ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG
TRƯỜNGăĐẠIăHỌCăSƯăPHẠMă
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

DƯƠNGăTHỊăTHANH

NGHIÊNăCỨUăVỀăHỆăMỌăTẢăVÀăỨNGăDỤNG

LUẬNăV NăTHẠCăSĨăTOÁNăHỌC

ĐàăN ngă- N mă2019


ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG
TRƯỜNGăĐẠIăHỌCăSƯăPHẠMă
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

DƯƠNGăTHỊăTHANH

NGHIÊNăCỨUăVỀăHỆăMỌăTẢăVÀăỨNGăDỤNG
Chun ngành: Tốn giải tích
Mưăsố: 84.6.01.02

LUẬNăV NăTHẠCăSĨăTỐNăHỌC

Ng

iăh ngăd năkhoaăh c
TS.ăLÊăHẢIăTRUNG

ĐàăN ngă– N mă2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Lê Hải Trung.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2019
Tác giả

Dương Thị Thanh




Mục lục
MỞ ĐẦU

4

1 Dẫn nhập về hệ mô tả

6

1.1
1.2

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Tính điều khiển được của hệ mơ tả

6
7
11

2.1
2.2

Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng. . . . . . . .
Hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên . . . . .

13
19

2.3

Hệ phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3 Tính chính quy hóa của hệ mơ tả

38

3.1
3.2


Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . .
Hệ mơ tả tuyến tính với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . .

39
43

3.3

Hệ mô tả phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài liệu tham khảo

52

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển của hệ mơ tả đóng vai trị quan trọng trong sự phát
triển của khoa học và kỹ thuật. Lĩnh vực này hiện hữu khắp nơi từ hệ thống
phi thuyền không gian, hệ thống điều khiển tên lửa, máy bay khơng người
lái, người máy, tay máy trong các quy trình sản xuất hiện đại, và ngay cả
trong đời sống hàng ngày: điều khiển nhiệt độ, độ ẩm...Vì vậy, việc nghiên
cứu lý thuyết điều khiển của hệ mô tả là vấn đề cần thiết và cần quan tâm.
Lĩnh vực Lý thuyết điều khiển đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các
nhà tốn học trên thế giới, có thể kể đến như: S.P Zubova, Y.V. Pakornưi,
E.V Raeskaya, A. Ailon, Lena Scholz. . . Trong các cơng trình của các tác giả

nêu trên, các mơ hình điều khiển được nghiên cứu đều được mơ tả dưới dạng
các hệ phương trình vi phân đại số có dạng:

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t)

(1)

x(0) = a, x(T ) = b

(2)

Ax(t)
˙
= Bx(t) + Du(t),

(3)

với điều kiện đầu :
hoặc hệ mơ tả có dạng:

trong đó x(t) được gọi là hàm trạng thái, u(t) được gọi là hàm điều khiển.
Các ma trận A, B, D và các hàm trạng thái và điều khiển thuộc các không
gian tương ứng (với hàm ý là thực hiện được các phép nhân giữa các ma
trận với nhau). Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về hệ (1) và (2) và đồng thời
nghiên cứu thêm về một dạng hệ điều khiển mô tả hệ số hằng dạng:

E x(t)
˙

= Ax(t) + f (t)
4

(4)


và hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng:

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t),

(5)

x(t0 ) = x0 ,

cùng với sự gợi ý từ TS. Lê Hải Trung, tôi quyết định chọn đề tài : “Nghiên
cứu về hệ mô tả và ứng dụng ” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức về tính giải được của phương trình, hệ phương
trình vi phân đại số trong các tài liệu tham khảo khác nhau.
- Nghiên cứu về hệ mơ tả tuyến tính, hệ mô tả phi tuyến.
- Ứng dụng lý thuyết điều khiển của hệ mô tả.
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về hệ điều khiển mô tả hệ số hằng dạng:

E x(t)
˙
= Ax(t) + f (t)

và hệ điều khiển mô tả với hệ số biến thiên dạng:

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t),

x(t0 ) = x0 .

4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu hệ E x(t)
˙
= Ax(t) + f (t) và

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t),

x(t0 ) = x0

trong không gian các hàm biến thực.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực :
Đại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết về
hệ mô tả . . .

