ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG
TRƯỜNGăĐẠIăHỌCăSƯăPHẠM


ĐỖăV NăTHỌ

VỀăFRACTALăVÀăTẬPăCANTOR

LUẬNăV NăTHẠC SĨăTOÁNăHỌC

ĐàăN ngă- N mă2019


ĐẠIăHỌCăĐÀăN NG
TRƯỜNGăĐẠI HỌCăSƯăPHẠM


ĐỖ V NăTHỌ

VỀăFRACTALăVÀăTẬPăCANTOR

Chunăngành: Tốn Giải tích
Mưăsố: 84 60 102

LUẬN V NăTHẠC SĨ

Ng iăh ng d n khoa h c
PGS.TS NGUYỄNăNHỤY

ĐàăN ng – N mă2019

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi và được
hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Nhụy.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tác giả

Đỗ Văn Thọ


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Nhụy đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt
q trình thực hiện nội dung luận văn này. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời
cảm ơn và lời chúc sức khỏe đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy
bảo tơi trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Đỗ Văn Thọ



INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: On Fractal Geometry and the Cantor Set
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: Do Van Tho·
Supervisors: Assoc.Prof Dr Nguyen Nhuy
Training institution: DA NANG UNIVERSITY OF EDUCATION
1. The major results of the thesis

- Re-systemize the most basic eatures On Fractal Geometry and the Cantor Set.
- Bring to the thesis's content some self-prove results when doing exercises in
reerence books, such as Theorem 1.3 and 1.4, Examples 1.2, 1.3 and 1.4. In
particular, in the classic documents, there is no description of the analytic structure
of Cantor set.
- Prove in detail and ully term Theorem 2.2.
- Develop and put into the thesis 2.9.1 - 2.9.4 with the aim of making a
comparison of diferent types of Fractal on a specific Fractal.
2. Signiicance
- Introduce the basic theory of ractal geometry is a ield that is still quite new in
Vietnam.
- Science Fractal helps us describe and explain complex phenomena, it has the
delicate structures in nature as well as in society exactly.
- Geometry Fractal has many rich and diverse applications, applie' in many
diferent ields rom construction, oil and gas exploitation, took making to
physiology, linguistic and music.
Key word: Fractal, Fractal Geometry, On Fractal Geometry and the Cantor Set,
the Cantor Set, Sierpinski Gasket, Cantor Dust.
Supervior's conirmation

Assoc.Pro

Do Van Tho


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương

1. FRACTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4


1.1. Một vài tính chất của tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Cận trên đúng và cận dưới đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Tiên đề về cận trên đúng và cận dưới đúng . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Một vài tính chất của cận trên và cận dưới đúng . . . . . . . . . . . 5
1.2. Độ đo Lebesgue trong không gian Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Thứ nguyên Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Một số định nghĩa khác về thứ nguyên Hausdorff . . . . . . . 23
1.6. Thứ nguyên hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7. Hệ thống hàm lặp và điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.1. Hệ thống hàm lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.2. Điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
dorff
2.9.

2. TẬP CANTOR VÀ MỘT VÀI THỨ NGUYÊN FRACTAL


. . . . 30

Xây dựng tập Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Cấu trúc tập Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Hệ thống hàm lặp của tập Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tập Cantor mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Thứ nguyên Hausdorff của tập Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Thứ nguyên hộp của tập Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bụi Cantor và thứ nguyên Hausdorff của nó . . . . . . . . . . . . . 44
Đệm Sierpinski (Sierpinski Gasket) và thứ nguyên Hauscủa nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Thứ nguyên của một số Fractal khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


2.9.1. Tập F là hợp của {0} với dãy điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9.2. Tập F là hợp của {0} với tập là dãy nghịch đảo các tích hai số
tự nhiên liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9.3. Tập F là hợp của {0} với tập là dãy nghịch đảo các tích hai số
tự nhiên lẻ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9.4. Tập F là hợp của {0} với tập là dãy nghịch đảo các tích hai số
tự nhiên chẵn liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


