Bài 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
1
A. lim k  0 với k là số nguyên dương.
n
B. Nếu q  1 thì lim q n  0 .

Câu 126:

C. Nếu lim un  a và lim vn  � thì lim
D. Nếu lim un  a và lim vn  b thì lim
Câu 127:

un
0.
vn

un a
 .
vn b

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu limun  a và limvn  bthì lim un  vn   a  b .
B. Nếu limun  a và limvn  bthì lim un  vn   a  b .

C. Nếu limun  �và limvn  �thì lim un  vn   0 .
D. Nếu limun  an và 1 a  0 thì limun  0 .

2n  5
bằng:

n3
A. 2 .
B. 2 .
�n  1 �
Câu 129: lim � �là:
�n  1 �
A. 1 .
B. 0 .
Câu 128:

Câu 130:

Tính lim

Kết quả của lim

A. 0 .
Câu 131:

D. �.

2n  3n  1
bằng bao nhiêu?
n 2  4n  2
B. 1 .
C. �.

B.

Giới hạn lim


A. 3 .
Câu 133:

C. 2 .

2

D. 2 .

3

3
A.  .
2
Câu 132:

D. 1 .

1  n  3n
là:
2n3  5n  2
2

lim

C. 1 .

1
.

2

C. 0 .

n3  12n  6
bằng bao nhiêu?
2 n 3  5n
1
B. 12 .
C. .
5

D.

1
.
5

D.

1
.
2

D.

1
.
2


2n 2  n  8
Tính lim
 2n  3   2 n  3 

A. 1 .
� n 1 �
lim �
� n 1 �
�là:
�
�
A. 1 .

1
.
4

B. 2 .

C.

B. 0 .

C. 2 .

D. �.

C. 0 .

D. 3 .


Câu 134:

Câu 135:

n  2n  1  4 n  1
là:
n5
B. �.
2

lim

A. 5 .

2

Trang
1/10


Câu 136:
A.

Tính lim

 2n  3   3  4 n  .
3n 2  2n  10

8

.
3

B. 2 .

C.

8
.
3

2n  1
4n 2  2n  1
10n3  n 2  1
; B
;
.
C

n3
2n 2  3
5n3  2n
A. Chỉ B  C .
B. Chỉ A  C .
C. A  B  C .

Câu 137:

Câu 138:


D.

2
.
3

Cho A 

Giá trị của giới hạn lim

A. �.

D. Chỉ A  B .

n  6n  1
là:
4 n 5  2n  1
5

2

B. 1 .

C.

1
.
4

D. 0 .


3
an3  2017
Tìm tất cả các giá trị của a sao cho lim
 1.
3n  1
A. a  27 .
B. a  1 .
C. a  3 .
D. Khơng tồn tại a
.

Câu 139:

Câu 140:
A.
Câu 141:

Tìm lim

3
.
2
Tìm lim

A. 4 .
Câu 142:
A.
Câu 143:


Tìm lim

3n 2  n  1
ta được:
2n3  1
1
B.  .
4
n4  n2  5
ta được:
2n 3  7 n
1
B. .
2

n 2  4n  4n 2  1
3n 2  1  n

3
.
3 1
Tìm lim

B.

A.
Câu 145:

lim


A.

C. �.

D. �.

ta được:

1
.
3 1

B. 7 .

C.

1
.
3

D.

4
.
3

C.

3
.

5

D.

7
.
5

3n  1
là:
2n  2.3n  1

1
.
2

1
3
C.  .
D. .
2
2
n
n
4  a.5
 1.
Tìm tất cả các giá trị của a sao cho lim
 2a  1 .5n  2n
B. 1 .


A. a  1 .
.
Câu 146:

D. 0 .

4.3n  7 n 1
ta được:
2.5n  7 n

A. 1 .
Câu 144:

C. �.

Cho dãy số
7
.
4

B. a  1 .

 un 

C. a  1 .

7 n 1  3n  2
với un  n
. Khi đó lim un bằng:
4  2.7 n

7
1
B.  .
C.  .
2
2

D. Không tồn tại a

D.