5



Chương 1

Dẫn nhập về hệ mô tả
1.1

Các khái niệm cơ bản

Một hệ điều khiển có thể được viết dưới dạng

0 = F (t, x, x,
˙ u),

x(t0 ) = x0

y = G(t, x, u),

(1.1)
(1.2)

trong đó F : I × Dx × Dx˙ × Du → Rl và G : I × Dx × Du → Rp là các hàm
liên tục, Dx , Dx˙ ⊆ Rn và Du ⊆ Rm là tập mở, x0 ∈ Rn và I = [t0 , tf ] ⊂ R .
Phương trình (1.1) được gọi là phương trình trạng thái và (1.2) được gọi là
phương trình đầu ra. Hàm khả vi liên tục x : I → Rn được gọi là hàm trạng
thái của hệ, u : I → Rm là hàm đầu vào và y : I → Rp là hàm đầu ra của hệ.
Ta đưa vo cỏc kớ hiu sau õy

d
d2
x(t)


= x(t), xă(t) = 2 x(t), ...
dt
dt
là các đạo hàm của x theo t và

F,x :=

∂
∂
F (t, x, x,
˙ u), F,x˙ :=
F (t, x, x,
˙ u)
∂x
∂ x˙

cho các đạo hàm riêng của x theo t.

6


Hình 1.1: Mơ hình cho Hệ Điều Khiển Mơ Tả
Nếu F,x˙ khơng thay đổi, phương trình trạng thái (1.1) có thể được biểu
diễn lại như phương trình vi phân thường (ODE):

x˙ = φ(t, x, u),
bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn. Trong trường hợp này, (1.1) được gọi là
phương trình vi phân đại số (DAE). Trong thực tiễn, hệ (1.1) và (1.2) được
gọi là hệ mô tả. Các hệ thống (1.1) và (1.2) phát sinh trong kỹ thuật cơ khí,
điện và hóa học.


1.2

Ví dụ

Ví dụ 1.1. (Con lắc xe đẩy hàng). Xét một con lắc cứng có chiều dài l với
điểm hội tụ m2 gắn vào xe đẩy hàng có khối lượng m1 chỉ di chuyển theo
phương ngang. Tình huống này được mơ tả trong hình 1.2. Chúng ta có
những kí hiệu sau đây:

m1 khối lượng xe đẩy
m2 khối lượng con lắc
l chiều dài con lắc
g trọng lực
x1 vị trí ngang của giỏ hàng
(x2 , x3 ) vị trí khối lượng m2
u ngoại lực tác dụng lên xe.
7


Hình 1.2: Mơ hình cho Hệ Điều Khiển Mơ Tả
Chuyển động của hệ có thể được mơ tả bởi các phương trình EulerLagrange (ELE), với hàm Lagrange được cho bởi:
nc

L(x, x,
˙ λ) = T (x, x)
˙ − U (x) −

λk , gk (x),
k=1


trong đó T (x, x)
˙ biểu thị cho động năng, U (x) biểu thị cho thế năng và
g1 (x) = 0, ...., gnc (x) = 0 biểu thị các liên kết (lý tưởng) hạn chế chuyển
động của hệ. Véc tơ λ =
hiệu w =
bởi:

T

x λ

T

λ1 ... λnc

bao gồm các nhân tử Lagrange. Kí

. Sau đó, các phương trình Euler-Lagrange được đưa ra

d
dt

∂
∂
L(w, w)
˙ −
L(w, w)
˙ = Fex ,
∂ w˙

∂w

(1.3)

trong đó Fex biểu thị (lực) tác động bên ngồi. Trong trường hợp con lắc xe
đẩy hàng, chúng ta có động năng T = 21 m1 x˙1 2 + 12 m2 (x˙2 2 + x˙3 2 ), thế năng

U = m2 gx2 và liên kết g(x) = (x2 − x1 )2 + x23 − l2 . Từ đó ta nhận được hàm
Lagrange có dạng:
1
1
L = m1 x˙1 2 + m2 (x˙2 2 + x˙3 2 ) − mgx3 − λ((x2 − x1 )2 + x23 − l2 ).
2
2

8


Đặt x4 = x˙1 , x5 = x˙2 và x6 = x˙3 , khi đó (1.3) được xác định bởi:


x˙ 1 = x4





x˙ 2 = x5






 x˙ 3 = x6
m1 (x˙ 4 ) = 2λ(x2 − x1 ) + u



m2 (x˙ 5 ) = −2λ(x2 − x1 )






m2 (x˙ 6 ) = −2λx3 − m2 g



0 = (x2 − x1 )2 + x23 − l2 .

(1.4)

Vì ta chỉ quan tâm đến vị trí của con lắc, nên phương trình đầu ra có dạng

y=

0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0


x=

x2
x3

.

