Câu 1.

[2D1-5.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số
y  f ' x
hàm số
như hình dưới

y  f  x

có đạo hàm trên �. Bảng biến thiên của

1
m  x 2 �f  x   x 3
3 nghiệm đúng với mọi x � 0;3 .
Tìm m để bất phương trình
A. m  f (0) .

B. m �f (0) .

C. m �f (3) .
Lời giải

D.

m  f (1) 

2
3.

Tác giả : Võ Thị Ngọc Ánh ; Fb: Võ Ánh
Chọn B

Ta có

m+
�+
x 2 
f  x 

1 3
x
3

m

f  x

1 3
x
3

x2

.

1
g  x   f  x   x3  x 2
3
Đặt
.
2
g�

 x  f �
 x   x  2x  f �
 x     x 2  2x  .
Ta có
g�
 x  0 � f �
 x    x2  2x .
f�
 x   1, x � 0;3 và  x 2  2 x  1   x  1 2 �1,x � 0;3 nên g �
 x   0, x � 0;3 .
Mà
Từ đó ta có bảng biến thiên của g ( x) :

1
m �f  x   x 3  x 2
x � 0;3
3
nghiệm đúng với mọi

Bất phương trình
 g  0
m
� m�

f (0)

.
NHẬN XÉT: (Võ Thị Ngọc Ánh) Bài toán xây dựng dựa trên ý tưởng mối quan hệ giữa bảng
biến thiên của f '( x) hoặc đồ thị của f '( x) so sánh với h '( x) để suy ra sự biến thiên của hàm
số có dạng g ( x)  f ( x)  h( x) .

Câu 2.

[2D1-5.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số
y  f ' x
hàm số
như hình dưới

y  f  x

có đạo hàm trên �. Bảng biến thiên của


m  2sin x �f  x 
x � 0; �
Tìm m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
.
A. m �f (0) .
B. m �f (1)  2sin1 . C. m �f (0) .
D. m �f (1)  2sin1 .
Tác giả : Võ Thị Ngọc Ánh ; Fb: Võ Ánh
Lời giải
Chọn C
Ta có
Đặt

f  x

m�
2sin x


m

f  x

2sin x

.

g  x   f  x   2sin x

.
g�
 x  f �
 x   2 cos x

Ta có
.
g�
 x  0 � f �
 x   2 cos x .
f�
 x  �2, x � 0; � và 2cosx �2,x � 0; � nên g �
 x  �0, x � 0; � .
Mà
�f '( x)  2
g�
� x0
 x  0 � �
�2 cos x  2

.
Từ đó ta có bảng biến thiên của g ( x) :

m �2 f  x  2    x  1  x  3

Bất phương trình
m
� m �g  0 
Câu 3.

f (0)

nghiệm đúng với mọi

x � 3; �

.

[2D1-5.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) (Phát triển từ câu 50 đề liên trường Nghệ An ) Cho hàm số
y  f  x
y  f ' x
có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số
như hình vẽ bên dưới.

m  x 2 �2 f  x  2   4 x  3
x � 3; �
Tìm m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
.
m

�
2
f
(0)

1
m
�
2
f
(0)

1
m
�
2
f
(

1)
m
�
2
f
(

1)
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả : Võ Thị Ngọc Ánh ; Fb: Võ Ánh
Chọn B


Ta có

m+
�+
x 2 
2 f
 x 2 

4x 3

m 2 f  x 2

x2 4x 3

.

g  x   2 f  x  2  x2  4x  3
g�
 x  2 f �
 x  2  2 x  4 .

Đặt
. Ta có
g�
 x  0 � f �
 x  2    x  2 .
f�
 t   t .  1
Đặt t  x  2 ta được
 1 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị f � t  và đường thẳng d : y  t (hình vẽ)

f�
 t

và đường thẳng y  t ta có
t  1
x  3
�
�
�
�
t0
x  2
�
��
�
�
t 1
x  1
�
�

f�
 t   t �t  2 hay �x  0 .
ta có
g  x
Bảng biến thiên của hàm số
.
Dựa vào đồ thị của

m �2 f  x  2    x  1  x  3

Bất phương trình
- g  2 
m 2 f (0) 1
� m �Câu 4.

nghiệm đúng với mọi

x � 3; �

.

