Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

ĐỀ THI HSG HÀ TĨNH K10 -K11
NĂM HỌC 2018 - 2019
MƠN: TỐN
Thời gian: 90 phút

ĐỀ BÀI
Câu 1 ( 5 điểm)
a. Giải bất phương trình

(

)

(

)

3x 2 x − x 2 + 3 ≥ 2 1 − x4 .

(

)(

)

 x2 + 1 + x y 2 + 1 − y = 1



b. Giải hệ phương trình  3 x + 2 y − 2 + x x − 2 y + 6 = 10

Câu 2 ( 5 điểm )

a . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):

y = x 2 − 4 x + 3 , điểm I(1, 4) và đường thẳng

d: y = mx + m + 8 . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác IAB cân tại I
b. Một người nơng dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sơng. Người đó muốn làm
một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để
trồng rau và nuôi gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng thì có chi phí ngun vật liệu
là 80 ngàn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí ngun vật liệu là 40 ngàn đồng
một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nơng dân rào được với chi phí vật
liệu là 20 triệu đồng.
Câu 3. (6.0 điểm)
a. Cho tam giác
bằng

ABC

có chu vi bằng 20, góc

· = 600 , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
BAC

3 . Gọi A1 , B1 ,C1 lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B,C lên BC , AC ,AB và M


điểm trong tam giác

ABC

tròn ngoại tiếp tam giác
b. Trong mặt phẳng tọa độ

sao cho

·ABM = BCM
·
·
= CAM
=ϕ

. Tính

cot ϕ

là

và bán kính đường

A1 B1 C1

Oxy , cho tam giác ABC

vuông tại

A , đỉnh C ( − 4;1) , phân giác trong


A có phương trình x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác
ABC bằng 36 và đỉnh A có hồnh độ dương.

góc

Câu 4. ( 2.0 điểm )

Cho phương trình ( x

2

+ ax + 1) + a ( x 2 + ax + 1) + 1 = 0,
2

trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng

với

a

là tham số. Biết rằng phương

a > 2.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

Câu 5. ( 2.0 điểm )
Cho các số thực không âm

x, y , z

thỏa mãn

x3 + y 3 + z 3 = 3 .

xyz + ( x + y + z )
1
P=
−
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy + yz + zx
xy + yz + zx + 1
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1


ĐÁP ÁN VÀ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ THPTQG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2 NĂM 2018 - 2019

Câu 1a. Giải bất phương trình

)

(

3x 2 x − x 2 + 3 ≥ 2 ( 1 − x4 ) .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hường; Fb: Nguyen Huong

(

)

(

3x 2 x − x 2 + 3 ≥ 2 1 − x 4

)

⇔ 6 x 2 − 3x x 2 + 3 ≥ 2 − 2 x 4

(

)


⇔ 2 x 2 x 2 + 3 − 3x x2 + 3 − 2 ≥ 0

)(

(

)

⇔ x x2 + 3 − 2 2 x x2 + 3 + 1 ≥ 0
 x x2 + 3 ≥ 2

⇔
1
2
 x x + 3 ≤ − 2
Giải

( 1)
( 2)

( 1) :
x > 0

x > 0
⇔
 4
2
2
2
 x x + 3 ≥ 4  x + 3 x − 4 ≥ 0

 x > 0
⇔ 2
⇔ x ≥1
2
 x − 1 x + 4 ≥ 0

( 1) ⇔ 

(

Giải

(

)

)(

)

( 2) :

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1


x < 0
x < 0


( 2) ⇔  2 2
1⇔ 4
1
2
 x x + 3 ≥ 4
 x + 3 x − 4 ≥ 0
x < 0

⇔  2 −3 + 10  2 3 + 10 
÷
 x −
÷ x + 2 ÷
÷≥ 0
2




(

⇔ x≤−

)

−3 + 10

2


− 3 + 10 
 ∪ [ 1; +∞ )
S =  −∞ ; −

2
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm



)(

(

)

 x2 + 1 + x y 2 + 1 − y = 1


Câu 1b: Giải hệ phương trình  3 x + 2 y − 2 + x x − 2 y + 6 = 10

Người làm: Nguyễn Quốc Lân ()
Lời Giải

)(

(


)

 x2 + 1 + x y 2 + 1 − y = 1
(1)


Xét hệ phương trình  3 x + 2 y − 2 + x x − 2 y + 6 = 10 (2) . Điều kiện

y2 + 1 − y > 0 ∀ y ∈ ¡

Nhận xét (1)

⇔ x +1+ x =
2

Vậy (1)

⇔
⇔

(

)

1
y2 + 1 − y

x + 1 − y + 1 + ( x − y) = 0
2


2

 x + 2y − 2 ≥ 0

 x − 2y + 6 ≥ 0 .

