Câu 1.

∫ sin 5 x.cos x dx .

[2D3-1.1-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Tìm

1
cos5 x + C.
A. 5

1
1
− cos 4 x − cos 6 x + C.
B. 8
12

1
− cos5 x + C.
C. 5

1
1
cos 4 x + cos 6 x + C.
D. 8
12
Lời giải
Tác giả: Vũ Quốc Triệu; Fb: Vũ Quốc Triệu

Chọn B
Ta có :

∫ sin 5x.cos x dx =

1
( sin 6 x + sin 4 x ) dx
2∫

1  cos 6 x 1
1
1

= −
− cos 4 x ÷ + C = − cos 6 x − cos 4 x + C
.
2
6
4
12
8

Câu 2.

[2D3-1.1-2] (Kim Liên) Họ nguyên hàm của hàm số

1
1
x − sin 4 x + C
A. 4
.
16
1 1

x − sin 4 x + C
C. 8
.
8

f ( x ) = sin 2 x cos 2 x

là

1
1
x − sin 4 x
B. 8
.
32
1
1
x − sin 4 x + C
D. 8
.
32

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyễn
Chọn D

1
f ( x ) = sin 2 x cos 2 x = sin 2 2 x =
Ta có

4
1 1



1  1 − cos 4 x  1 1

÷ = − cos 4 x .
4
2  8 8
1

1 1

1

1

f ( x ) dx = ∫  − cos 4 x ÷dx = x − . sin 4 x + C = x − sin 4 x + C
Do đó ∫
.
8 8 4
8 32
8 8

Câu 3.

[2D3-1.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 2) Họ các nguyên hàm của hàm số

−

A.

1

( x + 1)

2

+C
.

B.

− ln x + 1 + C.

f ( x) =

1
x + 1 là:

1
2
− ln ( x + 1) + C.
C. 2
D. ln 2 x + 2 + C.
Lời giải

Tác giả: Trần Minh Tuấn _ Bắc Ninh ; Fb: Trần Minh Tuấn
Phản biện: Hoàng Điệp Phạm ; FB: Hoàng Điệp Phạm
Chọn D



1

dx = ln x + 1 + C ′ = ln x + 1 + ln 2 − ln 2 + C = ln 2 x + 2 + C.
Ta có ∫ x + 1
với C = C ′ − ln 2.
Câu 4.

[2D3-1.1-2] (Quỳnh Lưu Lần 1)

cos 2 x
+C
A. 4
.

∫ sin x cos xdx bằng

sin 2 x
−
+C
B.
.
2

sin 2 x
+C
C. 2
.


Lời giải

cos2 x
+C
D. 2
.

Tác giả:vũ nam sơn ; Fb:vũ nam sơn
Chọn C

1
cos 2 x
2sin 2 x − 1
sin 2 x
sin x cos xdx = ∫ sin 2 xdx = −
+C=
+C=
+C
Cách 1: ∫
.
2
4
4
2
sin 2 x
sin x cos xdx = ∫ sin x. ( sin x ) dx = ∫ sin xd sin x =
+C
Cách 2: ∫
.
2

'

'
∫ sinxcosxdx = ∫ cos x.( − cos x ) d cos x = ∫ − cos x.(cos x) dx = ∫ − cos xd cos x
'

Cách 3:

cos 2 x
sin 2 x − 1
sin 2 x
=−
+C=
+C=
+C
.
2
2
2
Câu 5.

[2D3-1.1-2] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Gọi

f ( x) =
A.

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số


e2 x − 6
e x , biết F ( 0 ) = 7 . Tính tổng các nghiệm của phương trình F ( x ) = 5 .

ln5 .

B.

C. − 5 .
D. 0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:

ln 6 .

Chọn B

e2 x − 6 x
f ( x ) = x = e − 6.e − x
Ta có
e
Do đó

F ( x ) = e x + 6e− x + C

Suy ra

F ( x ) = e x + 6e − x

và


F ( 0) = 7 ⇒ C = 0

 e x = 2  x = ln 2
F ( x ) = 5 ⇔ e + 6e = 5 ⇔ e − 5e + 6 = 0 ⇔  x
⇔
e
=
3
Phương trình
 x = ln 3

−x

x

2x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

Câu 6.

[2D3-1.1-2] (THTT lần5) Biết
mãn
A.

F ( 0 ) = 1 . Hàm số F ( x )

cos x − sin x + 1 .

B.


F ( x)

x

ln2 + ln3 = ln6

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = sin x + cos x

thỏa

là

− cos x + sin x + 1 .

C.

− cos x + sin x − 2 .

D.

− cos x + sin x + 2 .

Lời giải
Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai


Chọn B

Ta có:

∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C

Giả sử

F ( x ) = − cos x + sin x + C0

là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn

F ( 0) = 1

F ( 0 ) = 1 ⇔ − cos0 + sin 0 + C0 = 1 ⇔ C0 = 2
Vậy
Câu 7.

F ( x ) = − cos x + sin x + 2 . Chọn phương án D

[2D3-1.1-2] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Họ nguyên
hàm của hàm số
A.

f ( x ) = 2cos 2 x

− sin 2x + C .

B.

là


− 2sin 2x + C .

C. 2sin 2x +
Lời giải

C.

D.

sin 2x + C .

Tác giả: Nguyễn Thúy Hằng ; Fb:Hằng-Ruby-Nguyễn
Chọn D

1
2cos
2
x
d
x
=
2.
.sin 2x + C = sin 2x + C
Ta có ∫
.
2
Câu 8.

[2D3-1.1-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG của hàm số


f ( x ) = x+ sin 3x

x2 1
− cos3x + C
A. 2 3
.

HƯNG YÊN NĂM 2019) Họ nguyên hàm

là

x2
+ 3cos3 x + C
B. 2
.

x2
− 3cos3x + C
C. 2
.

x2 1
+ cos3x + C
D. 2 3
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thế ; Fb: Nguyễn Thị Thế
Chọn A


x2 1
= − cos ( 3x ) + C
Ta có: F ( x ) = f ( x ) dx = ( x + sin ( 3 x ) ) dx 2 3
.

∫

Câu 9.

∫

[2D3-1.1-2] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho
trên

¡

f ( x)

và

g ( x)

là các hàm số liên tục

, thỏa mãn

10

10


10

3

0

0

3

0

∫ f ( x ) dx = 21; ∫ g ( x ) dx = 16; ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = 2 . Tính I = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx

A.