Tuyến tính hóa (1.1) và (1.2) ta nhận được hệ mơ tả tuyến tính với các hệ
số biến thiên có dạng:

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t),
y(t)
= C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)

x(t0 ) = x0

,

(1.5)

với các hàm ma trận liên tục E, A : I → Rl×n , B : I → Rl×m , C : I → Rp×n
và D : I → Rp×m và các hàm không đồng nhất liên tục f : I → Rl ,
g : I → Rp . Tương tự, tuyến tính hóa (1.1) và (1.2) theo quỹ đạo tham chiếu
khơng đổi tạo ra hệ mơ tả tuyến tính:

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t),

y(t)
= C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)

x(t0 ) = x0

(1.6)

với E, A ∈ Rl×n , B ∈ Rl×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m .
Chú ý 1.1. Trong các hệ không gian trạng thái tiêu chuẩn (LTV hoặc LTI)
một trong hai có E(t) = In = E và l = n. Do đó, chúng là những trường
hợp đặc biệt của (1.5) và (1.6).
Ví dụ 1.2. (Tuyến tính hóa con lắc xe đẩy hàng). Ta tiến hành tuyến tính
hóa các phương trình chuyển động (1.4) của ví dụ 1.1 dọc theo nghiệm cân

9


bằng x
¯=

¯
x¯1 ... x¯6 λ

0 0 −l 0 0 0 m2l2 g . Sử dụng phép khai
¯+λ
ˆ ta có được:
triển xi = x
¯i + xˆi với i = 1, ..., 6 và λ = λ



x¯˙ 1 + xˆ˙ 1 = x¯4 + xˆ4





x¯˙ 2 + xˆ˙ 2 = x¯5 + xˆ5





¯˙ 3 + xˆ˙ 3 = x¯6 + xˆ6
x
¯ + λ)
ˆ +u
(1.7)
m1 (x¯˙ 4 + xˆ˙ 4 ) = 2(¯
x2 + xˆ2 − x¯1 − xˆ1 )(λ



¯ + λ)
ˆ

m2 (x¯˙ 5 + xˆ˙ 5 ) = −2(¯
x2 + xˆ2 − x¯1 − xˆ1 )(λ





¯ + λ)
ˆ − m2 g
m2 (x¯˙ 6 + xˆ˙ 6 ) = −2(¯
x3 + xˆ3 )(λ




0 = (x¯˙ 2 + xˆ˙ 2 − x¯1 − xˆ1 )2 + (¯
x3 + xˆ3 )2 − l2
=

Hoặc viết dưới dạng ma trận:



0
0
0
1



 0
0
0


1






 0
0
0
1




 m2 g m2 g

 x˙ =  − l

0
m1
l


 mg
m
g

 2

− l2
0

m2
 l





0
− ml2 g
m2

 0

0
0
−2l
0
E

A









+







y=

0
0
0
0
0
−m2 g
0
f
















0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
C

10

x.

1
0
0
0
0
0
0

0
1
0
0
0
0
0

0
0
1
1
0

1
1

0
0
0
0
0
0
0

















 x+












0
0
0
1
0
0
0
B









u








Chương 2

Tính điều khiển được của
hệ mơ tả
Một câu hỏi đầu tiên trong phân tích các hệ mơ tả là sự tồn tại và tính duy
nhất của các nghiệm của (1.1) và (1.2), được xác định bởi:

0 = F (t, x, x,
˙ u),

x(t0 ) = x0 ,

0 = y − G(t, x, u).

(2.1)
(2.2)

Đối với ODE, chúng ta có thể sử dụng định lý hàm ẩn để biến đổi (1.1) thành
(2.3)

x˙ = f (t, x, u).

Nếu f là một hàm trơn (hoặc Lipschitz liên tục đối với đối số thứ hai) thì
lý thuyết ODE đảm bảo một nghiệm x(t) duy nhất cho mọi điều kiện ban
đầu x(t0 ) = x0 và bất kỳ hàm đầu vào liên tục nhất định nào đó u. Trong
trường hợp chung của hệ mơ tả, điều này khơng cịn đúng như trong các ví

dụ sau minh họa.
Ví dụ 2.1. Xét hệ

0 1
0 0

x˙ 1
x˙ 2

=

1 0
0 0

x1
x2

+

0
1

u

hay

x˙ 2 = x1 ,

0 = u.
11


x1 (0)
x1,0
,
=
x2,0
x2 (0)


Chúng ta có một điều kiện đại số cho u đầu vào, ngụ ý rằng hệ chỉ có
thể giải được nếu u = 0. Mặt khác, x1 không được xác định duy nhất (có
thể được chọn tùy ý) và có thể được xem như là một hệ điều khiển kiểm tra
phần tử x2 .
Ví dụ 2.2.