1

MỞ ĐẦU

Trước đây, có nhiều tập hợp và hàm được nghiên cứu một cách hiệu

quả bởi các phương pháp tính tốn cổ điển hoặc bằng các cơng cụ giải tích
thơng thường. Lúc bấy giờ, các tập và các hàm không đủ trơn hay "gồ
ghề" có xu hướng bị lờ đi và bị xem là "vô bổ", không đáng chú ý. Cũng
trong lúc ấy, Toán học xuất hiện các hiện tượng mà chúng ta tưởng chừng
như các nghịch lý, chẳng hạn tồn tại các tập có diện tích hữu hạn mà chu
vi lại vô hạn, hoặc tồn tại những hàm số liên tục tại mọi điểm mà không
khả vi tại bất cứ điểm nào, hoặc như tồn tại tập có lực lượng continum
nhưng lại có độ đo Lebesgue bằng 0, . . .
Tuy nhiên, trong mấy chục năm gần đây thì thái độ đó đang dần thay
đổi. Người ta nhận ra rằng, các đối tượng không trơn mới đáng để quan
tâm nghiên cứu. Có rất nhiều các tập xù xì, kỳ dị lại thể hiện một cách
chân thực, sinh động và chính xác các hiện tượng trong tự nhiên cũng như
trong cuộc sống nhiều hơn so với việc dùng các đối tượng và công cụ lý
tưởng, trơn nhẵn, phẳng phiu của hình học cổ điển. Cần phải thay đổi
cách suy nghĩ cũng như cách tiếp cận và nghiên cứu các tập, các hình và
các hiện tượng.
Đầu những năm 70 của Thế kỷ 20, trên thế giới xuất hiện một hướng
nghiên cứu chính thống, mà khoa học gọi là CHAOS, nghiên cứu các hình
thái hỗn loạn trong tự nhiên, trong đời sống xã hội cũng như trong khoa
học. Cuối những năm 80, là thời điểm mà khoa học đồ thị phát triển mạnh,
đã xuất hiện trong Toán học một hướng nghiên cứu mới được gọi là "Tốn
học hình ảnh". Hướng nghiên cứu này có sự tham gia của một cơng ty máy
tính lớn ở Hoa Kỳ là IBM, mà Benoit Mandelbrot, một người gốc Balan,
là một thành viên của dự án này. Với những phát hiện mang tính đột


2

phá cùng với sự xuất hiện rất nhiều cơng trình nghiên cứu rất có ý nghĩa,
Mandelbrot đã đặt nền móng cho sự ra đời một hướng Toán học mới được

gọi là Hình học Fractal (Fractal Geometry [1]). Tuy nói rằng "hình học",
nhưng khi nghiên cứu một cách sâu sắc về sự tinh tế của loại tập hợp nói
trên, người ta thường dùng cơng cụ giải tích. Ngành khoa học này
nhanh chóng trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng, được tách ra
khỏi ngành khoa học CHAOS từ năm 1975 và phát triển mạnh mẽ từ cuối
những năm 80 của Thế kỷ 20.
Hình học Fractal là một lĩnh vực mới của Tốn học hiện đại và đang
cịn khá mới mẻ ở Việt Nam (xem [2], [3], [4]). Sự ra đời của Fractal được
xem là một hiện tượng của Thế kỷ 20 và điều đặc biệt đáng nói là một
ngành khoa học tuy mới, lại có thể tìm được tiếng nói chung cho nhiều
ngành khoa học vốn dĩ rất khác biệt nhau, từ tốn học, vật lý học, hóa
học, sinh học cho đến nghệ thuật, âm nhạc, kinh tế mà đặc biệt là cơng
nghệ thơng tin truyền thơng. Chính mơn khoa học Fractal giúp chúng ta
mơ tả và giải thích được những hiện tượng phức tạp, có cấu trúc tinh tế
trong tự nhiên cũng như trong xã hội một cách chính xác và chân thực
hơn.
Từ "Fractal" mượn chữ Latinh "Fractus", có nghĩa là gãy vỡ, gồ ghề
và cũng có nguồn gốc từ thuật ngữ Fractalism (thuật tốn hóa), là một
thuật ngữ do Benoit Mandelbrot đưa ra khi ơng khảo sát những hình vóc
hoặc những hiện tượng khơng có đặc trưng về độ dài. Khái niệm Fractal
không được định nghĩa, nhưng theo ông, đó là những đối tượng hình học
có hình dáng gồ ghề, khơng trơn nhẵn trong tự nhiên. Ngồi ra, có loại
khác cịn là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi
nhất định. Một đặc tính quan trọng của Fractal là tự đồng dạng, có nghĩa
là khi lấy một phần nhỏ tùy ý nào đó của tập tự đồng dạng F thì phần
được chọn này ln là bản sao của chính F.
Thật ra, Mandelbrot đã từng định nghĩa Fractal F là một tập có thứ
nguyên Hausdorff lớn hơn thứ ngun tơpơ của nó. Định nghĩa này tuy
thâu tóm được một số tính chất trọng yếu của nhiều Fractal, nhưng về sau



