<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài tập bồi dỡng HSG chơng I - h×nh häc 9</b>

<b>Chủ đề 1 :</b>

Hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

A. <b>Kiến thức</b> : Vận dụng các hệ thức trong tam giác vng.

B. <b>Bµi tËp vËn dơng</b>.

Bài 1. Cho hình thang ABCD có đờng cao AD = 12cm . Hai đờng chéo AC và BD vng góc với
nhau , BD = 15cm . Tính diện tích hình thang ABCD.

Bµi 2. Cho tam giác ABC vuông tại A

1)

Biết hai trung tuyến AM = 3cm , BN = 4cm . TÝnh c¸c cạnh của tam giác ABC.

2)

Bit AB = a , hai đờng trung tuyến AM , BN vng góc với nhau . Tính hai cạnh AC, BC theo
a.

3)

Biết BC = 2a , BM, CN là hai trung tuyến . Tình MB2 + MC2

theo a, từ đó tìm GTLN của

MB + MC theo a.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A ,đờng cao AH . Gọi HE, HF lần lợt là các đờng

cao của tam giác AHB và tam giác AHC .

1) Chøng minh BC

2

_{= 3 AH}

2

_{+ BE}

2

_{+ CF}

2

2) Cho BC = 2a khơng đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của BE

2

_{+ CF}

2

_.

3) Chøng minh :

_BE2 BH3
<i>BC</i>

. Tính theo a giá trị

3<i>_BE</i>2_3<i>_CF</i>2

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AH . Gọi E, F lần lợt là hình chiếu vng góc của

H lên AB, AC . Đặt AH = x , BC = 2a ( a không đổi ).

1) Chứng minh : _{AH = BC.BE.CF = BC. HE. HF}3
Tính SAEF theo a và x . Tính x để SAEF đạt giá trị lớn nht .

Bài 5. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC . AM cắt DC tại N .
Chøng minh r»ng: 1₂ = 1 ₂ + 1₂

AB AM AN

Bài 6 . Cho hình thoi ABCD , đờng cao AH . Cho biết AC = m ; BD = n và AH = h .
Chớng minh rằng : 1₂ = 1₂ + 1₂

h m n

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A , AH và BK là hai đờng cao . Chứng minh rằng :
1₂ = 1₂+ 1 ₂

BK BC 4AH

Bài 8 ,. Cho tam giác ABC nhọn , BD và CE là hai đờng cao cắt nhau tại H. Các điểm M và N nằm
trên các đờng thẳng HB và HC sao cho _{AMC = ANB = 90}  0. Chứng minh AM = AN .

Bài 9 . Cho tam giác ABC nhọn , AH là đờng cao , trung tuyến AM. Chứng minh rằng :
<i>_{a BC}</i>₎ 2 _<i>_AB</i>2_<i>_AC</i>2_ ₂<i>_{AB AH}</i>_.

b) ₂ 2 2 2 2

2
<i>BC</i>

<i>AM</i>  <i>AB</i> <i>AC</i> .

Bµi 10 . Cho h×nh thoi ABCD cã _{A 120} 0

 . tia Ax tạo với tia AB một góc bằng 150 và cắt cạnh BC tại

M , ct ng thng CD ti N.

Chøng minh r»ng : 1₂ + 1₂ 4 ₂

AM AN 3AB

Chủ đề 2

: Tỉ số lợng giác của góc nhọn trong tam giác vng.

<b>A. Kiến thức gồm :</b>

- Tỉ số lợng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
- Tỉ số lợng giác của hai gãc phô nhau.

- Một số hệ thức lợng giác , bảng lợng giác đặc biệt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC nhän , BC = a , AB = c , AC = b. Chøng minh r»ng :

sin sin sin

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>

Bài 2 .Cho tam giác ABC nhän BC = a , AB = c , AC = b. Chøng minh r»ng :

a

2

_{= b}

2

_{+ c}

2

_{- 2bc cosA}

Bµi 3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến BM và CN vuông gãc víi nhau . Chøng minh r»ng :
cotgB + cotg C 2

3

 .

Bµi 4 . Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , AB = c , AC = b. Chøng minh :

2 2
2

2
2
) ) l =

( )

<i>a</i>

<i>b</i> <i>b c</i>

<i>a tgB</i> <i>b</i>

<i>a c</i> <i>b c</i>



  ( la là độ dài đờng phân giác của  )

Bµi 4. Chøng minh r»ng :

2 2

) cos 2 cos sin b) sin2 2sin .cos

<i>a</i>      

( Xét tam giác ABC cân tại A có _{A 2}   ₎

Bài 5 Không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số . HÃy tính sin300_{, cos30}0_{, sin 15}0 _{, cos15}0_.

