<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Lịch sử toán học</b>

<i>Cuốn cẩm nang về tính tốn bằng hồn thiện và cân đối</i>
Từ <i>tốn học </i>có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập".

Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của
tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và
sự thay đổi. Lĩnh vực của ngành học về <b>Lịch sử Toán học</b>

phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá
mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các
phương pháp và kí hiệu tốn học chuẩn trong q khứ.
Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên
tồn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới
của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các
văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại
(Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (<i>Plimpton 322</i>), Ai Cập
cổ đại khoảng 1800 TCN (<i>Rhind Mathematical Papyrus</i>),
Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (<i>Berlin</i>
<i>6619</i>) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (<i>Shulba Sutras</i>).
Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây
có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học
cổ đại và hình học.

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với tốn học, nhìn
chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng
nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu
chủ đề của toán học[1] .

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung

đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục
Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện
với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại.

<b>Toán học thời sơ khai</b>

<b>Nguồn gốc</b>

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên
sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được
trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN[2] . Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở

châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN[3] , cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định
lượng thời gian[4] .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Xương Ishango

Xương Ishango được tìm thấy ở thượng
nguồn sơng Nil (phía bắc Cộng hịa Dân chủ
Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản
dịch thơng dụng nhất của hịn đá cho ta thấy
nó là bằng chứng sớm nhất[7] thể hiện một
dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập
cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5
TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình
học và khơng gian. Người ta đã khẳng định
các hịn đá tế thần ở Anh và Scotland từ
thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý

tưởng hình học như hình trịn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó[8] .

Nền tốn học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh thung
lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung
lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt
trên một góc vng hồn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình
nón, hình trụ và các bức vẽ các hình trịn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ tốn học tìm được bao
gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc com pa để đo
góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu
trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải
nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử
học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường
trịn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π[9] .

<b>Cận Đơng cổ đại</b>

<b>Lưỡng Hà</b>

Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú
giải chữ số hiện đại

Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền tốn học nào thuộc về cư dân
Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy
Lạp hóa. Nó được đặt tên là tốn học Babylon là do vai trị trung tâm
của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã khơng cịn tồn tại sau thời kì Hy
Lạp hóa. Các nhà tốn học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy
Lạp để phát triển tốn học Hy Lạp. Sau đó dưới Đế chế Arab,
Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm
nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo.

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu

biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai
quật được từ những năm 1850. Viết bằng kí tự Cuneiform, các miếng
đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong
lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những bảng nhân
trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán chia. Dấu vết
sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này[10]

.

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800
TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương
trình bậc ba và bậc bốn, các tính tốn về các bộ ba Pythagore (xem
Plimpton 322)[11] . Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng
lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương
trình bậc hai. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2
chính xác tới năm chữ số thập phân.

Tốn học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút
trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ
dàng bởi số 60 có rất nhiều ước số. Cũng vậy, khơng giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một
hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ
thập phân. Thế nhưng họ lại thiếu một kí hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số
thường được suy ra từ ngữ cảnh.

<b>Ai Cập</b>

Giấy cói Moskva

Giấy cọ Rhind

Tốn học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới tiếng Ai Cập.
Toán học Ai Cập cổ đại được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết
Thoth, người được coi là đã đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số,
toán học và thiên văn học, là vị thần của thời gian.

Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong
ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán
học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển
toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục
dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả
Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Eratosthenes Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố

Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và
hình học. Cùng với việc đưa ra các cơng thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó
cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem [12]) bao gồm hợp số và số nguyên tố; trung bình
cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa; và hiểu biết sơ bộ về sàng Eratosthenes và số hồn hảo. Nó cũng chỉ ra
cách giải phương trình tuyến tính bậc một cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của hình học giải
tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một
cố gắng cổ đại trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về lượng giác.

Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải phương trình đại số bậc hai.

<b>Tốn học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300)</b>

Tốn học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600 TCN và 450[13] . Các nhà toán

học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn
hóa và ngơn ngữ. Tốn học Hy Lạp đơi khi được gọi là tốn học Hellenistic (Hy Lạp hóa).

Thales xứ Miletus

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và
tốn học mêtric:

Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng
546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN). Mặc dù
tầm ảnh hưởng không cịn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ tốn học
Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ. Theo truyền thuyết, Pythagoras
đã chu du tới Ai Cập để học tốn học, hình học, và thiên văn từ các đạo
sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng hình học để giải các bài tốn như là tính chiều cao
của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras
được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore,
mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài.
Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng Pythagoras đã
diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một cách
đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Khơng
để những thứ nơng cạn trong hình học vào đây."

Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh
ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm hiện đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết
ra các luật về logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho
đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách của

ông, <i>Cơ bản</i>, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20[15] . Thêm vào các định

lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, <i>Cơ bản </i>cịn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vơ tỉ
và có vô hạn số nguyên tố. Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố.

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà tốn học Hy Lạp, nếu khơng muốn nói là mọi thời đại, là
Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse. Theo như Plutarch, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức tốn học ở
trên cát, ơng đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán
học lý thuyết.

<b>Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)</b>

Tốn học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với <i>Shatapatha Brahmana </i>(khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp
xỉ số π chính xác tới 2 chữ số thập phân[16] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản hình học sử dụng
số vơ tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tính căn bậc hai của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp
cầu phương hình trịn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương
pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho Định lý Pythagore.

Pāṇini (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn. Kí hiệu của ơng tương tự với kí hiệu
tốn học, và sử dụng các ngơn luật, các phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ơng có sức
mạnh tính tốn ngang với máy Turing. Cơng trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại ngữ pháp hình thức
(<i>formal grammar</i>) (có vai trị quan trọng trong điện tốn), trong khi dạng Panini-Backus được sử dụng bởi những
ngơn ngữ lập trình hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini. Pingala (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất
TCN) trong bản luận thuyết của mình về thi pháp đã sử dụng một phương pháp ứng với hệ nhị phân. Thảo luận của
ông về tổ hợp của các phách, tương ứng với định lý nhị thức. Cơng trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản
của các số Fibonacci (được gọi là <i>mātrāmeru</i>). Văn bản Brāhmī được phát triển ít nhất từ thời triều Maurya vào thế
kỉ 4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng 600 TCN. Chữ số Brahmi ở vào
khoảng thế kỉ 3 TCN.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

căn bậc hai, và hàm mũ hữu hạn và vô hạn. <i>Bản thảo Bakshali </i>được viết giữa 200 TCN và 200 bao gồm cách giải hệ

phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương
trình vơ định bậc hai, phương trình khơng mẫu mực, và sự sử dụng số 0 và số âm. Các tính tốn chính xác cho số vơ
tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở
lên).

<b>Tốn học Trung Hoa cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)</b>

<i>Cửu chương toán thuật</i>
Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), tốn học

Trung Quốc sớm nhất cịn tồn tại bao gồm các số được khắc trên
mai rùa [17] [18]. Các số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123
được viết (từ trên xuống dưới) bằng một kí hiệu cho số 1 rồi đến
một kí hiệu hàng trăm, sau đó là kí hiệu cho số 2 rồi đến kí hiệu
hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới
vào thời điểm đó và cho phép tính tốn được thực hiện bởi bàn
tính. Thời điểm phát minh ra bàn tính khơng rõ, nhưng tài liệu cổ
nhất vào 190 trong <i>Lưu ý về the Art of Figures </i>viết bởi Xu Yue.
Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.

Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt
tất cả sách trong nước. Cho dù lệnh này khơng được tn thủ hồn
tồn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.
Từ triều Tây Chu (từ 1046), cơng trình tốn học cổ nhất cịn tồn tại
sau cuộc đốt sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho
mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm
các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.

Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã lập các cơng trình về tốn học có thể là phát triển dựa trên các cơng
trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là <i>Cửu chương tốn thuật</i>, tiêu đề của nó xuất hiện trước

179 CN, nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài tốn chữ, chủ yếu là nơng nghiệp,
thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ lệ trong các chùa chiền, cơng trình, thăm dị, và bao gồm
các kiến thức về tam giác vuông và số π. Nó cũng áp dụng ngun lí Cavalieri về thể tích hơn một nghìn năm trước
khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng minh tốn học cho Định lý Pythagore, và cơng thức tốn học
cho phép khử Gauss. Cơng trình này đã được chú thích bởi Lưu Huy (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Cơng ngun.
Ngồi ra, các cơng trình tốn học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (<i>Zhang Heng</i>, 78-139) đã có
cơng thức cho số pi, khác so với tính tốn của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng cơng thức của ơng cho số pi để tính
thể tích hình cầu V theo đường kính D.

V= D3 + D3 = D3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400-1300)</b>

Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số
thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số π trong gần 1000 năm.