7
.
2

Trang
2/10


Câu 147:

Kết quả của lim

A. 0 .
Câu 148:
A.
Câu 149:

Giá trị giới hạn của dãy số u  n  


3
.
2

Tìm lim

A. 1 .
Câu 151:
A.

B. 1 .

C. 3 .

3n  1
bằng
2n  2.3n  1
1
C. .
2

Tìm lim

2
.
3

B. 12 .

C.


n 2  3n  1  n
ta được:
n 1
1
B. .
2

Tìm lim

A. 4 .
Câu 155:

1
.
5

3
D.  .
5

C. �.

D. 0 .

B. 0 .

C. �.

D. 3 .


C. 0 .

D. �.

C. 2 .

D.

C. 1 .

D. �.

Tìm lim

A. �.
Câu 154:

1
D.  .
2

2n3  n 2  3n  1
ta được:
3n  2

3n 2  5n  1
ta được:
2n 2  n  3
3

3
A. .
B.  .
2
2
2n  1
Câu 153: Tìm lim 3
ta được:
n  4n 2  3
Câu 152:

D. 2 .

2 n  3.4 n
Giới hạn lim n
bằng bao nhiêu?
4  5.3n

A. 3 .
Câu 150:

4  2.2n  6.7 n
là
8n  3.7n
1
B. .
5

Tìm lim


A. 3 .

B. 0 .

1
.
3

n4
ta được:
(n  1)(2  n)( n 2  1)
B.

1
.
2

3n 4  2n 2  3n  1
n4  n2  1
B. �.

ta được:

C. 2 .
n  3n3
Câu 156: Giá trị giới hạn của hàm số lim 3
bằng:
2 n  5n  2
3
3

1
A.  .
B. .
C. .
2
2
2
3n  1
Câu 157: Tìm lim
ta được:
3n 2  2n  2

D. 1 .

2

A.
Câu 158:

3.
Tìm lim

B. 1 .

C. 3 .

D.

1
.

5

D. 0 .

1  2  3  ...  n
ta được:
2n 2  n  1
Trang
3/10


A. 0 .

B.

1
.
4

C.

1
.
2

D. �.

1  2  3  ...  n
ta được:
2n 2  n  1

1
1
A. 0 .
B. .
C. .
4
2
1  2  3  ....  n �
�
Câu 160: lim �
�là:
n2  2
�
�
1
A. 1 .
B. .
C. 2 .
2
1  2  3  ...  n
Câu 161: Cho dãy số  un  với un 
. Khi đó:
n2  1
Câu 159:

Tìm lim

B. lim un 

A. Khơng tồn tại lim un .

C. lim un 
Câu 162:
A.
Câu 163:

1
.
2

A.
Câu 165:
A.
Câu 166:

Tính giới hạn lim

2
.
3

B. 3.

Câu 167:



Tính lim

A. �.
Câu 168:


2

1
.
1 2

 ... 

 2

D. 0 .
n

C. lim un 

2
1 2

.

D. lim un 

D.

2
.
1 2

1 b

.
1 a

D. 0 .



B. �.





C. 0 .

D. 6 .

C. 3.

D. -3.

C. 2.

D. -2.

n 2  3n  10  n bằng:
B. �.






2
Tính lim  n  2n  10  n bằng:

Tìm limn

A. �.
Câu 170:

B. lim un 

 2

1
.
2

3n  2  3n  2 ta được:

A. �.
Câu 169:

C.

�
1  a  a 2  ....  a n �
lim n �
a  1 và b  1 là:
2

n �với
1

b

b

....

b
�
�
1 b
1 b
1 b
.
B.
.
C.
.
1 a
1 a
1 a
�4 cos n  3sin n �
lim �
�là:
n 1
�
�
3

B. .
C. 3 .
4.
4

A. 9 .

1
.
4

1  2  23  ...  2n
52 n3  1

Cho dãy số (un) với un  2 

Tìm lim

D. 0 .

D. lim un  0 .

A. lim un  �.
Câu 164:

D. �.

Tính lim




B. �.



n  3  n  2 ta được:

B. 5 .



n 2  3n  n  2

C.



