ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————

SAYSONGDED PHOUKHAO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————

SAYSONGDED PHOUKHAO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Chuyên nghành: Tốn giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HỒNG NHẬT QUY

Đà Nẵng - 2019




Mục lục
Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mở đầu

3

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

6

1.1

1.2

1.3

1.4


Một số kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Khái niệm phương trình vi phân . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Cấp của phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . .

7

Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

1.2.2

Một số phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . .

8

Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2 .

13

1.3.2

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . .

14

Hệ phương trình vi phân cấp 1

. . . . . . . . . . . . . .

18


1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . .

18

iii


iv

2 MỘT SỐ MƠ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG
KINH TẾ

20

2.1

Khái niệm phân tích cân bằng động . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1


Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Một số ví dụ về ứng dụng của phép tính tích phân
và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3

2.2

2.3

2.4

22

Ứng dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu
khi biết hệ số co dãn của cầu . . . . . . . . . . .

24

Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường . . . .

26

2.2.1


Phát biểu mơ hình cân bằng động . . . . . . . . .

26

2.2.2

Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng

28

Mơ hình tăng trưởng Solow . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.1

Phát biểu mơ hình tăng trưởng Solow . . . . . . .

31

2.3.2

Phân tích định tính trên biểu đồ pha . . . . . . .

32

2.3.3

Phân tích định lượng . . . . . . . . . . . . . . . .


35

Mô hình thị trường với kỳ vọng giá được dự báo trước .

37

2.4.1

Phát biểu mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4.2

Xác định đường biến động giá . . . . . . . . . . .

38

3 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI
BÀI TỐN KINH TẾ

47

3.1

Mơ hình cân đối liên ngành động đối với cầu vượt mức .

47


3.2

Mơ hình trong tương tác lạm phát và thất nghiệp . . . .

49

3.2.1

49

Phát biểu mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . .


v

3.2.2

3.3

Khảo sát đường biến động lạm phát, giá cả và thất
nghiệp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Biểu đồ pha hai biến và ứng dụng . . . . . . . . . . . .

59

KẾT LUẬN


66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

67


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc của khoa học, kỹ thuật và công
nghệ đã tạo điều kiện tốt cho việc ứng dụng của tốn học vào nhiều lĩnh
vực khác nhau nói chung và vào kinh tế nói riêng. Xu hướng mơ hình
hóa những vấn đề thực tế, rồi dùng các công cụ tốn học để xử lý đã
giúp tìm được nhiều giải pháp cho nhiều vấn đề phức tạp. Những thực
tế đó đã chứng tỏ tốn học là một cơng cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc
phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong các hoạt động
kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực. Việc
biết mơ tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mơ hình tốn học thích hợp,
vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết, phân tích, chú giải
cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một
yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân
tích kinh tế. Trong các thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được
trao cho các cơng trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và
phương pháp tốn học như phương trình vi phân, phương trình sai phân,
lí thuyết xác suất thống kê,...Như vậy, nghiên cứu lý thuyết về phương
trình vi phân và ứng dụng nó vào giải bài tốn kinh tế là một vần đề



4

được các nhà kinh tế luôn quan tâm. Xuất phát từ nhận thức trên cùng
với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS. HỒNG NHẬT QUY em
chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG TRONG KINH TẾ ” đế thực hiện luận văn tốt nghiệp của
mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài này nhằn nghiên cứu, hệ thống hóa lại các khái niệm và các
kết quả cơ bản về phương tình vi phân và ứng dụng của phương trình
vi phân vào giải bài tốn kinh tế.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả
về ứng dụng của phương trình vi phân vào giải bài tốn kinh tế.

Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải bài tốn kinh tế.

4. Phương pháp nghiên cứu
+ Thu thập tài liệu các bài báo viết về phương trình vi phân và các ứng
dụng của nó.
+ Phân tích tổng hợp kiến thức.


5

+ Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.


5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài hệ thống hóa lại một số kiến thức về phương trình vi phân
(chương 1) và đưa ra một số ứng dụng của phương trình và hệ phương
trình vi phân trong kinh tế (chương 2 và chương 3). Những kết quả này
là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên, học viên ngành toán và các
sinh viên học tại các trường kinh tế.

6. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn ngoài phần Mở đầu, giới thiệu về lý do chọn
đề tài, mục tiêu, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu, thì nội
dung chính gồm có 3 chương. Chương 1 hệ thống lại lý thuyết về phương
trình vi phân cần dùng cho các ứng dụng về sau. Chương 2 trình bày
một số mơ hình phương trình vi phân trong kinh tế. Chương 3 là ứng
dụng của hệ phương trình vi phân vào giải quyết một số bài tốn kinh
tế. Trong các chương, ngồi phần lý thuyết mơ tả các cách thức chung,
cịn bao gồm các ví dụ cụ thể với dữ liệu bám sát thực tế, giúp minh
họa cho các lý thuyết chung vừa trình bày.


6

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1

Một số kiến thức chung

1.1.1


Khái niệm phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân là phương trình có dạng
′′

F (x, y, y ′ , y , ..., y (n) ) = 0.
Trong đó F là hàm xác định trên một miền nào đó của khơng gian
Rn+2 , và x là biến độc lập, y là hàm của biến độc lập x và y ′ , y ′′ , y ′′′ , y (n) ,
là các đạo hàm từ cấp 1 đến cấp n của nó.
Nếu từ phương trình trên ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao
nhất y (n) , qua các biến cịn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối
với y (n) , hoặc ta cịn gọi phương trình dạng chính tắc, tức phương trình
có dạng
y (n) = f (x, y, y ′ , .., y (n−1) ).


7

1.1.2

Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện
trong phương trình.
Ví dụ 1.1.
d2 y
dy
+
2
dx2

dx
1.1.3

3

+ y = 0,

là phương trình vi phân cấp 2.

Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = y(x), khả vi n, lần trên
khoảng (a, b), nào đó và thỏa mãn phương trình đã cho, tức là
′′

F x, y(x), y ′ (x), y (x), ..., y (n) (x) = 0,
với mọi x thuộc khoảng (a, b).
Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. Các
nghiệm của phương trình vi phân có thể được biểu diễn dưới các dạng
tường mình y = y(x), hay x = x(y), dưới dạng ẩn φ(x, y) = 0, hoặc dưới
dạng tham số x = x(t), y = y(t). Đồ thị của nghiệm được gọi là đường
tích phân của nó. Giải phương trình vi phân cũng có nghĩa là đi tìm tất
cả các đường tích phân của nó.


8

1.2
1.2.1


Phương trình vi phân cấp 1
Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là
F (x, y.y ′ ) = 0,

(1.1)

trong đó hàm F xác định trên miền D ⊂ R3 .

- Nếu trên miền D, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y ′ :
y ′ = f (x, y),

(1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp 1 dạng chính tắc hay cịn gọi là
phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm.
- Hàm y = ϕ(x), xác định và khả vi trên khoảng I = (a, b), được gọi là
nghiệm của phương trình (1.1) nếu:
a) x, ϕ(x), ϕ (x) ∈ D, với mọi x ∈ I;
′

b) F x, ϕ(x), ϕ (x) ≡ 0, trên I.
′

- Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đối với đạo hàm
dạng đối xứng : M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.

1.2.2


Một số phương trình vi phân cấp 1

i) Phương trình với biến số phân li
Phương trình vi phân cấp 1 dạng
M (y)dy + N (x)dx = 0,

(1.3)

được gọi là phương trình với biến số phân li ( hay cịn gọi là phương trình
tách biến).


9

Cách giải:
Các hàm M (y), N (x), được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó.
Khi đó chuyển về số hạng thứ hai và lấy tích phân hai vế của (1.3), ta
được
M (y)dy = −

N (x)dx.

Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3).
ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
(1.4)

y ′ + p(x)y = q(x).

Trong đó p(x), q(x), là các hàm xác định trên khoảng (a, b), nào đó,

y = y(x), là hàm cần tìm để phương trình(1.4) thỏa mãn.
- Nếu q(x) ≡ 0, ta có phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
(1.5)

y ′ + p(x)y = 0.