I = 3.

B.

I = 15 .

C.

I = 11 .

D.

I = 7.


Lời giải
Tác giả: Mai Vĩnh Phú ; Fb: Mai Vĩnh Phú
Chọn A
Do hàm số liên tục trên

¡

nên hàm số liên tục trên đoạn

[ 0;10] .


10

3

10

0

0

3

10

10

0


3

Ta có

⇒I=

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx − ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = 5 − 2 = 3 .

Câu 10. [2D3-1.1-2] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho các mệnh đề sau:
1) Nếu hàm số

y = f ( x)

liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên

( a; b ) ,

∀ x0 ∈ ( a; b )

và

 f '( x0 ) = 0

 f ''( x0 ) ≠ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.

[ a; b]

y = f ( x)


xác định trên

3) Nếu hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

4) Nếu hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm trên

2) Nếu hàm số
trên đoạn đó.

Số mệnh đề đúng là
A. 4.

[ a; b]

thì ln tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

thì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc

[ a; b] .

[ a; b] thì có ngun hàm trên [ a; b] .


B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Đăng Mai ; Fb: Nguyễn Đăng Mai
Chọn D
Ý (1) đúng vì
qua

f ''( x0 ) ≠ 0

x0 , do đó x0

tức là

x0

khơng là nghiệm bội của

f '( x0 ) , nên f '( x)

sẽ đổi đấu khi

là một điểm cực trị của hàm số.

Ý (2) và Ý (4) đúng do định lý trong SGK.
Ý (3) sai ,theo định lý SGK lớp 11 trang 150

Câu 11. [2D3-1.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Biết
ngun hàm của hàm số

f ( x ) = e − x + sin x

thỏa mãn

F ( 0 ) = 0 . Tìm F ( x )

A.

F ( x ) = − e− x − cos x + 2 .

B.

F ( x ) = −e − x + cos x .

C.

F ( x ) = e− x + cos x − 2 .

D.

F ( x ) = − e x − cos x + 2 .

F ( x)

là một

?


Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A
Ta có
Lại có

F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( e− x + sin x ) dx = ∫ e− x dx + ∫ sin xdx = − e− x − cos x + C .

F ( 0 ) = 0 ⇔ − e0 − cos0 + C = 0 ⇔ C = 2 .


Vậy

F ( x ) = − e− x − cos x + 2 .

Câu 12. Câu 6.

1. [2D3-1.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho

4m
+ sin 2 x
hàm số
. Giá trị của tham số để nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa
π
π  π
F  ÷=
mãn điều kiện F ( 0 ) = 1 và  4  8 là:
f ( x) =


A.

m= −

4
3.

B.

m=

3
4.

m= −

C.

3
4.

D.

m= −

4
3.

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm

Chọn C

4m
 4m
2 
+
sin
x
d
x
=
dx + ∫ sin 2 xdx = 4m x + 1 x − 1 sin 2 x + C

÷
∫
∫
Ta có  π
.
π

π
2 4

Giải hệ

 F ( 0) = 1
C = 1
C = 1




π ⇔
  π  π ⇔  4m π 1 π 1 π
3
 F  4 ÷ = 8  π . 4 + 2 . 4 − 4 sin 2 + C = 8  m = − 4
.
  

Câu 13. [2D3-1.1-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Tìm

x3 + 3x2 + 3x − 1
f ( x) =
nguyên hàm của hàm số F x của hàm số
x2 + 2x + 1 .
2
x2
2
F ( x) = 1+
+C
2
F
x
=
+
x
+
+C
(
)
( x + 1) .

A.
B.
2
x+ 1 .

( )

C.

F ( x) =

x2
2
+ x−
+C
2
x+ 1 .

D.
Lời giải

F ( x) = 1−

2

( x + 1)

2

+C

.

Tác giả: Đỗ Bảo Châu ; Fb: Đỗ Bảo Châu
Chọn B

x3 + 3x2 + 3x − 1 x3 + 3x2 + 3x + 1− 2 ( x + 1) − 2
2
f ( x) =
=
=
=
x
+
1
−
2
2
2
x2 + 2x + 1
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
3

x2
2
F ( x) = + x +
+C
2
x+ 1 .

Câu 14. [2D3-1.1-2] (Sở Lạng Sơn 2019) Tính

1
− cos3x + C
A. 3
.

B.

∫ sin 3x dx .

− cos3x + C .

C.
Lời giải

cos3x + C .

1
cos3x + C
D. 3
.


Tác giả: Phạm Tuấn; Fb:Phạm Tuấn
Chọn A

1
1
sin

ax
+
b
d
x
=
−
cos
ax
+
b
+
C
sin
3
x
d
x
=
−
cos3x + C
(
)
(
)
Áp dụng cơng thức ∫
, ta có ∫
.
a
3

Câu 15. [2D3-1.1-2] (THTT lần5) Cho hàm số
trị f
A. 4.

( 2) − f ( 1)

f ( x)

có đạo hàm với mọi

x∈ ¡

và

f ′ ( x ) = 2 x + 1 . Giá

bằng
B. -2.

C. 2.

D. 0.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen
Chọn A

Ta có

f '( x) = 2x + 1 ⇒


∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 2 x + 1) dx = x

2

+ x+ C

2
2
2
⇒ ∃ C1 ∈ ¡ : f ( x ) = x + x + C1 ⇒ f ( 2 ) − f ( 1) = 2 + 2 + C1 − ( 1 + 1 + C1 ) = 4

Câu 16. [2D3-1.1-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x + 2

2
( 3x + 2 ) 3x + 2 + C .
A. 3

1
( 3x + 2 ) 3x + 2 + C .
B. 3

2
( 3x + 2 ) 3x + 2 + C .
C. 9

3 1
+C

D. 2 3 x + 2
.

là

Lời giải
Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai ; Fb: Hồ Thị Hoa Mai
Chọn C

∫ f ( x ) dx = ∫ (

)

3x + 2 dx = ∫ ( 3 x + 2 )

1
2

( 3x + 2 )
dx =
1+

Ta có:

1
2

1+

1

2

1
2
. + C = ( 3x + 2 ) 3x + 2 + C
3
9

Câu 17. [2D3-1.1-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

ln x + cos x + C .

