<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3 5 3 5

2 3 5 2 3 5

 



   

b) B =



14 2 13  12 2 11





44 52



b) C = 10 24 40 60  7 40

<b>Bài 2</b>: <i>(2 điểm)</i>

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
D = 1

2 1

<i>x</i> <i>x</i>

b) Giải bất phương trình: 3<i>x</i> 2 5

c) Giải phương trình: 16<i>x</i>17 8 <i>x</i> 23

<b>Bài 3</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Cho biểu thức : P = 4 4 4

2 2

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

  



  ( Với a  0 ; a
 4 )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính <i>P</i> tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0

<b>Bài 4</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Cho tứ giác ABCD có <i>_{D C}</i> ₉₀0

  . Chứng minh AB2 + CD2 = AC2 + BD2

<b>Bài 5</b>: <i>(2 điểm)</i>

Cho hình vng ABCD. E là điểm nằm giữa B và C. Gọi F là giao điểm của hai
đường thẳng AE và DC. Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

AF

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

_

3 2 5

_

29 12 5

b) B = 3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2

 



 

2. Khơng xử dụng máy tính , So sánh hai số a và b với:
a = 2011 2010 và b = 2010 2009

<b>Bài 2</b>: <i>(2 điểm)</i>

1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi:

Với hai số a và b không âm, chứng minh rằng:
2

<i>a b</i>

<i>ab</i>




2. Giải phương trình sau: ₂<i>_x</i> ₃ _{5 2}<i>_x</i> ₃<i>_x</i>2 ₁₂<i>_x</i> ₁₄

     

3. Cho A = <i>x</i> 3 5 <i>x</i>. Chứng minh rằng: A  4

<b>Bài 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB : AC = 20 : 21 và AH =
420.

Tính chu vi tam giác ABC.
2. Cho góc nhọn _.

a) Biết rằng cos_{– sin} _{= 0,2. Tính cotg} _.

b) Tính sin2₁0_{+ sin}2₂0_{+ sin}2₃0_{+ ……….+ sin}2₈₇0_{+ sin}2₈₈0_{+ sin}2₈₉0

<b>Bài 4</b>: <i>(2 điểm)</i>

Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các
điểm

trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho <i>_ADC</i> <i>_AEB</i> ₉₀0

  . Chứng minh tam giác ADE

cân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 1</b>: (3 điểm)

1. Rút gọn các biểu thức sau:
A = 13 160  53 4 90

2. Cho biểu thức P = 2 2

1 1

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

 



   

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi b = 3 2 2
4



<b>Bài 2</b>: (2 điểm)

1. Giải phương trình : 1 <i>x</i> 4<i>x</i> 3

2. a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng: <i>a</i> <i>b</i>  <i>a b</i>

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =



<i>x</i> 2009



2 



<i>x</i> 2010



2

<b>Bài 3</b>: (3 điểm)

1. Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin2_{x +cos}2_{x = 1}

2. Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngồi nửa đường
trịn.

CA, CB lần lượt cắt nửa đường tròn tại N và M. Gọi H là giao điểm của AM và
BN.

a) Chứng min CH  AB

b) Giả sử CH = 2R. Tính tang <i>_ACB</i>_.

<b>Bài 4</b>: (2 điểm)

Tử điểm A ở ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn
( B và C là hai tiếp điểm. Gọi E là hình chiếu của C trên đường kính BD của
đường tròn (O). AD cắt CE ở K.

Chứng minh K là trung điểm CE

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 1</b>: <i>(2 điểm)</i>

1. Thực hiện phép tính:

2

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

 _ _ 



 

     

 

2. Chứng minh rằng: 1 1 1 .... 1 10
1 2  3  100 

<b>Bài 2</b>: <i>(2 điểm)</i>

1. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:





1

1 2

2

<i>x</i> <i>y</i>  <i>z</i>  <i>x y z</i> 

2Giải phương trình: 2 ₁ 2 ₁ 1
2

<i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> 

<b>Bài 3</b>: <i>(2 điểm)</i>

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> ₃
 

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =



<i>x</i> 2 6

 

 <i>x</i>



<b>Bài 4</b>: <i>(2 điểm)</i>

Cho đường trịn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d tại B. Trên d lấy hai điểm C và
D.

(B nằm giữa C và D). CA và DA cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N.
Chứng minh AM. AC = AN. AD

<b>Bài 5</b>: <i>(2 điểm)</i>

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B

là hai tiếp điểm) . Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A đến đường kính BC của
đường tròn. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 1</b>: (3 điểm)

1. Tính giá trị biểu thức:

a) A = 4 80 7 2 45 7 5 20 7 

b) B = 3_{5 2 13}_ _3_{5 2 13}_

2. Rút gọn biểu thức P = <i>x</i> 2 2 <i>x</i> 3  <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 3 , với 3 <i>x</i> 4

<b>Bài 2</b>: (3 điểm)

1. Giải phương trình:
a) <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> _{4 2} <i>_x</i>

   

b) <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> ₅ <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> ₈ <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> _{9 3} ₅

         

2. Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 9 2
2

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>


<b>Bài 3</b>. (2,5điểm)

<b> </b>Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vng góc với
AB

( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn
(O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở
E và F. Gọi K là giao điểm của AF và BE,