+ Nếu q(x) = 0 , ta gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính khơng
thuần nhất.
* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng.
(1.6)

y ′ + ay = b.
Cách giải:
- Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y ′ + ay = 0
⇒

dy
= −ay ⇒
dx

dy
=−
y

adx


10


⇒ ln y = −ax + c ⇒ yc = Ae−ax .
- Tìm được nghiệm riêng của (1.6) là yp = b/a nếu a = 0; yp = bx nếu
a = 0.
- Nghiệm tổng qt của phương trình (1.6) có dạng
y = yp + yc .
Vậy

y = Ae−ax +

b
b
b
= y(0) − e−ax + ,
a
a
a

y = Ae−ax + bx = y(0)e−ax + bx,

với a = 0;

với a = 0

* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên.

(1.7)

y ′ + p(x)y = q(x).
Cách giải:
- Xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

y ′ + p(x)y = 0
⇒

dy
= −p(x)dx
y

ln y = −

p(x)dx + C1

⇒ yc = Ce−

p(x)dx

.

- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
Coi C là một hàm theo biến x, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.7)
dưới dạng
y = C(x)e−

p(x)dx

.

(1.8)


11


Thay vào phương trình (1.7) ta được
C ′ (x)e−

p(x)dx

= q(x),

suy ra
C(x) =

q(x)e

p(x)dx

dx + K

Thay vào (1.8) ta thu được nghiệm tổng quát của (1.7) là
y = e−

p(x)dx

q(x)e

p(x)dx

dx + K , K

là hằng số.


iii) Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng
y ′ + p(x)y = q(x)y α ,

α ∈ R.

(1.9)

Cách giải:
+ Với α = 0 hay α = 1, thì (1.9) trở thành phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1.
+ Với α = 0 và α = 1, ta chia cả hai vế của (1.9) cho y α

y −α y ′ + p(x)y 1−α =
Đặt z = y 1−α .

q(x).

Khi đó
z ′ = (1 − α)y −α y ′ .

Thay biểu thức của z và z ′ vào (1.10) ta được
z ′ + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x).

(1.10)


12

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với z. Giải phương

trình này ta tìm được nghiệm z = z(x). Từ đó suy ra nghiệm của phương
trình (1.9) là
y = z(x)

1/(1−α)

.

iv) Phương trình vi phân tồn phần
Phương trình vi phân cấp 1
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

(1.11)

được gọi là phương trình vi phân tồn phần nếu vế trái của nó là vi phân
tồn phần của hàm nào đó, tức tồn tại hàm U (x, y), sao cho
dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
hay
∂U
∂U
= P (x, y);
= Q(x, y).
∂x
∂y
Từ (1.11) và (1.12) suy ra

(1.12)

dU (x, y) = 0 ⇒ U (x, y) = C,
với C là hằng số.

∂ 2U
∂ 2U
∂P
∂Q
Do
=
, nên
=
. Ta có thể chứng minh điều ngược lại
∂x∂y
∂y∂x
∂y
∂x
cũng đúng. Vậy phương trình (1.11) là phương trình vi phân tồn phần
khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn
∂P
∂Q
=
.
∂y
∂x
Cách giải:
∂U
Từ
= P (x, y) ta có
∂x
U (x, y) =

P (x, y)dx + ϕ(y).


(1.13)


13

Lấy đạo hàm hai vế theo y ta thu được
∂
∂U
=
∂y
∂x

P (x, y)dx + ϕ(y) = Q(x, y).

Từ đó ta có thể tìm ϕ(y), và do đó tìm được U (x, y). Nghiệm cần tìm
sẽ là:
U (x, y) = C.

1.3
1.3.1

Phương trình vi phân cấp 2
Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2

Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát như sau:
F (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0.

(1.14)

Trong đó F là hàm số của 4 biến số x, y, y ′ , y ′′ .

Việc xét phương trình tổng quát (1.14) khá phức tạp, do đó người
ta thường xét phương trình vi phân cấp 2 dưới dạng giải được theo đạo
hàm cấp 2 như sau:
y ′′ = f (x, y, y ′ ).