B. ln

x − cos x + C .

C.

ln x − cos x + C .

f ( x) =

.

1
+ sin x
là
x


1
− cos x + C
D. x 2
.

Lời giải.
Chọn B
Câu 18. [2D3-1.1-2] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Tìm một nguyên hàm

f ( x ) = ax +

b
( x ≠ 0 ) , biết rằng F ( − 1) = 1, F ( 1) = 4, f ( 1) = 0 .
x2

3x 2 3 7
F ( x) =
+ − .
A.
2 4x 4

3x 2 3 7
F ( x) =
− − .
B.
4 2x 4

F ( x)

của hàm số



3x 2 3 7
F ( x) =
+ + .
C.
4 2x 4

3x 2 3 1
F ( x) =
− − .
D.
2 2x 2
Lời giải
Tác giả: Lê Vân Anh ; Fb: Lê Vân Anh

Chọn C

b
ax 2 b

F ( x ) = ∫  ax + 2 ÷dx =
− +c
Ta có:
x 
2 x .

3
a


2 +b+ c =1
a = 2


3
a

F ( − 1) = 1, F ( 1) = 4, f ( 1) = 0 ⇒  − b + c = 4 ⇔ b = −
2
2

a + b = 0
 7

c = 4 .
Từ:



3x 2 3 7
F ( x) =
+ + .
Vậy
4 2x 4
Chú ý: Có thể thử đáp án. Từ

F ( 1) = 4 , có đáp án C.

Câu 19. [2D3-1.1-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số


(

)(

)

F ( x)

là một nguyên hàm của

f ( x ) = 2019 x 4 − x 2 x 2 − 3x + 2 . Khi đó số điểm cực trị của hàm số F ( x ) là

A.

3.

B. 4.
Lời giải

C. 2. D. 5.

Tácgiả:Đào Thị Hương; Fb:Hương Đào
Chọn C
Do hàm số

x
2
2
F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = 2019 ( 4 − x ) ( x − 3x + 2 )


⇒ F ′( x) = 2019 x ( 4 − x 2 ) ( x2 − 3 x + 2 ) = 2019 x ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( 1 − x )
2

F ′ ( x) = 0
Do x =
cực trị.

 x = −2
⇔  x = 1
 x = 2 .

− 2 , x = 1 là nghiệm bội 1, còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F ( x) có hai điểm

Câu 20. [2D3-1.1-2] (Sở Vĩnh Phúc) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 ) .

x3 3 2
f ( x ) dx = + x + 2 x + C
A. ∫
.
3 2

B.

x3 2 2
f ( x ) dx = + x + 2 x + C
C. ∫
.
3 3


x3 2 2
f ( x ) dx = − x + 2 x + C
D. ∫
.
3 3

∫ f ( x ) dx = 2 x + 3 + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp ; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp


Chọn A

f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 ) = x 2 + 3x + 2 .

Ta có:

Khi đó:

∫ f ( x ) dx = ∫ (

x3 3 2
x + 3x + 2 dx = 3 + 2 x + 2 x + C .

)

2


Câu 21. [2D3-1.1-2] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Tìm họ các nguyên hàm
của hàm số

f ( x) = 3x + 1 .
3

f ( x)dx = (3x + 1)
A. ∫
2

2

+ C.

B.

1
f
(
x
)d
x
=
(3x + 1)2 + C.
∫
C.
6

∫ f ( x)dx = (3x + 1)


2

+ C.

1
f
(
x
)d
x
=
(3x + 1) 2 + C.
∫
D.
2
Lời giải
Tác giả: Đoàn Văn Điền; Fb:0945467442

Chọn C

1
1 (3x + 1) 2
1
(3
x
+
1)d
x
=
(3

x
+
1)d(3
x
+
1)
=
+
C
=
(3x + 1)2 + C.
∫
∫
Ta có:
3
3 2
6
Câu 22. [2D3-1.1-2] ( Sở Phú Thọ) Cho

( 1;+∞ )
A.

thỏa mãn

2ln ( x − 1) + 2 .

F ( x)

là một nguyên hàm của


f ( x) =

F ( e + 1) = 4 . Tìm F ( x ) .
B.

ln ( x − 1) + 3 .

(

)

1
x − 1 trên khoảng

(

)

C. 4ln x − 1 .
D. ln x − 1 − 3 .
Lời giải
Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh

Chọn B
Ta có

F ( x) = ∫

dx
d ( x − 1)

=∫
= ln x − 1 + C = ln ( x − 1) + C
, (vì x ∈ ( 1; +∞ ) ).
x −1
x−1

F ( e + 1) = 4 ⇒ ln ( e + 1 − 1) + C = 4 ⇒ C = 3 .

Mà
Vậy

F ( x ) = ln ( x − 1) + 3 .

Câu 23. [2D3-1.1-2] (Sở Phú Thọ) Cho

F ( x)

là một nguyên hàm của

f ( x) =

( 1;+∞ ) thỏa mãn F ( e + 1) = 4 .
Tìm
A.

1
x − 1 trên khoảng

F ( x) .


2ln ( x − 1) + 2 .

B.

ln ( x − 1) + 3 .

C. 4ln

( x − 1) .

D.

ln ( x − 1) − 3 .

Lời giải
Tác giả: Hải Vân; Fb: Hải Vân
Chọn B


Ta có

F ( x) = ∫

1
dx
x−1

= ln x − 1 + C = ln ( x − 1) + C do x ∈ ( 1; +∞ ) .

F ( e + 1) = 4 ⇒ ln ( e ) + C = 4 ⇒ C = 3 .


Mà
Vậy

F ( x ) = ln ( x − 1) + 3 .

:
Câu 24. [2D3-1.1-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho F

( x ) là

một nguyên hàm của hàm số

1
2 x − 1 . Biết F ( 1) = 2 . Giá trị của F ( 2 ) là
1
F ( 2 ) = ln 3 − 2
A.
.
B. F ( 2 ) = ln3 + 2 .
C. F ( 2 ) = 2ln 3 − 2 .
2
f ( x) =

Lời giải

1
F ( 2 ) = ln 3 + 2
D.
.

2

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen
Chọn D

∫

f ( x ) dx = ∫

1
1
dx = ln 2 x − 1 + C ( C ∈ ¡
2x − 1
2
1

)

.