1. Chứng minh <i>MK</i> <i>AB</i>.

2. Khi MB = 3.MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.

<b>Bài 4</b>: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD.
Chứng minh rằng tgB. tgC = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 1:</b> <i>(1,5 điểm)</i>

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c)

2. Chứng minh x4_{+ x}3_{+ 2x}2_{+ x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi x}

<b>Bài 2</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Rút gọn biểu thức:

1. A =

_

2010 2011

_

2011 2010 2010 2011
2011 2010 2010 2011






2. B = 1 ₂ 2 1 1
4( 1)

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    

  với x  1 và x
 2

<b>Bài 3</b>: <i>(2 điểm)</i>

1. Giải phương trình sau:
₃<i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₂ <i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁ <i>_x</i>

    

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = <i>x</i>2<i>y</i> 6 <i>x</i>10 <i>y</i>2 <i>xy</i>2023 với x, y là các số thực không âm.

<b>Bài 4</b>: <i>(2,5 điểm)</i>

Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt
AC và AB tại M và N, <i>_NHM</i> _₁₂₀0.

1. Chứng minh <i>_AMN</i> _<i>_ABC</i>_{, tính}<i>MN</i>
<i>BC</i> .

2. Tính <i>AH</i>

<i>BC</i>

<b>Bài 5</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm. Tính cos A

<b>Bài 6</b>: <i>(1 điểm)</i>

Cho biểu thức M =



2<i>n</i>1



3



2<i>n</i>



22<i>n</i>1 với n  N

Chứng minh M  16

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 1: </b><i>(1,5 điểm)</i>

1.Cho x và y là hai số khác nhau sao cho x2_{– y = y}2_{– x .}

Tính giá trị của biểu thức A = x2_{+ 2xy + y}2_{– 3x – 3y}

2.Tìm 3 chữ số tận cùng của tổng 9994_{+ 999.}

<b>Bài 2</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:
1.



3 2 2  3 2 2



3 2 2  3 2 2



2. 14 6 5 2 2

5 3 _1,5 ₂

 



 _

<b>Bài 3</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
1. A = <i>x</i> 2 <i>x</i> 3

2. B =



<i>x</i> 2011



2 



<i>x</i>1



2

3. C = <i>_x</i>2 ₂<i>_y</i>2 ₆<i>_x</i> ₄<i>_y</i> ₁₁ <i>_x</i>2 ₃<i>_y</i>2 ₂<i>_x</i> ₆<i>_y</i> ₄

        

<b>Bài 4</b>: <i>(1,5 điểm)</i>

1. Chứng minh bất đẳng thức <i>x y</i>1<i>y x</i>1<i>xy</i> (với x  1; y  1)

2. Giải phương trình: 2 1 2 1 3
2

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  

<b>Bài 5</b>: <i>(2,0 điểm)</i>

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = 4. Vẽ AH  BD. Gọi M là trung điểm

của HB; N là trung điểm của CD. Tính MA2_{+ MN}2_.

<b>Bài 6</b>: <i>(2,0 điểm)</i>

Qua một điểm M ở ngồi đường trịn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở
A và B, kẻ qua M một đường thẳng khác cắt đường tròn ở C và D

1. So sánh các tích MA. MB và MC. MD.

2. Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) . Chứng minh <i>MTC</i> <i>MDT</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 1: </b><i><b>(1,5 điểm)</b></i>

<b> </b>Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

1. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên x, giá trị của A là số chính phương.
2. Tìm số ngun x sao cho A = 25

<b>Bài 2</b>: <i><b>(1,5 điểm)</b></i>

1. Chứng minh rằng:

a) 1 1 1 ... 1 1 9

1 2  2 3 3 4   98 99  99 100 
b) 1 1 1 ... 1 28

2  3 4   225 

2. Cho biểu thức <i>_x</i>2 ₆<i>_x</i> ₁₉ <i>_x</i>2 ₆<i>_x</i> _{10 3}

      .

Tính giá trị của biểu thức : M = <i>_x</i>2 ₆<i>_x</i> ₁₉ <i>_x</i>2 ₆<i>_x</i> ₁₀

    

<b>Bài 3</b>: <i><b>(2,0 điểm)</b></i>

1. Với a  0, b  0 , chứng minh rằng a + b  2



<i>a</i>2<i>b</i>2



2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = <i>x</i> 3 <i>y</i> 4, biết x + y = 8

3. Giải phương trình sau: <i>_x</i> ₂ ₁₀ <i>_x</i> <i>_x</i>2 ₁₂<i>_x</i> ₄₀

     

<b>Bài 4</b>: <i><b>(1,5 điểm)</b></i>

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường
tròn

tại D. Gọi S là diện tích tam giác ABC .
Chứng minh : S = r (AD + BC)

<b>Bài 5</b>: <i><b>(2,5 điểm)</b></i>

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua
O song

song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
1. Chứng minh: 1

AB
MO
CD

MO



 .

2. Chứng minh: .
MN

2
CD

1
AB

1




3. Biết 2

COD
2

AOB m ; S n

S   . Tính SABCD theo m và n (với SAOB, SCOD, SABCDlần lượt
là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD).