(1.15)

Việc giải phương trình vi phân cấp hai thuờng phải qua hai lần lấy tích
phân bất định, do đó nghiệm của nó có dạng
y = ϕ(x, C1 , C2 ).

(1.16)

trong đó C1 và C2 là các hằng số bất kỳ.
Họ hàm số (1.16), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu C1 , C2 , một số bất kỳ ta được


14

một nghiệm của phương trình đó. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm
tổng quát khi gán cho mỗi chữ C1 , C2 một trị số xác định được gọi là
nghiệm riêng của phương trình.
Ví dụ 1.2. Phương trình y ′′ = 2x, có thể giải như sau:

(y ′ )′ = y ′′ = 2x ⇒ y ′ =
y=

2x.dx = x2 + c1


1
(x2 + c1 )dx = x3 + c1 x + c2 .
3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :
1
y = x3 + c1 x + c2 .
3
Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng
1
y = x3
3

(khi c1 = c2 = 0),

1
y = x3 + 2x − 3 (khi c1 = 2, c2 = −3),
3
1.3.2

v,v...

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình

vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = g(x),

(1.17)


trong đó p(x), q(x), g(x) là các hàm số cho trước.
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình (1.17), có nội
dung như sau:


15

Định lý 1.1. Nếu các hàm số p(x), q(x), g(x), xác định và liên tục trên
đoạn [a, b], thì, với x0 ∈ (a, b) và y0 , y0′ là các số thực bất kỳ, tồn tại một
và chỉ một nghiệm y(x), của phương trình (1.17), thỏa mãn điều kiện:

y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y0′ .
Chứng minh: Viết lại phương trình (1.17) dưới dạng
(1.18)

y ′′ = g(x) − p(x)y ′ − q(x)y.

Từ giả thiết p(x), q(x), g(x), liên tục trên đoạn [a; b] suy ra rằng hàm số
f (x, y, y ′ ) = g(x) − p(x)y ′ − q(x)y.
liên tục trong miền

D = (x, y, y ′ ) :

Mặt khác các hàm số liên tục

a

x


p(x), và q(x),

b,

y ∈ R,

y ′ ∈ R.

bị chặn trên [a, b] do đó

tồn tại các hằng số dương K, L, sao cho
|p(x)| ≤ K.|q(x)| ≤ L ∀x ∈ |a, b|.
Từ đây suy ra
|f (x, y2 , y ′ ) − f (x, y1 , y ′ )| = |q(x)| |y2 − y1 | < L|y2 − y1 |
∀(x, y2 , y ′ ), (x, y1 , y ′ ) ⊂ V
|f (x, y2 , y ′ ) − f (x, y1 , y ′ )| = |P (x)| |y2 − y1 |

K|y2 − y1 |

∀(x, y2 , y ′ ), (x, y1 , y ′ ) ∈ V.
Như vậy hàm số ở vế phải của phương trình (1.18), thỏa mãn các điều
kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình vi


16

phân cấp hai tổng quát. Do đó ta có điều phải chứng minh.
⋆

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất


Trường hợp đặc biệt, khi g(x) ≡ 0, phương trình (1.17) có dạng:
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.

(1.19)

phương trình (1.19), được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai thuần nhất. Ta sẽ xét phương trình (1.19) với giả thiết rằng p(x), và
q(x), là các hàm liên tục trên [a, b].
Định lý 1.2. Nếu y(x), là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất (1.19), thì Cy(x), trong đó C, là hằng số bất kỳ, cũng là
nghiệm của phương trình đó.
Chứng minh: Nếu y(x), là nghiệm của phương trình (1.19), thì
y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = 0.
Khi đó, với mọi hằng số C ta có
(Cy(x))′′ + p(x)(Cy(x))′ + q(x)(Cy(x))
= C(y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x)) = 0.
Điều này chứng tỏ Cy(x) là nghiệm của phương trình (1.19).
Định lý 1.3. Tổng của hai nghiệm y1 (x), và y2 (x), của phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất (1.19), cũng là nghiệm của phương trình đó.
Chứng minh: Nếu y1 (x), và y2 (x) là hai nghiệm của phương trình
(1.19), thì
y1′′ (x) + p(x)y1′ (x) + q(x)y1 (x) = 0,