3

chính Mandelbrot thừa nhận nó vẫn chưa thỏa đáng vì loại trừ mất một
số đối tượng cũng cần được xem là Fractal. Cuối cùng thì người ta nhận
thấy chưa có định nghĩa nào phù hợp và đã liệt kê ra một danh sách các
tính chất được coi là đặc trưng cho Fractal, đó là:
(a) F có một cấu trúc tinh tế (cấu trúc mịn), nghĩa là, dù xét với cỡ
nhỏ đến đâu cũng có những chi tiết tinh vi;
(b) F q khác thường (phi chính quy), khơng thể mơ tả theo ngơn
ngữ hình học truyền thống, khó mơ tả tính chất địa phương tại mỗi điểm;
(c) Thứ nguyên của F (theo một nghĩa nào đó) thường lớn hơn thứ
ngun tơpơ của nó;
(d) F thường tự đồng dạng, nghĩa là những bộ phận dù nhỏ đến cỡ
nào, đều coi như một bản sao của toàn thể;
(đ) F thường được xác định bằng một thủ tục hồi quy đơn giản dễ
hiểu;
(e) Mặc dầu F khá lớn, nhưng độ lớn của nó hiểu theo nghĩa thơng
thường thì bằng khơng.
Có hai hướng nghiên cứu Fractal. Hướng thứ nhất là xác định, mô tả
và nghiên cứu các đối tượng Fractal thực trong tự nhiên và trong khoa
học. Hướng thứ hai là nghiên cứu về bản chất tốn học, tức là các vấn đề
có nguồn gốc lý thuyết độ đo hình học, nhưng với cơng cụ Giải tích Tốn
học. Trong Luận văn này, tơi muốn trình bày theo hướng thứ hai cho lĩnh
vực nói trên theo cơng cụ giải tích.
Luận văn gồm hai chương, Chương I trình bày đại cương về Fractal,
Chương II giới thiệu tập Cantor và một vài thứ nguyên Fractal. Với nội
dung và mục đích như vậy, Luận văn này được lấy tên là Về Fractal và
Tập Cantor.



4

Chương 1
FRACTAL

1.1. Một vài tính chất của tập số thực
1.1.1. Cận trên đúng và cận dưới đúng
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ R được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại

α ∈ R sao cho a ≤ α, ∀a ∈ A. Số α thỏa mãn điều kiện này được gọi
là một cận trên của A. Rõ ràng một tập bị chặn trên có vơ số cận trên.
Tập A được gọi là không bị chặn trên nếu với mỗi r ∈ R tồn tại a ∈ A để
a > r.
Định nghĩa 1.2. Số thực α ∈ R được gọi là cận trên đúng hay cận

trên bé nhất của tập bị chặn trên A nếu
(a) a ≤ α, ∀a ∈ A;

(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại aε ∈ A để aε > α − ε.
Ký hiệu cận trên đúng của tập bị chặn trên A là α = sup A = sup{x :

x ∈ A}. Nếu A không bị chặn trên, tức khơng có số thực r ∈ R nào để
a ≤ r, ∀a ∈ A. Trong trường hợp này ta kí hiệu sup A = ∞.

Định nghĩa 1.3. Tập A ⊂ R được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại
β ∈ R sao cho β ≤ a, ∀a ∈ A. Số β thỏa mãn điều kiện này được gọi là
một cận dưới của A. Rõ ràng một tập bị chặn dưới có vơ số cận dưới. Tập
A được gọi là không bị chặn dưới nếu với mỗi r ∈ R tồn tại a ∈ A để


a < r.

Định nghĩa 1.4. Số thực β ∈ R được gọi là cận dưới đúng hay cận
dưới lớn nhất của tập bị chặn dưới A nếu
(a) a ≥ β, ∀a ∈ A;


5

(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại aε ∈ A để aε < β + ε.
Kí hiệu cận dưới đúng của tập bị chặn dưới A là β = inf A = inf{x :
x ∈ A}. Nếu tập A không bị chặn dưới, tức với mỗi r ∈ R tồn tại a ∈ A

để a < r. Khi đó kí hiệu inf A = −∞.

1.1.2. Tiên đề về cận trên đúng và cận dưới đúng
(a) Nếu A ⊂ R, A = ∅ và A bị chặn trên, thì A có cận trên đúng (duy

nhất).
(b) Nếu A ⊂ R, A = ∅ và A bị chặn dưới, thì A có cận dưới đúng (duy
nhất).

Từ đó suy ra rằng, nếu tập A bị chặn (tức bị chặn trên và bị chặn dưới)
thì A có cận trên và cận dưới đúng. Khi đó, tồn tại α, β ∈ R sao cho

β ≤ a ≤ α, ∀a ∈ A.

Chú ý bất đẳng thức kép này tương đương với việc tồn tại α ≥ 0 để có

bất đẳng thức


|a| ≤ a, ∀a ∈ A.
1.1.3. Một vài tính chất của cận trên và cận dưới đúng
Mệnh đề 1.1. Nếu γ ∈ R là một cận trên đúng hoặc cận dưới đúng
của tập A ⊂ R thì tồn tại dãy {an }∞
n=1 ⊂ A sao cho an → γ .
Chứng minh. Giả sử γ ∈ R là một cận trên đúng. Khi đó với mỗi n ∈ N,
theo định nghĩa của cận trên đúng, tồn tại an ∈ A sao cho:
1
(1.1)
γ − ≤ an ≤ γ.
n
Như vậy ta được dãy {an }∞
n=1 ⊂ A có tính chất (1.1).