1

F ( 1) = 2 ⇒ C = 2 . Vậy với x > 2 thì F ( x ) = 2 ln ( 2 x − 1) + 2 .
1
F ( 2 ) = ln 3 + 2
Do đó,
.
2
Câu 25. [2D3-1.1-2] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm ngun hàm của hàm số


f ( x ) = 3x 2 +
A.

C.

x
2.

∫

f ( x ) dx = x3 +

x2
+C
.
2

∫

f ( x ) dx = x3 +

x2
+C
.
2

B.

D.


x3 x 2
+ +C
.
3 4

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx = x3 +

x2
+C
.
4

Lời giải
Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương
Chọn D


f ( x ) dx = ∫  3 x 2 +
∫
Ta có:

Câu 26. [2D3-1.1-2]

x

x2
3
÷ dx = x + + C .
2
4

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)

Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x 2 +

x
2.

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-


x2
f ( x ) dx = x + + C
A. ∫
.
2

x3 x 2
f ( x ) dx = + + C
B. ∫
.
3 4


x2
f ( x ) dx = x + + C
C. ∫
.
2

x2
f ( x ) dx = x + + C
D. ∫
.
4

3

3

3

Lời giải
Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương
Chọn D

x
x2
3
d
x
=
x
+

+C
÷
.
2
4


f ( x ) dx = ∫  3 x 2 +
∫
Ta có:


Câu 27. [2D3-1.1-2] (Ngơ Quyền Hà Nội) Nguyên hàm của

2

− x
+C
A. 2
.

B.

x

+C

−2
.


1

f ( x) =

C.

x

+C

x x là
x
+C
D. 2
.

.

Lời giải
Tác giả:Trần Phương; Fb:Trần Phương.
Chọn C

∫ f ( x ) dx = ∫ x

1

−

x


3
2

dx = ∫ x dx =

x
−

−

1
2

1
2

+C =

−2
+C
x

.

Câu 28. [2D3-1.1-2] (KonTum 12 HK2) Họ nguyên hàm của hàm số

1
− cos3 x + cos x + C
A. 3
.

1
cos3x − cos x + C
C. 3
.

f ( x ) = 2sin x.cos 2 x

là

1
cos3x + cos x + C
B. 3
.
D. − cos3 x + cos x + C .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh ; Fb: Nguyễn Oanh

Chọn A
Ta có

⇒

∫

f ( x ) = 2sin x.cos 2 x = sin ( − x ) + sin 3x = − sin x + sin3x .
1

f ( x ) dx = ∫ ( − sin x + sin 3x ) dx = − ∫ sin xdx + ∫ sin3xdx = cos x − 3 cos3 x + C .

Câu 29. [2D3-1.1-2]


(THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng)

Họ

ngun

hàm

của

hàm

số

f ( x ) = 2 x + sin2 x là:
A.

1
x 2 − cos2 x + c
.
2

B.

1
x 2 + cos2 x + c
.
2


C. x

2

− 2cos2 x + c .

D.

x 2 − 2cos2 x + c .

Lời giải
Tác giả: Trần Hải ;Fb: Trần Minh Hải


Chọn A

∫

1
x2 1
2
x
−
cos2 x + c
2
−
c
os2
x
+

c
f ( x )dx = ∫ ( 2 x + sin 2 x ) dx = 2 2
=
.
2

Câu 30. [2D3-1.1-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hàm số

f ′ ( x ) = 2e2 x + 1, ∀ x, f ( 0 ) = 2 . Hàm f ( x )
A.

y = 2e x + 2 x .

B.

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

¡

và:

là

y = 2e x + 2 .

y = e2 x + x + 2 .

C.


D.

y = e2 x + x + 1 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Huyền; Fb:Huyen Nguyen
Chọn D
Ta có:

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2e

Suy ra

f ( x ) = e2 x + x + C .

Theo bài ra ta có:
Vậy:

2x

+ 1) dx = e2 x + x + C .

f ( 0) = 2 ⇒ 1 + C = 2 ⇔ C = 1.

f ( x ) = e2 x + x + 1 .


Câu 31. [2D3-1.1-2] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số


y = cos 2 x ?
A.

1
y = cos 2 x + C
B.
.
2

y = sin 2 x + C .

1
y = (sin x + cos x) 2 + C
C.
.
2

y = 2sin 2 x + C .

D.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Trương Thị Thúy Lan ; Fb: Lan Trương Thị Thúy
Chọn C

1
1
1
1

′
′
′
cos
2
xdx
=
sin
2
x
+
C
=
.2sin
x
cos
x
+
C
=
.(1
+
2sin
x
cos
x
)
+
C
−

∫
2
2
2
2

1
1
= .(sin 2 x + cos 2 x + 2sin x cos x) + C
C = C′ −
(với
2
2)
1
= (sin x + cos x)2 + C
2
Câu 32. [2D3-1.1-2] (Hải Hậu Lần1) Cho

∫ f ( x ) dx = 3x

2

− 4 x + C . Tìm ∫ f ( e x ) dx


3

f ( e ) dx = e
A. ∫
2

x

C.

∫ f ( e ) dx = 6e
x

− 4e x + C

2x

x

∫ f ( e ) dx = 3e
D. ∫ f ( e ) dx = 6e

.

B.

+ 4x + C .

x

2x

x

x


− 4e x + C .
− 4x + C .

Lời giải

Tác giả: Lê Mai Hương ; Fb: Le Mai Huong
Chọn D
Ta có
Vậy

∫ f ( x ) dx = 3 x

2

− 4 x + C ⇒ f ( x ) = 6 x − 4 ⇒ f ( e x ) = 6e x − 4 .

x
x
f
e
d
x
=
6
e
(
)
(
∫
∫ − 4 ) dx = 6ex − 4 x + C .


Câu 33. [2D3-1.1-2] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Tìm nguyên

F ( x)

của hàm số

f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ?
x4
11
− 6 x3 + x2 − 6 x + C
.
4
2

B.

F ( x ) = x 4 + 6 x 3 + 11x 2 + 6 x + C .

x4
11
F ( x ) = + 2 x3 + x 2 + 6 x + C
C.
.
4
2

D.

F ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 11x 2 + 6 x + C .


A.