.

=

(

(
⇔

y2 + 1 + y
y2 + 1 − y

)(

y2 + 1 + y
= 2
= y2 + 1 + y
2
y + 1− y
y2 + 1 + y

x2 + 1 − y 2 + 1

)(


)

x2 + 1 + y 2 + 1

x2 + 1 + y 2 + 1

) + ( x − y) = 0



x+ y
⇔
x
−
y
+
1

=0
+ ( x − y) = 0
(
) 2
2
2
2
 x + 1 + y + 1 
x +1+ y +1
.


x2 − y2

x2 + 1 + y 2 + 1 > x2 + y 2 = x + y ≥ − x − y ⇒ 1 +
Chú ý
Khi đó

( 2) ⇔ 3

(

x+ y
x +1+ y +1
2

)

2

>0

(

x= y.

, vậy

)

3x − 2 + x 6 − x = 10 ⇔ 3 3 x − 2 − 2 + ( x − 2 ) 6 − x + 2 6 − x − 2 = 0


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

⇔

3 ( 3x − 6)
3x − 2 + 2

+ ( x − 2) 6 − x +

2 ( 2 − x)
6− x + 2

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

=0

9
2


⇔ ( x − 2) 
+ 6− x −
÷= 0
6− x +2
 3x − 2 + 2

Điều kiện:

( 3)

.

9
3
2
2
≥
≤ =1
3x − 2 + 2 2 . Mặt khác 6 − x + 2 2 .

x ≤ 6 ⇒ 3x − 2 + 2 ≤ 6 ⇒

9
3
2
9
2
3 
+ 6− x ≥ >1≥
⇒
+ 6− x −
> 0 ∀ x ∈  ; 6
Do đó 3 x − 2 + 2
2
3x − 2 + 2
6− x + 2

6−x +2
2  .
Từ đó:

( 3) ⇔

x = 2 ⇒ x = y = 2 : thỏa điều kiện. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2 .

()

Nhận xét: Có thể xét hàm f t = t + 1 + t và chứng minh
nhưng cách này vượt quá kiến thức lớp 10.
2

Câu 2a . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):

f ' ( t ) > 0 ∀ t ∈ R , từ đó ⇒ x = y ,

y = x 2 − 4 x + 3 , điểm I(1, 4) và đường thẳng d:

y = mx + m + 8 . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác IAB cân tại I
Lời giải
Người giải: Nguyễn Thị Thảo ; Fb: Cỏ Vơ Ưu
Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là:

x 2 − 4 x + 3 = mx + m + 8
⇔ x 2 − (m + 4) x − m − 5 = 0 (1)
Để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B


⇔ ∆ = (m + 6)2 > 0

⇔ m ≠ 6.
Tam giác IAB cân tại I khi và chỉ khi I, A, B không thẳng hàng và
* I, A, B không thẳng hàng
*

IA2 = IB 2

⇔ I ∉ d ⇔ 2m + 8 ≠ 4 ⇔ m ≠ − 2

IA2 = IB 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

⇔ ( x1 − 1) 2 + ( y1 − 4) 2 = ( x2 − 1) 2 + ( y2 − 4) 2
⇔ ( x1 − 1) 2 + ( mx1 + m + 4) 2 = ( x2 − 1) 2 + ( mx2 + m + 4) 2
⇔ ( x1 − x2 ) (1 + m 2 )( x1 + x2 ) + 2m 2 + 8m − 2  = 0
 x1 = x2
⇔
2
2
(1 + m )( x1 + x2 ) + 2m + 8m − 2 = 0

⇔ (1 + m 2 )( x1 + x2 ) + 2m 2 + 8m − 2 = 0
⇔ m3 + 6m 2 + 9 m + 2 = 0
 m = −2 − 3

⇔  m = −2 + 3
 m = −2

Vậy các giá trị của m thỏa yêu cầu đề bài là

m = −2− 3 , m = −2+ 3

Câu 2b. Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sơng. Người đó muốn làm một
hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng
rau và ni gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí ngun vật liệu là 80
ngàn đồng một mét dài, đối với phần cịn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngàn đồng một mét
dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nơng dân rào được với chi phí vật liệu là 20
triệu đồng.

