mot so bai tap chon loc ve dao ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (121.39 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM

TĨM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1) Định nghóa.

Cho hàm số yf x

 

xác định trên khoảng



a b;



và x0



a b;



.
Nếu tồn tại :

 

0
0

lim

x x

f x f x

x x




 thì đạo hàm của hàm số yf x

 

tại điểm x0 là :

 

0
0

' lim

x x

f x f x

f x

x x







hay '

 

0 limx 0 limx 0





 

f x x f x

y
f x

x x

   

  



 

  , trong đó :

  x x x0,  y f x



0 x



 f x

 

2) Cách tính đạo hàm tại một điểm

Bước 1. Giả sử x là số gia của x0, tính  y f x



0 x



 f x

 

0 .

Bước 2. Lập tỉ số y

x



 .

Bước 3. Tính lim0

x
y
x

 



 .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử u u x

 

và v v x

 

là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định. Ta có :





ku



'ku' (k là hằng số)





u v



' u v' '





u v



' u v' '





u v. '



u v uv'  '



 

' '

, 0

u u v uv

v x

v v



 

 

 

 

III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản



 

x ' .x1



 

u ' u1. 'u





'
2

1 1

x x

 



 

 

'
2

1 u'

u u

 



 

 



 

' 1

x



 

' '

u
u

u







sinx



' cosx



sinu



' u'.cosu





cosx



' sinx



cosu



'u'.sinu







' 12 1 2

cos

tgx tg x

x

  





' 2' '. 1





cos

u

tgu u tg u

u

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>







' 12



1 2



sin

cotgx cotg x

x

  



cot



' 2' '. 1





sin

u

gu u cotg u

u

  



 

ex 'ex

 

eu ' u e'. u



 

ax 'ax.lna

 

au 'a uu. '.lna





ln x



' 1

x





lnu



' u'

u







log



a

x
x

x a





log



' '

a

u
u

u a



IV. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm cấp n1, kí hiệu là fn1

 

x . Nếu fn1

 

x có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f x

 

, kí hiệu là  n

y hay

 n

 

f x .

 

 1

 

n n

f x  f  x 



  với n2.

A. CAÙC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0

 

5 sin 2 4 3 sin

y x  x x x.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)
Giải

Ta coù:

 

' 5 2cos 2 4 3 cos

y x   x x

 

' 0 5 2 cos 2 4 3 cos 0

y x    x x





5 2 2cos x 1 4 3 cosx 0

    

4 cos x 4 3 cosx 3 0

   





2cosx 3 0

  

cos cos

2 6

x 

   2 ,

x  k  k

    .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :

6 6 2 2

sin cos 3sin cos 2001

y x x x x x

có đạo hàm y' khơng phụ thuộc vào x.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải

Ta coù:

6 6 2 2

sin cos 3sin cos 2001

y x x x x x



sin2 x





cos2x



3 3sin2 xcos2 x 2001x

   



sin2 x cos2 x

 

sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x



3sin2 xcos2 x 2001x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4 4 2 2

sin x cos x 2sin xcos x 2001x

   



sin2 x cos2 x



2 2001x

  

 1 2001x

Do đó: y' 2001 (đpcm)

Ví dụ 3. Cho hàm số

 

sin 1sin 3 2sin 5

3 5

f x  x x x.

Tính đạo hàm f x'

 

và giải phương trình f x'

 

0.

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải

 f x'

 

cosxcos 3x2 cos 5x

 f x'

 

 0 cosxcos 3x2 cos5x0



cosx cos 5x

 

cos 3x cos 5x



    

2cos 3 cos 2x x 2 cos 4 cosx x 0

  



4cos3x 3cosx



cos 2x cos 4 cosx x 0

   





cosx 4cos x 3 cos 2x cos 4x 0

     





cosx 2cos 2x 1 cos 2x 2cos 2x 1 0

      





cosx 4 cos 2x cos 2x 1 0

   

cos 0

4cos 2 cos 2 1 0

x

x x




 

  



cos 0

1 17

cos 2 cos

1 17

cos 2 cos

x
x
x






 






  







 







2
2
2

x k

x k k

x k











 





   




  




Ví dụ 4. Cho hàm số f x

 

xlog 2x



x0,x1



.
Tính đạo hàm f x'

 

và giải bất phương trình f x'

 

0.