F ( x) =

Lời giải
Tác giả: Dương Thị Bích Hịa; Fb: Dương Thị Bích Hịa.
Chọn C

x4
3 11 2
⇒
F
x
=
x
+
6
x
+
11
x
+
6
dx
=
+
2
x
+ x + 6x + C

(
)
(
)
∫
Ta có: f ( x ) = x + 6 x + 11x + 6
.
4
2
3

3

2

2

Câu 34. [2D3-1.1-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = sin x.cos x +

1
x + 1 là

1
F ( x ) = cos 2 x + ln x + 1 + C
A.
.
4
1

F ( x ) = − cos 2 x + ln ( x + 1) + C
C.
.
4

B.

F ( x ) = − 4cos 2 x + ln x + 1 + C .

1
F ( x ) = − cos 2 x + ln x + 1 + C
D.
.
4

Lời giải
Tác giả: Phan Thị Tuyết Nhung; Fb: Phan Thị Tuyết Nhung

Chọn D

Ta có

1
1
f ( x ) = sin 2 x +
2
x+1.

1 
1

1
F ( x ) = ∫  sin 2 x +
÷dx = − cos 2 x + ln x + 1 + C .
x + 1
2
4
Câu 35. [2D3-1.1-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x − sin 2 x

là


x2 1
x2
− cos 2 x + C
+ cos 2 x + C
B. 2 2
. C. 2
.

1
x + cos 2 x + C
A.
.
2
2

x2 1
+ cos 2 x + C

D. 2 2
.

Lời giải
Tác giả:Phan Thị Hồng Cẩm ; Fb: lop toan co cam
PB:Ngô Ngọc Hà ; Fb: Hà Ngọc Ngô
Chọn D

x2 1
∫ ( x − sin 2 x ) dx = ∫ x.dx − ∫ sin 2 x.dx = 2 + 2 cos 2 x + C .
Câu 36. [2D3-1.1-2]

(Sở

Quảng

Ninh

Lần1)


2018e − x 
f ( x ) = e  2017 −
÷
x5  .

2018
f ( x ) dx = 2017e x − 4 + C
∫
A.

.
x

Tìm

nguyên

hàm

của

hàm

số

x

C.

∫

f ( x ) dx = 2017e x +

504,5
+C
.
x4

f ( x ) dx = 2017e
B. ∫

D.

∫

f ( x ) dx = 2017e x −

x

+

2018
+C
.
x4

504,5
+C
.
x4

Lời giải
Tác giả: Thi Hồng Hạnh; Fb: Thi HongHanh
Chọn C

∫


2018e− x 
2018 
504,5


x
x
f ( x ) dx = ∫ e  2017 −
d
x
=
2017
e
−
d
x
=
2017
e
+
+C
÷
÷
∫ 
x5 
x5 
x4

x

Câu 37. [2D3-1.1-2] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Hàm số
nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.


C.

f ( x) = 3x 2 − cos x.

x4
f ( x ) = − cos x.
B.
4

f ( x) = 3x 2 + cos x.

x4
f ( x) = − cos x.
D.
4

F ( x) = x3 +sin x

là một

Lời giải
Tác giả: Đồn Văn Điền ; Fb: 0945467442
Chọn C
Ta có

F '( x ) = 3x 2 + cos x.

Câu 38. [2D3-1.1-2]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)


Bắc-Ninh-2019) Hàm số
A.

C.

F ( x) = x3 +sin x

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

f ( x) = 3x 2 − cos x.

x4
f ( x ) = − cos x.
B.
4

f ( x) = 3x 2 + cos x.

x4
f ( x) = − cos x.
D.
4


Lời giải
Tác giả: Đoàn Văn Điền ; Fb: 0945467442
Chọn C


F '( x ) = 3x 2 + cos x.

Ta có

Câu 39. [2D3-1.1-2] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Họ các nguyên hàm của

f ( x) = sin x + 1 là

hàm số

A. cos x +

C.

B. cos x +

x + C.

C. − cos x +

C.

D. − cos x +

x + C.

Lời giải
Tác giả: Đoàn Văn Điền; Fb:0945467442
Chọn D


∫ ( sin x + 1) dx = − cos x + x + C .
Câu 40. [2D3-1.1-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Hàm số

f ( x) + 1
F ( x ) = e . Tìm nguyên hàm của hàm số e x
f ( x) +1
1
dx = e x − e− x + C
x
∫
A.
.
B.
e
2

y = f ( x)

có một nguyên hàm là

2x

C. ∫

f ( x) + 1
dx = 2e x − e− x + C
x
.
e


∫

D. ∫

f ( x) + 1
dx = e x − e − x + C
x
.
e
f ( x) +1
dx = 2e x +e − x + C
x
.
e

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng

Chọn C
Ta có:
Suy ra:

f ( x ) = F ′ ( x ) = ( e2 x ) ′ = 2e2 x

∫

f ( x) + 1
2e 2 x + 1
d

x
=
dx = ∫ ( 2e x + e− x ) dx = 2e x − e− x + C
x
x
∫
.
e
e

Câu 41. [2D3-1.1-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Hàm số

( −∞ ;0 )

thỏa mãn

F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

y=

1
x trên

F ( − 2 ) = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

 −x 
F ( x ) = ln  ÷ ∀x ∈ ( −∞;0 )
 2 
A.
B.


F ( x ) = ln x + C ∀ x ∈ ( −∞ ;0 )

C.

F ( x ) = ln x + ln 2 ∀ x ∈ ( −∞ ;0 )

D.

F ( x ) = ln ( − x ) + C ∀ x ∈ ( −∞ ;0 )

với

C

là một số thực bất kì.

.
với

C

là một số thực bất kì.
Lời giải
Tác giả : Lê Đình Năng, FB: Lê Năng


Chọn A

1

F ( x ) = ∫ dx = ln x + C = ln ( − x ) + C
Ta có
với ∀ x ∈ ( − ∞ ;0 ) .
x
 −x
F ( x ) = ln ( − x ) − ln 2 = ln  ÷
Lại có F ( − 2 ) = 0 ⇔ ln 2 + C = 0 ⇔ C = − ln 2 . Do đó
 2 .
 −x 
F ( x ) = ln  ÷ ∀x ∈ ( −∞;0 )
Vậy
 2 
.


f ( x ) = 2 x 2e x + 2 + 2 xe 2 x , ta có
3

Câu 42. [2D3-1.1-2] (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số

∫ f ( x ) dx = me

x3 + 2

+ nxe2 x − pe 2 x + C . Giá trị của biểu thức m + n + p bằng

1
A. 3 .

B.