1 0

0 1
0 0

Hệ

 

 

0 0
x1
0 1 0
x˙ 1

0

 

 

0   x˙ 2  =  0 0 1   x2  +  1 0 
x3
0 −1
0 1 0
x˙ 3
0

u1
u2

(2.4)

bao gồm hai phương trình vi phân cho x1 và x2 và một quan hệ đại số cho
x2 và u2 . Phần tử thứ ba không được xác định rõ ràng. Lấy đạo hàm phương

trình cuối cùng của (2.4) và thay thế vào phương trình đầu tiên của các kết
quả tại (2.4):

0 = x2 − u2 =⇒ 0 = x˙ 2 − u˙ 2 = x3 + u1 − u˙ 2 =⇒ x3 = −u1 + u˙ 2 .
Phần tử x3 được xác định hoàn toàn và u2 phải là khả vi. Theo đó, hệ (2.4)
được viết là:

x˙ 1 = u2
x 2 = u2

x3 = −u1 + u˙ 2 .
Ví dụ 2.3. Xét hệ

0 0
1 1

x˙ 1
x˙ 2

=

−1 1
0 0

x1
x2

+

1 0
0 1

u1
u2

.

Phép lấy vi phân của phương trình đầu tiên thể hiện

x˙ 1 = x˙ 2 + u˙ 1 .

Thay thế vào phương trình thứ hai ta được:

1
x˙ 2 = (u2 − u˙ 1 ).
2

(2.5)

Phương trình (2.5) xác định một nghiệm duy nhất cho mọi giá trị ban đầu
x2 (t0 ) với mọi u2 và u1 là các hàm khả tích. Phần tử đầu tiên x1 và giá trị
ban đầu của nó được xác định duy nhất bởi phương trình đầu tiên.

12


Định nghĩa 2.1. .
1. Hàm x
ˆ : I → Rn được gọi là một nghiệm (theo nghĩa cổ điển) của (1.1)
nếu x
ˆ ∈ C 1 (I, Rn ) và xˆ thỏa mãn mỗi điểm (1.1) cho một số hàm đầu vào đã
cho u.
2. Hàm x
ˆ : I → Rn được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
(IVP) bao gồm (1.1) và x(t0 ) = x0 ∈ Rn , nếu x
ˆ là một nghiệm của (1.1) và
thỏa mãn x
ˆ(t0 ) = x0 .
3. Giá trị ban đầu x0 ∈ Rn được gọi là thuần nhất, nếu IVP tương ứng
có ít nhất một nghiệm.
Định nghĩa 2.2. Một vấn đề kiểm soát (1.1 ) được gọi là đồng nhất nếu tồn

tại hàm đầu vào u để cho (1.1) có nghiệm, và được gọi là khơng đổi nếu nó
có một nghiệm duy nhất cho mọi giá trị ban đầu phù hợp với hệ có đầu vào

u.
Đối với đầu vào với u đã cho, hệ (1.1) biểu thị là một phương trình vi
phân đại số (DAE). Do đó, lý thuyết cho khả năng giải quyết các hệ mơ tả
có liên quan mạnh mẽ đến lý thuyết cho các DAE.

2.1

Hệ phương trình vi phân đại số với hệ
số hằng.

Xét DAE tuyến tính

E x˙ = Ax + f (t).

(2.6)

có E, A ∈ Rl×n và f : I → Rl , x : I → Rn . Lưu ý rằng hệ mô tả là trường
hợp đặc biệt của (2.6) bằng cách đặt f (t) = Bu(t) cho đầu vào u đã cho.
Trạng thái nghiệm của hệ phụ thuộc vào các thuộc tính của cặp ma trận
(E, A) hoặc tương đương với chùm ma trận λE − A đối với một số λ ∈ C.
Định nghĩa 2.3. Chùm ma trận λE − A hoặc cặp (E, A) với E, A ∈ Rl×n
được gọi là khơng đổi nếu l = n và det(λE − A) = 0 với λ ∈ C. Trong trường
hợp ngược lại được gọi là kỳ dị.
Ví dụ 2.4. (Chùm ma trận khơng đổi).

13



Chùm ma trận

 
1 0 0
0 1 0

 

(E, A) =  0 0 0  ,  0 1 0 
0 0 1
0 0 0


là khơng đổi, vì det(λE − A) = −1 = 0 với mọi λ ∈ C.
Ví dụ 2.5. (Chùm ma trận kỳ dị).
Chùm ma trận


 
1 0 0
0 1 0
 


(E, A) =  0 0 1  ,  0 0 0 
0 0 1
0 0 0



là khơng thay đổi, vì det(λE − A) = 0 cho tất cả λ ∈ C.

