Câu 1.

ABCD. Tính góc giữa vectơ
[1H3-2.2-2]
uuur
uuur (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho tứ diện đều
DA và BD .
A. 60�
B. 90�
C. 30�
D. 120�
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.
Chọn D

�
Vì ABCD là tứ diện đều � ADB là tam giác đều � ADB  60�
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
DA, BD  DA, DE  �
ADE  180� �
ADB  120�
Vẽ DE  BD . Khi đó



Câu 2.

 



[1H3-2.2-3] (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơiuumột
ur vng
uuuu
r
OA

OB

OC

a
BC
OM
M
AB
góc và
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Góc tạo bởi hai vectơ
và
bằng
A. 135�.
B. 150�.
C. 120�.
D. 60�.
Lời giải
Tác giả: Vũ Văn Bắc; Fb: vuvanbac.xy.abc
Chọn C


Cách 1:
r 1 uuu
r uuu
r
�uuuu
uuuu
r uuur
OM

OA

OB
1
a2
�
2
2
�
OM
.
BC


OB


�uuur uuur uuu
r
2

2
�BC  OC  OB
�
Ta có
.
1
1
a 2
OM  AB 
OA2  OB 2 
2
2
BC  OB  OC  a 2 và
2
2
2 .






a2
uuuu
r uuur

uuuu
r uuur OM .BC
uuuu
r uuur

1
2
cos OM , BC 

  � OM .BC  120�
OM .BC a 2
2
.a 2
2
Do đó:
.
Cách 2:
Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo









Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:

O  0; 0; 0 

Câu 3.




,

B  a ; 0;0 

C  0; 0; a 

�a a �
M � ; ;0�
�2 2 �.
,

,
uuuu
r �a a �
uuur
OM  � ; ;0 �
BC   a ; 0; a 
�2 2 �
Khi đó ta có:
,
a2

2
uuur uuuu
r 
u
u
u
r

u
u
u
u
r
uuur uuuu
r
BC
.
OM
1
a 2
�
�

a. 2.
cos BC ; OM 
BC ; OM  120�
�
BC.OM
2�
2
.



,

A  0; a ;0 






[1H3-2.3-1] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
�
 a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng
A. 30�.
B. 60�.
C. 45�
.
D. 90�.
Lời giải
Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ
Chọn B

Hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng  a nên ABCD là hình vng do đó CD // AB ,


Mặt khác IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ // SB
IJ , CD   �
SB, AB   60� SAB
�
Do đó:
(vì
đều).

Câu 4.

B C D có đáy là hình chữ

[1H3-2.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lăng trụ ABCD. A����
�
D là
nhật và CAD  40�
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AC , B��
A. 40�
B. 20�.
C. 50�.
D. 80�.
Lời giải
Chọn D

� D   �
AC ; BD   �
AOB  80�
D nên  AC ; B��
Vì BD // B��
với O là tâm hình chữ nhật ABCD .
Câu 5.

B C D , biết đáy
[1H3-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
ABCD là hình vng. Tính góc giữa A�
C và BD .

A. 90�.

B. 30�.

C. 60�.

D. 45�.
Lời giải
Tác giả: Đặng Phước Thiên; Fb: Đặng Phước Thiên

Chọn A
Vì ABCD là hình vng nên BD  AC .
AA�
  ABCD  � BD  AA�
Mặt khác
.
�BD  AC
� BD   AA�
C  � BD  A�
C
�
BD

AA
'
�
Ta có
.
�
A
C
90�
Do đó góc giữa
và BD bằng
.
Câu 6.


[1H3-2.3-2] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi
I , J , E , F lần lượt là các trung điểm của AC , BC , BD, AD . Góc giữa IE và JF bằng
0
0
0
0
A. 45 .
B. 80 .
C. 90 .
D. 60 .
Lời giải
Tác giả:Trần Thủy ; Fb:Trần Thủy
Chọn C


1
�
IJ  EF  AB
�
�
2
�
�JE  IF  1 CD
2
Theo tính chất của đường trung bình ta có �
Mặt khác ta lại có AB  CD nên IJ  EF  IF  JE . Hay tứ giác IJEF là hình thoi. Suy ra
IE  JF .
0
Vậy góc giữa IE và JF bằng 90 .


Câu 7.