Tam giác Pascal

Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ nhà Đường và kết thúc
vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài
toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu. Các phát
triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới
được biết đến ở phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương
pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính và Định lý số dư
Trung Quốc về nghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất.

• Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán,
200TCN[19]

• Định lý nhị thức và tam giác Pascal được Yang Hui nghiên cứu từ

thế kỷ 13

• Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma
trận từ những năm 650 TCN[20]

Người Trung Quốc cũng đã phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngồi
Tổ Xung Chi ra, một số nhà tốn học nổi tiếng ở Trung Quốc thời kì này là Nhất Hành, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao,
Zhu Shijie, và những người khác. Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến giải tích, lượng giác,
khí tượng học, hốn vị, và nhờ đó tính tốn được lượng khơng gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ
thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.

Thậm chí sau khi tốn học Châu Âu bắt đầu nở rộ trong thời kì Phục hưng, toán học Châu Âu và Trung Quốc khác
nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo Thiên Chúa giáo
mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.

<b>Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600)</b>

Aryabhata

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Chứng minh của Brahmagupta rằng

Vào thế kỉ 17, Brahmagupta đã đưa ra định lý Brahmagupta, đẳng thức
Brahmagupta và công thức Brahmagupta lần đầu tiên, trong cuốn

<i>Brahma-sphuta-siddhanta</i>, ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử
dụng số 0 vừa là kí hiệu thay thế vừa là chữ số thập phân và giải thích
hệ ghi số Hindu-Arabic. Theo một bản dịch của văn bản tiếng Ấn về
toán học này (khoảng 770), các nhà toán học Hồi giáo đã được giới
thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi là hệ ghi số Ả Rập. Các nhà học giả Hồi
giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới Châu Âu trước thế kỉ 12,

và nó đã thay thế tồn bộ các hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới. Vào
thế kỉ 10, bình luận của Halayudha về cơng trình của Pingala bao gồm
một nghiên cứu về dãy Fibonacci và tam giác Pascal, và mô tả dạng
của một ma trận.

Vào thế kỉ 12, Bhaskara lần đầu tiên đặt ra ý tưởng về <i>giải tích vi phân</i>,
cùng với khái niệm về đạo hàm, hệ số vi phân và phép lấy vi phân.
Ông cũng đã chứng minh định lý Rolle (một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình), nghiên cứu phương
trình Pell, và xem xét đạo hàm của hàm sin. Từ thế kỉ 14, Madhava và các nhà toán học khác của Trường Kerala,
phát triển thêm các ý tưởng của ông. Họ đã phát triển các khái niệm về thống kê toán học và số dấu phẩy động, và
khái niệm căn bản cho việc phát triển của toàn bộ giải tích, bao gồm định lý giá trị trung bình, tích phân từng phần,
quan hệ giữa diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó, kiểm tra tính hội tụ, phương pháp lặp để giải
nghiệm phương trình phi tuyến, và một số chuỗi vô hạn, chuỗi hàm mũ, chuỗi Taylor và chuỗi lượng giác. Vào thế kỉ
16, Jyeshtadeva đã củng cố thêm rất nhiều định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn <i>Yuktibhasa</i>, văn bản
về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa ra khái niệm tích phân. Phát triển tốn học ở Ấn Độ chững lại từ cuối thế
kỉ 16 do các rắc rối về chính trị.

<b>Tốn học Ả Rập và đạo Hồi (khoảng 800-1500)</b>

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

Đế chế Ả Rập Đạo Hồi được thiết lập trên tồn bộ Trung Đơng, Trung
Á, Bắc Phi, Iberia, và một số phần của Ấn Độ trong thế kỉ 8 đã tạo nên
những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn
bản Đạo Hồi được viết bằng tiếng Ả Rập, chúng khơng hồn tồn được
viết bởi những người Ả Rập, rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế
giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của
các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy
giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là
người Ba Tư.

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, một nhà toán học và thiên văn học
Ba Tư thế kỉ thứ 9, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số
Hindu-Arabic và về các phương pháp giải phương trình. Cuốn sách của
ơng <i>Về tính tốn với hệ ghi số Hindu</i>, được viết khoảng năm 825, cùng
với cơng trình của nhà tốn học Ả Rập Al-Kindi, là những cơng cụ
trong việc truyền bá tốn học Ấn Độ và hệ ghi số Hindu-Arabic tới
phương Tây. Từ <i>algorithm </i>(thuật tốn) bắt nguồn từ sự Latin hóa của
tên ông, Algoritmi, và từ <i>algebra </i>(đại số) từ tên của một trong những

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bakr al-Karaji (953—1029) trong học thuyết của ơng <i>al-Fakhri</i>, ở đó ơng mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa
số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào thế kỉ 10, Abul Wafa đã dịch cơng trình của
Diophantus thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm tang.