13
C. 6 .

2.

7
D. 6 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn
Chọn C

+ Vì

∫

(

)

'

x +2
2x
2x
f ( x ) dx = me x + 2 + nxe 2 x − pe 2 x + C nên me + nxe − pe + C = f ( x )
3


3mx 2 e x + 2 + 2nxe2 x + ( n − 2 p ) e2 x = 2 x 2e x + 2 + 2 xe 2 x đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ
3

Suy ra

3

3

2

m=

3m = 2
3


⇔ n = 1
 2n = 2
n − 2 p = 0 
1

p =
phương trình sau:
2.

Suy ra:

m+ n+ p =


13
6.
2 x − 13

Câu 43.

dx = a ln x + 1 + b ln x − 2 + C
∫
[2D3-1.1-2] (TTHT Lần 4) Cho biết ( x + 1) ( x − 2 )
.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

a + 2b = 8 .

B.

a+ b = 8.

C. 2a − b =
Lời giải

8.

D.

a− b= 8.

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm

Chọn D

A ( x − 2 ) + B ( x + 1) ( A + B ) x + ( − 2 A + B )
2 x − 13
A
B
=
+
=
=
( x + 1) ( x − 2 )
( x + 1) ( x − 2 )
Ta có: ( x + 1) ( x − 2 ) x + 1 x − 2


A+ B = 2
⇒
⇔
−
2
A
+
B
=
−
13


A= 5


 B = −3 .

2 x − 13

 5

3 

dx = ∫ 
−
÷dx = 5ln x + 1 − 3ln x − 2 + C
∫
 x+1 x− 2
Khi đó: ( x + 1) ( x − 2 )
.
Suy ra

a = 5; b = − 3 nên a − b = 8 .

Câu 44. [2D3-1.1-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Tìm ngun hàm

x−1
của hàm số
x2 .
1
F ( x ) = − ln | x | + + C
A.
.
x


F ( x)

f ( x) =

1
F ( x ) = ln | x | − + C
B.
.
x
1
F ( x ) = − ln | x | − + C
D.
.
x

1
F ( x ) = ln | x | + + C
C.
.
x

Lời giải
Tác giả: Dương Thị Vân Thanh; Fb:
Chọn C

Ta có

f ( x) =

x−1 1 1

1
= − 2
F ( x ) = ln | x | + + C
2
.
x
x x nên
x

Câu 45. [2D3-1.1-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Biết hàm số

f ′ ( x ) = 3x 2 + 2 x + m , f ( 2 ) = 1
độ bằng
A.

và đồ thị của hàm số

− 5 . Hàm số f ( x ) là:
x3 + 2 x 2 − 5 x − 5 .

x 3 + x 2 − 3x − 5 .

D.

B.

y = f ( x)

2 x3 + x 2 − 7 x − 5 .


x3 + x2 + 4 x − 5 .

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C .
Ta có: ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 x + 2 x + m ) dx = x3 + x 2 + mx + C .
2

có dạng:

f ( x ) = x3 + x 2 + mx + C1

 f ( 2 ) = 1
⇔

f
0
=
−
5
(
)

Theo đề ta có: 
Vậy hàm số

C.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Hảo; Fb: Ycdiyc Thanh Hảo

Theo lý thuyết ta có:


f ( x)

có

cắt trục tung tại điểm có tung

Chọn C

Khi đó

y = f ( x)

 23 + 22 + 2m + C1 = 1
⇔

C
=
−
5

1

f ( x ) = x3 + x 2 − 3x − 5 .

 m = −3

 C1 = − 5 .



4 x + 11

Câu 46. [2D3-1.1-2] (TTHT Lần 4) Cho biết
biểu thức:
A. 12.

∫ x 2 + 5x + 6dx = a ln x + 2 + b ln x + 3 + C . Tính giá trị

P = a 2 + ab + b 2 .

B. 13.

C. 14.
Lời giải

D. 15.

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn B

4 x + 11
A
B = A ( x + 3) + B ( x + 2 ) = ( A + B ) x + ( 3 A + 2 B )
=
+
( x + 2 ) ( x + 3)
( x + 2 ) ( x + 3)
Ta có: x 2 + 5 x + 6 x + 2 x + 3
A+ B = 4
⇒

⇔
3
A
+
2
B
=
11


A= 3

B = 1 .

4 x + 11

 3

1 

dx = ∫ 
+
÷dx
∫
Khi đó: x 2 + 5 x + 6
 x + 2 x + 3  = 3ln x + 2 + ln x + 3 + C .
Suy ra

a = 3; b = 1 nên P = a 2 + ab + b2 = 13 .
f ( x) =


Câu 47. [2D3-1.1-2] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Họ nguyên hàm của hàm số
là

−2
+C
B. e x + 1
.

2
+C
A. e x + 1
.

−1
+C
C. e x + 1
.

ex

( e + 1)
x

2

1
+C
D. e x + 1
.


Lời giải
Tác giả: Mai Xuân Thủy; Fb: Xuan Thuy Delta

Chọn C

∫

ex

x
Ta có ( e + 1)

2

dx = ∫

d(e x + 1)

−1
2
x
=
e
+
1
x
( ) e +1+ C .

Câu 48. [2D3-1.1-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho

là một nguyên hàm của hàm số
trong các khẳng định sau

f ( x ) = e + 2x
x

thỏa mãn

F ( 0) =

3
2 . Chọn khẳng định đúng

A.

F ( x ) = ex + x2 +

5
2.

1
F ( x ) = ex + x2 − .
B.
2

C.

F ( x ) = ex + x2 +

3

2.

F ( x ) = ex + x2 +

D.

F ( x)

1
2.

Lời giải
Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng.
Chọn D


3

F ( 0) =
2

x
Cách 1: Xét đáp án D , ta có:  F ' ( x ) = e + 2 x = f ( x ) .
Vậy

D

đúng.