[1H3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hình chóp S . ABC có SA  SB và CA  CB . Góc
giữa hai đường thẳng SC và AB bằng
o

A. 30 .

o
B. 45 .

o

o

C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn D

Ta có SA  SB và CA  CB nên các tam giác SAB và CAB lần lượt là các tam giác cân tại S
và C .
Gọi H là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ), suy ra SH và CH là các đường trung
tuyến đồng thời là các đường cao trong hai tam giác cân SAB và CAB .

�SH  AB
� AB   SHC  � AB  SC

�
CH

AB
�
Từ
.
o
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 90 .


Câu 8.

[1H3-2.3-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và
�  BAC
�  60�
BAD
. Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
�
�
�
�
A. 90 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 30 .
Lời giải
Tác giả:Trần Công Diêu; Fb:Trần Công Diêu
Cách 1. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng


 BCD  .
Ta có AB  AC  AD nên suy ra H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD .

�  BAC
�  60�� BC  BD
BAD
Lại có

� H �BM � AH � ABM 

.

CD  BM
�
� CD   ABM  � CD  AB
�
CD

AH
�
Mặt khác
.
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
AB.CD  AB. BD.  BC.  AB.BD  AB.BC  a 2 .cos 600  a 2 .cos 60� 0

Cách 2.
.
Chọn A



Câu 9.



[1H3-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình chóp
S . ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu
 AMN  . Khi
vng góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của SC và
đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng


2

A. 6 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền
Chọn D

● Dựng điểm P
Gọi O  AC �BD , I  MN �SO .
Khi đó P  AI �SC .



�
�
● Xét các tam SAB và SAD có: SAB  SAD  90�, SA chung, AB  AD .
Suy ra SAB  SAD � SA  SD và AM  AN � MN //BD .

 1

● Ta có

BD  AC (do ABCD là hình vng).
BD  SA (do SA   ABCD  ).
Suy ra

Từ

 1

BD   SAC 

và

 2

mà

AP � SAC 

nên suy ra BD  AP .


 2


suy ra MN  AP hay góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng 2 .

Bài tập tương tự:
Câu 10.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M là hình
chiếu vng góc của A lên đường thẳng SB . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AM và SC
bằng


A. 6 .
Câu 11.


B. 2 .


C. 3 .


D. 4 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M , N lần
lượt là hình chiếu vng góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của
SC và  AMN  . Gọi I , J lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB , AD và thỏa mãn
uuur uur uuur

uuur
AB  3 AI , 3DJ  2 DA . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và I J bằng


A. 6 .


B. 2 .


C. 3 .


D. 4 .

Ghi nhớ:

a //b
�
�c b
�
c

a
�
●
.
d  
�
�

�d a
�
a �  
�
●
.
d a
�
�
d b
�
� d  
�
a
,
b
�



�
�
a �b  I
●�
.
Câu 12. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hình lập phương
ABCD. A����
B C D . Góc giữa hai đường thẳng CD�và AC �bằng
A. 30�.
B. 90�.

C. 60�.
D. 45�
.
Lời giải
Chọn B.


CD�
 C�
D
�
� CD�
 AC �
�
�
CD

AD
�
Ta có:
suy ra góc giữa hai đường thẳng CD�và AC �là 90�.
Câu 13. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai
cạnh đối diện bằng
0
0
0
A. 90 .
B. .
C. 30 .
D. 45 .

Lời giải.
Tác Giả: Phùng Văn Khải
Chọn A

Trong BCD , gọi H là chân đường cao hạ từ B .
� H là trung điểm của CD và BH  CD

� AH  CD
Từ

 1 ;  2 

 1

 2

� CD   ABH 

� CD  AB

Tương tự với các cặp cạnh đối còn lại.
Bài tập tương tự
Câu 14. Cho tứ diện
0
A. 45 .

ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là:
0
0
0

B. 60 .
C. 90 .
D. 30 .


Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc với nhau. Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD bằng:
0
0
0
0
A. 30 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 45 .
Ghi nhớ: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vng góc.
Câu 16. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện S . ABC có
SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
A. 0�.
B. 120�.
C. 60�.
D. 90�.
Lời giải
Chọn C.

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , SB, SA .
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN .
a
MN   NP
2

2

2

�a 3 � �a 2 � a
a 3
2
2 
�
�2 �
� �
�2 �
� 2
PC  BP 
� PM  PC  CM
� � �
�
2
�
Suy ra tam giác MNP là tam giác đều � MNP  60�.
Vậy góc giữa AB và SC bằng 60�.