Bài 6 . Cho tam giác ABC nhọn , các đờng cao AD, BE , CF . Chứng minh rằng :
<i>DEF</i> 1 cos2 cos2 cos2

<i>ABC</i>
<i>S</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>

<i>S</i>  

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b, BC = a . Chøng minh r»ng :

a) sin A b) sin A.sin B.sin C 1

2 2 2 2 2 8

<i>a</i>
<i>bc</i>

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác ( AB < AC ) . Chøng minh :
1 + 1 = 2

AB AC AD

Bài 9. Cho hình vng ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4cm. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB
, AC . Nối CM vad DN cắt nhau tại P .

a)

Chøng minh CM



DN .

b)

Tính tỉ số lợng giác của góc CMN.

c)

Tính diện tich tam giác MDN.

Bài 10.Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng :

a) sin

<b> 2011</b>

<b>_{B + cosB}</b>

5

4



<b> b) sin </b>

<b>2009</b>

<b>_{B + cos}</b>

<b> 2009 </b>

<b>_{B < 1}</b>

<b>Bµi tËp båi dìng HSG chơng Ii - hình học 9</b>

<b>Ch 1</b>

.

<i>Sự xác định đờng trịn .Liên hệ giữa đờng kính và dây của đờng tròn .</i>

<i>Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.</i>

<b>A. KiÕn thøc :</b>

1.Định nghĩa , sự xác định đờng trịn .
2.Vị trí của một điểm đối với đờng tròn.
3. So sánh độ dài đờng kính và dây .

4. Quan hệ vng góc giũa đờng kính và dây .

<b>B. Bµi tËp</b>

Chủ đề về đờng trịn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 1</b>. Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB . Hai dây AC và BD cắt nhau tại H . Chứng minh rằng :
AH. AC + BH . BD = AB2_.

Bài 2 . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đờng trịn (O ; R) . Gọi H là trực tâm tam giác
ABC . Vẽ đờng kính AF của (O) .

a) Chøng minh BH // FC .

b) Chøng minh tứ giác BHCF là hình bình hành .

c) VÏ OM vu«ng gãc víi BC tại M. Chứng minh H, M, F thẳng hàng .
d) Gäi G lµ trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng : SAHG =2SAGO

<b>Bài 3</b>. Cho hình thoi ABCD cạnh a . Gọi R và r lần lợt là hai bán kính của đờng tròn ngoại tiếp các
tam giác ABD và ABC.

Chøng minh r»ng : 1₂ 1₂ 4₂
<i>R</i> <i>r</i> <i>a</i>

<b>Bài 4</b> . Cho hình vng ABCD cạnh a , gọi E và F là hai điểm di động trên cạnh AB và AD sao cho
AE + EF + AF = 2a . Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên EF .

a) Chứng minh H thuộc một đờng tròn cố định .

b) Tìm vị trí của E, F sao cho diƯn tÝch tam gi¸c CEF lín nhÊt .

<b>Bài 5</b>. Chứng minh rằng trong một tam giác , chín điểm gồm trung điểm của ba cạnh , chân các
ờng cao , trung điểm của các đoạn thẳng nối từ các đỉnh tam giác đến trực tâm cùng thuộc một
đ-ờng tròn ( <i>Đờng tròn Euler</i>)

<b>Bài 6.</b> Trong mặt phẳng cho 2011 điểm và trong ba điểm bất kì bao giờ cũng tìm đợc hai điểm có
khoảng cách giữa chúng bé hơn 1. Chứng minh rắng tồn tại một hình trịn có bán kính bằng 1 chứa
khơng ít hơn 1006 điểm .

<b>II. Đờng kính và dây của đờng tròn.</b>

<b>Bài 1</b>. Cho nửa đờng tròn (O) , đờng kính AB và một dây CD . Vẽ AP và BS vng góc với CD ( P ,
S thuộc CD ) . Chứng minh rắng :

a) P và S nằm ngồi đờng trịn tâm (O) .
b) PC = DS

c) SAPSB

= S

ACB

+S

ADB

<b> Bài 2</b>. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và dây CD quay xung quanh điểm I cố định nằm trong
(O) ( I khác O ) .

a) Chøng minh P, S n»m ngoµi (O) .
b) So s¸nh PC vµ DS

c) Xác định vị trí của dây CD để AP + BS đạt giá trị lớn nhất.
d) Xác định vị trí của dây CD để dây CD ngắn nhất .

<b>Bài 3</b>. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB , dây CD cắt đờng kính tại I. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu
của A, B trên dây CD . Chứng minh CH = DK.

<b>Bài 4</b> . Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB và dây CD . Qua C và D kẻ CH và DK cùng vng
góc với CD cắt đờng kính AB lần lợt tại H và K .Gọi I là trung điểm CD.

a) Chøng minh AH = BK

<b> b</b>

<b>) S</b>

<b>HCD </b>

<b> + S </b>

<b>KCD = CD . OI </b>

<b>Bài 5</b> . Cho đờng tròn (O ; R ) . Các điểm A, B, C, D cùng thuộc (O ; R ) .
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD .

Bài 6. Cho đờng tròn (O ; R ) . Gọi A là điểm nằm ngoài (O ; R ) . Đờng thẳng d qua A cắt đờng
tròn (O) tại B , C .

Xác định vị trí của d để AB + AC lớn nhất .

<b>Bài 7</b> . Cho hình vng ABCD , AC cắt BD tại O . Gọi M và N là trung điểm của OA và BC .
Chứng minh 4 điểm C, M, N , D cùng nằm trên một đờng tròn và DN > MC .

Bài 8.Cho đờng trịn tâm O bán bính R và một điểm P cố định nằm bên trong đờng tròn (O) với OP
= a < R . Lấy hai điểm A, B di động trên đờng tròn (O ; R ) sao cho <i>_APB</i> ₉₀0

 . VÏ OM vµ PH

vu«ng gãc víi AB .

a) TÝnh MP 2

_{+ MO}

2_{vµ HP}2

_{+ HO}

2_{theo R}

b) Gäi I là trung điểm OP . Tính IM

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

thay đổi nhng ln vng góc với nhau tại P .
a) Chứng minh : AC2_{+ BD}2_{không đổi .}

b) Xác định vị trí của AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất .

<b>Bài 10</b>. Cho hình vng OAPQ . Trên cạnh PQ và PA lần lợt lấy điểm E và F di động sao cho
QE + AF = EF . Vẽ đờng thẳng qua O vng góc với OE cắt đờng thẳng AP tại G .

1) Chøng minh : <i>OQE</i><i>OAG</i>

2) Kẻ OH vng góc với EF tại H . Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đờng tròn cố định .
3) Đờng thẳng EF cắt đờng thẳng AO ở D . Chứng minh đờng phân giác góc _OED _{vng góc}
với OE .

4) Chøng minh _{EOF = 45} 0

<b>Bài 11</b> . Cho hình vng ABCD có cạnh a .Gọi O là giao điểm của hai đờngchéo . Lấy các điểm
E, F , G, H trên các cạnh AB , BC , CD , DA tơng ứng sao cho AE = BF = CG = DH = x . ( x< a )

1. Chứng minh 4 điểm E, F , G , H cùng thuộc đờng tròn tâm O .

2. Chøng minh tø giác EFGH là hình vuông .

3. Tính diện tích hình vuông EFGH theo a và x . Tìm vị trí của E trên cạnh AB sao cho diện tích
ấy nhỏ nhất .

<b>Bài 12</b> . Cho (O ; R ) và hai dây bẳng nhau AB và CD . Biết AB vuông góc với CD tại I và
IA = 1cm , IB = 7 cm . TÝnh b¸n kÝnh R .

<b> III . Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đên dây</b>.

Bài 1. Cho đờng tròn tâm O và hai dây AB = CD . Gọi OH , OK lần lơt là khoảng cách từ tâm O
đến AB và CD . Chứng minh : a) AH = CK b) OH = OK

Bài 2 . Cho đờng tròn (O) , điểm A nằm bên trong đờng trịn . Vẽ dây BC vng góc với OA tại A.
Vẽ dây EF bất kì đi qua A và khơng vng góc với OA . So sánh độ dài hai dây BC và EF .

Bài 3 Cho đờng tròn tâm O hai dây AB = CD . Gọi H là trung điểm của AB , K là trung điểm của CD
. Kéo dài AB và CD cắt nhau ở P. So sánh PH và PK .

Bài 4. Cho điểm A cố định ở bên trong (O ; R ) ( A khác O ) và dây BC quay quanh A .
Xác định vị trí của dây cung BC để dây BC ngắn nhất .

Chủ đề 2

: <i>Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng trịn . Tiếp tuyến của đờng trịn</i> , <i>Tính chất </i>
<i>hai tiếp tuyến cắt nhau.</i>

<b>A. KiÕn thøc cÇn nhí .</b>

1. Ba vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn , hệ thức liên hệ giữa d và R .

2. Tiếp tuyến của đờng trịn , tính chất của tiếp tuyến

3. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn .
4. C¸ch vÏ tiÕp tuyÕn .

5. TÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t nhau.

6. Đờng trịn nội tiếp tam giác , tam giác ngoại tiếp đờng tròn , đờng tròn bàng tiếp.

<b>B. Bµi tËp </b>

<b> I . Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn.</b>

Bài 1 .Cho đờng tròn (O ; R ) và đờng thẳng d không giao nhau . A là điểm bất kì trên (O) .
Xác định điểm A để khoảng cách từ A đến đờng thẳng d là lớn nhất .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->