Tác giả. Lê Thái Bình ,Face:
Lời giải.
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là
lần lượt là

x ( m ) ; ( x > 0)

và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà

a ( m ) , b ( m ) ; a > 0; b > 0 .

Khi đó diện tích của khu đất là

đồng nên ta có

S = ( a + b ) x ( m 2 ) . Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu

3x.40000 + ( a + b ) 80000 = 20000000 ⇔ 3x + 4 ( a + b ) = 500 .

Ta có

3x + 4 ( a + b )  5002
15625
15625
175
250
12S = 3 x.4 ( a + b ) ≤
=
⇒S≤
⇒ MaxS=
⇔ a+b =
;x =
4
4
3
3
2
3
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

Câu 3. (6.0 điểm)
a. Cho tam giác
bằng

ABC

có chu vi bằng 20, góc

· = 600 , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
BAC

3 . Gọi A1 , B1 ,C1 lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B,C lên BC , AC ,AB và M

điểm trong tam giác

ABC

tròn ngoại tiếp tam giác

sao cho

·ABM = BCM
·
·

= CAM
=ϕ

. Tính

cot ϕ

và bán kính đường

A1 B1 C1
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Phạm Minh Trí ; Fb: Tri Nguyen

BC = a,CA = b,AB = c và S , p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường trịn
nội tiếp tích tam giác ABC
Gọi

Theo đề bài ta có

·ABM = BCM
·
·
= CAM
=ϕ

Vậy M là điểm Brocard của tam giác

ABC . Khi đó ta có tính chất quen thuộc sau

cot ϕ = cot A + cot B + cot C

Lại sử dụng đẳng thức lượng giác sau:

cot ϕ =

b2 + c2 + a 2
.
4S

cot A =

b2 + c 2 − a 2
, ta được
4S

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

là

Trang 7


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Vậy ta cần tìm độ dài 3 cạnh tam giác

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

ABC

1

·
S = pr = bc sin BAC
= 10 3 ⇒ bc = 40
Có:
(1)
2

I , D lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Gọi

và hình chiếu của

I

lên cạnh

AB

Theo cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp ta được:

r=

b+ c− a
⇒ b+ c− a = 6
và b + c + a = 20
2

Do đó:
thay


(b + c − a)(b + c + a) = 120 ⇒ (b + c) 2 − a 2 = 120 ⇒ (a + 6)2 − a 2 = 120 ⇒ a = 7

a = 7 vào đẳng thức b + c + a = 20 , ta được b + c = 13 (2)

bc = 40

Từ (1), (2) ta được b + c = 13 không giảm tổng quát ta giả sử b < c thì giải được

b = 5,c = 8

b 2 + c 2 + a 2 52 + 7 2 + 82 23 3
cot ϕ =
=
=
vậy
4S
20
4.10. 3
Gọi

R0 là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 .

Ta có
Mà

0 ·
·
B· 1 AC
1 1 = 180 − BAC

1 1 − B1 AC
1

∆ B1 AC
1 : ∆ BAC

tương tự ta có

và

0
0
·
·
·
∆ BA1C1 : ∆ BAC nên BAC
1 1 = B1 A1C = 60 ⇒ B1 AC
1 1 = 60

∆ B1 AC1 : ∆ BAC ⇒

B1C1 AB1
1
7
=
= sinA = ⇒ B1C1 =
BC AB
2
2


7
B1C1
7 3
2
R0 =
=
=
0
· A C 2sin 60
6
Vậy
2sin B
1 1 1
Câu 3b. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy , cho tam giác ABC

vuông tại

A , đỉnh C ( − 4;1) , phân giác trong

A có phương trình x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam
giác ABC bằng 36 và đỉnh A có hồnh độ dương.
góc

Lời giải
Tác giả: Trịnh Thúy; Fb: Catus Smile

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 8


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

uuuur
Từ C kẻ CH ⊥ AD tại H , CH ∩ AB = K . AD : x + y − 5 = 0 gọi n AD là véc-tơ pháp tuyến
uuuur
uuuur
của AD ⇒ n AD = ( 1;1) . CH ⊥ AD ⇒ nCH = ( 1; −1)
 qua C (− 4;1)
uuuur