B C D . Khẳng
Câu 17. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD. A����
định nào sau đây là khẳng định sai?
D và AA�bằng 60�.
A. Góc giữa hai đường thẳng B��
D bằng 90�.
B. Góc giữa hai đường thẳng AC và B��


C bằng 45�.
C. Góc giữa hai đường thẳng AB và D�
C và A��
C bằng 60�.
D. Góc giữa hai đường thẳng D�
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền
Chọn A


ABCD. A����
BCD
●
là hình lập
�  AA�
, B��
D   90�
nên đáp án A sai.

phương

nên

AA�
  A����
B C D  � AA�
 B��
D

D    AC , BD   90� ABCD

D // BD nên  AC , B��
● Do B��
(vì
là hình vng).

� �
C    CD, D�
C   DCD
 45� CDD��
 AB, D�
C là hình vng).
● Do AB // CD nên
(vì
� ��
C , A��
C    A�
B, A��
C   BA
C  60� A�
C // A�
B nên  D�
● Do D�
(vì BC �là tam giác đều cạnh
AB 2 ).
Câu 18. [1H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình lăng
B C có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a ,
trụ ABC. A���

AC  a 3 . Hình chiếu của A�lên
cos  AA�

, B��
C
là
1
2
A. 2 .
B. 2 .

 ABC 

trùng với trung điểm I của BC . Khi đó
1
C. 4 .

3
D. 2 .

Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn C

//BB�
C nên
Ta có AA�
, BC //B��

��
AA�
, B��
C    BB

, BC  �
�
 IBB�
.

Xét tam giác vuông ABC : BC  AB  AC  2a
2

2

� BI 

BC
a
2
.


2
2
2
2
I : A ' I  AA� AI  4a  a  a 3 .
Xét tam giác vuông AA�
2
2
I  A��
B 2  A�
I 2  a  3a  2a .
IB�

Xét tam giác vuông A�
: B�
2
2
BI 2  BB�
 IB�
a 2  4a 2  4 a 2 1


� 
2.BI .BB�
2.a.2a
4.
Áp dụng định lí cos cho tam giác BIB�
: cos IBB�

1
� �
cos  AA�
, B��
C   cos IBB

4.
Vậy
B C D có I , J tương ứng là
Câu 19. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A����
trung điểm của BC và BB�
. Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng
A. 45�.
B. 60�.

C. 30�.
D. 120�.

Lời giải
Tác giả: Phan Chí Dũng ; Fb: Phan Chí Dũng
Chọn B

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI //AC , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

Ta có

IK 

1
1
1
AC ; IJ  B�
C ; KJ  AB�
2
2
2
B C D là hình lập phương nên
vì ABCD. A����

�  60�
AC  B�
C  AB�suy ra KI  IJ  JK suy ra tam giác IJK là tam giác đều, suy ra KIJ
.
Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60�.

BÀI TỐN TỔNG QT
 Bài tốn: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
 Kiến thức cần nhớ để vận dụng vào bài tập
 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a�và b�cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng ) với a và b .


 Phương pháp giải
 Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Tìm hai đường thẳng a�và b�cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song ( hoặc
trùng ) với a và b , thông thường ta chọn O thuận lợi thuộc đường thẳng a , b�đi qua O
và song song với b . Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b�
.


Gọi 
ur
u1 và

Cách 2: Sử dụng véc tơ
là góc hai đường thẳng a và b .
uur
u2 lần lượt là các véc tơ chỉ phương của a và b .
ur uu
r
ur uu
r
u1 ; u2 �900
  u1 ; u2

- Nếu
thì:
.
ur uu
r
ur uu
r
u1 ; u2  900
  1800  u1 ; u2
- Nếu
thì:
.

















CÙNG MỨC ĐỘ

Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu
B C D . Góc giữa hai đường
Câu 20. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A����
B bằng
thẳng AC và A�
A. 45�.
B. 60�.
C. 30�.
D. 120�.

Lời giải
Chọn B


C nên góc giữa hai đường thẳng AC và A�
C
B là góc giữa hai đường thẳng A��
Do AC // A��
C  A�
B  BC �
 a 2 ( với a là độ dài cạnh của hình lập phương )
B . Ta có A��
và A�
0
� ��
�  A�
BC �đều � BA
C  60 � góc giữa hai đường thẳng AC và A�
B là 60�.
B C D có đáy là hình vng

Câu 21. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
cạnh 2a , cạnh bên là a . I , J tương ứng là trung điểm của BC và BB�
. Góc giữa hai đường
thẳng AC và IJ bằng  . Tính cos ?