[2D1-5.3-3] (Chuyên Thái Nguyên) [2H1-3.1-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho khối trụ có độ
3
dài đường sinh bằng 10 cm . Biết thể tích khối trụ là 90 cm . Diện tích xung quanh khối trụ
bằng
36 cm 2
78 cm2
81 cm 2
60 cm 2
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Chọn D
Khối trụ có độ dài đường sinh l  10 cm nên chiều cao h  10 cm .
Ta có

V   .r 2 .h với r là bán kính đáy hình trụ , mà V  90 cm3 .

2
Do đó:  .r .10  90 nên r  3 cm .
S  2. .r.l  2. .3.10  60 cm 2
Vậy xq
.

Câu 5.

[2D4-1.6-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho số phức z có phần thực là số nguyên và
2
z thỏa mãn z  2 z  7  3i  z . Môđun của số phức w  1  z  z bằng

Câu 19



A.

w  445

.

B.

w  425

.

C.
Lời giải

w  37

.

D.

w  457

Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Chọn D
z  a  bi  a ��, b ��
Đặt
.
Khi đó:




z  2 z  7  3i  z �

a 2 + b 2 - 2a + 2bi =- 7 + 3i + a + bi

�
b =3
�
�
�
�
�
� 5
�
�
a=
7
�
�
�
� 4 ( a �3 )
�
b =3
�
�
�
2
2
�

a  b  3a  7   b  3 i  0 � �
�
a =4
�
�
.



a  4 � z  4  3i � w  4  21i � w  457
Do a �� nên

Câu 6.

[2D1-3.4-2] (Chuyên Thái Nguyên) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
x 2  3x  6
y
0;1
x2
giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn   . Giá trị M  2m bằng
A. 11 .
B. 10 .
C. 11.
D. 10
Lời giải
Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Chọn A
D = �\ { 2}
[ 0;1] .

Tập xác định
, suy ra hàm số liên tục trên
x2 - 4x
�
x =0
y�
=
=0 � �
2
�
( x - 2)
x =4.
�
Ta có:
[ 0;1] , y �= 0 � x = 0 .
Xét trên
y ( 0) =- 3; y ( 1) =- 4
Mà
. Do đó M =- 3; m =- 4 .
Vậy M + 2m =- 11 .

Câu 7.

[2D1-5.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số
như sau.

Câu 20

Số nghiệm thực của phương trình
A. 7.

B. 4 .

f 2  x  1  0

là
C. 3 .

Lời giải

y  f  x

D. 8 .

có đồ thị


Tác giả: Phi Trường; Fb: Đỗ Phi Trường
Chọn B
�f  x   1
f 2  x  1  0 � �
�f  x   1
Ta có:

f x 1
f x  1
Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình  
có 4 nghiệm thực và phương trình  
vơ
nghiệm.
f 2  x  1  0

Vậy phương trình
có 4 nghiệm thực.

Câu 8.

[2D1-5.3-3] (Chuyên Bắc Giang) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để

 2  3
phương trình
bằng
A. 12.

x



m 2 3

x

 10

B. 15.

Chọn B

 2  3
Xét phương trình
Đặt






t  2 3



x

x

có 2 nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của S

C. 9.
D. 4.
Lời giải
Tác giả: Mai Thị Hoài An ; Fb: Hồi An



m 2 3

 2  3
. Khi đó

x






x

 10

. (1)

1
t và phương trình (1) trở thành phương trình

1
t  m.  10
� t 2  10t  m . (2)
t

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt lớn hơn 1.
2
Bảng biến thiên của hàm số y  t  10t :
�
t �
1
5
�
�
y
9
25
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi 25  m  9 .

S   24;  23; ...;  10
n  S   15
Vậy
và
.
Câu 9.

[2D1-5.3-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ.

y  f  x


Khi đó phương trình
A. 1  m  2 .

f  x  1  m

có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
1
�
m
�
2.
B.
C. 0 �m �1 .
D. 0  m  1 .
Lời giải
Tác giả: Ngô Minh Ngọc Bảo ; Fb: Ngơ Minh Ngọc Bảo


Chọn A
Ta có:

f  x   1  m � f  x   m  1  *

Số nghiệm của phương trình
y  m  1.

 *

.