3
.
2

D. 0 .

Trang
4/10


B. �.

A. 2 .

Câu 171:

Tính lim



n 2  2n  n  3

A. 1 .
Câu 172:

Giới hạn lim



B. �.

A.
Câu 174:



B. 0.

lim n



D. 2 .


C. 1 .

D. 2 .

4n 2  n  2n bằng bao nhiêu?

A. 2.
Câu 173:



7
C.  .
2

C.



1
.
4

D. �

n 2  1  n 2  2 là:

3
.
2


B. 0 .

C. 2 .

D. 1 .

Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số f  x  xác định trên  a; b  . Hàm số f  x  liên tục tại x0 nếu:

f  x   lim f  x  .
A. xlim
� x0
x � x0

f  x   f  x0  .
B. xlim
� x0

f  x   f  x0  .
C. xlim
� x0

f  x   f  x0  .
D. x0 � a; b  và xlim
� x0

Câu 175:

lim cos x là:


x ��

A. 1 .
B. 1 .
C. Không có giới hạn.
D. 0 .
Câu 176: Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để khử dạng giới hạn vơ
định của phân thức:
A. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.
B. Nhân biểu thức liên hợp ở mẫu.
C. Chia cả tử và mẫu cho biến số có bậc thấp nhất.
D. Sử dụng định nghĩa.
Câu 177:

x k là
Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn xlim
��
D. �.

B. 1 .
C. 0 .
A. �.
Câu 178: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. xlim
� xo

3

B. xlim

�x

3

f ( x)  g ( x )  3 lim f ( x)  3 lim g ( x) .
x � xo

x � xo

f ( x )  g ( x )  lim [ 3 f ( x )  3 f ( x )] .
x � xo

o

3 f ( x)  g ( x) 
3 lim [f ( x )  g ( x )] .
C. xlim
� xo
x � xo

D. xlim
�x

o

Câu 179:

3

f ( x )  g ( x )  lim

x � xo

3

f ( x )  lim 3 g ( x ) .
x � xo

1
(với k nguyên dương) là:
x �� x k
B. �.
C. x .
D. �.

Kết quả của giới hạn lim

A. 0 .
Câu 180:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  lim g ( x ) .
f ( x )  g ( x )  lim [f ( x )  g ( x )] .
A. xlim
B. xlim
� xo
x � xo
x � xo
� xo
x � xo
f ( x )  g ( x )  lim f ( x )  lim g ( x ) .

C. xlim
� xo
x � xo
x � xo

Câu 181:

f ( x )  g ( x )  lim [f ( x )  g ( x )] .
D. xlim
�x
x�x
o

o

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trang
5/10


xk  �.
A. xlim
�

Câu 182:

xk  �.
B. xlim
�






B. 2 .
3x 2  7 x
Câu 183: Tính giới hạn lim
x �3
2x  3
3
A.
.
B. 2 .
2
x 1
Câu 184: Tính lim 2
:
x �1 x  4 x  3
A. 1 .

B. 2 .

Giá trị giới hạn của hàm số lim

x �1

B. 1 .

Tính lim
x �0


B. 2 .

Tính lim
x �1

Câu 192:

D. 8 .

x 3
bằng:
x3  2
2

C. 2 .

3
D.  .
2

C. 2 .

D. 3 .

C.

1
.
2


D.

3
7

C.

1
.
4

D.

1
.
2

C.

1
.
2

D.

1
.
2


x 1
x  2x  3
2

B. 2 .

2x  2
là
x �1 x 2  1
B. 1 .

x2  3x  4
bằng:
x �4
x2  4x

Giá trị giới hạn của hàm số lim

5
.
4

5
B.  .
4
x 2  2 x  15
x �5
2 x  10
B. 4 .


C. 1 .

D. 1 .

C. �.

D. 4 .

Tính giới hạn lim

A. 1 .
Câu 193:

D. 3 .

Kết quả của lim

A. 2 .

A.