A.

cos 

10
5 .

B.

cos 

5
5 .

C.

cos 

1
2.

D.

cos 


3
2 .

Lời giải

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI //AC , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

a2 a 5
�  KI  10 � cos  10
JK  JI  a 

cos JIK
4
2 �
2 IJ
5
5 .
Ta có IK  a 2 ,
2

B C có AB  a và
Câu 22. [1H3-2.3-4] (Ngơ Quyền Hà Nội) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
AA�
 a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB�và BC �bằng
A. 90�.
B. 30�.
C. 60�.
D. 45�
.

Lời giải
Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii
Chọn C


Gọi E là điểm đối xứng của A�qua B�
.

E và AB  B�
E  a suy ra ABEB�là hình bình hành.
Ta có AB / / B�
�, BC �
� �
BE , BC �
  �
  EBC
� AB�
/ / BE �  AB�
.
E có BB�
 B�
E � BB�
E vng tại B�
Xét tam giác BB�
.
2
� BE  BB�
 B�
E 2  2a 2  a 2  a 3 .


C có BB�
 B��
C � BB��
C vuông tại B�
Xét tam giác BB��
.
2
� BC �
 BB�
 B��
C 2  2a 2  a 2  a 3 .

C E có
Xét tam giác A��

C�
B�
 A��
B  B�
E

1
A�
E
2
.

E  A�
E 2  A��
C 2  4a 2  a 2  a 3 .

� A��
C E vuông tại C �� C �

E  BC �
 a 3 � BEC �là tam giác đều.
Suy ra tam giác BEC �có BE  C �

�, BC �
� �
  60�.
� EBC
 60��  AB�
Vậy góc giữa đường thẳng AB�và BC �bằng 60�.
Câu 23. [1H3-2.4-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho tứ diện
đều ABCD . Khi đó góc giữa AB và CD bằng:
o
o
o
o
A. 120 .
B. 0 .
C. 90 .
D. 60 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen
Chọn C


Giả sử tứ diện ABCDđều cạnh a .
uuu

r uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
CB  CA .CD
AB.CD
CB.CD  CA.CD
uuu
r uuur
cos  AB, CD   cos AB, CD 


AB.CD
a2
a2
Ta có :









�
CA.CD.cos �

ACD  CB.CD.cos BCD
a2





a 2 .cos 60o  a 2 .cos 60o
a2

0

.

o
Vậy góc giữa AB và CD bằng 90 .

Bài tập tương tự :
Câu 24.

 ABC  và  ABD  là các tam giác đều cạnh a, các mặt  ACD 
Cho tứ diện ABCD có các mặt
 BCD  vng góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD và BC
và
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°

Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung

điểm của AD.
3
3
3
1
A. 2
B. 4
C. 6
D. 2
Ghi nhớ: Cách xác định góc giữa hai đường phẳng
+Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

+
Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường
thẳng.
+Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua
một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.



a / /a ' �
�
�  a, b   a�', b '
�
b
/
/
b
'
Tức là: �

Chú ý:




*

0���
a, b  �90�
*Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường
thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.
ur uu
r
u
,
u
*Nếu 1 2 lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b ;  là góc giữa hai
ur uu
r
u
,
u
vectơ 1 2 thì:
ur uu
r
�
�
u
,
u

  khi  �90�
�
1
 a, b   � 2
�180� 
khi   90�
�
.
ur uu
r
u
.
u
u
r
u
u
r
1 2
�
cos �
a, b   cos u1 , u2  ur uu
r
u1 . u2
Tức là:
.










Câu 26. [1H3-2.4-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
�
�
�
�
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 30 .
Lời giải.
Tác giả: Văn Bùi Vũ; Fb: Van Tuan Vu.
Chọn C.
Cách 1.

Gọi E là trung điểm của CD . Ta có: BCD cân tại B , do đó CD  BE .
ACD cân tại A , do đó CD  AE .

Suy ra

CD ^ ( ABE )

, mà

AB � ABE 


nên CD  AB .

�
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90 .


Cách 2.
uuur uuur uuur uuur uuur
AB.CD  AB AD  AC
Xét





uu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur  u
�  AB AC cos BAC
� 0
AB
AD
cos
BAD
 AB. AD  AB. AC
.

�

�
�
( Vì AB  AD  AC , BAD  BAC  60 ).
�
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90 .

