Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 7 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (680.93 KB, 21 trang )
BÀI 7
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ThS. Đồn Trọng Tuyến
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
v1.0014105206
1
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
•
Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau:
y
A
y=
x2
4
0
•
B
x
Trong đó điểm B có hồnh độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2.
Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này.
v1.0014105206
2
MỤC TIÊU
•
Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua cơng thức Newton – Leibnitz;
•
Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;
•
Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các
hàm chứa căn;
•
Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.
v1.0014105206
3
NỘI DUNG
Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học
Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
v1.0014105206
4
1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC
1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục
1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
v1.0014105206
5
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
•
Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số
thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số:
F(b) – F(a)
với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x).
•
Ký hiệu:
b
f(x).dx F(b) F(a) F(x)
a
•
b
a
Cơng thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz.
Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục
v1.0014105206
6
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ:
2
x2
3
I1 x.dx
1
2 1 2
2
6
cos 2x 6 1
I2 sin 2x.dx
0
2 0 4
2
dx
1
ln3
I3
.ln 2x 1
1 2x 1
2
2
1
2
v1.0014105206
7
1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
•
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và khơng âm trên [a, b].
•
Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
y
(x)
f
y= B
A
b
S f(x).dx
a
a
v1.0014105206
b
x
8
2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có:
1)
a
f(x)dx 0;
5)
b
a
c
b
b
a
c
a
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
b
b
b
a
a
a
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
3)
4)
b
f(x)dx f(x)dx
a
2)
a
b
b
a
a
k.f(x)dx k. f(x)dx, k
b
b
a
a
f(x) g(x), x [a;b] f(x)dx g(x)dx
6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm (a; b) sao cho:
b
f(x)dx f().(b a)
a
v1.0014105206
9
3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Xét tích phân:
b
I f(x)dx
a
Đặt x = (t) với t [; ] thỏa mãn các điều kiện:
(t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [; ]
() = a; () = b.
Khi đó:
b
a
I f(x)dx f (t). '(t)dt f(t)dt
v1.0014105206
10
VÍ DỤ 1
2
Tính tích phân I1
1
1
dx
5x 1
•
Đặt t 5x 1
•
t2 1
Ta có x
,
5
•
Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3
•
Theo cơng thức đổi biến ta có:
dx
2t
dt
5
3
3
2t.dt
2 t.dt 2
1
1
I1
.dt
5
1
t
5
1
t
5
1
t
2
2
2
3
3
2
2
4
t ln 1 t 1 ln
5
5
3
2
v1.0014105206
11
VÍ DỤ 2
1
2
Tính tích phân I2 1 x 2 .dx
0
•
Đặt: x = sin t
•
Ta có: dx = cos t. dt
•
Đổi cận theo t:
x0
•
t 0;
x
1
2
t
4
Theo cơng thức đổi biến ta có:
4
4
4
0
0
0
I2 1 sin2 t.cos t.dt cos t.cos t.dt cos2 t.dt
v1.0014105206
4
4
1
1 sin 2t
1
0 1 cos 2t .dt t
2
2
2 0
8
12
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cơng thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng
b
b
b
udv uv a vdu
a
a
trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b].
v1.0014105206
13
VÍ DỤ 1
1
3x
Tính tích phân I1 x.e .dx
0
Ta đặt:
u x
3x
dv e .dx
du dx
e3 x
3x
v e .dx 3
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
1
1
e3 x
1 1 3x
e3 x
e3 x
I1 x.
e .dx x.
3 0 30
3 0 9
v1.0014105206
1
0
1 2e3
9
14
VÍ DỤ 2
x
Tính tích phân I2 x.sin .dx
0
3
Ta đặt:
u x
x
dv
sin
.dx
3
du dx
x
x
v
sin
.dx
3cos
3
3
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
x
x
x
x
3 cos .dx 3x cos
9 sin
I2 3x cos
0
30
3
30
30
v1.0014105206
9 3 3
2
15
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là
x3
S x .dx
0
3
20
v1.0014105206
20
2
0
8000
2666,67 (m2)
3
16
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
dx
8
Giá trị của
3
1
x
là:
A. 9/2
B. 4/3
C. 3/2
D. 5/2
Trả lời:
•
Đáp án đúng là: A. 9/2
•
Vì: Sử dụng cơng thức Newton – Leibnitz ta có:
dx
8
8
3 32
3
3
9
x
dx
x 3 x 2 (4 1)
1 3
1
2 1 2
2
2
x
1
8
8
1
3
→ Chọn đáp án A
v1.0014105206
17
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
1
Giá trị của tích phân (x 3e x )2 dx là:
0
7
9 12
2
6 2e
e
7
5
1
B. 2
9 3e e
5
4
3
C. 2 2
e 3e
4
7
9
12
D. 2
6 2e
e
A.
Trả lời:
Đáp án đúng là: D. 7 9 2 12
6 2e
e
v1.0014105206
18
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Vì:
•
•
Khai triển tích phân
1
1
0
0
2
x 2
x
2 x
(x 3e ) dx (x 6xe 9e )dx
Lại có:
1
x3
1
2
0 x dx
3 0 3
1
1
9
2
9e dx e
2 x
0
•
2 x 1
0
9
9
(e2 1) (1 e 2 )
2
2
1
(Sử dụng tích phân từng phần) 6xe x dx 6[1 2e 1 ]
0
•
Tích phân có giá trị là:
v1.0014105206
7
9
12
2
6 2e
e
19
CÂU HỎI TỰ LUẬN
Tính tích phân xác định:
2
x3
1
1 3 x 1
I
dx
Giải:
Đặt
x
1
2
t
0
1
t 3 x 1 x t 3 1 dx 3t 2 dt
1 5
t3 4 2
t 4t 2
I
.3t dt 3
dt
0 1 t
0
t 1
1
1
dt
0 t 1
1
3 [t t t 3t 3]dt 9
4
3
2
0
1
5
1
t 4 t 3 3t 2
t
3
3t 9ln t 1 0
2
5 4 3
0
73
9ln 2
20
v1.0014105206
20
TĨM LƯỢC CUỐI BÀI
•
b
b
Tích phân xác định f(x)dx F(x) a F(b) F(a) với F(X) là một ngun hàm của f(x).
a
•
Các tính chất của tích phân xác định giống như tích phân bất định.
•
Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân.
•
Cơng thức tích phân từng phần:
b
b
b
udv uv vdu
a
•
a
a
Các dạng tích được bằng tích phân từng phần:
b
P(x)cosax dx
b
b
a
P(x)sinax dx
a
v1.0014105206
b
x
P(x)e dx
a
x ln (kx)dx
n
a
21