Rõ ràng lim an = γ . Trường hợp cận dưới đúng cũng được chứng minh
n→0
tương tự.
Mệnh đề 1.2. Giả sử A, B ⊂ R và A, B = ∅.
(a) Ta định nghĩa

−A = {−x : x ∈ A} = {x : −x ∈ A}


6

Thế thì
(b) Định nghĩa

sup(−A) = − inf A.


(1.2)

A + B = {c = a + b : a ∈ A, b ∈ B}

và

A − B = {c = a − b : a ∈ A, b ∈ B}.
Khi đó

sup(A + B) = sup A + sup B

(1.3)

sup(A − B) = sup A − inf B.

(1.4)

và
Chứng minh.

(a) Giả sử A = 0, A ⊂ R và A bị chặn dưới. Đặt α = inf A. Theo định
nghĩa cận dưới đúng, ta có
(i) α ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) Với ε > 0 cho trước, tồn tại a∗ ∈ A sao cho a∗ < α + ε.

Từ (i) và (ii) suy ra
(i’) −α ≥ −a, ∀ − a ∈ −A;

(ii’) Với ε > 0 cho trước, tồn tại −a∗ ∈ −A sao cho −a∗ > −α − ε


Vậy −α là cận trên đúng của −A, tức

sup (−A) = −α = − inf A.

Nếu A khơng bị chặn dưới thì inf A = −∞ nên − inf A = ∞. Khi đó,
−A khơng bị chặn trên nên sup (−A) = ∞ = − inf A. Tóm lại,

sup (−A) = − inf A.

(b) Giả sử A, B bị chặn trên, ta đặt

α = sup A, β = sup B.
Khi đó nói riêng α là một cận trên của A, còn β là một cận trên của
B , nên α + β là một cận trên của A + B . Giả sử ε > 0, theo định nghĩa


7

của cận trên đúng, tồn tại a∗ ∈ A, b∗ ∈ B sao cho
ε
ε
a∗ > α − , b∗ > β − .
2
2
Do đó

a∗ + b∗ > α + β − ε

Vì


c∗ = a∗ + b∗ ∈ A + B

nên theo định nghĩa cận trên đúng, ta có

α + β = sup (A + B) .
Trong trường hợp nếu A hoặc B khơng bị chặn trên thì A + B không
bị chặn trên. Thật vậy, giả sử A không bị chặn trên, khi đó với mỗi r ∈ R,
gọi b∗ là phần tử tùy ý thuộc B , thế thì tồn tại a∗ > r − b∗ . Do đó

a∗ + b ∗ > r

Điều này có nghĩa là

sup (A + B) = sup (A) + sup (B)
tức ta có đẳng thức (1.3). Đẳng thức (1.4) được chứng minh bằng cách sử
dụng các đẳng thức (1.3) và (1.2)như sau

sup (A − B) = sup (A) + sup (−B) = sup (A) − inf (B) .

Vậy Mệnh đề (1.2) được chứng minh đầy đủ.

Định nghĩa 1.5. Tập A ⊂ Rk được gọi là compact nếu nó đóng và bị
chặn.
Mệnh đề 1.3. Hàm thực f liên tục trên tập compact khác rỗng A ⊂ R

thì bị chặn trên tập đó và đạt tới một cực đại và một cực tiểu trên tập đó,
tức tồn tại x0 ∈ A và y0 ∈ A sao cho

f (x0 ) = sup f (A), f (y0 ) = inf f (A).

Trong trường hợp này các giá trị f (x0 ) và f (y0 ) tương ứng được gọi là
giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của f trên A.
Chứng minh.
Nếu f (x) không bị chặn trên tập A thì ∀n, ∃xn ∈ A, |f (xn )| > n, vì


8

A là compact nên dãy {xn } chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới một phần
tử x0 ∈ A. Cho k → ∞ trong bất đẳng thức |f (xnk )| > n và chú ý rằng

do f (x) liên tục nên f (xnk ) → f (x0 ), ta được |f (x0 )| = ∞, trái với giả
thiết f (x) liên tục (nói riêng là hàm hữu hạn). Vậy f (x) đã liên tục trên
tập compact A thì bị chặn trên A.
Gọi a là cận trên đúng của f (x) trên A : a = sup f (x). Theo định
x∈A

nghĩa, phải có một dãy xn ∈ A sao cho a − n1 < f (xn ) a. Dựa vào tính
compact của A, có thể chọn một dãy {xnk } hội tụ tới x0 ∈ A và tiến qua

giới hạn khi k → ∞ trong bất đẳng thức a − n1k < f (xnk )
a ta được
a < f (x0 ) a, chứng tỏ rằng x0 chính là điểm cực đại của f (x) trên A.

Ta cũng chứng minh tương tự rằng f (x) phải đạt một giá trị cực tiểu trên
A.

1.2. Độ đo Lebesgue trong không gian Rk
1.2.1. σ - đại số
Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập khác rỗng, ta nói một σ - đại số

trên X là một họ các tập con của X, chứa các tập X, ∅ và đóng đối với mọi
phép tốn hữu hạn hay đếm được của tập hợp.