1
.
2

2x 1  x
:
2x  2  2

A. 1 .


Câu 191:

D. + �.

2

A. 4 .

Câu 190:

C. 6 .

C. 6 .

x  x3
Câu 187: Tính lim
.
x �1 (2 x  1)( x 4  3)
A. 0 .
B. 1 .

Câu 189:

D. 8 .

C.

B. 6 .


A. 2 .

Câu 188:

C. 14 .

x 2  5 x là
Kết quả của lim
x �2

A. 8 .
Câu 186:

1
 0.
x� xk

D. lim

6 x 2  2 x  8 là:
Giá trị của giới hạn lim
x �2

A. 12 .

Câu 185:

1
 0.
x� xk


C. lim

7 x  2 x  12
là:
x � 1
x 1
B. 2 .
C. 0 .

Giá trị của giới hạn lim

A. 1 .

2

D. 7 .
Trang
6/10


Câu 194:

Tính lim
x �3

A. 6 .
Câu 195:

x2  9

bằng:
x 3
B. 3 .

lim
x �1

lim
x �1

A. m .
Câu 197:

Giới hạn lim
x �1

B. 24 .

D. 2 .

x  27
bằng:
x3
C. 15 .

D. 27 .

3  2x  7
bằng
x2 1

1
C. .
6

1
D.  .
6

1 x 1
bằng
x
C. 0 .

D. �.

3

Giá trị giới hạn của hàm số lim
x �1

B. 6 .

Giá trị giới hạn của hàm số lim
x �0

B. 1 .

Giới hạn lim
x �2


Tính lim
x �3

4x2  9  5
bằng bao nhiêu?
x2
2
7
B. .
C. .
5
4

B. 1 .

Tính lim

x � 2

1

D.

3
.
7

x  6  2x  3
:
4 x  3  3x

C. 6 .

2
D.  .
3

x 2
x2  2

1
.
C. 1 .
2 2
2 2
Câu 205: Hàm nào trong các hàm sau có giới hạn tại điểm.
1
1
1
A. f  x  
.
B. f  x  
. C. f  x  
.
x2
x2
x2

A.

D. n .


D. 64 .

B. 9 .

A. 1 .
Câu 204:

6
.
7

64  x3
bằng:
x �4 4  x
C. 48 .

x �3

A. 0 .
Câu 203:

C. 0 .

Giá trị giới hạn của hàm số lim

A. 1 .
Câu 202:

C. m  n .


D.

Giá trị giới hạn của hàm số lim

A. 6 .
Câu 201:

B. 1 .

B. 2 .

A. 3 .
Câu 200:

C.

x3  x 2  7 x  5
bằng bao nhiêu?
x 1

A. 16 .
Câu 199:

7
.
6

B. �.


xm  xn
bằng:
x 1

A. 1 .
Câu 198:

D. �.

x 1
bằng:
x6  1

A. 1 .
Câu 196:

C. 3 .

7

B.

Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại:
x 1
x 1
x 1
A. xlim
.
B. lim
.

C. lim
.
�1  x  2
x �1
x
�
1
x2
2 x

D. 0 .

D. f  x  

1
.
2 x

Câu 206:

D. xlim
�1

x 1
.
2 x
Trang
7/10



� 1�
x�
1  �.
Tính lim
x �0
� x�
A. 1 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 2 .
Câu 208: Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1?

Câu 207:

x2  4x  3
x 2  3x  2
.
B. lim
.
x �1
x �1
x 1
x 1
1  cos 4 x
Câu 209: Tính lim
.
x �0 3 x.sin 2 x
4
A. .
B. 2 .

3
x.sin 2 x
Câu 210: Tính lim
.
x �0 1  cos 2 x
A. lim

A. 3 .
Câu 211:

B. 8 .

Giá trị giới hạn của hàm số lim
x �0

A. 1 .

x 2  3x  2
.
x �1
1 x

D. lim

C.

1
.
3


D.

C.

3
.
2

D. 6 .

C. lim

x x
bằng:
x x
C. 2 .