˜ A)
˜ được gọi là tương đương
Định nghĩa 2.4. Hai cặp ma trận(E, A) và (E,
mạnh nếu tồn tại ma trận không suy biến W ∈ Rl×l và T ∈ Rn×n sao cho

E˜ = W ET, A˜ = W AT.
Bổ đề 2.1. Cặp ma trận (E, A) là không đổi khi và chỉ khi mọi cặp tương
đương mạnh (E, A) đều không đổi.

˜ = W ET, A˜ = W AT. Sau đó,
Chứng minh Để W, T ∈ Rn×n sao cho E
chúng ta có
˜ = det(W (λE − A)T ) = det(W ) det(T ) det(λE − A)
det(λE˜ − A)
với det(W ) det(T ) = 0. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1. (dạng chính tắc Weierstrass). Để λE − A không thay đổi, cần
tồn tại ma trận không suy biến W, T ∈ Rn×n , sao cho

λW ET − W AT = λ

Inf 0
0 N

−

J 0
0 In∞


(W CF )

với J, N ở dạng chính tắc Jordan, N lũy linh với số mũ v , tức là N v = 0,

N v−1 = 0. Số v được gọi là số mũ của λE − A hoặc số mũ của DAE (2.6) và
được kí hiệu v = ind(E, A).
14


Chứng minh. Vì (E, A) khơng thay đổi, tồn tại λ0 ∈ C với det(λ0 E −

A) = 0 và do đó λ0 E − A khơng suy biến
(E, A) =
(E, A − λ0 E + λ0 E)
∼ (−(λ0 E − A)−1 E − (λ0 E − A)−1 (A − λ0 E + λ0 E))
=
((λ0 E − A)−1 E, I + λ0 (A − λ0 E)−1 E)
Hơn nữa, tồn tại một ma trận khơng suy biến S ∈ Rn×n sao cho S(A −

λ0 E)−1 S −1 ở dạng chính tắc Jordan, tức là:
J˜ 0
˜
0 N

S(A − λ0 E)−1 S −1 =

,

trong đó J˜ là khơng suy biến (một phần thuộc về giá trị đặc trưng khác
˜ là tam giác

˜ là lũy linh tam giác trên. Khi đó, ma trận I + λ0 N
không) và N
trên không suy biến và chúng ta có

(E, A) ∼

∼

J˜ 0
˜
0 N

I + λ0 J˜
0
˜
0
I + λ0 N

,

I
0
˜ )−1 N
˜
0 (I − λ0 N

,

J˜−1 + λ0 I 0
0

I

˜ )−1 N
˜ là lũy linh và tam giác trên. Chuyển J˜−1 + λ0 I và (I +
với (I + λ0 N
˜ )−1 N
˜ thành dạng chính tắc Jordan mang lại biểu thức (WCF).
λ0 N
Đối với các cặp ma trận thơng thường (E, A) hệ tuyến tính DAE (2.6)
có thể được chuyển thành dạng chính tắc Weierstrass bởi:

W ET T −1 x˙ = W AT T −1 x + W f (t)
⇔

Inf 0
0 N

x˜˙ 1
x˜˙ 2

=

J 0
0 In∞

x˜1
x˜2

+


f˜1
f˜2

x˜1
f˜1
−1
¯
bằng cách sử dụng biến đổi biến số x
˜=
= T x và f =
= W f.
x˜2
f˜2
Hệ thu được được tách rời thành phương trình vi phân thơng thường dạng:
x˜˙ 1 = J x˜1 + f˜1 ,
15

(2.7)


và được gọi là phần vi phân (còn được gọi là phần động hoặc phần chậm)
của hệ (2.6) và phương trình đại số:

N x˜˙ 2 = x˜2 + f˜2 ,

(2.8)

cịn được gọi là phần đại số hoặc hệ thống con chậm của (2.6). Để thấy rằng,
(2.8) thực sự là một phương trình đại số, chúng ta xem
trận của nó:



 
 
0 ∗
x˜˙ 2,1
x˜2,1

  ..   ..  
... ...

 .   .  

 

 
. . . ∗   ..  =  ..  + 


 .   .  
0
x˜2,n∞
x˜˙ 2,n∞

xét 2.6 ở dạng ma

f˜2,1
..
.
..