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y  f  x

và đường thẳng

y  f  x
Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y  m  1 cắt đồ thị hàm số
tại 3 điểm phân
biệt khi 0  m  1  1 � 1  m  2 .
Câu 10. [2D1-5.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số
liên tục trên � và có đồ thị như hình bên

Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
 �
�
x �� ;  �
�2 �?

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

f





2 f  cos x   m

y  f  x

có nghiệm

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo
Chọn C

 �
�
t  cos x � 1;0 , x �� ;  �� u  2 f cos x � 0; 2

  .
�2 �

Đặt


 �
�
x �� ;  �
�2 �khi
Phương trình trở thành:
. Phương trình đã cho có nghiệm
� 0; 2 
đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số tại các điểm có hồnh độ 
.
f  u  m

 *

m � 2; 1;0;1
Dựa vào đồ thị suy ra 2 �m  2 . Vì m nguyên nên
.
Nhận xét: Bài này là tương giao đồ thị hàm hợp.
Câu 11. [2D1-5.3-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI)
Tìm m
4
2
x  5 x  4  log 2 m
có 8 nghiệm phân biệt:
4 9
4 9
4 9
A. 0  m  2 .

B.  2  m  2 .
C. Khơng có giá trị của m .

để

phương

trình

4 9
D. 1  m  2 .
Lời giải
Tác giả: Cao Thị Nguyệt ; Fb: Chuppachip.

Chọn D
4
2
Xét hàm số y  x  5 x  4 có
TXĐ: D  �
x0
�
3
y '  4 x  10 x  0 � �
10
�
x�
�
2

Với x  0 � y  4 và


x�

10
9
�y
2
4

BBT
Đồ thị

4
2
Từ đồ thị hàm số y  x  5 x  4
Bước 1: Ta giữ ngun phần đồ thị phía trên trục hồnh.
Bước 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hồnh của đồ thị lên phía trên trục hồnh và xóa bỏ
y  x4  5x2  4
đi phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh ta được đồ thị hàm số
.


x 4  5 x 2  4  log 2 m

Khi đó số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm
4
2
y  x  5x  4
y  log 2 m

số
và đường thẳng
với m  0 . Dựa vào đồ thị hàm số
y  x4  5x2  4
x 4  5 x 2  4  log 2 m
ta thấy để phương trình
có 8 nghiệm thì:
9
0  log 2 m  � 1  m  4 29 .
4

Câu 12. [2D1-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên � và có đồ thị như
2 f  x 2  1  5  0
hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
là

A.

3.

B. 2 .

6.

C.

D. 4 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan; Fb: Nguyễn Lan

Chọn B
2 f  x 2  1  5  0  1
2
 t �1
Đặt t  x  1

 1
Phương trình
�
ta
�
��
t b
�
t c
�
�

trở thành

2 f  t 5  0 � f  t 

 a  3  l 
 b � 2; 1   l 
 c � 1;0    tm 

5
2



� c  x2 1 � x  � c  1
Vậy số nghiệm thực của phương trình

 1

là 2.

y  f  x
Câu 13. [2D1-5.3-3] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho hàm số
liên tục trên � và có
5 f  x  4  0
đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
là

B. 3 .

A. 4 .

Chọn A
Gọi đồ thị của hàm số

y  f  x

C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn
là

 C


4
5 f  x   4  0 � f  x    5  1
Xét phương trình

 1

 C

 d : y  

4
5

là phương trình hồnh độ giao điểm của
và đường thẳng
 1 là số giao điểm của đồ thị  C  và đường thẳng  d 
Suy ra: Số nghiệm của phương trình

4
0
 d  cắt đồ thị  C  tại 4 điểm phân biệt.
5
và
, do đó
5 f  x  4  0
Vậy phương trình
có 4 nghiệm.

 d  // Ox

Ta có

1  

Câu 14. [2D1-5.3-3] (Chuyên Bắc Giang) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm
x3
f  x    2 x 2  mx  3
x , x �3
3
số
có hai điểm cực trị 1 2
. Số phần tử của S bằng
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn Anh; Fb: Tuấn Anh Nguyễn
Chọn D
( x)  x 2  4 x  m .
Ta có f �


( x)  x 2  4 x  m  0 có hai nghiệm x1  x2 �3
cần f �
�
�
0
�
4m  0

�
�b
� � 3
�
��
23
�2a
�
1. f �
m  3 �0 ۣ
 3 �0 �
� x 2  4 x  m  0 có hai nghiệm: x1  x2 �3
�
�
 3 m 4.
Mà m �Z � m  3 .
Vậy số phần tử của S bằng 1.
Cách 2.
( x)  x 2  4 x  m .
Ta có f �
Để hàm số có hai điểm cực trị

x1 , x2 �3

x , x �3
( x)  x 2  4 x  m  0 có hai nghiệm x1  x2 �3
Để hàm số có hai điểm cực trị 1 2
cần f �
2
� đồ thị hàm số  C  : y   x  4 x cắt đường thẳng  d  : y  m tại 2 điểm phân biệt có hồnh

độ nhỏ hơn hoặc bằng 3.
y�
 2 x  4 . y�
 0 � x  2 . Ta có bảng biến thiên:

 3 m 4.
Dựa vào bảng biến thiên: YCBT ۣ
y  f  x

liên tục trên � và có đồ thị như
f f  x   0
hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 
bằng

Câu 15. [2D1-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số

A. 7 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 9 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp; Fb: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn D
Đặt

t  f  x   t ��


, phương trình

 f  x    0 trở thành f  t   0 .

y  f  x
đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm
a � 2;  1 , b � 1; 2 
phân biệt có hồnh độ lần lượt là a , 0 , b với
.

Qua đồ thị hàm số

y  f  x

f


�f  x   a
ta
�
�
f  t  0 � �
t  0 � �f  x   0
�
�f x  b
�
t b
�

� 
Khi đó:
. Nhận thấy mỗi đường thẳng trong 3 đường thẳng
y  a với a � 2;  1 ; y  0 ; y  b với b � 1; 2  cắt đồ thị hàm số y  f  x  lần lượt tại 3
điểm phân biệt và 9 điểm này có hồnh độ khác nhau.

Vậy phương trình

f  f  x   0

có 9 nghiệm thực phân biệt.

Câu 16. [2D1-5.3-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

f  x  m  0
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
có 4 nghiệm phân
biệt.
m � 1; 2
m � 1; 2 
m � 1; 2 
m � 1; 2
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc ; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn C
f  x  m  0 � f  x  m
Ta có
(*). Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ
y  f  x
thị hàm số
cắt đồ thị hàm số y  m tại 4 điểm phân biệt.
Theo bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số
biệt khi và chỉ khi 1  m  2 .


y  f  x

cắt đồ thị hàm số y  m tại 4 điểm phân

f  x   4 x 4  8 x 2  1

Câu 17. [2D1-5.3-3] (Sở Hà Nam) Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
f  x  m
dương của m để phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt.
A.
3.

B. 0.
C. 2. D. 1.
Lời giải
Tác giả: Đặng Tiền Giang; Fb: tiengiang dang
Chọn D
TXĐ: D  �.

x0
�
�
��
x 1
3
�
f '  x   16 x  16 x  0
x  1
�

.


Ta có đồ thị hàm số

f  x   4 x 4  8 x 2  1
y

f(x)=-4x^4+8x^2-1
f(x)=3

5


x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5

f  x  m
Dựa vào đồ thị suy ra có một giá trị ngun dương của m để phương trình
có đúng
m

3
hai nghiệm phân biệt là
.
Câu 18. [2D1-5.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số
thị như hình dưới đây.


Số nghiệm phân biệt của phương trình
A. 9 .
B. 8 .

f  f  x  1  0
C. 10 .

y  f  x

liên tục trên � và có đồ

là
D. 7 .

Lời giải
Tác giả: Trần Phương; Fb: Trần Phương.
Chọn A


�f  x   a  2  a  1
�
�f  x   b  0  b  1
�
 1 � �f  x   c  1  c  2 

Xét

f  f  x   1  0 � f  f  x 


Xét

f  x   a  2  a  1

Xét

f  x   b  0  b  1

 2 .
: Dựa vào đồ thị ta thấy y  b cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

Xét

f  x   c  1  c  2

 3 .
: Dựa vào đồ thị ta thấy y  c cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

.