Giải
Với điều kiện x0,x1, ta có:

 

log 2x

f x x .ln 2
ln

x
x

 ln 2.

x
x



 

ln 1

' ln 2.

x
f x

x



 

   

 

 '

 

0 ln 2 1 0

x
f x

x



 

   

 

lnx 1 0

   (do ln2x0, x 0 và x1)
lnx 1

   0x e

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 5. Chứng minh hàm số y x 3cos ln



x



4sin ln



x



 thoả mãn phương trình:

2 '' ' 2 0

x y  xy  y .

Giải
Ta có:

 y' 3cos ln



x



4sin ln



x



x 3sin ln



x



4cos ln



x



x x

 

     

 

7 cos ln



x



sin ln



x



 y'' 7sin ln



x



1cos ln



x



x x

 

Do đó:

2 '' ' 2

x y  xy y

























2 7sin ln 1cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin ln

x x x x x x x x x

x x

 

           

 

























7 sin lnx x xcos lnx 7 cos lnx x xsin lnx 6 cos lnx x 8 sin lnx x

     

 (đpcm)

Ví dụ 6. Cho hàm số y 2000x

 .Tính đạo hàm y' theo định nghĩa.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)
Giải

Ta coù:





 

0 0

' lim lim

x x

y x x y x

y
y

x x

   

  



 

 

2000 2000

lim

x x x

x x


 






lim 2000 .0 2000 1

x
x

x x


 

  

  



 

ln 2000
0

lim 2000 . .ln 2000

ln 2000

x
x

x

e
x

 

  

  



 

2000 ln 2000x

 .

Chú ý. lim0 1 1

x
x

e
x


  



 

  .

Ví dụ 7. Cho hàm số ylog20 x.Tính đạo hàm y' theo định nghĩa.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải

Ta coù:





 

0 0

' lim lim

x x

y x x y x

y
y

x x

   

  



 

 





log log

lim

x

x x x

x
 

  



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

20
0
log 1

lim
x
x
x
x
 

 

 
 



0
ln 1
ln 20
lim
.
x
x
x
x
x
x
 

 

 

 


0
ln 1
1
lim .
ln 20
x
x
x
x
x
x
 
   

 
 
 
 


 
 
 
1
ln 20
x
 .

Chú ý.





0
ln 1
lim 1
x
x
x


 .

Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x0:

 



21



1 0

x

x e khi x

f x

x ax khi x


  



   


.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thơng Vận tải Hà Nội, 2000)
Giải

Ta có:



 

' 0 lim

x

f x f

f
x










0
1 1
lim
x
x
x e
x



 

0
1
lim
x
x
x
e
e
x




  
   

 

1 1 0
  



 

 

' 0 lim

x

f x f

f
x





2
0
1 1
lim
x
x ax
x



   






0
lim

x  x a

   a

 

f x có đạo hàm tại điểm x0  f

 

0 f

 

0  0a  a0
Vậy giá trị cần tìm là: a0.

Ví dụ 9. Cho hàm số y xex

 .

1) Tính đạo hàm cấp một y' và đạo hàm cấp hai y'' của hàm số trên. Tổng quát, hãy 
tìm đạo hàm cấp n  n

y .
2) Chứng minh rằng :

'' 2 ' 0
y  y y .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giải
1) Ta có:





' x x 1 x

y e xe  x e





'' x x x 2 x

y e e xe  x e





''' 3 x

y  x e

 





4 x

y  x e

Suy ra:

 





n x

y  x n e (*)
(*) đã đúng khi n1, 2,3.
Giả sử (*) đúng khi n k , ta có:

 





k x

y  x k e (**)

Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi n k 1, tức là:

 





k x

y  x k e

  

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:

 1





k x x x x

y  e xe ke x k e

      (đpcm)

2) Ta có:









'' 2 ' 2 x 2 1 x x

y  y y x e  x e xe
0 (đpcm).

Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số yln 2



x1



(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thơng Vận tải, 1996)

Giải

Ta coù:





1 1

' 2 1 .2

2 1

y x

x



  





 



2 2

'' 1 . 2 1 .2

y x 

  





3 3

''' 1.2. 2 1 .2

y x 

 

 









4 1 1.2.3. 2 1 .24

y x 

  

Suy ra:

 n



1



n 1.



1 ! 2

 

1



n.2n

y  n x 

    (*)

(*) đã đúng với n1, 2,3.