Câu 27. [1H3-2.4-2] (HK2
THPT
lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh
uuur uu
ur
bằng a . Tính AC.EF
2a 2
2
2
A. 2a .
B. a 2 .
C. 2 .
D. a .
Lời giải
Tác giả: Lưu Anh Bảo ; Fb: Luu Anh Bao
Chọn D

�AE //CG
uuur uuur
�
Ta có �AE  CG � ACGE là hình bình hành � AC  EG . Do đó
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur  EG . EF .cos EG; EF

�  a 2.a.cos 45� a 2
 EG.EF .cos GEF
AC.EF  EG.EF
.





Câu 28. [1H3-2.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho lăng trụ tam
B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
giác đều ABC. A���
BC và AB�là
1
3
2
2
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương ; Fb: Nguyễn Tuấn Phương
Chọn D


Ta có
Vì

uuur uuur uuu

r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
AB�
.BC  AB  BB�.BC  AB.BC  BB�
.BC





uuur uuur
BB�
  ABC  � BB�
 BC � BB '.BC  0

.

uuur uuur
uuu
r uuur
a 2
AB�
.BC   BA.BC  a 2 cos 600 
2 .
do đó

uuur uuur
AB�
.BC


a2
2
cos  AB�
, BC  
 2 
AB�
.BC a 2.a
4 . Do đó chọn đáp án D.
Vậy
Câu 29. [1H3-2.4-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định Lần 1) ] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh là 2a ; cạnh SA  a và
vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD . Tính cos  với  là góc tạo bởi hai đường
thẳng SB và AM .
2
1
4
2

A. 5 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả: Trương Thanh Nhàn; Fb: Trương Thanh Nhàn
Chọn A
Cách 1:

Gọi N , P lần lượt là trung điểm của AB và SA .

�SB // NP

�
� �
SB , AM   �
NP , NC   
Ta có �AM // NC
.


Xét NPC có

NP 

a 5
a 33
PC 
2 ,
2 , NC  a 5 .

� 
cos   cos PNC
Khi đó

NP 2  NC 2  PC 2 2

2 NP.NC
5

.

Cách 2: Trương Hồng Hà


A  0;0; 0  S  0;0; a  B  2a ;0;0  D  0; 2a ;0 
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho
,
,
,
.
uuuu
r
uur
M  a ; 2a ;0  AM   a ; 2a ;0  SB   2a ;0;  a 
Ta có
,
,
.
uuuu
r uur
cos   cos AM , SB 

Do đó





2a 2
a 2  4a 2 . 4 a 2  a 2




2
5

.

Câu 30. [1H3-2.4-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho tứ diện ABCD có AC  3a , BD  4a . Gọi M
, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN .
a 5
a 7
5a
7a
MN 
MN 
MN 
MN 
2 .
2 .
2 .
2 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: />Chọn A

+ Gọi P , Q lần lượt là trung điểm DC , AB .
�MP // QN // AC
�
QM // NP // BD

�
�BD  AC
+ Vì �
QM  NP  2a .

nên tứ giác MPNQ là hình chữ nhật có

MP  NQ 

3a
2 ,


+ Ta tính được

MN  MP 2  PN 2 

5a
2 (đvđd).

Câu 31. [1H3-2.4-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho tứ diện gần
đều ABCD , biết AB  CD  5 , AC  BD  34 , AD  BC  41 . Tính sin của góc giữa
2 đường thẳng AB và CD .
24
7
1
3
A. 25 .
B. 25 .
C. 2 .

D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Thắng; Fb: Nguyễn Thắng
Phản biện: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn
Chọn A

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AC , AD, BC
� MN / / CD, MP / / AB � (�
AB , CD )  (�
MN , MP ) .
Ta có:

MN  MP 

5
2 (các đường trung bình).

VABC VDCB (c. c. c) � AP  DP (2 đường trung tuyến tương ứng)
2
2
�VPAD cân tại P � PN  AD � PN  PD  ND

Theo công thức đường trung tuyến ta có:
� PN 2 

PD 2 

2CD 2  2 BD 2  BC 2 77

4

4

77 41

9
4
4
.

25 25

9
2
2
2
MN

MP

PN
7
4
� 
cosPMN
 4

25
2 MN .MP
25
2.

cos
V
MNP
4
Xét
, theo định lí
ta có:

�  90�� (�
�
� PMN
AB, CD)  PMN
2

�  1  �7 �  24
� sin PMN
� �
�25 � 25 .