<b>Bài 6</b>: <i><b>(1,0 điểm)</b></i>

Chứng minh rằng a3_{b – ab}3_{chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 1</b>: <i><b>(1,5 điểm)</b></i>

Cho biểu thức A = n3_{– 4n}2_{+ 4n – 1.}

1. Phân tích A thành nhân tử.

2. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là số nguyên tố.

<b>Bài 2</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

1. Rút gọn biểu thức:



 



3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

 



 

2. So sánh hai số:

a = 3 5 3 5

2 2 3 5 2 2 3 5

 



    ; b =

4 7 4 7

3 2 4 7 3 2 4 7

 



   

3. Tính giá trị của biểu thức :

P = ( x3_{+ 12x – 9)}2010_{tại x =}₃₄

_

_{5 1}_

_

_ ₃ ₄

_

_{5 1}_

_

<b>Bài 3</b>: <i><b>(2,0 điểm)</b></i>

1. Giải phương trình sau:



7



. 7



5 .



5 2

7 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    


  

2. Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i>  <i>a</i>  

<b>Bài 4</b>: <i><b>(2,0 điểm)</b></i>

Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối
của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q.

Chứng minh : <i>_QNM</i> _<i>_MNP</i>

<b>Bài 5</b>: <i><b>(1,5 điểm)</b></i>

Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp của một tam giác mà độ dài các đường cao là
1; ;2 3

<i>h h h</i> _{. Chứng minh hệ thức:}

1 2 3

1 1 1 1

<i>r</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Bài 1</b>: <i><b>(2,0 điểm)</b></i>

Cho biết a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc . Tính giá trị biểu thức :}

A = 1 <i>a</i> 1 <i>b</i> 1 <i>c</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

     

  

     
     

<b>Bài 2</b>: <i><b>( 4,5 điểm)</b></i>

Không xử dụng máy tính, hãy:
1. So sánh hai số:

a = 2009 2011 và b = 2 2010.

2. Rút gọn các biểu thức sau:
A = 3 2 2 3 2 2

17 12 2 17 12 2

 



 

3. Tính giá trị của biểu thức:
B = 2 2

1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



    với x =

3 2 2
4



<b>Bài 3</b>: <i><b>( 4,0điểm)</b></i>

Giải các phương trình sau:
1. 3₇ <i>_x</i> ₁ <i>_x</i> ₂

   

2. Cho hàm số: y = <i>x</i> 1 2 <i>x</i> 2  <i>x</i> 7 6 <i>x</i> 2
a) Tìm các giá trị của x để y có nghĩa ?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

<b>Bài 4</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự tại E và F.

Chứng minh rằng <i>_{E F}</i> _

<b>Bài 5</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, và C là hai tiếp
điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Từ điểm T bất kì trên cung nhỏ BC
vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF tại M.

Chứng minh MA = MT

<b>Bài 6</b>: <i><b>(1,5 điểm)</b></i>

Chứng minh rằng:
1. a = ₂₁10 _{1 200}

 

2. b =₃₉20__{39 40}13_

3. c =₂₀₀₅2007 ₂₀₀₇2005 ₂₀₀₆

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 1</b>: <i><b>(5,0điểm)</b></i>

1. Rút gọn biểu thức: A =

























3 3 3

2 2 2

<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i>

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

    

    

<i><b>Khơng xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:</b></i>
2.. P = 4 7  4 7 + 2

3. Q = 1 1₂ 1₂ 1 1₂ 1₂ ... 1 1 ₂ 1 ₂

2 3 3 4 2005 2006

        

<b>Bài 2</b>: <i><b>(3,0điểm)</b></i>

1. Chứng minh <i>a</i>3 <i>b</i>3<i>ab a b</i>(  ) với mọi <i>a b</i>, 0_.

2. Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức :
₃ 1₃ ₃ 1₃ ₃ 1₃ 1

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>  

với mọi <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> là các số dương thỏa mãn <i>abc</i>1.

<b>Bài 3</b>: <i><b>(2 điểm)</b></i>

Giải phương trình:



3

 

1



4



3



1 3 0
3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>


     



<b>Bài 4</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng tan 
2

<i>ABC</i> <i>AC</i>

<i>AB BC</i>




<b>Bài 5</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng
vuông

góc với AB. Gọi O là trung điểm AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D
sao

cho <i>_COD</i> ₉₀0
 .

1. Chứng minh AC + BD = CD.

2. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AB.

<b>Bài 6</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

1. Chứng minh rằng 16n_{– 1 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 17 với n lẻ}

2. Chứng minh rằng:



<i>_x</i>3<i>m</i>2 <i>_x</i>3<i>n</i>1 ₁

 

<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁



     với mọi số tự nhiên m và n.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Câu 1</b> <i>(3,0 điểm)</i>

1. Phân tích x5_{+ x – 1 thành nhân tử.}

2. Phân tích số 10 000 000 099 thành tích của hai số tự nhiên khác 1.

<b>Câu 2</b> <i>(3,0 điểm)</i>

Rút gọn biểu thức: A = 11 6 2 3 5 7 3 5 2

2 3 14 5 3

     

  

<b>Câu 3</b>: <i>(4 điểm)</i>

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

<i>M</i>  <i>x</i> 2007  <i>x</i> 2008  <i>x</i> 2009  <i>x</i> 2010
2. Giải phương trình:

<i>x</i> <i>x</i>1₂ <i>x</i>1₄ 2

<b>Câu 4</b>: <i>(4 điểm)</i>

1. Chứng minh rằng ₆2<i>n</i> ₁₉<i>n</i> ₂<i>n</i>1

  chia hết cho 17 với mọi số tự nhiên n.