Hay tập X thỏa mãn các điều kiện sau
(a) Ai ∈ X, i = 1, 2, ..., n, ... thì A = ∞
i=1 Ai ∈X;

(b) ∀A, B ∈ X, A\B ∈ X.

Ví dụ 1.1. Nếu X là một tập hợp thì họ 2X gồm tất cả các tập con

của X là một σ - đại số.
Chứng minh. Chú ý rằng tập rỗng ∅ và chính tập X là những tập con

của X. Mặt khác, do 2X là tập tất cả các tập con của X nên nếu ta thực
hiện các phép toán hữu hạn hay đếm được các tập con của X cũng là một
tập con của X, tức thuộc 2X . Vậy 2X là một σ - đại số trên X.
Mệnh đề 1.4. Giao của một họ các σ - đại số trên X là một σ - đại
số trên X.
Chứng minh.


9

Giả sử {Fα }α∈I là một σ - đại số trên X và xét F =

α∈I

Fα . Ta áp


dụng điều kiện đặc trưng của một σ - đại số để chỉ ra rằng F là một σ đại số. Trước hết để ý rằng, tập X ∈ Fα , ∀α ∈ I , nên X ∈ F =
Fα
α∈I

tức F không rỗng. Giả sử

Ai ∈ F =

α∈I

Fα , i = 1, 2, ..., nên Ai ∈ Fα , ∀α ∈ I và với mọi i = 1, 2, ...

Do Fα là σ - đại số với mọi α ∈ I , nên
∞
i=1

Ai ∈F =

Tiếp theo ta giả sử A ∈ F =

α∈I
C

α∈I

∞
i=1

Ai ∈Fα với mọi α ∈ I . Vậy


Fα .

Fα , tức A ∈ Fα , ∀α ∈ I . Lại do Fα

là σ - đại số với mọi α ∈ I , nên A = X\A ∈ Fα , ∀α ∈ I . Từ đó

AC = X\A ∈ F =

α∈I

Fα .

Vậy mệnh đề 1.4 đã được chứng minh.
Định lý 1.1. Cho trước một họ M các tập con của một tập X. Thế

thì ln tồn tại σ - đại số duy nhất F(M) bao hàm M và được chứa trong
mọi σ - đại số bao hàm M, tức F(M) là σ - đại số nhỏ nhất trong các σ
- đại số bao hàm M.

Chứng minh. Trước hết chú ý rằng F (M) là một σ - đại số bao hàm

M, nên họ các σ - đại số bao hàm M không rỗng. Ta thấy rằng σ - đại số
bao hàm M chính là σ - đại số F , giao của tất cả các σ - đại số bao hàm
M. Theo Mệnh đề 1.4 thì F là một σ - đại số bao hàm M. Mặt khác, nó
nhỏ nhất vì là giao của tất cả các σ - đại số bao hàm M.
Định nghĩa 1.7. Ta gọi σ - đại số bao hàm M này là σ - đại số sinh

bởi M. Một σ - đại số Borel trong Rk , thì F(G) là một σ - đại số Borel.

1.2.2. Độ đo ngoài


Một độ đo ngoài trên Rn là một hàm µ∗ xác định trên họ các tập con
của Rn sao cho


10

(a) µ∗ (A)

0, ∀A ⊂ Rn ;
(b) µ∗ (∅) = 0;
∗
(c) A ⊂ +∞
i=1 Ai ⇒µ (A)

∞
∗
i=1 µ (Ai ) .

1.2.3. Độ đo

Định nghĩa: Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó được xác định
trên một đại số C và nếu
(a) µ (A) 0, ∀A ∈ C;
(b) µ (∅) = 0;

(c) µ là σ - cộng tính.
Định lý 1.2. (Carathéodory)
Cho µ∗ là một độ đo ngồi trên Rn và L là lớp tất cả các tập con A
của Rn sao cho


µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E\A) với mọi E ⊂ Rn

(1.5)

Khi ấy L là một σ - đại số và hàm µ = µ∗ /L (thu hẹp của µ∗ trên L)
là một độ đo trên L.
Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngồi µ∗ .

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh L là một σ - đại số. Dĩ nhiên
∅ ∈ L vì với mọi E ⊂ Rn : µ∗ (E) = µ∗ (∅) + µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ ∅) +

µ∗ (E\∅). Họ L cũng kín đối với phép lấy bù vì nếu A ∈ L thì với mọi
E ⊂ Rn : µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E\A) = µ∗ (E\Ac ) + µ∗ (E ∩ Ac ).
Vậy để thấy L là một σ - đại số ta chỉ còn phải vạch rõ nó kín đối với
phép hợp đếm được. Cho Ai ∈ L, i = 1, 2, ... và một tập bất kỳ E ⊂ Rn .
Áp dụng (1.5) ta có
µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A1 ) + µ∗ (E\A1 )

= µ∗ (E ∩ A1 ) + µ∗ ((E\A1 ) ∩ A2 ) + µ∗ ((E\A1 ) \A2 )
= ...

k

µ∗

=
j=1

E\


j−1
i=1 Ai

∩ Aj + µ∗ E\

k
j=1 Aj

.