Giả sử (*) đúng khi n k , nghĩa là:

 





k 1.



1 ! 2

 



k.2

k k

y  k x 

    (**)

Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với n k 1, tức là:

k 1



1 . !. 2



k



1



k 1.2k 1

y  k x   

  

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được:

 







 



1 k . 1 ! 2 1 k .2.2

k k

y   k k x  

    



1 . ! 2



k k



x 1



k1.2k1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 11. Cho hàm số

 

2
2

5 3 20

2 3

x x

f x

x x

 



  .

Tính đạo hàm cấp n của f x

 

(không phải chứng minh).

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000)

Giải

Ta coù:

 

2
2

5 3 20

2 3

x x

f x

x x

 



  2

7 5

2 3

x

x x


 

 



 



7 5

1 3

x

x x


 

 

3 4

1 3

x x

  

 

Do đó:

 









3 4

1 3

f x

x x

 

 

 









3.2 4.2

1 3

f x

x x

 

 

 









3.2.3 4.2.3

'''

1 3

f x

x x

 

 

 









5 5

3.2.3.4 4.2.3.4

1 3

f x

x x

 

 

Suy ra:

 

  











3 4

1 . !

1 3

n
n

n n

f x n

x  x 

 

    

 

 

 

Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

sin

y x, từ đó suy ra đạo hàm cấp n của
hàm số 2

cos
y x.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999)
Giải

Ta coù:
' sin 2

y  x

'' 2cos 2 2sin 2

y  x  x 

 

2 2

''' 2 cos 2 2 sin 2 2.

2 2

y   x   x  

   

 4 2 cos 23 2. 2 sin 23 3.

2 2

y   x    x  

   

Suy ra:

 





2 sin 2 1

n n

y   x n 

    

  (*)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

  2 1sin 2



1



k k

y   x k 

    

  (**)

Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi n k 1, nghĩa là:

 1

2 sin 2

k k

y   x k 

   

 

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:

 1 2 .2cos 21



1



2 sin

2 2

k k k

y    x k  x k 

        

   

Vaäy:   2 1sin 2



1



n n

y   x n 

    

 

Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2

cos
y  x:
Ta coù: 2 2

sin xcos x1

Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có:



sin2 x



 n



cos2 x



 n 0

 

Suy ra:



cos2



 



sin2



  2 1sin 2



1



n n n

x x   x n 

     

 .

B. BAØI TẬP
Bài 1. Cho hàm số yxcosx. Chứng minh:

'' 2sin 0
y  y x .
Baøi 2. Cho hàm số y exsinx

 . Chứng minh:

'' 2 ' 2 0

y  y  y .

Bài 3. Cho hàm số yxlnx. Chứng minh rằng:

2 '' ' 0

x y  xy y .
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số:

 

1 0

1 cos

x

f x x

x
x






 






với
với

Đáp số: Do lim0

 

0 1

 

x f x   f nên không tồn tại f ' 0

 

Bài 5. Cho hàm số:

 





ln cos

0 0

x

f x x

x








 



với
với

Tính đạo hàm của hàm số đó tại x0.

Đáp số: ' 0

 

1
2

f  .

Bài 6. Hãy tính f ' 0

 

, bieát:

 

34 2 8 8 2 4

khi 0

sin 2

0 khi 0

x x

x

f x x

x

   

 



 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đáp số: ' 0

 

5
6

f  .

Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số:

 

2 2

ln 0

2 4

0 0

x x

f x

x



 




 



neáu
neáu

Đáp số: f ' 0

 

 0
 .
Bài 8. Cho hàm số:

 

2 2 8

2
2

x x

x

f x x

a x

  




 

 



neáu

neáu .

Xác định a để hàm số có đạo hàm tại x2. Tính f ' 2

 

Đáp số: a6, f ' 2

 

1.
Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x0:

 

2 0

1 0

x

e khi x

f x

x ax khi x

 




  




Đáp số: a1.
Bài 10. Cho hàm số:

 

3 2

2 0

x bx cx x

f x

x cx x

   




 




neáu

neáu .

Xác định b và c để f x

 

có đạo hàm tại x0.

Đáp số: b, c0.
Bài 11. Cho hàm số:

 

2
2

2 2 1

x khi x

f x

x bx c khi x

    




  




Tìm các giá trị của b và c để hàm số f x

 

có đạo hàm tại x1.

Đáp số: b3,c3.
Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y sin 52 x

 .