B. 0 .
2x  3
f  x  bằng:
Câu 212: Cho hàm số f  x  
, khi đó xlim
�3
x 3
2
A.  .
B. �.
C. �.
3


x 2  3x  2
.
x �1
x 1

2
.
3

D. �.

D. 2 .

� x 2  1 khi x �1
f ( x) bằng
f
x

Câu 213: Cho hàm số   �
. Khi đó lim
x �1
x

1
khi
x

1
�
A. 2 .

B. 0 .
C. 1 .
D. 2 .
1
Câu 214: Cho hàm số f  x  
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2 x
A. Hàm số chỉ có giới hạn phải tại điểm x  2 .
B. Hàm số có giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau.
C. Hàm số có giới hạn tại điểm x  2 .
D. Hàm số chỉ có giới hạn trái tại điểm x  2 ..
Câu 215:

Xác định lim 
x �( 1)

x 2  3x  2
x 1

A. �.
Câu 216:

B. 1 .
3x  2
Kết quả của x �lim
là

( 1)
x 1
B. �.


A. 1 .
Câu 217:

C. 1 .

D. �.

C. 1 .

D. �.

�x 2  1 khi x  0
Cho hàm số: f  x   �
trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
khi x �0
�x

sai?

f  x  0 .
A. lim
x �0

f  x  1.
B. lim
x �0

C. f  x   0 .


D. f liên tục tại x0  0 .

Câu 218:

Giới hạn lim
x �1

2x 1
bằng bao nhiêu?
x 1
Trang
8/10


A.

1
.
2

B. �.

1�1
�
 1�
Tính giới hạn lim �
x �0 x �
x 1 �
A. +∞.
B. -∞.


2
.
7

C. �.

D.

C. 0 .

D. 2 .

C. �.

D. 2 .

Câu 219:

Câu 220:
A.
Câu 221:

x �1

1
.
2

B. �.


B. 0 .

Giá trị giới hạn của hàm
B. �.

A. �.
Câu 223:

Giá trị giới hạn của hàm
B. �.

A. 1 .
Câu 224:

Tính lim

x ��

19  3x
bằng:
x9

A. 19 .
Câu 225:

B. 3 .

A.


D. 1 .

D. �.

19
.
9

C. 3 .

D.

C. 3 .

D. 

21  3 x
bằng:
x �� 5  x
B. 3 .

21
.
5

2 x 3  3x  5
là
x �� x 2  2 x  x 5

Giá trị của giới hạn lim


1
.
2

C. �.

B. �.

x4  4 x2  1
Câu 227: lim
bằng
x ��
1  x4
A. �.
B. 1 .
Câu 228:

D. �.

Tính lim

A. 21 .
Câu 226:

x2 x
bằng
x �0 x  2 x
C. 2 .
x2

số lim
bằng
x �2 x  2
C. 1 .
2 x  2
số lim
bằng
x �1
x 1
C. 2 .

Giá trị giới hạn của hàm số lim

A. 1 .
Câu 222:

5 x  7
là:
x 1

Giá trị của giới hạn lim

Giá trị giới hạn của hàm số xlim
��
B. 1 .

A. 1 .

D. 0 .


C. 4 .
x 1
bằng
x2  1
C. 0 .

D. 1.

D. �.

x x
.
x x2
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 230: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không phải là giới hạn vơ định:

Câu 229:

Tính lim

x ��

A. lim
x �0

Câu 231:


2

x3  1  1
.
x2  x

B. lim
x 4

x 2
.
2
x  4x

C. lim

x � �

x 6  3x
.
2 x2  1

2 x 5  x 4  3
bằng
x ��
3x 2  7
C. 0 .

D. lim
x �2


x3  8
.
x2  4

Giá trị giới hạn của hàm số lim

A. �.

B. 2 .

D. �.
Trang
9/10


Câu 232:

A. 3 .
Câu 233:

A.
Câu 235:

B. 3 .



Tính xlim
� �


B. 1 .

1
.
2



B. �.



D. 2 .

5
D.  .
2

Tính giới hạn lim  x  5
x ��

D. 2 .



7
.
2


x 2  3x  3  x 2  8 x



7
D.  .
2
bằng

C. �.

D. �.

C. �.

D. 2 .

x
x 1
3

B. 1 .

  x  9 x  5 bằng:
Tính xlim
� �
4

1
.