11

Do đó
k

µ∗

∗

µ (E)

j−1
i=1 Ai

E\

j=1


∞
j=1 Aj

∩ Aj + µ∗ E\

.

Vì điều này đúng với mọi k nên
∞

∗

µ (E)

µ∗

E\

j−1
i=1 Ai

j=1

∩ Aj + µ∗ E\

∞
j=1 Aj

.


(1.6)

Mặt khác
∞
∞
Aj = Uj=1
E ∩ Uj=1

j−1
E\Ui=1
Ai ∩ Aj

(vì nếu có một j với x ∈ E ∩ Aj thì lấy j là chỉ số nhỏ nhất như vậy ta

được x ∈ Aj \Ai với mọi i = 1, 2, ..., j − 1). Vậy theo tính chất dưới cộng
tính (c) của µ∗

µ∗ (E)
∞

µ∗

E\

µ∗ E ∩
j−1
i=1 Ai

j=1


+ µ∗ E\

∞
j=1 Aj

∩ Aj + µ∗ E\

∞
j=1 Aj

∞
j=1 Aj

µ∗ (E) theo (1.6)

∈ L, chứng tỏ L là một σ - đại số.
Bây giờ để hoàn thành chứng minh, cho Ai ∈ L, i = 1, 2, ... là những
tập rời nhau.
j−1
Lấy E = ∞
j=1 Aj trong (1.6) và chú ý rằng khi ấy E\Ui=1 Ai ∩ Aj = Aj ,

Suy ra

∞
j=1 Aj

∞
Aj = ∅, ta có
E\Uj=1


µ

∗

∞
j=1 Aj

∞

µ∗ (Aj )

j=1

do đó kết hợp với tính chất (c) (dưới cộng tính) ta được đẳng thức. Vậy
µ∗ /L là độ đo.

1.3. Độ đo Hausdorff
Thật ra độ đo Lebesgue chưa đủ "tinh tế", chẳng hạn, ở Chương 2
ta sẽ thấy, nếu F là một tập Cantor thì mặc dù card F = c (lực lượng
continum), nhưng µ(F ) = 0, ở đây kí hiệu card F là lực lượng của tập F .
Do đó, cần tìm độ đo tinh tế hơn để đo các tập phức tạp. Độ đo Hausdorff
là một trong những độ đo như vậy.


12

Cho tập F ⊂ Rk và số s > 0. Với δ > 0 cho trước ta xét những họ
hữu hạn hay đếm được các tập {{Ui }∞
n=1 : |Ui | < δ, i = 1, 2, ...} sao cho

∞

i=1

Ui ⊃ F , ở đây ký hiệu |U | là đường kính của tập U trong Rk , tức

sup |x − y|. Nhắc lại rằng với

x,y∈U

x = {x1 , ..., xk }, y = {y1 , ..., yk } ∈ Rk

thì

1
2

k

|x − y| =

i=1

(xi − yi )2

.

Mỗi họ {{Ui }∞
n=1 : |Ui | < δ, i = 1, 2, ...} như thế được gọi là δ - phủ
của F. Kí hiệu Fδ (F ) là họ tất cả các δ - phủ của F. Ta định nghĩa


Hδs (F )

= inf {

∞

i=1

|Ui |s : {Ui }∞
i=1 ∈ Fδ (F )}.

(1.7)

Rõ ràng nếu δ2 < δ1 thì mọi δ2 - phủ của F đều cũng là δ1 - phủ cho
Hδs2 (F ). Vậy hàm Hδs (F ) là nghịch biến nên khi δ > 0
nên Hδs1 (F )

giảm dần tới 0 thì Hδs (F ) tăng dần đến một giới hạn, ta kí hiệu giới hạn
đó là

Hs (F ) = lim Hδs (F ).
δ→0

(1.8)

Ta kiểm tra Hs (F ) là một độ đo ngoài các tập trong Rk .

Bổ đề 1.1. Hs (F ) là một độ đo ngoài trên tập Rk .


Chứng minh. Ta lần lượt kiểm tra các điều kiện của độ đo ngồi.
(a) Theo định nghĩa ta có ngay Hs (F ) ≥ 0, ∀F ⊂ Rk ;

(b) Rõ ràng Hs (∅) = 0, s > 0;

(c) Xét

∞

i=1

Fi , Fi ⊂ Rk , i = 1, 2, ... Với mỗi i ∈ N, theo định nghĩa

infimum tồn tại một {Ui,k }∞
k=1 là δ - phủ của Fi sao cho

Hδs (Fi )

ε
+ i≥
2

∞

k=1

|Ui,k |s .