.
f˜2,n∞








trong đó ∗ ∈ {0, 1}. Phương trình cuối cùng xác định duy nhất x
˜2,n∞ =
−f˜2,n∞ . Sử dụng mối quan hệ này, ta có thể thay thế phương trình cuối cùng

thứ hai và giải phương trình đại số. Tiếp tục với quy trình này xác định duy
nhất tất cả các thành phần của x
˜2 .
Bổ đề 2.2. Nghiệm x
˜2 . của phương trình đại số (2.8) được cho bởi:
v−1

N i f2−i (t),

x¯2 = −

(2.9)

i=0

trong đó v biểu thị số mũ của lũy linh N .

Chứng minh. Đặt D =

là tốn tử vi phân. Vì N là ma trận không
đổi, D và N thay thế nhau và (N D)v = N v Dv = 0. Hơn nữa,
d
dt

v−1

(N D)i = I − N v Dv = I.

(I − N D)
i=0

Cuối cùng, (2.8) có thể được viết lại là (I − N D)˜
x2 = −f˜2 mang lại:
v−1

v−1

N i f˜2−i

N D f˜2 = −

x˜2 = −(I − N D) f˜2 = −
−1

i

i=0


i

i=0

Do đó, x
˜2 được xác định duy nhất bởi phương trình đại số (2.9). Giá trị ban
đầu được chuyển đổi x
˜2,0 phải thỏa mãn phương trình (2.9), tức là: nó phải

16


thuần nhất vì nếu khơng hệ sẽ khơng thể giải được. Hơn thế nữa, f˜2 (và cũng
là f ) phải thoả mãn (v − 1) lần có thể khả vi liên tục. Mặt khác, hệ (2.7) có
một nghiệm duy nhất x
˜1 với bất kỳ giá trị ban đầu x˜1,0 và mọi f˜1 được đưa
ra bởi:

t
Jt

x˜1 (t) = e x˜1,0 +

eJ(t−s) f˜1 (s)ds.

0

Biến đổi lại cuối cùng cho ra nghiệm x = T x
˜.

Chú ý 2.1. Trong phần mơ tả, tính không đồng nhất f (t) được cho bởi
˜1
B
f˜1
˜2 u(t), tức là
u(t) và B
f (t) = Bu(t). Vì vậy
= W Bu(t) =
˜
˜
f2
B2
u(t) phải (v − 1) lần khả vi liên tục. Đối với sự tồn tại của nghiệm x chúng
ta cần u ∈ C v (I, R). Do đó, các hàm điều khiển liên tục từng khúc (điều
khiển đóng mở) có thể khơng hoạt động. Tính thuần nhất của các điều kiện
ban đầu có thể phụ thuộc vào các đạo hàm của hàm đầu vào u(t).
Chúng ta tóm tắt các kết quả trước đó trong định lý sau:
Định lý 2.2. (Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm). Xét một DAE tuyến
tính khơng thuần nhất hệ số hằng (2.6) với cặp ma trận thông thường (E, A)
và f ∈ C v (I, Rn ) trong đó v = ind(E, A). Khi đó:
1. DAE (2.6) có thể giải được.
2. Giá trị ban đầu x0 ∈ Rn là thuần nhất khi và chỉ khi
v−1
(i)

N i f¯2 (0)

x¯2,0 = −
i=1


x¯1,0
f¯1
và W f =
trong đó T x0 =
với T, W ∈ Rn×n chuyển (E, A)
¯
x¯2,0
f2
thành dạng chính tắc Weierstrass (WCF).
3. Mọi bài tốn ban đầu (2.6) có giá trị ban đầu đồng nhất x0 là duy
nhất có thể giải được.
−1

Định nghĩa 2.5. Tập hợp các giá trị ban đầu đống nhất được định nghĩa
bởi:

Xc0

:= {x0 = T

x˜1,0
x˜2,0

v−1
(i)

N i f˜2 (0)}.

nf


|˜
x1,0 ∈ R , x˜2,0 = −
i=1

17


Chúng ta kết luận rằng nếu (E, A) không đổi với x0 ∈ Xc0 và u(t) là v lần
vi phân liên tục, thì