Cách 2: Ta có


F ( x)

∫(e

x

+ 2 x ) dx = e x + x 2 + C .

là 1 nguyên hàm của hàm số

Theo đề bài

F ( 0) =

f ( x ) = ex + 2x

suy ra

F ( x)

có dạng

ex + x2 + C

3
3
1
⇔ e0 + 02 + C = ⇔ C = .
2

2
2

1
F ( x ) = ex + x2 + .
Vậy
2
Câu 49. [2D3-1.1-2] (KonTum 12 HK2) Hàm số
nào sau đây?

f ( x ) = e− x + 2 x − 5

1
y = − e− x + x2 − 5 x + 1
A.
.
2
C.

B.

y = − e− x + 2 .

là một nguyên hàm của hàm số

y = e− x + x 2 − 5 x .
−x

D. y = − e + x − 5 x + 3 .
Lời giải

Tác giả: Phan Thị Tuyết Nhung ; Fb: Phan Thị Tuyết Nhung
2

Chọn C
Ta có

f ′ ( x ) = − e− x + 2

nên

f ( x ) = e− x + 2 x − 5

là một nguyên hàm của hàm số

1

Câu 50. [2D3-1.1-2] (TTHT Lần 4) Cho biết
biểu thức:
A. 0.

P = 2a + b .
B. -1.

∫ x3 − xdx = a ln ( x − 1) ( x + 1)
1
C. 2 .

y = − e− x + 2 .

+ b ln x + C


. Tính giá trị

D. 1.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A

A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Dx ( x − 1)
1
A B
D
= +
+
=
Ta có: x 3 − x x x − 1 x + 1
x3 − x
A + B + D ) x2 + ( B − D ) x − A
(
=
x3 − x



 A = −1
A+ B + D = 0 
1



⇒ B − D = 0
⇔ B =
2
− A = 1


1

 D = 2 .

 1
1
1
1 
dx
=
−
+
+

∫ x3 − x ∫  x 2 ( x − 1) 2 ( x + 1) ÷÷dx = 1 ln ( x − 1) ( x + 1) − ln x + C
Khi đó:
.


2

1
a = ; b = −1

Suy ra
nên P = 2a + b = 0 .
2
Câu 51. [2D3-1.1-2] (TTHT Lần 4) Gọi

F ( 0) =

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2 x , thỏa mãn

1
ln 2 . Tính giá trị biểu thức T = F ( 0 ) + F ( 1) + ... + F ( 2018 ) + F ( 2019 ) .

22019 + 1
T = 1009.
A.
ln 2 .

B.

22019 − 1
T=
C.
ln 2 .

22020 − 1
T=

D.
ln 2 .

T = 22019.2020 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn D

2x
f ( x ) dx = ∫ 2 dx =
+C
Ta có ∫
ln 2
x

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 2

x

, ta có

F ( x) =

1

2x
F ( 0) =
+C
mà
ln 2
ln 2

2x
⇒ C = 0 ⇒ F ( x) =
ln 2 .

T = F ( 0 ) + F ( 1) + ... + F ( 2018) + F ( 2019 )
1
1 22020 − 1 22020 − 1
2
2018
2019
=
( 1 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 ) = ln 2 . 2 − 1 = ln 2
ln 2
Câu 52. [2D3-1.1-2] (TTHT Lần 4)Gọi

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = e x , thỏa mãn

F ( 0 ) = 2020 . Tính giá trị biểu thức T = F ( 0 ) + F ( 1) + ... + F ( 2018 ) + F ( 2019 ) .
e2020 − 1

T=
+ 2019.2020
A.
.
e−1

e2019 − 1
T=
+ 2018.2019
B.
.
e−1


e2020 − 1
T=
+ 20202
C.
.
e −1

e2019 − 1
T=
+ 20192
D.
.
e −1

Lời giải


Chọn A
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ e dx = e

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

x

x

+C

f ( x ) = e x , ta có F ( x ) = e x + C

mà

F ( 0 ) = 2020

⇒ C = 2019 ⇒ F ( x ) = e x + 2019 .
T = F ( 0 ) + F ( 1) + ... + F ( 2018) + F ( 2019 ) = 1 + e + e2 + ... + e2018 + e2019 + 2019.2020
e2020 − 1
=
+ + 2019.2020
.
e−1
Câu 53. [2D3-1.1-2] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số


y = cos4 x

có một ngun hàm là

π 
F  ÷= 2
F ( x ) ,  4  . Khẳng định nào sau đây là đúng?
cos4 x
F
x
d
x
=
−
+ 2x + C
(
)
A. ∫
.
B. F ( x ) dx = − 4cos4 x + 2 x + C .
4

∫

C.

∫ F ( x ) dx = − cos4 x + 2 x + C .

D.


∫ F ( x ) dx = −

cos4 x
+ 2x + C
.
16

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: BienNguyenThanh
Chọn D

1
F ( x ) = ∫ cos4 xdx = sin 4 x + C
Ta có
.
4
π 
F  ÷= 2
Từ  4 
suy ra

C = 2.

cos4 x
1

1
F ( x ) dx = ∫  sin4x + 2 ÷dx = −
+ 2x + C
F ( x ) = sin 4 x + 2

∫
Ta được
. Suy ra
.
16
4

4
Câu 54. [2D3-1.1-2]

∫x

(-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019)

1
dx = a ln x − 1 + b ln x + 1 + C
, với a ,
−1

2

A. 1 .

B.

0.

b

Cho


a − b bằng
D. − 1 .

là các số hữu tỷ. Khi đó
C.

2.

Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb:Phạm Trần Luân
Chọn A


∫
Ta có: x
⇒a=

1
1
1  1
1 
1
1
dx = ∫
dx = ∫ 
−
÷dx = ln x − 1 − ln x + 1 + C
−1
2

( x − 1) ( x + 1) 2  x − 1 x + 1  2
.

2

1
−1
b=
2;
2 ⇒

a − b = 1.

Câu 55. [2D3-1.1-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hàm số
của hàm số
A.

F ( x) = (ax 2 + bx − c)e 2 x

là một nguyên hàm

f ( x) = (2018 x 2 − 3 x + 1)e 2 x trên khoảng (− ∞ ; + ∞ ) . Tính T = a + 2b + 4c .

T = 1011 .

B. T

= − 3035

.


C. T
Lời giải

= 1007 .

D.

T = − 5053 .