 1 .
: Dựa vào đồ thị ta thấy y  a cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

Các nghiệm ở trên khơng có nghiệm nào trùng nhau nên

 *

có 9 nghiệm phân biệt

�\  0

Câu 19. [2D1-5.3-3] (Hải Hậu Lần1) Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
và có bảng biến
3 f  3  2 x   10  0
thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình
là

A. 2.

B. 1.

C. 4.
Lời giải

D. 3.

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My
Chọn C
Đặt 3  2x  t phương trình đã cho trở thành

3 f  t   10  0 � f (t ) 

10
3 . (*)


Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểu của đồ thị hàm số

y

y  f (t )


và đường thẳng

10
3 song song hoặc trùng với trục hoành.

Từ bảng biến thiên đã cho ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số

y  f (t )

.

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm.
Do hàm số t  3  2 x nghịch biến trên � nên số nghiệm t của phương trình (*) bằng số nghiệm
x của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 20. [2D1-5.3-3] (CỤM TRẦN KIM HƯNG (m + 2)

(

HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho phương trình

)

2 + x - 2 2 - x + 3x + 4 4 - x 2 = m +12.

Số giá trị nguyên của tham số m để

phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt là
A. 3 .
B. 4 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh; Fb: Nguyễn Minh
Chọn A
Điều kiện 2 �x �2 .
2
2
Đặt t  2  x  2 2  x � 3 x  4 4  x  10  t .

Xét hàm
Ta có

g ( x)  2  x  2 2  x , x � 2; 2 

g�
( x) 

.

1
1

 0, x � 2; 2 
2 2 x
2 x
.


Bảng biến thiên

Ứng với mỗi giá trị

t � 4; 2

ta có 1 giá trị

x � 2; 2

2
Phương trình đã cho có dạng ( m  2)t  10  t  m  12

� t 2  2t  2  (t  1)m  1

.


 1 có 2 nghiệm t phân biệt thuộc đoạn
Yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để phương trình
 4; 2 .
+ Với t  1 ta thấy không tồn tại giá trị m .
+ Với t �1 phương trình (1) tương đương
Xét hàm

Ta có

f (t )  t  1 

f�

(t )  1 

m

t 2  2t  2
1
 t 1
t 1
t 1 .

1
, t � 4; 2 \  1
t 1
.

t  0 (tm)
�
1
�
f
(
t
)

0
�
�
t  2 (tm) .
(t  1) 2 ;
�


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Mà

m ��� m � 5;  4;  3



26
�m  2
5
.

. Vậy có 3 giá trị m nguyên thỏa đề bài.

Câu 21. [2D1-5.3-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Số giá trị nguyên của m thuộc
 2019; 2019  để phương trình 4 x2 2 x 1  m.2 x2 2 x 2  3m  2  0 có bốn nghiệm phân
khoảng
biệt là
A. 2017 .
B. 2016 .
C. 4035 .
D. 4037 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Việt Tiến, FB: Vũ Việt Tiến
Chọn B
Cách 1:
2

2 x 2 2 x 1
x 2  2 x 1
x2  2 x  2
�
2
 2m.2 x 2 x1  3m  2  0 .  1
4

m
.2

3
m

2

0
+) Ta có
x  2 x 1
 2 x 1 �20  1, x . Suy ra t �1 .
. Ta có t  2
 1 trở thành: t 2  2m.t  3m  2  0 .  2 
Phương trình
 1 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  2  có hai nghiệm
+) Phương trình
�
�
0
m2  3m  2  0
�

�
�
��
 t1  1  t2  1  0 � �t1t2   t1  t2   1  0
�
�
t1  t2  2
t1  t2  2
 3
�
�
phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1  t2  1
.

x
Đặt t  2

2

 2 x 1

2

2


t1  t2  2m
�
�
t1.t2  3m  2

�

Theo định lý Vi-et ta có
.
2
�
m  3m  2  0
��
m2
�
��
��
3m  2  2m  1  0 � ��
m 1 � m  2
�
�
m 1
 3 �2m  2
�
+) Khi đó
.
m � 2019; 2019 
m � 3;4;...;2018
Mà m nguyên và
nên ta có
.
2016
m
Vậy có
giá trị nguyên của thỏa mãn bài tốn.

Cách 2: Đặng Ân
x
+) Ta có 4

2

 2 x 1

 m.2 x

2

2 x 2

 3m  2  0 � 2



  2m.2 x 2 x1  3m  2  0
.