E x˙ = Ax + Bu, x(0) = x0
có một nghiệm (cổ điển) duy nhất. Để làm rõ sự phụ thuộc của nghiệm x
vào giá trị ban đầu và đầu vào, chúng ta viết x(t; x0 , u).
Định lý 2.3. Nếu cặp ma trận (E, A) không thay đổi, thì bài tốn (1.6) là
thuần nhất và khơng đổi.
Chứng minh. Lấy u(t) ≡ 0 chúng ta có E x˙ = Ax + f với cặp ma trận
không thay đổi (E, A). Vì vậy, đối với giá trị ban đầu nhất quán x(0) = x0
tồn tại một nghiệm duy nhất. Do đó, bài tốn kiểm sốt là phù hợp. Tính
khơng đổi được xác định theo Định lý 2.2.
Định lý 2.4. Nếu (E, A) có E, A ∈ Rl×n là một cặp ma trận suy biến, thì
bài tốn kiểm sốt (1.6) thay đổi.
Chứng minh.
Trường hợp 1. rank(λE − A) < n với mọi λ ∈ C.
Ta lựa chọn u ≡ 0 và f (t) ≡ 0 và xét DAE thuần nhất E x˙ = Ax cùng
với x(0) = x0 . Để λ1 , λ2 , λ3 , ..., λn+1 ∈ C khác nhau từng đơi một. Sau đó
với mỗi λi tồn tại vi ∈ Cn \ {0} với

(λi E − A)vi = 0
và vi là phụ thuộc tuyến tính. Do đó, tồn tại αi ∈ C, (i = 1, . . . , n+1) khơng
n+1


n+1

i=1

i=1

Khi đó x(0) = 0 và
n+1

E x(t)
˙
=E

α i v i e λi t .

αi vi = 0. Xác định x(t) =

đồng thời bằng không sao cho

n+1

α i λi e

λi t

αi vi eλi t = Ax(t).

=A
i=1


i=1

Do đó, x(t) là một nghiệm của hệ đồng nhất với x(0) = 0. Vì x
˜(t) ≡ 0 cũng
là một nghiệm, nghiệm khơng là duy nhất, tức là bài toán kiểm soát thay
đổi.
¯ − A) = n với mọi λ
¯∈C
Trường hợp 2. rank(λE

18


¯

Vì (E, A) là suy biến, có nghĩa là l > n. Với việc đổi biến số x(t) = eλt x
˜(t)
chúng ta có:
¯ ˙
¯
¯
¯ λt
E(eλt ˜(t)
x + λe
x˜(t)) = Aeλt x˜(t) + Bu(t) + f (t).
¯
¯
¯ x(t)+e−λt
¯ có hạng

Đặc biệt, E x
˜˙ (t) = (A− λE)˜
Bu(t)+e−λt f (t) . Vì (A− λE)

(theo) cột đầy đủ là n, nên tồn tại một ma trận khơng suy biến T ∈ Rl×l
¯ = In hay chính xác hơn:
sao cho T (A − λE)
0

E1
E2

x˜˙ =

In
0

x˜ +

B1
B2

+

f1
f2

E1
B1
f1

¯
= T E,
= T B, u˜(t) = e−λt u(t) và
= T f . Phần
E2
B2
f2
(E1 , In ) là không thay đổi vì rank(λE1 − In ), đối với λ = 0 và

với

E1 x˜˙ = x˜ + B1 u˜ + f1 (t)
có một nghiệm duy nhất cho mọi u
˜ đủ trơn với f1 (t) theo định lý 2.3. Từ
E2 x˜˙ = B2 u˜ + f2 (t) chúng ta có được một điều kiện nhất quán cho B2 u˜ để
duy trì sự tồn tại của một nghiệm. Tồn tại tính khơng thuần nhất trơn tùy
ý f2 mà trong đó

E1 x¯˙ = B2 uˆ + f2 (t)
và do đó hệ thay đổi.
Chú ý 2.2. Lưu ý rằng hệ mơ tả tuyến tính có hệ số khơng đổi, tính đều đặn
của (E, A) là thuận lợi nhưng khơng cần thiết (hệ có thể vẫn nhất quá. Đối
với cặp suy biến (E, A) chúng ta có thể xây dựng dạng chính tắc Kronecker
(KCF) thay vì dạng chính tắc Weierstrass.

2.2

Hệ phương trình vi phân đại số với hệ
số biến thiên


Bây giờ chúng ta xét các hệ mô tả của dạng:

E(t)x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t), x(t0 ) = x0
19

(2.10)


y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + g(t)
Để phân tích các thuộc tính của hệ, chúng ta thực hiện một cách tiếp cận
x
hành vi (lần đầu tiên được đề xuất bởi Jan Willems 1990). Đặt z =
u
và viết phương trình trạng thái là

E(t) 0 z˙ =
với ε :=

E(t) 0

và A :=

A(t) B(t) z + f (t)

A(t) B(t)

hoặc tương đương là
(2.11)


ε(t)z(t)
˙ = A(t)z(t) + f (t)
với ε, A : I → Rl×(n+m) .