2. Chứng minh rằng :

Với mọi số nguyên dương n, giá trị biểu thức ₂4 2 1

3 2 1 1

<i>n</i>
<i>M</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 

   <b> </b>

không thể là một số tự nhiên.

<b>Câu 5</b>: <i>(6 điểm)</i>

Cho hình thang vng ABCD (<i>_{A B}</i> ₉₀0

  ), tia phân giác của góc C đi qua trung

điểm O của AB.

1. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA)

2. Gọi H là tiếp điểm của CD với đường tròn (O; OA). Gọi K là giao điểm của AC
Và BD. Chứng minh rằng KH song song với AD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Câu 1</b><i><b>( 3điểm )</b></i><b>:</b>

1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

3
5

12
6
3
20
10
3






 _.

b) B = <i>a b c</i>  2 <i>ac bc</i>  <i>a b c</i>   2 <i>ac bc</i> (a >0, b > 0, c > 0 , a + b  c)

<b>Câu 2</b>: <i><b>(3điểm)</b></i>

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
A(n) = _7.52<i>n</i> _12.6<i>n</i>

 chia hết cho 19

2. Tìm các số nguyên x và y sao cho xy – x – y = 6

<b>Câu 3</b>: <i><b>(3điểm)</b></i>

1. Chứng minh bất đẳng thức:



<i>x</i> 3

 

<i>x</i> 5



 2 0 với <i>x</i>0

2. Giải phương trình: 3x2 3x 2 x2 x 1







<b>Câu 4</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:

0; 0

2 4 2 0

2 7 11 0

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>c</i>

 




   



 _ _ _ _



.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = 6a + 7b + 2006c.

<b>Câu 5</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Cho đường trịn (O; R), đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn, C là
tiếp điểm. D và E lần lượt là các hình chiếu của A và B trên đường thẳng d.

1. Chứng minh hai điểm D và E ở ngồi đường trịn (O)
2. Kẻ CH  AB (H  AB). Chứng minh AD. BE = CH2.

<b>Câu 6</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

<i><b> </b></i>Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai

đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q.
Chứng minh MN là tia phân giác của góc <i>PMQ</i>· .

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Bài 1</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

Cho phân thức





















2 2

2 2 2

2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>

<i>M</i>

<i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>

      



    

a) Tìm các giá trị của a, b, c để M có nghĩa ?
b) Rút gọn phân thức M.

<b>Bài 2</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 4 5 21 80

10 2

<i>A</i>   



b) 2 1 2 1

2 1 2 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    



     với x
2


<b>Bài 3</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

<i><b> </b></i>a) Chứng minh rằng ₁₁<i>n</i>2 _₁₂2<i>n</i>1 chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n.

b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y

<b>Bài 4</b>: <i><b>(3 điểm)</b></i>

a) Giải phương trình 1 6 2 5 0
4

1 2






<i>x</i>

<i>x</i>

b) Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng a + b + c  <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>

<b>Bài 5</b>: <b>(3,5 điểm)</b>

Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB, M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn.
Vẽ tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và tại B theo thứ tự ở C
và D .

Điểm M ở vị trí nào trên nửa đường trịn thì tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất ?
Tính theo R diện tích nhỏ nhất đó .

<b>Bài 6</b>: <i><b>(3,5 điểm)</b></i>

Cho nửa đường trịn (O; R) , đường kính AB. AC và BD là hai dây cung của nửa đường
tròn cắt nhau tại điểm M ở bên trong nửa đường tròn (O).

Chứng minh AM. AC + BM. BD = AB2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Bài 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm số dư của phép chia S : 101 trong đó:

S = 1n_{+ 2}n_{+ 3}n_{+ ………..+ 97}n_{+ 98}n_{+ 99}n_{với n là số tự nhiên lẻ}

b) Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên lẻ thì ₃2<i>n</i>3 ₂4<i>n</i>1

 chia hết cho 25

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

Khơng xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:

a)A = 2 12 140 2 12 140

7 5 ₁₂ ₁₄₀ _{32 5 28} ₁₂ ₁₄₀

 

  

 _ _ _

b) B = <i>x</i>4 <i>x</i> 4  <i>x</i> 4 <i>x</i> 4

<b>Bài 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

Giải phương trình :
a) 2<i>x</i> 3 <i>x</i>

b)



<i>_x</i> _{3 10}



<i>_x</i>2 <i>_x</i>2 <i>_x</i> ₁₂

    

<b>Bài 4</b><i>: (4 điểm)</i>

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, kẻ dây CD tùy ý khơng vng góc với AB
và cắt AB tại I. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD.

Chứng minh CM = DN.

<b>Bài 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE  AB, CF  AD.