2 x 2 2 x 1

2

x 1
x  2 x 1
 2  �20  1, x . Suy ra t �1 .
. Ta có t  2
 1 trở thành: t 2  2m.t  3m  2  0 �  2t  3 .m  t 2  2

Phương trình
t2  2
3
2
�
m

t


2t  3  * .
2 khơng là nghiệm của  2  nên
Vì

x
Đặt t  2

2

y

Xét hàm số
2t 2  6t  4
y�

 2t  3 2

2

2


 2 x 1

 1

 2 .

t2  2
2t  3 trên khoảng  1; � .
t 1
�
y�
0��
t2
�

;
Ta có bảng biến thiên

.

�  *
có bốn nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 � m  2 .
m � 2019; 2019 
m � 3; 4;...; 2018
Mà m ngun và
nên ta có
.
2016

m
Vậy có
giá trị
thỏa mãn bài tốn.
Phương trình

 1

Câu 22. [2D1-5.3-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho
3
y  x  3 x 1
y

2
m

1
đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm phân biệt
0
�
m
�
1
m
�
1
0


m

1.
A.
.
B.
.
C.
D. m  0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp; Fb: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn C
Đồ thị hàm số y  x  3x  1 là đồ thị bên dưới
3


3
3
y  x  3 x 1
y

x

3
x

1
Từ đồ thị hàm số
suy ra đồ thị hàm số
là đồ thị bên dưới


3

y  x  3 x 1

và đồ thị hàm số y  2m  1
3
y  x  3 x 1
Ta có: đường thẳng y  2m  1 cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm phân biệt
� 1  2m  1  1 � 0  m  1
Dựa vào đồ thị hàm số

Câu 23. [2D1-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R, f (2)  3 và có
đồ thị như hình vẽ bên
2.
B. 18.
C. 4.
D. 19.
A.

Có bao nhiêu số nguyên
biệt.

m �(20; 20) để phương trình f  x  m   3 có 4 nghiệm thực phân
Lời giải

Chọn B

�x  m  1 �x  1  m

f  x  m  3 � �
��
.
x m2
x 2m
�
�
Ta có:
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì


1  m  0
�
��
� m  1 � m � 19,..., 2 .
2m0
�
Vậy có tất cả 18 số nguyên thoả mãn.

f  x   x3  3x 2
Câu 24. [2D1-5.3-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hàm số
. Tính tổng tất cả các
g  x  f  x   m
giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
A. 3.
B. 10.
C. 4.
D. 6.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Sỹ Quý; Fb: Nguyễn Sỹ Quý
Chọn D
Xét hàm số

f  x   x3  3x2

. Ta có đồ thị hàm số

Như ta đã biết: để vẽ đồ thị hàm số

y f  x

y  f  x

từ đồ thị

như sau:

y  f  x

ta thực hiện:

y  f  x
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị
gồm các điểm bên phải và các điểm nằm trên trục
Oy ; bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy .Ta được phần đồ thị P1
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị
Khi đó: Đồ thị

y f  x


P1

P
qua trục Oy ta được phần đồ thị 2

bao gồm đồ thị

P2

và

y  f  x   x 3 x
3

Từ đó ta có đồ thị hàm số

P1

.

2

như sau:

g  x  f  x   m
Để đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt thì phương trình
f  x   m
g  x  0

có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình
có 4 nghiệm phân biệt hay
3
2
y  f  x   x 3 x
đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm phân biệt.


y f  x
Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
4  m  0 � 0  m  4 .
m � 1; 2;3
Kết hợp yêu cầu đề bài m ��, do đó
.
Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 1  2  3  6 .
Câu 25. [2D1-5.3-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số
bảng biến thiên

y  f  x

. Hàm số f '( x ) có

�  �
x �� ; �
�2 2 �khi và chỉ khi
Bất phương trình f (sin x )  3x  m đúng với mọi

A.


m �f (1) 

3
2 .

B.

m  f (1) 

� � 3
3
m  f � �
�2 � 2 .
2 . C.
Lời giải

D.

m  f (1) 

3
2 .

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tú; Fb: Nguyễn Ngọc Tú
Chọn A
�  �
�  �
f  sin x   3 x  m, x �� ; �� m  g  x   3x  f  sin x  , x �� ; �
�2 2 �

�2 2 �.
Ta có

g�
 x   3  cos x. f �
 sin x 

.