Chú ý 2.3. Đạo hàm của đầu vào u có trong (2.11). Hơn nữa, chúng ta cũng
có thể bao hàm phương trình đầu ra bằng cách đưa z =

xT y T z T

T

và

xét

E(t) 0 0
0 0 0

z˙ =

A(t) B(t) 0
C(t) D(t) −Ip

z+

f (t)
g(t)

.


Tuy nhiên, do phương trình đầu ra xác định rõ ràng y , phương trình đầu ra
sẽ khơng góp phần vào việc phân tích và khơng được xem xét.
Đối với hệ (2.11) ta có thể áp dụng lý thuyết cho các DAE tuyến tính
khơng vng với các hệ số thay đổi. Đầu tiên, chúng ta xây dựng hệ giả (hoặc
chuỗi đạo hàm) thu được bởi DAE ban đầu (2.11) và tất cả các đạo hàm

d
dt

i

(ε(t)z(t))
˙
=

d
dt

i

(A(t)z(t)) +

d
dt

i

f (t)


i = 1, ..., k.

Đến một số thứ tự k ta có được:

Mk (t)v˙ k (t) = Nk (t)vk (t) + hk (t),
trong đó Mk , Nk : I → R(k+1)l×(n+m) được đưa ra bởi

(Mk )i,j =

i (i−j)
i
ε
−
A(i−j−1)
j
j+1
20

i, j = 0, ..., k,


(Nk )i,j =

A(i)
0

i = 0, ..., k, j = 0
j = 0.

(vk )j = z (j) ,


j = 0, ..., k,

(hk )j = f (j) ,

j = 0, ..., k.

Ví dụ 2.6. Đối với k = 2, chúng ta thêm o hm u tiờn

+ Az + f
ă
z + z = Az
v o hm th hai

ă + 2A z + fă
z (3) + 2ă
z + ăz = Az
ca (2.11 ) tới DAE (2.11) để thu được:
 

  
z
z˙
A 0 0

0
0






0 ză =  A 0 0   z˙  + 
 A
ză
Aă 0 0
z (3)
ă 2A 2 A



f

f .
fă

Gi thit 2.1. Tn ti cỏc s nguyên µ
ˆ, a
ˆ, dˆ và vˆ sao cho cặp giả (Mµˆ , Nµˆ )
được liên kết với cặp hàm có giá trị ma trận (ε(t), A(t)) có các tính chất sau:
1. Với mọi t ∈ I chúng ta có

rank(Mµˆ (t)) = (ˆ
µ + 1)l − a
ˆ − dˆ
sao cho tồn tại hàm Z có giá trị ma trận trơn có kớch thc (
à + 1)l ì (
a + v)
v hng tối đa theo điểm thỏa mãn


Z T Mµˆ = 0.
2. Với mọi t ∈ I chúng ta có






 T


rank 
Z
N
µ
ˆ





In+m
0
..
.

21

0






 = a
 ˆ .



Điều này ngụ ý rằng khơng mất tính tổng qt Z có thể được phân chia
thành Z = Z2 Z3
(ˆ
µ + 1)l × vˆ sao cho

với Z2 có kích thước (
à + 1)l ì a
v Z3 cú kớch thc

A2 :=





Z2T Nµˆ 







T
có thứ hạng đầy đủ a
ˆ và Z3 Nµˆ 



In+m
0
..
.



In+m
0
..
.
0













 = 0.



0
Hơn nữa, tồn tại một hàm có giá trị ma trận trơn T2 có kích thước
(n + m) × (n + m − a
ˆ) và hạng tối đa theo điểm thỏa mãn
Aˆ2 T2 = 0.

Chú ý rằng n + m − a
ˆ = dˆ + uˆ, trong đó uˆ biểu thị số lượng thành phần
khơng được xác định.
3. Với mọi t ∈ I chúng ta có

rank(ε(t)T2 (t)) = dˆ
sao cho tồn tại một hàm có giá trị ma trận trơn Z1 có kích thước l × dˆ, trong
đó

dˆ = l − a
ˆ − vµ ,
có vµ = l − rank

Mµˆ Nµˆ
rank

+ rank
M−1 N−1


Mµˆ−1 Nµˆ−1

với

= 0.

Hơn nữa Z1 có hạng tối đa theo điểm thỏa mãn

ˆ
rank(Z1T (t)ε(t)) = d.
Định nghĩa 2.6. µ
ˆ có thể nhỏ nhất trong giả thiết 2.1 được gọi là số mũ
không tầm thường hoặc số mũ s của hệ (2.11). Hệ (2.11) có µ
ˆ = 0 được gọi
là hệ có số mũ tầm thường.

22