Chú ý: Có thể dùng cơng thức tính nhanh:

cos (�
AB, CD ) 

BC 2  BD 2
AB

2




7
25 .

B C D . Tính góc
Câu 32. [1H3-2.4-2] (Lê Q Đơn Điện Biên Lần 3) Cho hình lập phương ABCD. A����
giữa AC �và BD .
A. 90�.
B. 45�.
C. 60�.
D. 120�.
Lời giải
Tác giả: Hà Lê; Fb: Ha Le
Chọn A
Cách 1:

Vì ABCD là hình vng nên BD  AC .
AA�
  ABCD  � AA�
 BD .
Mặt khác

�BD  AC
�
C  � BD  AC '
�� BD   AA�
Ta có �BD  AA
.
Vậy góc giữa AC �và BD bằng 90�.

Cách 2:

B�
D , C�
C đôi một vng góc với nhau nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O �C �
Vì C �
, C ��
như hình vẽ. Giả sử cạnh hình lập phương đã cho có độ dài bằng a .
C�
 0;0;0  , B  a;0; a  , D  0; a; a  , A  a; a; a  .
Ta có:


uuur
C�
A  a; a; a 

uuur
BD  a; a;0 

, uuur uuur .
uuur uuur
C�
A.BD  0 � C �
A  BD . Vậy góc giữa AC �và BD bằng 90�.
---------------STRONG TEAM TOÁN VD VDC--------------Câu 33. [1H3-2.4-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình chóp
S . ABC có SA  SB  SC  AB  AC và BC  a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và
AB.
A. 60�
B. 90�

C. 120�
D. 45�
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.
Chọn A

uuu
r uuur
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
SC. AB
( SA  AC ). AB SA. AB  AC. AB
cos SC , AB  uuu

r uuu
r 
a.a
a2
SC . AB
* Ta có
uuur uuu
r
2
2
2
2
2
2
Vì CB  (a 2)  a  a  AC  AB � ABC vuông tại A � AC. AB  0

uur uuu
r
�  60�� ( SA, AB )  120�
SAB đều nên SAB





uur uuu
r
a 2
� SA. AB  a.a.cos120�
2

a2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
� cos SC , AB  22 
� SC , AB  120�� ( SC , AB)  180� 120� 60�
a
2












Bài tập tương tự :
Câu 34.

cos  AB, DM 
Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó
bằng :
2
3
3
1
.
.
.
.
A. 2
B. 6
C. 2
D. 2

3
AD �
�
2
Câu 35. Cho tứ diện ABCD có

, CAB  DAB  60�, CD  AD . Gọi  là góc giữa AB
và CD . Chọn khẳng định đúng?
3
1
cos   .
cos   .
.
.
4
4
A.
B.   60�
C.   30�
D.
AC 


Ghi nhớ:
rr
r r
u.v
cos u, v  r r
u.v
r
r
Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b
r r
u, v  
và
thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 0�� �90�và bằng 180� 

nếu 90�  �180�. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0�.

 

 

(HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho tứ diện ABCD có
�  BAD
�  60�
�  90�
, CAD
AB  AC  AD và BAC
I và J lần lượt là trung điểm của
uu
r . Gọi
uuur
AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD .
A. 60�.
B. 90�.
C. 120�.
D. 45�
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen
Chọn B

Câu 36. [1H3-2.4-3]

uu
r uu

r uuur uuu
r
IJ  IA  AD  DJ  1
rr
uu
r uur uuuuuuuuuuu
u
IJ  IB  BC  CJ  2 

 1   2  ta được:
Lấy
uu
r uu
r uur
uuur uuur
uuur uuu
r
uuur uuur
2IJ  IA  IB  AD  BC  DJ  CJ  AD  BC
uu
r 1 uuur uuur
r
1 uuur uuur uuu
IJ 
AD  BC 
AD  AC  AB
2
2
Hay
.

uu
r uuur 1 uuur uuur uuu
r uuur uuur
IJ .CD 
AD  AC  AB . AD  AC
2
r uuur 1 uuu
r uuur
1
1 uuur uuur 1 uuur uuur 1
1 uuu
 AD 2  AD. AC  AC. AD  AC 2  AB. AD  AB. AC
2
2
2
2
2
2
1
1
  . AB. AD. cos 600  AB. AC. cos 600  0
2
2
.
uu
r uuur
Vậy : IJ  CD .




 





 