Chứng minh đầu tiên bằng quy nạp toán học xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi Al-Karaji khoảng 1000 CN,
người đã sử dụng nó để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal, và tổng của các lập phương nguyên.[22] Nhà
nghiên cứu lịch sử toán học, F. Woepcke,[23] đã ca ngợi Al-Karaji là "người đầu tiên giới thiệu các định lí của các
phép tính đại số."

Ibn al-Haytham là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các cơng thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương
pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.[24]

Omar Khayyam

Omar Khayyam, nhà thơ thế kỉ 12, cũng là một nhà tốn học, viết <i>Bàn</i>
<i>luận về những khó khăn của Euclid</i>, một cuốn sách về các thiếu sót
của cuốn <i>Cơ sở </i>của Euclid, đặc biệt là tiên đề về đường thẳng song
song, và do đó ơng đặt ra nền móng cho hình học giải tích và hình học
phi Euclid. Ơng cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của
phương trình bậc ba. Ơng cũng có ảnh hưởng lón trong việc cải tổ lịch.

Nasir al-Din Tusi và bảng Ilkhanic

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bút tích của Jamshīd al-Kāshī

Vào thế kỉ 15, Ghiyath al-Kashi đã tính giá trị số π tới chữ số thập
phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật tốn cho phép tính căn bậc <i>n</i>, là
trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi
Ruffini và Horner. Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm
al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn
Qurra, Abu Kamil và Abu Sahl al-Kuhi.

Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi
giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi
người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.

John J. O'Connor và Edmund F. Robertson viết trong cuốn <i>MacTutor</i>
<i>History of Mathematics archive</i>:

"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những
thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng
nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán
học Châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta
biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi
bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, tốn học được
nghiên cứu ngày nay cịn gần hơn về phong cách đối với những
thứ đó của tốn học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học
Hellenistic."

<b>Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)</b>

Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại.
Một lý do đó là niềm tin rằng tốn học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong
cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và
cân nặng" (<i>Wisdom </i>11:21).

<b>Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)</b>

Boethius và các học trò

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400)</b>

Fibonacci

Vào thế kỉ 12, các nhà học giả Châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và
Sicily để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn Al-Jabr
wa-al-Muqabilah của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi
Robert of Chester và văn bản đầy đủ của cuốn <i>Cơ sở </i>của Euclid, được
dịch thành rất nhiều phiên bản bởi Adelard of Bath, Herman of
Carinthia, và Gerard of Cremona.[27][28]

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của tốn học.
Fibonacci, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra cơng trình tốn học quan trọng đầu
tiên ở châu Âu kể từ thời của Eratosthenes, một khoảng thời gian hơn
một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các
khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán.[29] Một lĩnh

vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của tốn học đó là phân tích
các chuyển động địa phương.

Thomas Bradwardine đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi
tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả
điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù lơgarít thời đó
chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R).[30] Phân tích của Bradwardine là một ví
dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi al-Kindi và Arnald of Villanova để định tính bản chất của
thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.[31]

Là một người trong nhóm Oxford Calculators vào thế kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân và khái
niệm giới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời "bằng con đường mà <b>có thể </b>được mơ tả bởi một vật thể <b>nếu</b>... nó
được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho". [32]

Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có
gia tốc khơng đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng Tích phân), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc
giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một khoảng cách hồn tồn bằng với khoảng
cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình".[33]

Nicole Oresme Oresme đã đi trước Galileo trong

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Nicole Oresme tại Đại học Paris và Giovanni di Casali người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan
hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được. [34]

Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn <i>Hình học </i>của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng qt trong
đó ơng nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng
như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật
thể tăng theo bình phương thời gian.[35]

<b>Toán học hiện đại sơ khai châu Âu</b>

Isaac Newton

Ở châu Âu vào buổi bình minh của thời kì Phục Hưng, tốn học vẫn
cịn bị hạn chế bởi các kí hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã và
diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng kí hiệu: khơng có dấu
cộng, khơng có dấu bằng, và không sử dụng <i>x </i>thay cho đại lượng chưa
biết.

Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước
tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức
như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng qt của
phương trình bậc ba, thơng thường được ghi cơng cho Scipione del
Ferro vào khoảng 1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi Johannes
Petreius ở Nürnberg trong cuốn <i>Ars magna </i>của Gerolamo Cardano,
trong đó cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn từ học trị
của Cardano Lodovico Ferrari.

Cuốn sách của Georg von Peuerbach

Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy
lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của vật lý học. Quá trình này càng
được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong ngành in. Cuốn sách toán học
sớm nhất được in là cuốn Theoricae nova planetarum của Peurbach vào
1472, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại Treviso
Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, cuốn

<i>Cơ sở </i>được in và xuất bản bởi Ratdolt 1482.

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những
khu vực rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một ngành lớn của
toán học. Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Regiomontanus, c Franỗois Viốte, Phỏp

n cui th k, nh cú Regiomontanus (1436-1476) v Franỗois Vieta (1540-1603), cựng vi những người khác, mà
toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các kí hiệu sử
dụng ngày nay.

<b>Thế kỉ 17</b>

Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn Châu Âu.

Galileo, một người Italia, đã quan sát các mặt trăng của Sao Mộc trên quĩ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn
vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.

Mô tả của Tychoo về quỹ đạo của Mặt Trăng,
Mặt Trời và các hành tinh

Tychoo Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các
dữ liệu tốn học mơ tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học
trị của ơng, nhà tốn học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc
với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính
tốn, John Napier, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu logarit tự
nhiên. Kepler thành cơng trong việc lập cơng thức tốn học các định
luật của chuyển động hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi
René Descartes (1596-1650), một nhà tốn học và triết học người
Pháp, đã cho phép những quĩ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong
hệ toạ độ Descartes. Xây dựng dựa trên những cơng trình đi trước bởi
rất nhiều nhà toán học, Isaac Newton, người Anh, đã khám phá ra các
định luật của vật lý để giải thích định luật Kepler, và cùng đưa đến một
khái niệm bây giờ ta gọi là giải tích. Một cách độc lập, Gottfried
Wilhelm Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các kí hiệu

giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh
chóng lan ra tồn thế giới.[37]

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các thảo luận của họ về trò đánh bạc. Pascal, với Pascal's
Wager, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là
dù xác suất thành cơng có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vơ cùng. Trong hồn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát
triển của lý thuyết thỏa dụng ở nửa sau thế kỉ 18-19

<b>Thế kỉ 18</b>

Leonhard Euler do Emanuel Handmann vẽ.

Như ta đã thấy, sự hiểu biết về các số tự nhiên 1, 2, 3,... cịn trước bất
kì văn bản viết nào. Những nền văn minh sớm nhất - ở Lưỡng Hà, Ai
Cập, Ấn Độ và Trung Quốc - đều đã biết đến số học.

Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại
khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về
số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số trả lời được câu
hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung
Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu
hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc
phát minh ra số khơng có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết
quả là gì khi trừ một số cho chính nó.

Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì?
Người Hy Lạp đã biết rằng nó khơng phải một phân số, và câu hỏi này
đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển liên phân số. Nhưng
một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập

phân, phát triển bởi John Napier (1550-1617) và được hồn chỉnh sau

đó bởi Simon Stevin. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về giới hạn,
Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đã đặt tên là số e.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Thế kỉ 19</b>

Carl Friedrich Gauss

Xuyên suốt thế kỉ 19 tốn học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong
thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời
đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống
hiến cho khoa học, trong tốn học lý thuyết ơng đã làm nên các cơng
trình có tính cách mạng về hàm số với biến phức trong hình học và về
sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của định lý
cơ bản của đại số và của luật tương hỗ bậc hai.

Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng hình học phi Euclid,
trong đó tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclid khơng
cịn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một
điểm khơng nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường
thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thơi.

Lobachevsky Janos Bolyai Riemann

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Các hình học mới xuất hiện thế kỷ 19:
Hình học Hyperbolic của Lobachevsky

Hình học cổ điển Euclid
Hình học Elliptic

Hình học Elliptic đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà tốn học người Đức Bernhard Riemann; ở đây
khơng thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một tam giác có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng
phát triển hình học Riemann, trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cao độ ba loại hình học, và ơng định nghĩa khái
niệm một đa tạp, trong đó tổng quát hóa khái niệm về đường và mặt. Các khái niệm này rất quan trọng trong Thuyết
tương đối của Albert Einstein.