17

và
y2′′ (x) + p(x)y2′ (x) + q(x)y2 (x) = 0.
Từ đây suy ra

(y1 (x) + y2 (x))′′ + p(x)(y1 (x) + y2 (x))′ + q(x)(y1 (x) + y2 (x))
(y1′′ (x) + p(x)y1′ (x) + q(x)y1 (x)) + (y2′′ (x) + p(x)y2′ (x) + q(x)y2 (x)) = 0.
Điều này chứng tỏ hàm số y1 (x) + y2 (x) là nghiệm của phương trình
(1.19).
Định lý 1.4. Nếu phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.19) với
các hệ số p(x), q(x), là các hàm thực, có nghiệm phức y(x) = u(x)+iv(x),
thì phần thực u(x), và phần ảo v(x), của nghiệm phức đó cũng là các
nghiệm của (1.19).
Chứng minh: Nếu y(x) = u(x) + iv(x), là nghiệm phức của phương
trình (1.19) thì
(u(x) + iv(x))′′ + p(x)(u(x) + iv(x))′ + q(x)(u(x) + iv(x)) = 0
⇒ (u′′ (x) + p(x)u′ (x) + q(x)u(x)) + i(v ′′ (x) + p(x)v ′ (x) + q(x)v(x)) = 0.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi thỏa mãn cả hai đồng nhất thức
u′′ (x) + p(x)u′ (x) + q(x)u(x) = 0,
và
v ′′ (x) + p(x)v ′ (x) + q(x)v(x) = 0.
Tức là u(x), và v(x), là các nghiệm của phương trình (1.19).


18

1.4

Hệ phương trình vi phân cấp 1

1.4.1

Định nghĩa

Hệ phương trình sau.











dy1
dx

= f1 (x, y1 ..., yn )

..
.

dyn
dx

(1.20)
= fn (x, y1 ..., yn ),

được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc, trong đó
x, là biến độc lập; y1 , ..., yn , là các hàm phải tìm và các hàm fi (i = 1, n),
xác định trên miền G ⊂ Rn+1 .

Hệ y1 = ϕ1 (x), ..., yn = ϕn (x), khả vi trên khoảng (a, b), gọi là nghiệm
của hệ phương trình nếu:

i)

(x, ϕ1 (x), ..., ϕn (x)) ∈ G; ∀x ∈ (a, b).

ii) ϕ′i (x) = fi x, ϕ1 (x), .., ϕn (x) ; i = 1, n; ∀x ∈ (a, b).
1.4.2

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

dy1

= p11 (x)y1 + p12 (x)y2 + ..., +p1n (x)yn + f1 (x)


 dx
..
.



 dyn = p (x)y + p (x)y + ..., +p (x)y + f (x),
n1
1
n2
2
nn
n
n

dx

(1.21)

trong đó pij (x); i, j = 1, n, liên tục trên khoảng (a, b) .

Nếu fi (x) = 0; i = 1, n , thì (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân
tuyến tính cấp một thuần nhất.


19

Nếu fi (x) = 0; i = 1, n, thì (1.21), được gọi là hệ phương trình vi phân
tuyến tính cấp một không thuần nhất.
Nếu pij (x); i, j = 1, n, là hằng số, thì (1.21), được gọi là hệ phương trình
vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số.


20

Chương 2
MỘT SỐ MƠ HÌNH PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KINH
TẾ
2.1
2.1.1

Khái niệm phân tích cân bằng động
Một số định nghĩa


Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy theo từng
thời điểm cụ thể được xem xét. Chẳng hạn, giá cả của một mặt hàng nào
đó có tính biến động theo thời gian, tức là giá cả là một hàm của thời
gian: P = P (t). Thuật ngữ “kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân
tích kinh tế mà trong đó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo
thời gian của các biến kinh tế, nhằm xác định xem các biến có hội tụ
đến một mức giá trị (cân bằng ) nhất định không sau một khoảng thời
gian đủ dài (thường được ký hiệu là t −→ +∞ ). Trong việc phân tích

kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết
được coi là luôn đạt tới được, mà chỉ có thể đạt tới được với một số điều