VẤN ĐỀ 3 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG
Câu 1.

Email:
2
Cho hàm số y  f ( x)  ax bx  c có đồ thị sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
A. 2.
B. 3.

ax 2 b x  c  m  1
C. 4 .

có bốn nghiệm phân biệt.
D. 5 .

Họ và tên tác giả : Hoàng Mai Thanh Tên FB: Thanh Hoang
Lời giải
Chọn B
y

x  4 x  3  m 1
2

Phương trình có dạng
Vẽ đồ thị hàm số

.

y  x 2  4 x  3.

Dựa vào đồ thị ta có phương trình
có bốn nghiệm phân biệt



x2  4 x  3  m  1
 

O

2

x

� 1  m  1  3
� 2  m  2
GV biên soạn: Bùi Thị Lợi
Mail:
Facebook:LoiBui
Câu 2.

Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Trang 1/15 - Mã đề thi 483







f f  x  1  m
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình
có 4 nghiệm
 2; 2 . Số phần tử của S là
phân biệt thuộc đoạn
A. 7 .
B. 8 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Gọi

 P  là đồ thị hàm số

y  f  x

y  f  x  1
 P
Vẽ đồ thị 1 của đồ thị hàm số
bằng cách: Tịnh tiến đồ thị
y  f  x
theo phương của trục hoành sang trái 1 đơn vị.
y  f  x  1


 P  của

hàm số

 P1  nằm bên phải trục
P
tung rồi lấy đối xứng phần đó chính phần đồ thị đó qua trục tung, ta được đồ thị 2 của hàm
Vẽ đồ thị

số

 P2  của hàm số

y  f  x  1

Đặt

t  f  x  1

bằng cách: Giữ nguyên đồ thị

. Do đó, ta có đồ thị hàm số

, với

Ta có phương trình

x � 2; 2 � t � 1;0

f  t  m


y  f  x  1

.

(1).

x � 2; 2
Nếu t  0 cho ta ba nghiệm phân biệt
.
x � 2; 2
Nếu t  1 cho ta hai nghiệm phân biệt
.
Nếu

t � 1;0 

x � 2; 2
thì mỗi giá trị của t cho ta bốn nghiệm phân biệt
.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ phương trình
t � 1;0  � f  0   m  f  1 � 3  m  8
nghiệm
.

 1 có

đúng 1


Vậy S có tất cả 4 phần tử .
Phép suy đồ thị. Biện luận nghiệm dựa vào đồ thị. Vũ Thị Thu Trang
Email:

Trang 2/15 - Mã đề thi 483


Câu 3.

Cho hàm số

y  ax 2  bx  c  a �0 

có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

S   n; p 

là tập hợp tất cả

2ax  2b x  2c  m  6  0
các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm phân biệt
. Tình 2019n  200 p .
2

A. 8000 .
C. 16000 .

B. 1600 .
D. 800 .,

Lời giải

Chọn B

2ax 2  2b x  2c  m  6  0 � ax 2  2b x  c  

m
3
2

y  ax 2  b x  c
Đồ thị hàm số
như hình vẽ bên
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Điều kiện để có 4 nghiệm phân biệt là
m
1    3  3 � 0  m  8
2
. Su ra n  0; p  8 .
Vậy 2019n  200 p  1600 .,
Câu 4.

Email: nguyenminhduC.
y  f  x   ax 2  bx  c
 C  (như hình vẽ). Có bao nhiêu giá trị nguyên
Cho hàm số
có đồ thị
f 2  x    m  2 f ( x )  m  3  0
m
của tham số để phương trình

có 6 nghiệm phân biệt?

A. m  4 .

B. m  3 .

C. m  2 .

D. m  1 .

Họ và tên tác giả : Nguyễn Minh Đức Tên FB: Duc Minh
Lời giải
Trang 3/15 - Mã đề thi 483


Chọn B

 C ' của hàm số y  f  x  : Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm phía bên phải
* Vẽ đồ thị hàm số
 C  bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị  C  phía bên phải
trục Oy , bỏ đi phần đồ thị
trục Oy qua trục Oy .

* Ta có

f2

* Từ đồ thị

�f  x   1

��
�
x    m  2 f ( x )  m  3  0
�f  x   3  m .

 C ' , ta có:

- Phương trình

f  x   1

có hai nghiệm là x  2, x  2 .

f  x   3 m
- Yêu cầu bài toán � phương trình
có bốn nghiệm phân biệt khác �2 � Đường
 C ' tại bốn điểm phân biệt khác A, B
thẳng d : y  3  m cắt đồ thị

� 1  3  m  3 � 0  m  4 . Suy ra m � 1, 2,3 .
Câu 5.

