈ P} là họ HCP;
Chứng minh. (1) ⇒ (2): Theo Bổ đề 2.1.3

(2) ⇒ (1): Hiển nhiên


15

Hệ quả 2.1.5. Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó của khơng gian
X. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(1) P là họ σ -HCP;
(2) P = {P : P ∈ P} là họ σ -HCP;
Chứng minh: Suy trực tiếp từ Hệ quả 2.1.4

Bổ đề 2.1.6. Nếu P là họ HCP các tập con đóng của khơng gian Fréchet
X thì họ

P ∗ = { F : F là họ con hữu hạn của P}
là họ HCP.
Chứng minh. Giả sử P là họ HCP các tập con đóng của khơng gian Fréchet
X , cần chứng minh P ∗ là họ HCP.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử P ∗ không là họ HCP của
X . Khi đó, tồn tại họ {Fα : α ∈ J }, với Fα là họ con hữu hạn của P và
với mỗi α ∈ J , tồn tại Aα ⊂

F sao cho

{Aα : α ∈ J} =
Do đó, tồn tại x ∈

{Aα : α ∈ J} \

{Aα : α ∈ J}.
{Aα : α ∈ J}.

Vì X là không gian Fréchet nên tồn tại dãy K ⊂
tụ đến x, với

x∈
Do đó, mâu thuẫn với x ∈
/

{Aα : α ∈ J} hội


{Aα : α ∈ J}

{Aα : α ∈ J}.

Vì vậy, P ∗ là họ HCP của X .
Bổ đề 2.1.7. Giả sử X là không gian dãy. Nếu P là họ HCP của X thì

D(P)= {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}
là không gian con đóng rời rạc của X.


16

Chứng minh. Nếu D là tập hữu hạn ⇒ D đóng và rời rạc.
Giả sử D là tập vơ hạn, ta cần chứng minh mọi tập con vô hạn A của

D đều đóng. Thật vậy, giả sử tồn tại tập con vơ hạn A ⊂ D khơng đóng
trong X . Vì X là khơng gian dãy nên tồn tại dãy
{xn : n ∈ N} ⊂ A
hội tụ đến x ∈
/ A, ta có thể giả thiết rằng các xn phân biệt. Lấy P1 ∈ P
sao cho x1 ∈ P1 . Do P không là điểm-hữu hạn tại xn nên bằng quy nạp
ta có thể chọn được

Pn ∈ P\{P1 , ..., Pn−1 }
sao cho xn ∈ Pn , với mọi n ∈ N.
Bởi vì xn ∈ Pn và xn phân biệt nên từ tính chất HCP của P suy ra
{xn : n ∈ N} là tập đóng. Do đó, x ∈ {xn : n ∈ N} ⊂ A. Mâu thuẫn
với x ∈
/ A. Vì vậy, D đóng và rời rạc trong X.

Bổ đề 2.1.8. Giả sử P là họ HCP của không gian dãy X và K là tập
compact trong X . Đặt

D(P)= {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}.
Khi đó K ∩ D là hữu hạn.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh theo phản chứng.
Giả sử tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho K
tồn tại tập đếm được

{xn : n ∈ N} ⊂ K

D là vơ hạn. Khi đó,

D,

với giả thiết các xn phân biệt. Vì P khơng là điểm-hữu hạn tại xn với mọi

n ∈ N nên chọn họ phân biệt {Pn : n ∈ N} sao cho xn ∈ Pn . Vì P là HCP
nên {xn : n ∈ N} là tập con vơ hạn đóng rời rạc trong K . Mâu thuẫn với
tính compact của K . Vậy K D là hữu hạn.