Chứng minh : AB. AE + AD. AF = AC2

<b>Bài 6</b>: <i>(2 điểm)</i>

Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 3

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

( với a, b, c > 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Bài 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm các chữ số x, y để 1234<i>xy</i>72

b) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng 9.10n_{+ 18 chia hết cho 27}

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 6 3 3  6 3 3

b) B = 4 7 4 7

3 2 4 7 3 2 4 7

 



   

<b>Bài 3</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Giải phương trình:

<i>x</i> 1 4<i>x</i> 4 9<i>x</i> 9 ... 100<i>x</i>100 165

b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
5<i>x</i> 3<i>y</i>2<i>xy</i>11

<b>Bài 4</b>: <i>(2 điểm)</i>

Chứng minh bất đẳng thức:

1 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 2

<i>a b d</i> <i>a b c b c d</i> <i>a c d</i>

    

        (với a, b, c, d > 0)

<b>Bài 5</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho hình thang ABCD đáy AB = 3 cm, đáy CD = 9 cm, AD = 4 cm , BC = 6 cm
Tính diện tích hình thang.

<b>Bài 6</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R và E là một điểm di chuyển trên
nửa

đường tròn ( E khác A và B). Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt hai tiếp tuyến
kẻ

từ A và B của nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.
a) Chứng minh HE là phân giác của <i>_CHD</i> _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Câu 1</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Rút gọn biểu thức:

2 2 3

6 2

<i>A</i> 


12 18
5 2 6






b) Chứng minh bất đẳng thức:
2010 2011 2010 2011

2011 2010  

<b>Câu 2</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm giá trị của x để biểu thức 2
1
2 2 5

<i>x</i>  <i>x</i> có giá trị lớn nhất .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =

_

_

2

_

_

2

1995 1996

<i>x</i>  <i>x</i>

<b>Câu 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

Giải phương trình sau:
<i>_x</i>2 ₉<i>_x</i> _{20 2 3}<i>_x</i> ₁₀

   

<b>Câu 4</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R, CD là dây cung song song với AB
và khoảng cách từ O tới CD cũng dài bằng CD.

a) Tính CD theo R.

b) Gọi H là hình chiếu của C đến AB và I là giao điểm của AB với tiếp tuyến vẽ từ
C

Với nửa đường tròn O. Chứng minh HI = 4 HO, từ đó tính HI và CI theo R.

<b>Câu 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

Trên cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm C1, A1, B1 tương ứng sao

cho

AA1 , BB1 , CC1 đồng qui tại O. Đường thẳng qua O song song với AC cắt A1B1 và

C1B1 tại K và M. Chứng minh OK = OM

<b>Câu 6</b>: <i>(2 điểm)</i>

Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên chia hết cho 4 thì 2n_{– 1 chia hết cho 15.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>Câu 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Rút gọn biểu thức sau:
A =













3 3 3

2 2 2

3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>

<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>

  

    

b) Chứng minh rằng: Nếu 2 2

(1 ) (1 )

<i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>xz</i>
<i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>xz</i>

 



  với <i>x</i><i>y</i> ; <i>yz</i>1 ; <i>xz</i>1 ;

<i>x</i>0; <i>y</i>0; <i>z</i>0 thì <i>x y z</i> 1 1 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
    

<b>Câu 2</b>: <i>(4 điểm)</i>
a)

2 2

9 2 14 9 2 14

7 2 7 2

     



   

 _   _ 

   

b) 14 7 15 5 : 1 5 2

1 2 1 3 7 5 _{5 2}

 _ _  _

 

 

   _

 

<b>Câu 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

Giải các phương trình sau:
a)



<i>x</i> 3 4

 

 <i>x</i>



 9 <i>x</i>

b) <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 1 6 0

<i>x</i> <i>x</i>
 
 
    

   
   

<b>Câu 4</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm số dư khi chia 31993_{cho 7}

b) Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 3x – 2y – 9 = 0

<b>Câu 5</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho hình thoi ABCD có <i>_A</i> ₁₂₀0

 . Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt

cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.
Chứng minh 2 2 2

1 1 4

3

<i>AM</i> <i>AN</i>  <i>AB</i>

<b>Câu 6</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho nửa đường trịn đường kính AB. Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H.
Chứng minh AH. AC + BH. BD có giá trị khơng đổi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>----Câu 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm số dư khi chia 31998_{+ 5}1998_{cho 13.}

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n4_{+ 4 là số nguyên tố.}

<b>Câu 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 14 6 5 2 2

5 3 _1,5 ₂

 



 _

b) B =



8 2 15  8 2 15 : 3





_

1 2007 . 2008 2 2007

_

2 

<b>Câu 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>x</i> <i>x</i> 2010.

b) Giải phương trình: 2 2 5 1

5 3 3 1

<i>x</i> <i>x</i>

  

 

<b>Câu 4</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Chứng minh đẳng thức:





1 1 1

1 1 1

<i>n</i> <i>n n n</i>   <i>n</i>  <i>n</i> với n nguyên dương

b) Chứng minh bất đẳng thức:

1 1 1 1

... 1

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4    100 99 99 100 

<b>Câu 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB và một dây cung CD. Vẽ AP và BS
cùng vuông góc với CD (P  CD, S  CD). Chứng minh:

a) P và S ở bên ngồi đường trịn (O).

b) <i>S</i>APSB <i>SACB</i><i>SADB</i>

<b>Câu 6</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF.
Chứng minh rằng: EF 2 2 2

ABC

1 os os os

S

<i>D</i>
<i>S</i>

<i>c</i> <i>A c</i> <i>B c</i> <i>C</i>

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>---HẾT---Bài 1</b>: <i>(5 điểm)</i>

a) Cho biểu thức P = <i>a</i> 1 : ₂ 1

<i>a a a</i> <i>a a</i> <i>a</i>


   (với 0 < a  1)

Rút gọn P và tính giá trị của P khi a = 1 2 6
3 2  2 3 5

b) Chứng minh rằng biểu thức A = a2_{+ b}2_{– 2ab + a – b + 1 luôn dương với}

mọi a và b.