Email:
2
 C  . Giả sử M  x0 ; y0  thuộc  C  sao cho khoảng cách từ
Cho hàm số y  x  2 x có đồ thị
điểm M tới đường thẳng d : y  4 x  15 là nhỏ nhất. Tính S  x0  y0 .
A. 4 .

B. 6 .


C. 5 .

D. 7 .

Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Thanh Tên FB: Thanh Văn Nguyễn
Chọn B

Trang 4/15 - Mã đề thi 483


 C  sao cho  song song với đường thẳng d : y  4 x  15 .
Gọi  là tiếp tuyến của
 có phương trình là y  4 x  9 .
 C  là M  3;3 .
Giao điểm của  và
M  3;3

là điểm cần tìm.

Do đó S  x0  y0  6 .
Câu 6.

Email:
P  : y  ax 2  bx  c

Cho parabol
, biết (P) đi qua điểm A(1;5) và các điểm cố định của họ
parabol

A. 1.

 Pm  : y   m  1 x 2  x  3m  1 . Tính tổng T  2a  b  c .
B. 2

C. 6

D. 4

Họ Tên: Nguyễn Tình Tên FB: Gia Sư Tồn Tâm
Lời giải
Cách 1: Gọi

 x0 ; y0  là các điểm cố định của  Pm  .

Khi đó:
y0   m  1 x02  x0  3m  1, m �R

� m  x02  3  x02  x0  1  y0  0, m �R
2
2
�
�
x0  3; y0  3  2
�x0  3  0
�x0  3  0
�� 2
��
��
 x0  x0  1  y0  0

x0   3; y0   3  2
�
�y0  x0  2
�
�

Vì (P) đi qua A và đi qua các điểm cố định của

 Pm  nên ta có hệ:

abc  5
�
a  3
�
�
�
3a  3b  c  3  2 � �
b 1 �T  2
�
�
�
c7
3a  3b  c   3  2
�
�
Chọn B
Cách 2: Gọi

 x0 ; y0  là các điểm cố định của  Pm  .
Trang 5/15 - Mã đề thi 483



y0   m  1 x02  x0  3m  1, m �R

� m  x02  3  x02  x0  1  y0  0, m �R
2
�
�x 2  3  0
�x0  3  0
�� 2
� �0
� y0  k  x02  3  x0  2
�y0  x0  2
� x0  x0  1  y0  0

Vì (P) ln đi qua các điểm cố định của họ
y  k  x 2  3  x  2

 Pm  nên phương trình parabol (P) có dạng:

(P) đi qua A(1;5) nên ta có
5  k  12  3  1  2 � k  3 �  P  : y  3  x 2  3   x  2 � y  3 x 2  x  7
� a  3; b  1; c  7 � a  b  c  5

Câu 7.

Chọn B

Email:
y  x 2  bx  c

Hàm số
có đồ thị như hình vẽ.

Khi đó S  b  c bằng
A. S  1 .

B. S  2 .

C. S  3 .

D. S  4 .

Lời giải
Họ và tên tác giả : Thân Văn Dự Tên FB: thân văn dự
Chọn A
Từ đồ thị hàm số

y  x 2  bx  c

2
như hình trên, ta suy ra đồ thị hàm số y  x  bx  c như sau

Trang 6/15 - Mã đề thi 483


2
I  1; 4 
Suy ra parabol y  x  bx  c có đỉnh

�b

�  1
b  2
�
�� 2
��
�
c  3 � S  b  c  1 .
1  b  c  4
�
�
Câu 8.

Cho hàm số

y  f  x

có tập xác định là R và đồ thị như hình vẽ
y

f(x)=x^2-2x-3

x
-4 -3 -2 -1

1

2

3


4

.
f  x 2  1
Biểu thức
nhận giá trị dương trên
 �; 2  � 2; � B.  �; 1 � 3; � C.  2; 2 
A.

D.

 1;3

Lời giải
Chọn A
�
x 2  1  1
f  x  1  0 � �2
� x 2  4 � x � �; 2  � 2; �
x 1  3
�
2

Email:
Câu 9.

 2






.
Cho hai parabol:  1 
Có bao nhiêu cặp số (m;n) để hai parabol trên khơng có cùng trục đối xứng nhưng đi qua đỉnh
của nhau?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
P : y  x 2  mx  n; P : y  1  m x 2  2 m  1 x  6 m �1

Lời giải

m m 1
;
P ; P
Hoành độ hai đỉnh của  1   2  thứ tự là 2 m  1 . Theo yêu cầu đề bài chúng phải phân
mx 2   3m  2  x  n  6  0
biệt và là hai nghiệm của phương trình hồnh độ:
.