17

Bổ đề 2.1.9. Giả sử P là họ HCP gồm các tập con nào đó của khơng
gian X và

L = {xn : n ∈ N}
là một dãy hội tụ đến x ∈ X . Khi đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho


{x} {xn : n

n0 } ⊂

P,

thì tồn tại P ∈ P và tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } sao cho

{x} {xnk : k ∈ N} ⊂ P .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử với mọi dãy con {xni } của {xn } ta đều có

{x} {xni : k ∈ N} ⊂ P với mọi P ∈ P .
P là hữu hạn với mọi P ∈ P . Không mất tính tổng quát, giả
sử L = {xn : n ∈ N} là dãy vô hạn. Lấy xn1 ∈ P , khi đó tồn tại P1 ∈ P
sao cho xn1 ∈ P1 . Theo giả thiết phản chứng suy ra L P1 là hữu hạn.
Vì L là dãy vơ hạn nên L\P1 là vơ hạn. Do đó, ta có thể lấy n1 , n2 ∈ N
và P2 ∈ P sao cho
Khi đó, L

n2 > n1 , xn2 ∈ P2 và xn2 = xn1 .
Bằng quy nạp, ta có thể thu được một dãy con {xnk : k ∈ N} ⊂ L sao cho

xnk ∈ Pk ∈ P với mọi k ∈ N , và xnk = xnl nếu k = l.
Bởi thế, {xnk } không phải CP. Mâu thuẫn với giả thiết P là HCP.
Mệnh đề 2.1.10. Giả sử P là phủ gồm các tập con đóng của khơng gian
dãy X. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương
(1) P là họ hữu hạn địa phương;
(2) P là họ điểm-hữu hạn HCP;



18

Chứng minh. (1) ⇒ (2): Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ hữu hạn địa
phương, J ⊂ Λ, Aα ⊂ Pα , với mỗi α ∈ J . Ta chứng minh

{Aα : α ∈ J} =

{Aα : α ∈ J}.

Thật vậy

• Theo tính chất bao đóng, vì Aα ⊂

Aα nên
α∈J

Aα ⊂

{Aα : α ∈ J} với mọi α ∈ J .

Do đó

{Aα : α ∈ J} ⊂

{Aα : α ∈ J}.

• Vì P là họ hữu hạn địa phương nên họ {Aα : α ∈ J} cũng là họ hữu
hạn địa phương. Do đó, với mỗi x ∈ {Aα : α ∈ J}, tồn tại lân cận Ux
của x sao cho tập hợp sau là hữu hạn

Sx = {α ∈ J : Ux
Do đó, nếu x ∈

Aα = ∅}.

Aα thì
α∈J

Aα và x ∈
/

x∈
α∈Sx

Aα .
α∈J\Sx

Mặt khác, vì

Aα = (
α∈J

Aα )

α∈Sx

(

Aα ),


α∈J\Sx

và Sx là hữu hạn nên

x∈
α∈Sx

Suy ra

Aα ⊂

Aα =
α∈Sx

Aα .
α∈J


19

Aα ⊂
α∈J

Từ chứng minh trên ta suy ra
đó, P là họ HCP.

Aα .
α∈J

{Aα : α ∈ J} =


{Aα : α ∈ J}. Do

(2) ⇒ (1): Giả sử P là họ HCP, ta cần chứng minh P là họ hữu hạn
địa phương.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử P khơng là họ hữu hạn địa
phương. Khi đó, tồn tại x ∈ X , U là lân cận của x sao cho tập

{P ∈ P : P

U = ∅}

là vô hạn. Vì P là họ điểm-hữu hạn tại x nên tập hợp {P ∈ P : x ∈ P }
là hữu hạn. Nếu đặt

F = P\{P ∈ P : x ∈ P }
thì ta suy ra rằng

U

( F) = ∅ với mọi lân cận U của x.

F . Mặt khác, vì x ∈
/ F nên ∪F khơng đóng trong X .
Mà X là không gian dãy nên tồn tại dãy S ⊂ F , hội tụ đến y ∈
/ F.
Bởi vì, mỗi phần tử của F là đóng, P ∈ F , y ∈
/ P và dãy S hội tụ đến y
nên P chỉ chứa nhiều nhất là hữu hạn phần tử của dãy S . Do vậy, ta có
thể chọn được dãy phân biệt {xk : k ∈ N} là dãy con của S và họ vô hạn

{Pk : k ∈ N} ⊂ F sao cho với mỗi k ∈ N, Pk chỉ chứa duy nhất phần tử
xk của dãy {xk : k ∈ N}. Từ tính chất HCP của P và y ∈ {xk : k ∈ N},
ta suy ra

Suy ra x ∈

y∈
Điều này mâu thuẫn với y ∈
/

{xk : k ∈ N} ⊂

F.