Cũng trong thế kỉ 19 William Rowan Hamilton đã phát triển noncommutative algebra, nền móng của lý thuyết vịng.
Thêm vào những hướng mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn được đưa vào các nền tảng logic mạnh hơn, đặc
biệt là trong trường hợp của giải tích với các cơng trình của Augustin Louis Cauchy và Karl Weierstrass.

William Rowan Hamilton Cauchy Karl Weierstrass

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Niels Henrik Abel Évariste Galois

Cũng lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá. Niels Henrik Abel, một người Na Uy, và Évariste
Galois, một người Pháp, đã chứng minh được rằng khơng có phương pháp đại số để giải phương trình đại số với bậc
lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỉ 19 khác áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng thước kẻ và <b>compa</b>

là không đủ để chia ba một góc, để dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đơi thể tích một hình
lập phương cho trước, hay để dựng một hình vng có diện tích bằng diện tích hình trịn cho trước (cịn gọi là phép
cầu phương hình trịn). Các nhà tốn học đã tốn cơng vơ ích để giải tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.
Các nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng
cho các phát triển sâu hơn về lý thuyết nhóm, và các lĩnh vực liên quan của đại số trừu tượng. Trong thế kỉ 20 các
nhà vật lý va các nhà khoa học khác đã thấy lý thuyết nhóm là một cách lý tưởng để nghiên cứu symmetry.

Thế kỉ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên: Hội toán học London vào năm 1865, Hội toán
học Pháp vào năm 1872, Hội toán học Palermo vào năm 1884, Hội toán học Edinburgh vào năm 1864 và Hội toán
học Mỹ vào năm 1888.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Thế kỉ 20</b>

David Hilbert

Tính chuyên nghiệp của nhà toán học ngày càng trở nên quan trọng vào thế kỉ 20.
Mỗi năm, hàng trăm bằng tiến sĩ trong toán học được trao, và các ngành nghề đều có
trong giảng dạy và cơng nghiệp. Phát triển tốn học đã tăng với một tốc độ cực
nhanh, với quá nhiều phát triển mới về khảo sát để thậm chí động chạm tới hầu hết
các lĩnh vực quan trọng nhất.

Vào 1900, David Hilbert đưa ra danh sách 23 bài tốn chưa có lời giải trong toán
học tại Hội nghị các nhà toán học quốc tế. Các bài toán này bao trùm rất nhiều lĩnh
vực của toán học và đã tạo nên sự chú ý đặc biệt trong toán học thế kỉ 20. Hiện nay
mười bài tốn đã có lời giải, bảy đã giải được một phần và hai bài vẫn còn mở. Bốn
bài cịn lại q lỏng để nói rằng liệu đã giải được chưa. Hilbert cũng đã đặt nền
móng cho việc tiên đề hóa hình học với cuốn sách "<i>Grundlagen der Geometrie</i>"
(Nền tảng của Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền

thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ơng (Euclid) lúc
đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Ông mong muốn hệ thống hóa tốn học trên một nền tảng logic vững chắc và
đầy đủ, tin rằng:

1. Tất cả tốn học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn

2. Rằng một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được tính nhất qn (tính khơng mâu thuẫn) của nó
Cũng chính Hilbert đã đưa ra khái niệm khơng gian Hilbert, một cơ sở cho giải tích hàm.

Kurt Gưdel

Những năm 1930, Kurt Gödel đã đưa ra định lý bất tồn (en:Gưdel's incompleteness

theorems) khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để
miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng
khơng thể phủ định; tính nhất quán của một hệ thống tiên đề không thể được chứng
minh bên trong hệ thống đó. Mở rộng ra, khơng thể đi tìm tính chân lý của tốn học
(và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân tốn học hay
của khoa học đó; cái đúng của tốn học phải tìm ngồi tốn học.

Ramanujan

Trong những năm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) đã phát triển hơn
3000 định lý, bao gồm lý thuyết về tính chất của các siêu hợp số (<i>highly composite</i>
<i>number</i>), hàm phần chia (<i>partition function</i>) và các tiệm cận của nó, rồi các hàm theta
Ramanujan. Ông cũng tạo nên những đột phá và phát hiện trong lĩnh vực hàm gamma,
dạng modular, chuỗi phân kì, chuỗi siêu hình học và lý thuyết số nguyên tố.

Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" của Paul Samuelson cơng bố được xem là
khởi đầu của tốn kinh tế đương đại[38] .

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

giản hóa mơ tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.

Những năm 60-70 của thế kỷ 20, việc giáo dục toán học đã bắt đầu sử dụng các phương pháp mới, trong đó nghiên
cứu tốn được bắt đầu từ những lĩnh vực cơ sở như lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số
học đồng nhất mô-đun (<i>modular consistency arithmetic</i>)[39] .

Một bản đồ minh họa Định lý bốn màu

Các phỏng đoán nổi tiếng trong quá khứ tạo nên các kĩ thuật mới và mạnh.
Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã sử dụng một chiếc máy tính để chứng
minh định lý bốn màu vào năm 1976.

Andrew Wiles

Phương trình Fermat bậc lớn hơn 2 khơng có nghiệm ngun

Andrew Wiles, làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được Định lý lớn
Fermat vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.

Tồn bộ các lĩnh vực mới của toán học như logic toán, topo học, lý thuyết độ phức tạp, và lý thuyết trò chơi đã thay
đổi các thể loại câu hỏi mà có thể trả lời được bởi các phương pháp tốn học.

Nhóm Bourbaki của Pháp đã cố gắng đưa tồn bộ tốn học thành một thể thống nhất chung, xuất bản dưới bút danh

<i>Nicolas Bourbaki</i>. Cơng trình khổng lồ của họ đã gây rất nhiều tranh luận trong giáo dục toán học.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Thế kỉ 21</b>

Vào buổi bình minh của thế kỉ 21, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một lớp người nghèo, không được
học hành về tốn học và khoa học[40][41] . Trong khi đó tốn học, khoa học, cơng trình sư và cơng nghệ đã cùng
nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.

Dương Quốc Việt, một nhà toán học Việt Nam đã giải quyết được ba vấn đề mở của lý thuyết các vành nổ
Cohen-Macanlay và Gorenstein, hoàn thành việc quy bội trộn về bội Hilbert Samuel, vấn đề về bội của các vành nổ
của Fiber Cone, tính chất Cohen - Macanlay của Fiber Cone

Năm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant, Đại học New York) đã nghiên cứu thành cơng
lý thuyết và ứng dụng của phương trình vi phân riêng phần cũng như tính tốn nghiệm của chúng.

Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ và Châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để
vẽ sơ đồ E8 thuộc nhóm Lie[42] . Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này
đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và cơng nghệ máy tính trong tốn học hiện đại, khi xây dựng

mơ hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể hiện lớn hơn cả bộ gen
con người[43] .

Cấu trúc E8 hai chiều, thực hiện bởi Peter
McMullen

E8 ba chiều E8

<b>Những vấn đề tốn học cịn chờ đợi trong tương lai</b>

<b>Bảy bài toán thiên niên kỷ</b>

1. Giả thuyết Poincaré
2. Bài tốn P=NP
3. Giả thuyết Hodge

4. Phương trình Navier-Stokes
5. Giả thuyết Riemann

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Lịch sử toán học tại Việt Nam</b>

Hoa văn trống đồng Đơng Sơn, Việt Nam

Tốn học tại Việt Nam trước đây ít được chú ý phát triển, chủ yếu được
phát triển một cách tự phát. Trên một số đồ gốm thời kỳ Phùng
Ngun, có vẽ hình hoa văn với những đường song song uốn khúc đều
đặn, liên tục; hình tam giác xếp ngược chiều nhau, hình tam giác cuộn
chứng tỏ người Việt Nam 3-4 nghìn năm trước đây đã có những nhận
thức hình học và tư duy chính xác. Trên một số trống đồng thời kỳ
Đơng Sơn, các hoa văn cánh sao và các vòng tròn khá đều đặn phản

ánh trình độ hình học của người Việt cổ đã phát triển.

Đời Lý, năm 1077, thi toán được đưa vào chương trình khoa cử

Thời nhà Hồ bắt buộc chương trình thi tốn, áp dụng rộng rãi tốn học

vào kinh tế, sản xuất: dùng toán học đo lại tổng số ruộng đất toàn quốc, lập thành sổ sách điền địa từng lộ, phủ, châu,
huyện

• Vũ Hữu: 1437–1530 với "Lập thành tốn pháp"

• Lương Thế Vinh: 1442–?, Trạng Lường với "Đại thành tốn pháp"

</div>

<!--links-->

<a href=' /><a href=' />

<a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' /><a href=' />

<a href=' />