13


Khi đó
∞

Hδs

≤

Fi

i=1

∞

∞

i=1 k=1
∞

=

s

|Ui,k | ≤

∞
i=1

Hδs (Fi )


∞

+

i=1

ε
2i

Hδs (Fi ) + ε.

i=1

Với chú ý rằng Hδs ≤ Hs do Hδs tăng khi δ giảm nên ta có

H

s

∞

Fi

i=1

=

∞

lim Hδs

δ→0

Fi

lim

δ→0

i=1

∞

s

H (Fi ) + ε =

∞

H s (Fi ) + ε

i=1

i=1

Do ε > 0 tùy ý nên

H

s


∞
i=1

Fi

≤

∞
i=1

Hs (Fi ).

Vậy H (F ) là một độ đo ngoài các tập trong Rk . Độ đo do Hs (F ) cảm
sinh được là độ đo Hausdorff thứ nguyên s trong Rk và vẫn được ký hiệu
s

là Hs .
Có thể chứng minh được rằng σ - đại số các tập Hs - đo được chứa σ

- đại số Borel của Rk và với mỗi tập Borel F ⊂ Rk , ta có

ck Hk (F ) = Lk (F )

(1.9)

trong đó, ck là thể tích của hình cầu thứ ngun k có đường kính đơn vị,
cịn Lk (F ) là độ đo Lebesgue thứ nguyên k của tập F.

Ví dụ 1.2. Cho {a} là tập một điểm trong Rk . Ta sẽ chỉ ra rằng mỗi


s > 0 thì Hs ({a}) = 0.

Giả sử ε > 0 là số tùy ý cho trước. Ta lấy δ - phủ của {a} chỉ gồm
một tập mở U có đường kính δ < ε (chẳng hạn có thể lấy U là hình cầu
mở tâm a đường kính δ < ε). Khi đó

0 ≤ Hδs ({a}) ≤ |U | = δ < ε.

Do đó khi δ → 0, ta có

0 ≤ H s ({a}) < ε.

Do ε > 0 bé tùy ý nên Hs ({a}) = 0 với mỗi s > 0.

Định nghĩa 1.8. Giả sử F ⊂ Rk . Hàm f : Rk → Rm được gọi là ánh


14

xạ Holder cấp α > 0 nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α , ∀x, y ∈ F

Định lý 1.3. Cho F ⊂ Rk và s > 0. Khi đó
(a) Nếu λ > 0 thì

Hs (λF ) = λs Hs (F ) .

(1.10)


Hs/α (f (F )) ≤ cs/α Hs (F ) .

(1.11)

(b) Nếu f : Rk → Rm là ánh xạ Holder cấp α > 0 trên F thì
Chứng minh.

(a) Cho trước ε > 0. Khi đó theo định nghĩa cận dưới đúng tồn tại
dãy δ -phủ {Ui }∞
i=1 của F sao cho
∞

i=1

Mặt khác do

{λUi }∞
i=1
∞

Hδs (λF )

≤

i=1

|Ui |s ≤Hδs (F ) + ε.

là một λδ - phủ của λF nên
s


|λUi | = λ
s

s

∞
i=1

|Ui |s ≤ λs [Hδs (F ) + ε]

s

= λ Hδ (F ) + λs ε.
Cho δ → 0 ta được
Vì ε > 0 tùy ý nên

Hs (λF ) ≤ λs Hs (F ) + λs ε.
Hs (λF ) ≤ λs Hs (F ) .

(1.12)

λs H s (F ) ≤ H s (λF ) .

(1.13)

Ta lại áp dụng kết quả này cho tập λF và số 1/λ, ta được
1
1
Hs

λF ≤ s H s (λF ) .
λ
λ
hay
Từ các đẳng thức (1.12) và (1.13) ta suy ra

λs Hs (F ) = Hs (λF ) .

(b) Giả sử {Ui }∞
i=1 là một δ - phủ của F. Chú ý rằng do f là một hàm


15

holder cấp α nên ta có

|f (Ui )| = sup |f (u) − f (v)| ≤ c sup |u − v|α ≤ c|Ui |α ≤ cδ α .
u,v∈Ui

u,v∈Ui

Từ đây ta thấy rằng
Từ đó
s/α
Hcδα (f

(F )) ≤

{f (Ui )}∞
i=1

|f (Ui )|s/α

∞
i=1

|f (Ui )|

s/α

là một cδ α - phủ của f (F ) và

≤ cs/α |Ui |s
≤

∞

c

s/α

i=1

s

|Ui | = c

s/α

∞
i=1


|Ui |s .

Vậy thì
s/α
Hcδα (f

(F )) ≤ c

s/α

inf

∞
i=1

Cho δ → 0 ta được

|Ui |s : {Ui }∞
i=1 là δ − phủ của F

= cs/α Hδs (F ) .

Hs/α (f (F )) ≤ cs/α Hs (F ) .