F . Bởi vậy, P là họ hữu hạn địa phương.

Hệ quả 2.1.11. Cho P là phủ HCP gồm các tập con đóng của khơng gian
dãy X . Khi đó


20

D(P) = {x ∈ X : P không là hữu hạn địa phương tại x}
là đóng và rời rac trong X.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.10, ta có

D(P) = {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}.
Sử dụng Bổ đề 2.1.7, ta suy ra được D(P) là khơng gian con đóng và rời
rạc của X .
Mệnh đề 2.1.12. Giả sử P là họ các tập con đóng HCP của khơng gian

dãy X. Khi đó, P là họ điểm-đếm được khi và chỉ khi P là họ đếm được
địa phương.
Chứng minh. (1) Điều kiện đủ: Hiển nhiên.
(2) Điều kiện cần: Giả sử P là họ điểm-đếm được. Ta chứng minh P là
họ đếm được địa phương.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng P không là họ đếm được địa phương
của X . Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho

{P ∈ P : P

U = ∅}

là họ quá đếm được với mọi lân cận U của x. Bởi vì P là họ điểm-đếm
được tại x nên {P ∈ P : x ∈ P } là họ đếm được. Bây giờ, nếu đặt

F = P\{P ∈ P : P

U = ∅}

thì ta suy ra rằng

U

( F) = ∅ với mọi lân cận U của x.

/ F nên F khơng đóng
Điều này chứng tỏ x ∈ F . Mặt khác, vì x ∈
trong X . Bởi vì X là không gian dãy nên tồn tại dãy S ⊂ F , hội tụ đến
y∈
/ F . Hơn nữa, vì mỗi phần tử của F là đóng, P ∈ F , y ∈

/ P và S
là dãy hội tụ đến y nên P chỉ chứa nhiều nhất là hữu hạn phần tử của dãy
S . Do đó, ta có thể chọn được dãy phân biệt {xk : k ∈ N} là dãy con của


21

S và họ đếm được {Pk : k ∈ N} ⊂ F sao cho với mỗi k ∈ N, Pk chỉ chứa
duy nhất phần tử xk của dãy {xk : k ∈ N}. Từ tính chất HCP của P và
y∈

{xk : k ∈ N}

ta suy ra

y∈
Điều này mâu thuẫn với y ∈
/
của X .

{xk : k ∈ N} ⊂

F.

F . Do vậy, P là họ đếm được địa phương

2.2. Mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian
tôpô
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử F là họ các tập con của không gian X .
(1) F là CF trong X nếu với mọi tập compact K ⊂ X , K∧F = {F1 , F2 , ..., Fk },

nghĩa là |K ∧ F| < ω .
(2) F là CF* trong X nếu K ∧ F = {F1 , F2 , ..., Fk } và nếu |Fi |

Fi = {F ∈ F : F

ω thì

K = Fi }

là họ hữu hạn.
(3) F = {Fα : α ∈ Λ} được gọi là HCF (tương ứng với HCF*) trong X
nếu với mọi Eα ⊂ Fα , thì họ {Eα : α ∈ Λ} là họ CF (tương ứng là
CF*) trong X .
Định nghĩa 2.2.2. Giả sử H = {Hλ : λ ∈ Λ} là một phủ của một tập
hợp X . Ta đưa vào một quan hệ tương đương "∼" trên X như sau

x ∼ y ⇐⇒ {λ ∈ Λ : x ∈ Hλ } = {λ ∈ Λ : y ∈ Hλ }.
Khi đó, X được phân hoạch bởi các lớp tương đương của họ H và các lớp
tương đương đó kí hiệu là

P = {P (δ) : δ ∈ ∆},