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm) </i>
a) Giải phương trình sau:

1 1 1 1

3 2 2 1 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + ₂<i>_{x x}</i>2 ₁
 

<b>Bài 3</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, hai đường trung tuyến AM và BN
vng góc với nhau.

Tính hai cạnh AC, BC theo a.

<b>Bài 4</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần

lượt tại P và Q sao cho HP = HQ. Qua điểm H vẽ một đường thẳng vng góc
với PQ cắt BC tại M.

Chứng minh rằng: M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

<b>Bài 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – 2y – 3 = 3x – x2

b) Tìm số dư trong phép chia A = 38_{+ 3}6_{+ 3}2004_{cho 91}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>---hết---Bài 1:</b> <i>(4 điểm)</i>

Rút gọn các biểu thức sau
a) A = 14 6 5 14 6 5

2 5

   

b) Cho a, b, c, d là các số dương và <i>a</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>d</i> .

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Với a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
Nếu <i>a b c</i>   <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> thì a = b = c

b) Cho A = 1
3

<i>x</i>
<i>x</i>



 . Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

<b>Bài 3</b>: <i>(2 điểm)</i>

Giải phương trình: ₃<i>_x</i>2 _{5 3}<i>_x</i>2 ₅<i>_x</i> _{12 48 5}<i>_x</i>

    

<b>Bài 4</b>: <i>(3 điểm) </i>

Cho tam giác ABC. Gọi P là điểm nằm trong tam giác sao cho <i>_{PAC PBC}</i>_ _.

L và M theo thứ tự là chân đường vng góc vẽ từ P đến BC và AC.
Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của AB thì DL = DM.

<b>Bài 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By cùng
phía với nửa đường trịn. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp

tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh rằng đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
b) Tìm vị trí của C để hình thang để tứ giác ABCD có chu vi bằng 14 cm.

Biết AB = 4 cm

<b>Bài 6</b>: <i>(3điểm)</i>

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì:
a) ₅<i>n</i>2 _26.5<i>n</i> ₈2<i>n</i>1 ₅₉

  

b) _7.52<i>n</i> _{12.6 19}<i>n</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>HẾT---Bài 1</b>: <i>(3,0điểm)</i>

Rút gọn biểu thức sau:

P =

















2





2





2 4

<i>bc b c</i> <i>ac c a</i> <i>ab a b</i>
<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i> <i>abc</i>

    

     

<b>Bài 2</b>: <i>(4,0 điểm) </i>

a) Rút gọn các biểu thức sau:

A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2

     



     

b) a > 0; b > 0. Chứng minh <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i> <i>a</i>

  

<b>Bài 3</b><i>: (4,0 điểm)</i>

Giải các phương trình:

a) 4 20 3 5 1 9 45 4

9 3

<i>x</i>

<i>x</i>    <i>x</i> 

b) 2 2 2

2 2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

 

   

<b>Bài 4</b>: <i>(3,5 điểm)</i>

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC,
CA, AB của tam giác ABC sao cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng qui
tại O.

Chứng minh : <i>AP BM CN</i>. . 1

<i>PB MC NA</i> 

<b>Bài 5</b>: <i>(3,,5 điểm)</i>

Từ một điểm A ở ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với
B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON. Đường
trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Hãy tính tỉ số <i>AM</i>

<i>AO</i> .

<b>Bài 6</b>: <i>(2 điểm)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>---HẾT---Bài 1</b>: <i>(4điểm)</i>

<i><b>Rút gọn các biểu thức sau:</b></i>
a) 2 1 2 2 1

2 2 2 2 2

 

 

 

b) 2 5 2 5

2 3 5 2 3 5

 



   

<b>Bài 2</b>: <i>(6điểm)</i>

a) Giải phương trình:

₉ 2 ₄₅ 1 ₁₆ 2 _{80 3} 2 5 1 25 2 125 ₉

12 16 4 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>   <i>x</i>      

b) Chứng minh

1 1 1

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>



 

   

c)Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q = <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> ₅
  

<b>Bài 3</b><i>: (3điểm)</i>

Cho một điểm P nằm trong đường tròn (O; R). Hai dây cung di động AB
và CD cùng đi qua P và vng góc với nhau tại P.