�  �
x �� ; �
 x  ta có 0   f � sin x   3 .
�2 2 �nên 1  sin x  1 , kết hợp với BBT của f �
Do

Ta lại có 0  cos x �1 nên 0   cos x  3 .
Suy ra

3  cos x. f �
 sin x   0

�  �
� ; �
g  x
Do đó hàm
đồng biến trên khoảng �2 2 �

�
3
�

� g  x   g � � f  1 
2 .
�2 �
�  �
� m  g  x   3x  f  sin x  , x �� ; �
�2 2 �
۳ m

�
3
�
g � � f  1 
2 .
�2 �


 C  : y  x 3  6 x 2  9 x và đường
Câu 26. [2D1-5.3-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số
2
 C  có
thẳng d : y  2m  m . Tìm số giá trị của tham số thực m để đường thẳng d và đồ thị
hai điểm chung.
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Tác giả: Thi Hồng Hạnh; Fb: ThiHongHanh
Chọn C
Xét


f  x   x3  6 x 2  9 x

x 1
�
f�
x  0 � �

f�
 x   3x  12 x  9 ;
x  3.
�
2

Đồ thị hàm số

y  f  x

Đồ thị hàm số

y  f  x

gồm hai phần:

Phần 1. Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh.
Phần 2. Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

 C  có hai điểm chung khi
Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng d và đồ thị



m0
�
��
m  2 hoặc m 2  2m  4  0 (vơ nghiệm vì
2m  m 2  0 hoặc 2m  m 2  4
�
2
m 2  2m  4   m  1  3  0, m ��
)
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

y  f  x
Câu 27. [2D1-5.3-3] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số
liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ
dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f (sin x )  2sin x  m có
nghiệm thuộc khoảng (0;  ) . Tổng các phần tử của S bằng:

A. 10

B. 8 .

C. 6 .

D. 5 .

Lời giải.
Chọn C
x � 0;   � t � 0;1
Đặt t  sin x với

.
Xét phương trình f (t )  2t  m .
Để phương trình có nghiệm thì đồ thị hàm
 0;1 .
một điểm có hồnh độ t thuộc

y  f  t

cắt đồ thị hàm số y  2t  m tại ít nhất

Từ đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số y  2t  m nằm ở phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm
số y  2t  1 và y  2t  3 .
Từ đó suy ra 3 �m  1 � m  3; 2; 1;0 .
Vậy tổng các phần tử bằng 6 .
f x
Câu 28. [2D1-5.3-3] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hàm số   xác định và liên tục trên � và
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình





2. f 3  3 9 x 2  30 x  21  m  2019

có nghiệm.


A. 15 .

C. 10 .

D. 13 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Hưng ; Fb: Nguyễn Hưng

B. 14 .

Chọn D
�7�
x ��
1;
�3�
�.
Điều kiện:

Xét phương trình:
Ta có :





2. f 3  3 9 x 2  30 x  21  m  2019  1

2
0 �4��
5
 3x 
9 x 2  30 x  21  4   3 x  5  �

2


.

2

2
t � 3;3
Đặt t  3  3 9 x  30 x  21 ,
.

2. f  t   m  2019 � f  t  

 1
Khi đó, phương trình

3 3 3 4

 3x

5

2

3

.

m  2019
 2
2

.

trở thành:
�7�
x ��
1;
1
�3�
�� phương trình  2  có nghiệm t � 3;3 .
Phương trình   có nghiệm
y  f  x
2
t � 3;3
Dựa vào đồ thị của hàm số
, phương trình   có nghiệm
khi và chỉ khi
m  2019
5���
�

1 2009 m 2021
2
.
m �� � m � 2009, 2010,..., 2021
Do
.
2021

2009
 1  13 .

m
Vậy số giá trị nguyên của
là:
Câu 29. [2D1-5.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ Q ĐƠN QUẢNG
4
2
 a, b �� có đồ thị hàm số f '( x) như hình vẽ bên dưới.
NGÃI) Cho hàm số f ( x)  ax  bx
1
Biết rằng diện tích phần tơ đậm bằng 8 . Phương trình 8 f ( x )  1  0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .
Tác giả: Tú Nguyễn ; Fb: Tú Nguyễn

Chọn D


0

S
Diện tích phần tơ đậm là

1


�f '( x)dx  8

1

0

�

f ( x) 1 

1
1
f (0)  f (1) 
8 �
8.