2

x 2  7 x  1  x 2  3 x  2 bằng

C.



2

B. 2 .
C. �.
Bài 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

D. �.

Hàm số f  x    x 2  5 x  6 liên tục trên:

A.  2;3 .
Câu 240:

C.

Giá trị giới hạn của hàm số xlim
��

A. 2 .
Câu 239:




Giá trị giới hạn của hàm số xlim
��

A. 0 .
Câu 238:

x2  2x  x

C. �.

B. 2 .

A. 5 .
Câu 237:



x2  x  4  x2 .

A. �.
Câu 236:

D. 0 .

Giới hạn của hàm số sau đây bằng bao nhiêu: xlim
��

A. 0 .
Câu 234:


3x 5  7 x3  11
bằng
x �� x 5  x 4  3 x
C. �.

Giá trị giới hạn của hàm số lim

B. [1; 6] .

Hàm số y  f  x   x  1 

A. Liên tục trên (�; 2] .
C. Liên tục trên �\{2} .

D.  2;3 .

C. (1; 6) .

1
x2

B. Liên tục trên �.
D. Liên tục trên [2; �)

�x 2  1 khi x �1
Câu 241: Hàm số f  x   �
liên tục tại điểm x0  1 khi m nhận giá trị
�x  m khi x  1
A. m bất kì.

B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  2 .
Câu 242:

� x2  1 1
�
,
Giá trị của tham số m của hàm số: f  x   � x
�
2m  2,
�

tại x  0
A. 1 .

B. 1 .

khi x �0

liên tục

khi x  0
D. 2 .

C. 2 .

�2 x  x  1
,
�

Câu 243: Giá trị của tham số m của hàm số f  x   � x  1
�
m,
�
x 1
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  3 .
2

khi x �1

liên tục tại

khi x  1
D. m  4 .

Trang
10/10


�x 2  2 x  a khi x �2
Câu 244: Cho hàm số f  x   �
. Xác định a để f  x  liên tục trên �.
3
khi
x

2
�

A. a  3 .
B. a  5 .
C. a  5 .
D. a  3 .
Câu 245:

�x 2  x  6
khi x �3
�
Tìm m để hàm số f  x   � x  3
liên tục tại x0  3
�
m 1
khi x  3
�

A. m  0 .
Câu 246:

B. m  6 .

C. m  4 .

D. m  2 .

� x8 3
khi x �1
�
Cho hàm số f  x   � 1  x
. Xác định tất cả các giá trị của

�
a 1
khi x  1
�

tham số a để f  x  liên tục trên  8; � .
A. a .

B. a 

7
.
6

C. a 

1
.
6

D. không tồn tại a

.
� x4
khi x �4
�
Câu 247: Tìm m để hàm số f  x   �3 x  2
liên tục tại x0  4 .
�
m 1

khi x  4
�
7
4
1
A. m  .
B. m  .
C. m  .
D. m  1 .
3
3
3



Câu 248:



�x 2  5 x  6
khi x �2
�
Cho hàm số f  x   � x  2
. Xác định tất cả các giá trị của
2
�
3x  a
khi x  2
�


tham số a để f  x  liên tục trên �.
A. a .
.

B. a  1 .

C. a  13 .

�x 2  3x  2
�
Câu 249: Giá trị của tham số m của hàm số: f  x   � x  1
�m
�
x 1
A. 1 .
B. 1 .
C. 2 .

D. không tồn tại a
x �1

liên tục tại

x 1

D. 2 .
Câu 250: Để phương trình x  3mx  m  0 có ít nhất một nghiệm trong  0;1 thì giá trị
của m là
1
1

1
A. m  0 hoặc m  .
B. 0  m  .
C. m  . D.
2
2
2
m  0.
3

Trang
11/10