Chứng minh AB2_{+ CD}2_{có giá trị không đổi.}

<b>Bài 4</b>: <i>(4điểm)</i>

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt
đường thẳng CD tại F. Chứng minh 2 2 2

1 1 1

4

<i>AB</i> - <i>AE</i> = <i>AF</i>

<b>Bài 5</b>: <i>(3điểm)</i>

Giải phương trình nghiệm nguyên: x2_{y + 2x}2_{– y}2_{+ 1 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>---HẾT---Bài 1</b>: <i>(2 điểm)</i>

Biết a + b + c = 0 và abc  0. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

0

<i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i>  <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i> 

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Không xử dụng máy tính, hãy rút gọn các biểu thức sau:
A =



2 1

 

3 1

 

6 1 5 2 2

 

  3



b) Cho x, y thỏa mãn:



<i>_x</i>_ <i>_x</i>2_₂₀₁₀

 

<i>_y</i>_ <i>_y</i>2_₂₀₁₀



_₂₀₁₀
Tính giá trị biểu thức B = x + y

<b>Bài 3</b><i>: (4 điểm)</i>

a) Giải phương trình sau:
5₂ 5₂ 4

5 5

<i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i> <i>x</i>  

b) Với x, y không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = <i>x</i> 2 <i>xy</i>3<i>y</i> 2 <i>x</i>2011,5

<b>Bài 4</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Đường trung trực của AB cắt nửa

đường tròn tại I. Trên tia đối của tia IO lấy điểm C sao cho IO = IC. Từ C vẽ
hai tiếp tuyến CD và CE với nửa đường tròn (D và E là hai tiếp điểm). Trên cung
DE lấy điểm S (S khác I) , tiếp tuyến tại S của nửa đường tròn cắt CD và CE lần
lượt tại H và K. Tính số đo góc HOK.

<b>Bài 5</b> :<i>(3 điểm)</i>

Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD.
Chứng minh rằng: 1 1 2

<i>AB</i><i>AC</i> <i>AD</i>

<b>Bài 6</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) chứng minh rằng :

Với mọi số tự nhiên n ta có: ₂₁2<i>n</i>1 ₁₇2<i>n</i>1 ₁₅

  không chia hết cho 19.

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>ĐỀ SỐ 25</b>

<i> </i>

<b>Bài 1</b>: <i>(3 điểm)</i>

a) Rút gọn phân thức sau:











 



2

2 2

2 2

4 12

1 2 12

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

    

b) Tính giá trị của biểu thức: 22 2
2
<i>x</i> <i>yz</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>y</i>




biết <i>x</i>0;<i>y</i>0 và 3x – y = 3z ; 2x + y = 7z

<b>Bài 2</b>: <i>(6 điểm)</i>

a) Rút gọn biểu thức: Q = 3 4 5

6 8 10 27 36 45

 

    

b) Giải phương trình: <i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> <i>_x</i> _{1 5 0}
    

c) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; <i>a</i> <i>b</i>  <i>c</i> và





2
<i>a b</i>  <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

Chứng minh đẳng thức:









2
2

<i>a</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>_a</i> <i>_c</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>c</i>

  _




 

<b>Bài 3</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường trịn có tâm O trên BC và tiếp xúc
với AB và AC. Kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O) cắt hai cạnh AB và AC
lần lượt tại P và Q.

Chứng minh : BC2_{= 4BP. CQ}

<b>Bài 4</b>: <i>(4 điểm)</i>

Cho tam giác ABC . Kẻ đường thẳng bất kì đi qua trọng tâm G của tam giác
cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở P và Q.

Chứng minh rằng: <i>AB</i> <i>AC</i> 3

<i>AP</i><i>AQ</i> 

<b>Bài 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2

3 5 7 19

... 1
1 .2 2 .3 3 .4  9 .10 

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:



<i>x y</i>



2 



<i>x</i>1

 

<i>y</i>1



</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>ĐỀ SỐ 26</b>

<b>Bài 1</b> : <i>(4 điểm)</i>

Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 4 15 4 15 2 3  5

b) B = 1 23 22 22 23 66 22
22 23 22.23 _{4 2 3}

  



  _

<b>Bài 2</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Với giá trị nào của x thì phân thức 2
6 2

2 15

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  nhận giá trị dương ?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = 2

4 3

1

<i>x</i>
<i>x</i>




<b>Bài 3</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Chứng minh bất đẳng thức: 2 1₁ 1₁
1 <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>

b) Giải phương trình: <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> _{5 2 2}<i>_x</i> ₃

   

<b>Bài 4</b>: <i>(3điểm)</i>

Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên cạnh AC lấy điểm D, trên cạnh AB lấy
điểm E sao cho AD = AE. Các đường thẳng vng góc với EC vẽ từ A và D lần
lượt cắt cạnh BC ở K và L.

Chứng minh BK = KL.

<b>Bài 5</b>: <i>(3 điểm)</i>

Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các
điểm trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho <i>_ADC</i>_<i>_AEB</i>_₉₀0.

Chứng minh tam giác ADE cân.

<b>Bài 6</b>: <i>(2 điểm) <b> </b></i>
Tìm số dư của phép chia 23232299_{cho 23}

= === HẾT=====

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>Câu 1</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

a)Rút gọn biểu thức:
2 2 3

6 2

<i>A</i> 


12 18
5 2 6




 ; B =

14 6 5 14 6 5
2 5

  

b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; <i>_a</i> <i>_b</i>  <i>_c</i> và <i>a b</i> 



<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>



2

<b> Chứng minh đẳng thức: </b>









2
2

<i>a</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>_a</i> <i>_c</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>b</i> <i>c</i>

  _




 

<b> Câu 2</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

a)Giải phương trình sau:



7



. 7



5 .