4
2
Mà f (0)  a.0  b.0  0 .

1
1
f (1)   � f (1)  f (1)  
8
8 (do f ( x) là hàm số chẵn).
Do đó
Ta có bảng biến thiên

Ta có 8 f ( x)  1  0


� f ( x)  

1
8 (*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số
1
y
8.

y  f  x

và đường thẳng

 x  1 �x  1 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình 8 f ( x)  1  0 có 2 nghiệm
Câu 30. [2D1-5.3-3]

 2x

2

 1

A. 0 .

(THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Phương
11
1

x 1 

 11
3x  4 2  x
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

trình

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Đức Thắng ; Fb: thangnd275
Chọn C

Điều kiện:
Ta có:

 2x

2

Xét hàm số

�x  1 �0
� 3
�
�x �۹
� 4
�

�x �2

�x �1
� 3
�
�x
� 4
�
�x �2

 1 x  1 

11
1
11
1

 11 �  2 x 2  1 x  1 

 11  0
3x  4 2  x
3x  4 2  x
(*)

f ( x)   2 x 2  1 x  1 

3 �
11
1
 1;  � \ �

� ; 2�

 11
�4
3x  4 2  x
trên

�3
1;
�
f  x
Nhận thấy, hàm số
liên tục trên các khoảng � 4

��3 �
,� ; 2�
,  2; �
�
��4 �


Ta có,
�
11
1
1
33
1
� 2
�

2
f�
( x)  �
2
x

1
x

1



11


�

� 4 x x  1   2 x  1
2
2
3x  4 2  x
2 x  1  3x  4 
�
 2  x



10 x 2  8 x  1
33

1


0
2
2
2 x 1
 3x  4   2  x 

Suy ra, hàm số

f  x

đồng biến trên

�3 �
x � 1;  � \ � ; 2 �
�4
với
3
�4

�
 1;  � \ �
� ; 2�

.

Bảng biến thiên


Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

f  x

và trục hoành.

Từ bảng biến thiên ta suy ra: Số nghiệm của phương trình (*) bằng 2.

Câu 31. [2D1-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên � và có đồ thị như hình
vẽ bên.

f  xm  m
Số giá trị ngun của tham số m để phương trình
có đúng 6 nghiệm thực phân
biệt là
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: : Lưu Liên ; Fb: : Lưu Liên
Chọn B
t  x  m  t �0  � f (t )  m (*)
Đặt
.
Với t  0 � x   m; với t  0 � x   m �t.
Vậy phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
� m � 1;0;2 .
nghiệm dương phân biệt � 1  m  3 , m �Z


(*) có đúng 3

y  f  x
Câu 32. [2D1-5.3-3] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho hàm số
liên tục trên R có đồ thị như
f f  x   1  0
hình bên. Phương trình 
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?


A. 6.

B. 5.

C. 7.

D. 4.

Lời giải
Tác giả:Vũ Nam Sơn; Fb:Vũ Nam Sơn
Chọn C

x  a � 2; 1
�
�
x  b � 1;0 
�
�
x  c � 0;2 
y  f  x

f  x  0 � �
Từ đồ thị hàm số
ta có:

Do đó

�f  x   1  a  1
�
� �f  x   1  b  2 
�f x  1  c 3
 
f  f  x   1  0
� 

 1 � f  x   a  1 � 1; 0 
� pt f  x   a  1 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  a  1  b  x2  0  x3  c

 2  � f  x   b  1� 0;1 � pt f  x   b  1 có 3 nghiệm

x4 , x5 , x6

thỏa mãn

x1  a  x4  1  x5  b  x2  0  x3  c  x6

 3 � f  x   c  1� 1;3 � pt f  x   c  1 có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình

f  f  x   1  0


x7  x6

có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 33. [2D1-5.3-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hàm số

�f  x  �
� 3 f  x   1  0 là:
của phương trình �
A. 1.
B. 6.
C. 5.
Lời giải

y  f  x   x3  3x  1

3

Chọn D
Đồ thị hàm số

y  f  x   x3  3x  1

có dạng:

D. 7.

. Số nghiệm