Đáp số:   5.10 .sin 101



1



n n

y   x n 

    

  .

Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số

 

1
4

f x
x



 .

Đáp số:  

 

1. 1



 



 1





 1 !
4

n n n

n

f x  x   x   n

    

  .

Bài 14. Chứng minh rằng hàm số 22

3 2

2 1

x x

y

x x

 



  có đạo hàm cấp n bằng:













1 1

2 2

1 . !

2 1 1

n
n

n n

n

x x



 

 

   

 

 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 483. Choy 1 x2 . Tính y'(x)

A. 2 ;

x



B. ' 2 ;

2 1

x
y

x






C. 2 ;
1

x
x



D. 2 2 ;
1

x
x



Caâu 484. Cho ysin 32 x. Tính y'(x)
A. 3sin 6x

B. sin 6x
C. 2sin 3x
D. 6sin 3x

Caâu 485. Cho y x22xex
e



 . Tính y'(0)
A. 1

B. 1
C. 3

D. Các câu khác đều sai.

Câu 486. Cho yln(3 2 ) x2 . Tính y'(1)
A. 4

B. 2
3
C. 1

5
D. 1.

Câu 487. Tìm y x'( ), bieát yln(3x1).

A. 3

3x1
B. 3(3x1)
C. 3

3x 1




D. 1
3x1

Câu 488. Tìm y'(1), biết y(x22)e3 1x .
A. 11e4

B. 8e4

C. 5e4

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 489. Cho ycos 22 x. Tính y'(x) 
A. 2sin 4x

B.  sin 4x
C. sin 4x
D. 2sin 4x

Câu 490. Đạo hàm của hàm số ysin 3 cos 2x x là
A. 3cos 3 cos 2x x 2sin 2 sin 3x x

B. 3cos 3 cos 2x x2sin 2 sin 3x x.
C. cos 3 cos 2x x sin 2 sin 3x x
D. Các câu khác đều sai.

Câu 491. Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là
A. cosx + cos2x

B. cosx - cos2x
C. cosx + 1
D. cosx + sin2x.

Câu 492. Đạo hàm của hàm số y (x2 1)3

x

  laø

A. 3(x3 1) (224 x3 1)

x

 

B. 3(x2 1)2

x



C. 3(x321)2

x



D. 3(x2 1) (22 x 1)

x

  .

Câu 254. cho y = cos(x2). Tính y’ tại x / 4



 laø :
A.



 .

B. 2  .

C. 2 .

D. - / 4.

Caâu 255. Cho y tg x2

 . Tính y’ tại
4

x là :

A. 4.
B. 1
C. 1/4
D. 0.

Câu 3. Hàm số y 12tgx có đạo hàm tại x = /4 là

3
2
)
4

( 
 

y .

3
1
)
4

( 

 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

C. ) 21
4

( 



y .

D. ) 1

( 



y .

Câu 4. Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x =

/4 là

A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. –1.

Câu 9. Tính đạo hàm hàm số 11




x
x

y tại x = 2 là
A. –1/ 3.

B. 1/ 3.

C. 1.
D. 2.

Câu 12. Tính đạo hàm của y =x3cosx

A. 3x2cosx - x3sinx.

B. –3x2sinx.

C. 3x2sinx.

D. x2cosx.

Câu 13. Nếu hàm số

1
3





x
x

y có đạo hàm 2

2
3

)

1
(
2







x

b
ax
x

y thì (a,b) bằng

A. (3,-3).
B. (2,-3).
C. (2,3).
D. (0,2).

Câu 14. Cho y = sin(x2). Tính y’

A. 2x.cos(x2).

B. -2x.cos(x2).

C. cos(x2).

D. cos(x2).

Caâu 15. Cho y = sin2x. Tính y’

A. sin2x.
B. 2x.cos2x.

C. cos2x.
D. 2x.sin2x.

Câu 30. Nếu đồ thị hàm số yx3ax2bx9 đi qua điểm M(1;10) và tại đó y'' 0
thì:

A. a3 b3.

B. a1 b3.

</div>

mot so bai tap chon loc ve dao ham

<b>Vấn đề 4. ĐẠO HÀM</b>

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 

 

 

 

 





 





 





 

 

 

















<sub> </sub>

 

 

 

 









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>





















 

 

 

 

















 

 

 

 

<sub> </sub>

 

 

 