Tác giả: Chu Quốc Hùng ; Fb: Tri thức trẻ QH
Chọn B

F '( x) = (2ax + b)e2 x + 2(ax 2 + bx − c)e 2 x =  2ax 2 + (2b + 2a ) x + b − 2c  e 2 x

 a = 1009
 2a = 2018

−2021


 2ax 2 + (2b + 2a) x + b − 2c  e 2 x = (2018 x 2 − 3 x + 1)e 2 x ⇒ 2(a + b) = −3 ⇔ b =
2
 b − 2c = 1


 −2023
c = 4
Ta có:
Vậy


T = − 3035

Câu 56. [2D3-1.1-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
A.

x + x +C.
3

2

f ( x ) = 3x 2 + x .
B.

x + 1+ C .

1
3x3 + x 2 + C
C.
.
2

3

1
x3 + x 2 + C
D.
.
2


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Tu Nguyen

Chọn D

( 3x
Ta có ∫

2

1
+ x ) dx = x 3 + x 2 + C
.
2

Câu 57. [2D3-1.1-2] (Chuyên Thái Bình Lần3) Với
đề sai trong các mệnh đề sau:

f ( x)

2

b
 b
2
 ∫ f ( x ) dx ÷ = ∫ ( f ( x ) ) dx
A.  a
.
 a

C.

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

là hàm số tùy ý liên tục trên
b

b

a

a

b

a

a


b

¡

, chọn mệnh

kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ∈ ¡ )
∫
B.
.

D.

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

Lời giải
Tác giả: ĐẶNG DUY HÙNG ; Fb: Duy Hùng


Chọn A
Câu 58. [2D3-1.1-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3 x + x 2019
2
A. 3 x

là

+ 2019 x 2018 + C


3
B. 2 x

.

x 2020
2x x +
+C
C.
.
2020

+ 2019 x 2018 + C

.

x 2020
3x x +
+C
D.
.
2020
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai

Chọn C

Ta có:


∫( 3

x+x

2019

) dx = 3∫

x dx + ∫ x

2019

x 2020
dx = 2 x x +
+C
.
2020

Câu 59. [2D3-1.1-2] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) = cos2x +
A.

1
x là:
1
sin 2 x + ln x + C
B. 2
.


2sin 2 x + ln x + C .

1
− sin 2 x + ln x + C
C. 2
.

1
sin2x + ln x + C
D. 2
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn

Chọn D

1

∫ (cos2x + x)dx = ∫ cos2xdx + ∫

dx 1
= sin2x + ln x + C
x 2

Câu 60. [2D3-1.1-2] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho
nguyên hàm của hàm số
A.

0.


F ( x)

là một

y = e− x . Biết F ( 0 ) = 1 . Tnh giá trị của F ( − ln 2 ) .
B.

−2.

C.

− 1.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn A
Ta có
Do đó
Vậy

∫e

−x

dx = − e− x + C . Do F ( 0 ) = 1 nên − e− 0 + C = 1 ⇔ − 1 + C = 1 ⇔ C = 2 .

F ( x ) = − e− x + 2 .


F ( − ln 2 ) = −eln 2 + 2 = 0 .


Câu 61. [2D3-1.1-2] (Kim Liên 2016-2017)Tìm hằng số a để hàm số
hàm là
A.

F ( x ) = a ln

(

f ( x) =

)

1
x + x có một nguyên

x + 1 + 5.

a = 2.

B.

a=

a = 3.

1
2.


C. a = 1 .
D.
Lời giải
Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm

Chọn A
Do

F ( x)

là một nguyên hàm của

f ( x)

F′ ( x) = f ( x) .

nên:

(

)

1

′

a
1
a 1

= .
2
x
′
= a.
 a ln x + 1 + 5 = a.
2 x x +1 = .
′
F
x
=
(
)
Ta tính
2 x+ x .
x +1
x +1


a
= 1⇔ a = 2
Đồng nhất hệ số ta được 2
.

(

)

x +1


(

)

f ( x) =

Câu 62. [2D3-1.1-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

−

1
x2 .

B.

Câu 63. [2D3-1.1-2]

1
+C
D. x 2
.
−

C. ln x + C .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thiện ; Fb:Thien Nguyen

ln x + C .


Chọn C
Dựa vào kiến thức đã học chọn

1
x là:

C.

(PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH)

1
x
d
x
=
a
.tan
+C
∫ 1 + cos x
. Giá trị của
b

A. 1 .

B.

− 1.

S = a− b


là
C.

2.

D.

Biết

−2.

Lời giải
Chọn B
Nhận xét: Do chưa thể áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản, quan sát mẫu thấy rằng có

x 1 + cos x
x
cos 2 =
⇒ 1 + cos x = 2cos 2
thể áp dụng cơng thức hạ bậc :
2
2
2.
1

Ta có:

∫ 1 + cos x dx = ∫

1

2cos 2

x
2

dx = ∫

x
x
 x
d  ÷ = tan + C = 1.tan + C
x  2
2
2
cos 2
.
2
1

⇒ a = 1, b = 2 ⇒ S = a − b = 1− 2 = − 1 .
Câu 64. [2D3-1.1-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho
nguyên hàm của hàm số
A.

2.

f ′ ( x ) − 4 x . Hàm số y = f ( x )
B. 1 .

C.

Lời giải

0.

F ( x ) = x 4 − 2x 2 + 1

là một

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
D.

3.


Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb: Nguyễn Chi
Chọn B
Vì

F ( x ) = x 4 − 2x 2 + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) − 4 x

Hay

nên

F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 4x

4 x3 − 4 x = f ′ ( x ) − 4 x ⇔ f ′ ( x ) = 4 x3

Ta suy ra


f ′ ( x) = 0 ⇔ x = 0

Phương trình

f ′ ( x ) = 0 có một nghiệm bội lẻ nên hàm số y = f ( x )

Câu 65. [2D3-1.1-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho

f ( x ) = e x ( x 3 − 4 x ) . Hàm số F ( x)

F ( x)

có một điểm cực trị.

là một nguyên hàm của hàm số

2

A. 1.

B. 3.

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 2.
Lời giải

D.4.

Tác giả: Trần Kim Nhung; FB: Nhung Trần Thị Kim
Chọn B


F ′ ( x ) = f ( x ) = e x ( x3 − 4 x ) .
2

Theo định nghĩa nguyên hàm ta có:

x = 0
F ′ ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔  x = − 2
 x = 2 . (Vì
Vậy hàm số

F ( x ) có 3 điểm cực trị.

2

e x > 0 với mọi x ).