Hệ quả 1.1. Nếu f : Rk → Rm là một phép đẳng cự trên F, nghĩa là

|f (x) − f (y)| = |x − y| , ∀x, y ∈ F

thì


Hs (f (F )) = Hs (F ) .
Chứng minh. Do |f (x) − f (y)| = |x − y| nên theo phần (b) của định
lý trên, ta có

Hs (f (F )) ≤ Hs (F ) .

Mặt khác, do f đẳng cự nên tồn tại f −1 và f −1 cũng đẳng cự. Vì thế

Hs (F ) = H s f −1 (f (F )) ≤ Hs (f (F )) .

Vậy Hs (F ) ≤ Hs (f (F )).

Định lý 1.4. Trong định nghĩa độ đo Hausdorff, có thể thay phủ bất
kì bằng phủ mở, tức là nếu đặt

Msδ

(F ) = inf

∞
i=1

|Vi |s : {Vi } là δ − phủ mở của F

thì

Msδ (F ) = Hδs (F )



16

trong đó Hδs (F ) được định nghĩa trong đẳng thức (1.7).
Chứng minh. Giả sử δ > 0. Vì mỗi δ - phủ mở của F cũng là δ - phủ
của F nên

Msδ (F ) ≥ Hδs (F ) .
Do đó
(1.14)

Ms (F ) ≥ Hs (F ) .

Ngược lại, với số ε > 0 tùy ý, từ định nghĩa của Hδs (F ) ta suy ra tồn

tại δ - phủ {Ui }∞
i=1 của F sao cho
∞

i=1

|Ui |s ≤ Hδs (F ) + ε.

(1.15)

Với mỗi i ∈ N, ta lấy tập Vi chứa Ui mà đường kính khơng vượt q

(ε + 1) δ . Chẳng hạn có thể lấy

ε |Ui |
.

2
Khi đó {Vi }∞
i=1 là một (ε + 1) δ - phủ mở của F, vì nếu x, y ∈ Vi , tồn
tại các u, v ∈ Ui sao cho d (x, u) < ε|U2 i | và d (x, v) < ε|U2 i | . Khi đó
ε |Ui | ε |Ui |
+
+ |Ui |
(x, y) d (x, u) + d (u, v) + d (v, y) <
2
2
= (ε + 1) |Ui | < (ε + 1) δ.
Vi =

x ∈ F : d (x, Ui ) <

Vì vậy theo (1.15), ta có

Ms(ε+1)δ
≤ (ε + 1)

s

(F ) ≤

(Hδs (F )

∞
i=1

s


|Vi | ≤

+ ε) = (ε +

∞

(ε + 1)s |Ui |s

i=1
1)s Hδs (F )

+ ε(ε + 1)s .

Cho δ → 0, ta được

Ms (F ) ≤ (ε + 1)s Hs (F ) + ε(ε + 1)s .

Vì điều này đúng cho mọi ε > 0 nên

Ms (F ) ≤ Hs (F ) .

(1.16)

Vậy thì từ các bất đẳng thức (1.14) và (1.16) ta có được điều phải
chứng minh.


17


Định lý 1.5. Nếu F là tập compact thì chỉ cần lấy {Ui } là phủ hữu
hạn.
Chứng minh. Giả sử U = {Ui }∞
i=1 là một δ - phủ của F. Theo định lý

s
1.4, ta có thể giả thiết U = {Ui }∞
i=1 là một phủ mở. Gọi Kδ (F ) là một độ
đo thứ nguyên s của F lấy theo phủ hữu hạn, ta sẽ chứng minh rằng

Kδs (F ) = Hδs (F ) .

Vì mỗi δ - phủ nên

(1.17)

Hδs (F ) ≤ Kδs (F ) .

Do F compact nên phủ U có phủ con U ′ = {Ui }ni=1 chỉ gồm hữu hạn
phần tử. Theo định nghĩa độ đo Hausdorff và tính chất của infimum, ta
có

n

Kδs (F )

≤

s


i=1

|Ui | ≤

∞
i=1

|Ui |s

Suy ra

Kδs (F )

∞

≤ inf

i=1

s
|Ui |s : {Ui }∞
i=1 ∈ Fδ (F )

= Hδs (F )

(1.18)

Từ (1.17) và (1.18) suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1.3. Cho F = {a1 , a2 , ...} là một tập đếm được các điểm trong


Rk . Ta sẽ chỉ ra rằng Hs (F ) = 0. Do Hs là một độ đo ngồi và theo Ví
dụ (1.2), Hs (ai ) = 0, ∀i ∈ N nên
s

0 ≤ H (F ) = H

s

∞

i=1

ai

≤

∞

i=1

Hs (ai ) = 0.

Vậy Hs (F ) = 0.

Ví dụ 1.4. Giả sử F = (a, b) ⊂ R. Ta sẽ thấy H1 (F ) = b − a. Thật

vậy, trước hết ta chú ý rằng nếu {Ui }∞
i=1 là một phủ tùy ý của F = (a, b),
tức F = (a, b) ⊂


∞

Ui thì

i=1
∞
i=1

|Ui | ≥ |F | = b − a.