Từ đó theo định lý viet ta có

m2
�
m m  1 3m  2


� �2

2 m 1
m
m  3m  2  0
�

 *

m m 1

�  *
Mà 2 m  1
nên ta chỉ có giá trị duy nhất của m thỏa mãn là m  2 , suy ra n  0
Chọn B
Họ và tên tác giả : Trần Văn Đoàn Tên FB: Trần Văn Đoàn
Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng
Email:
2
Câu 10. Cho đồ thị hàm số y = x - 2 x - 1 ( P) (hình vẽ bên).
Trang 7/15 - Mã đề thi 483


Dựa vào đồ thị ( P) xác định số giá trị nguyên dương của m
2
x �[ 1; 2]
để phương trình x - 2 x + 2m - 2 = 0 có nghiệm
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.


Lời giải
Chọn B
2
2
Phương trình x - 2 x + 2m - 2 = 0 � x - 2 x - 1 = 1- 2m (*)
2
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x - 2 x - 1 ( P) và
đường thẳng y = 1- 2m

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:
với

x �[ 1; 2 ]

thì

y �[ 2; 2]

.

Do đó, để phương trình (*) có nghiệm thì

- 2 �1- 2m �2 � -

1
3
�m �
2
2


Mà m là số nguyên dương � m = 1
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của
m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Email:
Câu 11. Cho hai đường thẳng d1 : y  mx  4 và d 2 : y  mx  4 . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên
d ,d
dương của m để tam giác tạo thành bởi 1 2 và trục hồnh có diện tích lớn hơn hoặc bằng 8 .
Tính tổng các phần tử của tập S .
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Họ và tên tác giả: Phí Văn Quang Tên FB: QuangPhi
Chọn C
Trang 8/15 - Mã đề thi 483


A  0;  4 
Ta thấy rằng d1 và d 2 luôn cắt nhau tại điểm
nằm trên trục tung.
Nếu m  0 thì d1 và d 2 là hai đường thẳng trùng nhau nên d1 , d 2 và trục Ox không tạo thành
tam giác (không thỏa mãn ycbt).
�4 �
�4 �
B� ; 0�

C � ; 0 �
Do đó m �0 , giả sử d1 cắt Ox tại �m �, d 2 cắt Ox tại � m �.
Tam giác tạo thành bởi d1 , d 2 và trục hoành là tam giác ABC .
S ABC 

Diện tích tam giác tạo thành là:

Ta có
Suy ra

16
S ABC �۳��
8
m
S   1; 2

8

�m 2
�
m �0
�

1
1
8
16
OA.BC  .4. xB  xC  2.

2

2
m
m

2 �m �2
�
�
m �0
�

.

.

. Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 3.
GV PHẢN BIỆN : HUỲNH KIM LINH

+ Nếu được nên có hình vẽ thì hay hơn
�4 �
�4 �
B � ; 0�
C � ; 0 �
+ Do đó m �0 , giả sử d1 cắt Ox tại �m �, d 2 cắt Ox tại � m �.
Theo tôi câu này nên bỏ từ giả sử
Email:
Câu 12. Gọi ( H ) là tập hợp các điểm M ( x; y ) thỏa mãn hệ thức

x 2  2 x  1  4 y 2  4 y  1  6 , trục

Ox chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S1 , S2 trong đó S1 là phần diện tích nằm phía trên


S1
S
trục hồnh. Tỉ số 2 là:
25
A. 47 .

47
B. 25 .

25
C. 36 .

25
D. 144

(Thầy Trịnh Văn Thạch – FB. com/thachtv.tc3)
Lời giải
Chọn A

Trang 9/15 - Mã đề thi 483


Hệ thức

x2  2 x  1  4 y 2  4 y  1  6 � x 1  2 y  1  6

1
�
x  2 y  6 vs x �1; y �

�
2
�
1
�
x  2 y  8 vs x �1; y �
�
2
��
1
�
 x  2 y  4 vs x �1; y �
2
�
�
1
 x  2 y  6 vs x �1; y �
�
�
2

�5� � 1� � 7� � 1�
A�
1; �
, B �7; �
,C �
1;  �
, D �5; �
2
2

2
(
H
)
�
�
�
�
�
�
� 2�
ABCD
Hình
là hình thoi
với điểm
Tọa độ điểm
Dễ thấy

M  6;0  , N  4;0 

BD  12, AC  6 � S ( H )  S ABCD 

Diện tích tam giác AMN :

S AMN 

1
AC .BD  36
2


1
1
5 25
.MN . y A  .10. 
2
2
2
2

S

25

25
25 47 � 1 
S1 
, S 2  36 

S 2 47 .
2
2
2
Như vậy

Email:
f  x   ax 2  bx  c,
Câu 13. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ.