Phương trình đường thẳng ( CH ) : VTPT nCH = (1; − 1) ⇒ ( CH ) : x − y + 5 = 0

x+ y− 5= 0
x = 0
⇔
⇒ H ( 0;5 )

y
=
5
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  x − y + 5 = 0

Ta có tam giác
Gọi


ACK

cân tại

A ⇒H

là trung điểm

CK ⇒ K ( 4;9 )

uuur
uuur
A ( a;5 − a ) ( a > 0 ) ⇒ KA = ( a − 4; −4 − a ) ; CA = ( a + 4;4 − a ) .

uuur uuur
Vì AK ⊥ AC ⇒ KACA
. = 0 ⇔ (a − 4)(a + 4) + (4 + a)(a − 4) = 0
uuur
⇔ a − 4 = 0 ⇔ a = 4 ⇒ A ( 4;1) ⇒ AC = ( − 8;0 ) ⇒ AC = 8
uuuur
uuur
AK = (0;8) ⇒ nAK = (1;0) ⇒ AK : x − 4 = 0
S ABC =
Với

 b = 10
1
AB. AC ⇔ 4 b − 1 = 36 ⇔ b − 1 = 9 ⇔ 
b = −8
2


b = − 8 ⇒ B ( 4; − 8) . Đặt f ( x, y ) = x + y − 5 ⇒ f B = −9; fC = −8 ⇒ f B . fC > 0 ⇒ B; C

cùng phía với
Với

gọi

uuur
B ( 4; b ) ⇒ AB = (0;b − 1) ⇒ AB = b − 1

AD (loại)

b = 10 ⇒ B ( 4;10 ) . Đặt f ( x, y ) = x + y − 5 ⇒ f B = 9; fC = − 8 ⇒ f B . fC < 0 ⇒ B; C

phía với

AD (TM)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9

khác


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đường thẳng


BC

 qua B ( 4;10 )
 uuur
 BC = ( − 8; − 9 ) nên có phương trình:

 x = 4 − 8t
(t∈¡ )

.
 y = 10 − 9t

Câu 4.

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

Cho phương trình ( x

2

+ ax + 1) + a ( x 2 + ax + 1) + 1 = 0,
2

trình có nghiệm thực duy nhất. Chứng minh rằng

với

a

là tham số. Biết rằng phương


a > 2.

Lời giải
Tác giả: Phan Văn Lâm; FB: Lâm Phan
Xét phương trình ( x
Đặt

t = x 2 + ax + 1,

2

+ ax + 1) + a ( x 2 + ax + 1) + 1 = 0 ( 1)
2

khi đó

x 2 + ax + 1 − t = 0 ( 2 )

và phương trình đã cho trở thành:

t 2 + at + 1 = 0 ( 3) .
Phương trình

( 1)

có nghiệm khi

a và t thỏa mãn: a 2 − 4 ≥ 0 và a 2 − 4 + 4t ≥ 0 .


2
a 2 − 4 ≥ 0 ⇔ a ≤ − 2 hay a ≥ 2 . Nếu a ≤ − 2 thì ( 3) có nghiệm t > 0, khi đó a − 4 + 4t > 0, suy
ra ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết ( 1) có nghiệm duy nhất. Nếu a = 2 thì

phương trình
Vậy

Câu 5.

( 3)

có nghiệm

t = − 1,

khi đó điều kiện

a 2 − 4 + 4t ≥ 0

không được thỏa mãn.

a > 2.

Cho các số thực không âm

x, y , z

thỏa mãn

x3 + y 3 + z 3 = 3 .


xyz + ( x + y + z )
1
P=
−
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy + yz + zx
xy + yz + zx + 1
2

Tác giả. Lê Thái Bình,Face:
Lời giải
Ta có các đánh giá sau:
•

x3 + 1 + 1 ≥ 3x ⇒ x 3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3 ( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ 3
x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) + 3xyz ≤ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) + 3xyz

•

⇒ 1 − xyz ≤ x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ⇒ xyz + ( x + y + z ) ≥ 1 + 3 ( xy + yz + zx )

•

0 ≤ xy + yz + zx ≤ 3

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!


Trang 10


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC

•

Đặt

Khi đó ta có

P≥

Đề THI HSG K10 HÀ TĨNH – TỔ 25 – LẦN 1

1 + 3 ( xy + yz + zx )
1
−
xy + yz + zx
xy + yz + zx + 1 .

t = xy + yz + zx ⇒ t ∈ [ 0;3] ; P ≥

1 + 3t 1
1
37
37
−
= 3+
≥

t
t +1
t ( t + 1) 12 . Vậy MinP = 12 ⇔ x = y = 1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11