5 2

7 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    


  

b)Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i>  <i>a</i>  

<b>Câu 3</b>: <i><b>(4 điểm)</b></i>

Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối
của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q.

Chứng minh : <i>_QNM</i> _<i>_MNP</i>

<b>Câu 4</b>: <i>(4 điểm)</i>

Từ một điểm A ở ngồi đường trịn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với
B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON. Đường
trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Hãy tính tỉ số <i>AM</i>

<i>AO</i> .

<b>Câu 5</b>: <i>(4 điểm)</i>

a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì: ₅<i>n</i>2 _26.5<i>n</i> ₈2<i>n</i>1 ₅₉

  

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  3:

B = 3 3 3 3

1 1 1 1 1

...

3 4 5  <i>n</i> 12

======== <i><b>hết</b></i> ==========

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

2) B = 4 2 3  4 2 3 2 20  (1,5 điểm)

3) C = 3 5  3 5 3 40 (1 điểm)

Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình:
1) 4 4 2 1 9 9 4

2

<i>x</i>   <i>x</i>  (1,5 điểm)

2) <i>_x</i>2 ₄<i>_x</i> _{4 2}<i>_x</i> ₁₀

    (1,5 điểm)

Câu 3: (1 điểm) Cho 2x2_{+ 2y}2_{= 5xy}

Tính D = <i>x y_{x y}</i>



Câu 4: (4 điểm)

1)_Tìm số dư phép chia 2 888 885100_{chia cho 13 (1,5 điểm)}

2) Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) xy + 2y = 3x + 11 (1,5 điểm)
b) x3_{– x}2_{y + 3x – 2y = 5 (1 điểm)}

Câu 5:Cho tam giác ABC có góc B = 760_{và AB < AC < BC. Trên cạnh BC lấy}

E sao cho AB = CE. Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm BE.

MI cắt AB tại H.Tính số đo góc BHI (3 điểm)
Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến

chung ngoài CD ( C thuộc (O); D thuộc (O1)). Chứng minh CD là tiếp tuyến

của đường trịn đường kính OO1 (5 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Thực hiện phép tính:

a) 5 5 5 5 6 1 2 2
3

5 1 5 1 2 1

  

  

   (1điểm)

b) 6 2 5  6 2 5  8 2 15 (1điểm)

c) 2 6 5 5 3 3

3 2 5 5 1 3 1

 

 

    (1điểm)

d) 2 3 2 3 2
3

    (1điểm)

Câu 2: ( 3điểm)

Giải phương trình:

a) <i>x</i> 5 1  4<i>x</i> 20 1 (1,5điểm)

b) <i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> _{1 2}<i>_x</i> ₈

    (1,5điểm)

Câu 3: (1điểm)

Rút gọn biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

<i>P</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

  

      biết a +b + c = 0 (1điểm)

Câu 4: (4điểm)

a) Tìm số dư của phép chia 3444444444028_{chia cho 31 (1,5điểm)}

b) Giải phương trình nghiệm nguyên:

3x – 2y = 11 – xy (1,5điểm)
c) Chứng minh rằng : x5_{y – xy}5_{chia hết cho 30 ; với x ; y}__{Z ( 1điểm)}

Câu 5: (4điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vng góc với BD tại H. Gọi E; K lần lượt
là trung điểm của DH và BC.

Chứng minh AE  EK

Câu 6: (4điểm)

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O)
(A; B là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến tại điểm N của
đường tròn (O) cắt MA tại E, MB tại K; đường vng góc với MO tại O cắt tia
MA tại C, tia MB tại D.

Chứng minh : Tam giác CEO và tam giác DOK đồng dạng.
*** HẾT***

<b>PGD </b><b> ĐT THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

1 1 2

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> <i>a</i>

<b> Câu 1: ( 4 điểm )</b>

a) Tìm số dư phép chia (2điểm)
(20082008 _{-1 ) : 7}

b) Chứng minh rằng : 42n+2 _{-1 chia hết cho 15 (}

 n  N ) (2điểm)

<b>Câu 2: ( 5 điểm ) </b>

Tính

a) A = 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

 



    (2 điểm)

b) 5 2 10 20

7 2 5 2 7

<i>B</i>  

   (2 điểm)

c) Chứng minh rằng a, b, c là các số không âm và b là số trung
bình cộng của a và c thì ta có :

(1 điểm)
<b>Câu 3: ( 3 điểm )</b>

<b> </b>a) Chứng minh rằng : nếu a + b + c = 0
thì a3_{+ b}3_{+ c}3 _{= 3abc}

b) Cho a  0 ; b  0 ; c  0 ; d  0

Chứng minh rằng :

<i>E</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 1

<i>b c d</i> <i>a c d</i> <i>a b d</i> <i>a b c</i>

    

       

<b>Câu 4: ( 4 điểm )</b>

<b> </b>Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh BC lấy điểm M .
Chứng minh rằng: BM2_{+ CM}2 _=2AM2

<b> Câu 5:(4 điểm )</b>

<b> </b> Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình
chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì . Giao
điểm của AC và đường thẳng PM là Q.

Chứng minh rằng : <i>_QNM</i> _<i>_MNP</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31></div>

<!--links-->