Trang 10/15 - Mã đề thi 483


�


4 f  x  1
Số nghiệm thực của phương trình
A. 0.
B. 2 .

f  x  1

2
là?
C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Họ và tên tác giả: Trần Đông Phong Tên FB: Phong Do
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số

Ta có:

y  f  x

, suy ra đồ thị hàm số

y f  x


f  x   1  0, x ��
.

4 f  x  1
Do đó phương trình

f  x  1





 2 � 4 f  x  1  2 f  x  1 � f  x  

 1 là số giao điểm của đồ thị
Số nghiệm của phương trình
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình

y f  x

3
 1
2

.

với đường thẳng

y


3
2.

 1 có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm.
Email:
x2  2 x  1  m  x 1
Câu 14. Tính tổng bình phương các giá trị của m để phương trình
có nghiệm duy
nhất.
3
P
4.
A. P  1 .
B. P  4.
C. P  5 .
D.
Lời giải
Trang 11/15 - Mã đề thi 483


Họ và tên tác giả : Trần Quốc Thép Tên FB: Thép Trần Quốc
Chọn B

Biến đổi phương trình

x2  2 x  m 1   x 1

.


2
y   x 1
Mà số nghiệm là số giao điểm của hai đồ thị y  x  2 x  m  1 và
trong đó
2
 P  : y  x  2 x  m  1 có trục đối xứng x  1 nên muốn có nghiệm duy nhất thì (1;0) phải là
đỉnh của (P). Suy ra m  2.

Trang 12/15 - Mã đề thi 483


2
Câu 15. Cho hàm số y  f ( x)  ax bx  c có đồ thị sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
A. 2.
B. 3.

ax 2 b x  c  m  1
C. 4 .

có bốn nghiệm phân biệt.
D. 5 .

Họ và tên tác giả : Hoàng Mai Thanh Tên FB: Thanh Hoang
Lời giải
Chọn B
y


x  4 x  3  m 1
2

Phương trình có dạng
Vẽ đồ thị hàm số

.

y  x 2  4 x  3.

Dựa vào đồ thị ta có phương trình



x2  4 x  3  m  1

có bốn nghiệm phân biệt

 

O

x

2

� 1  m  1  3
� 2  m  2

Câu 16. Cho phương trình

A. 2 .
C. 3 .

 x 2  2 x  3  2m  1  0

. Giá trị m để phương trình có bốn nghiệm
B. 1 .
D. 4 .

Lời giải
Chọn B
 x 2  2 x  3  2m  1  0 �  x 2  2 x  3  2 m  1

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y   x2  2 x  3
đường thẳng y  2m  1 .Xét hàm số

y   x2  2 x  3

và

Vẽ từ trong ra ngoài
+Vẽ đồ thị

y  x2  2x  3  C 

+Vẽ đồ thị

y1  f  x 


có đồ thị

- Giữ nguyên phần đồ thị của

 C1 

 C  nằm bên phải trục tung.

- Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị

 C  nằm bên phải trục tung.
Trang 13/15 - Mã đề thi 483


+ Vẽ đồ thị hàm số

y2  y1

- Giữ nguyên đồ thị của

có đồ thị

 C2 

 C1  nằm trên trục hoành.

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị

 C1  nằm dưới trục hoành.


1
�
0  2m  1  3
m2
�
�
2
� 5
��
�
5
m
�
m
� 2
� 2
Từ đồ thị để phương trình có bốn nghiệm khi
. Vậy có 1 giá trị
nguyên.
2
Câu 17: Cho hàm số f (x)  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để
f ( x  2018)  m 2018
phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. m�(�; 2015] �[2021;  �).

B. m�(�; 2015) �(2021;  �) �{2017; 2019}.
C. m�( 2015;2021).
D. m�(�; 2015) �(2021;  �).
Họ và tên tác giả : Đỗ Thị Hồng Anh Tên FB: Hong Anh

Lời giải
Chọn D
t  x  2018 ,t �0
f ( x  2018)  m 2018
f (t)  m 2018
Đặt
, phương trình
(1) trở thành :
(2).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương
�m 2018  3
�
� m�(�; 2015) �(2021;  �)
�
m

2018


1
⇔ �
.
Trang 14/15 - Mã đề thi 483


.

Trang 15/15 - Mã đề thi 483