TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 120 phút
ĐỀ SỐ 01
Bài 1: (3 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
3 5 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −
b) B =
(
)
( )
14 2 13 12 2 11 44 52+ − + +
b) C =
10 24 40 60 7 40+ + + − +
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
D =
1
2 1x x− −
b) Giải bất phương trình:
3 2 5x − <
c) Giải phương trình:
16 17 8 23x x+ = −
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : P =
4 4 4
2 2

a a a
a a
+ + −
+
+ −
( Với a
≥
0 ; a
≠
4 )
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính
P
tại a thoả mãn điều kiện a
2
– 7a + 12 = 0
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có
µ
µ
0
90D C+ =
. Chứng minh AB
2
+ CD
2
= AC
2
+ BD
2

Bài 5: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD. E là điểm nằm giữa B và C. Gọi F là giao điểm của hai
đường thẳng AE và DC. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
AFAE AD
+ =
======= HẾT=======
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 120 phút
ĐỀ SỐ 02
Bài 1: (3 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
( )
3 2 5 29 12 5+ −
b) B =
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
− +
−
− +
2. Không xử dụng máy tính , So sánh hai số a và b với:
a =
2011 2010−
và b =
2010 2009−
Bài 2: (2 điểm)
1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi:
Với hai số a và b không âm, chứng minh rằng:

2
a b
ab
+
≥
2. Giải phương trình sau:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
3. Cho A =
3 5x x+ + −
. Chứng minh rằng: A
≤
4
Bài 3: (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB : AC = 20 : 21 và AH =
420.
Tính chu vi tam giác ABC.
2. Cho góc nhọn
α
.
a) Biết rằng cos
α
– sin
α
= 0,2. Tính cotg
α
.
b) Tính sin
2
1

0
+ sin
2
2
0
+ sin
2
3
0
+ ……….+ sin
2
87
0
+ sin
2
88
0
+ sin
2
89
0

Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các
điểm
trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho
·
·
0
90ADC AEB= =

. Chứng minh tam giác ADE
cân.
= ==== HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 03
Bài 1: (3 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức sau:
A =
13 160 53 4 90− − +
2. Cho biểu thức P =
2 2
1 1
b b b b
b b b b
− +
−
+ + − +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi b =
3 2 2
4
−
Bài 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình :
1 4 3x x− + + =
2. a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng:
a b a b+ ≥ +
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
( ) ( )

2 2
2009 2010x x− + −
Bài 3: (3 điểm)
1. Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin
2
x +cos
2
x = 1
2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngoài nửa đường
tròn.
CA, CB lần lượt cắt nửa đường tròn tại N và M. Gọi H là giao điểm của AM và
BN.
a) Chứng min CH
⊥
AB
b) Giả sử CH = 2R. Tính tang
·
ACB
.
Bài 4: (2 điểm)
Tử điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn
( B và C là hai tiếp điểm. Gọi E là hình chiếu của C trên đường kính BD của
đường tròn (O). AD cắt CE ở K.
Chứng minh K là trung điểm CE
==== HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 04
Bài 1: (2 điểm)
1. Thực hiện phép tính:

2
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
 
+ −
+
 
 
+ + − −
 
2. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
.... 10
1 2 3 100
+ + + + >
Bài 2: (2 điểm)
1. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ − + − = + +
2Giải phương trình:
2 2
1
1 1
2
x x x x+ + − − + =
Bài 3: (2 điểm)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

2
4 3x x− +
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
( ) ( )
2 6x x− −
Bài 4: (2 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d tại B. Trên d lấy hai điểm C và
D.
(B nằm giữa C và D). CA và DA cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N.
Chứng minh AM. AC = AN. AD
Bài 5: (2 điểm)
Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B
là hai tiếp điểm) . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của
đường tròn. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH.
=== HẾT===
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 05
Bài 1: (3 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức:
a) A =
4 80 7 2 45 7 5 20 7− −
b) B =
3 3
5 2 13 5 2 13+ + −
2. Rút gọn biểu thức P =
2 2 3 1 4 3x x x x− − − − + − −
, với
3 4x
≤ ≤

Bài 2: (3 điểm)
1. Giải phương trình:
a)
2
4 4 2x x x− + = −
b)
2 2 2
4 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x− + + − + + − + = +
2. Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
9 2
2
x
x x
+
−
Bài 3. (2,5điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với
AB
( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn
(O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở
E và F. Gọi K là giao điểm của AF và BE,
1. Chứng minh
MK AB
⊥
.
2. Khi MB =
3
.MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD.

Chứng minh rằng tgB. tgC = 2
==== HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 06
Bài 1: (1,5 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c)
2. Chứng minh x
4
+ x
3
+ 2x
2
+ x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi x
Bài 2: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1. A =
( )
2011 2010 2010 2011
2010 2011
2011 2010 2010 2011
−
+
+
2. B =
2
1 2 1 1
4( 1)
x x x

x x
− + − − +
− −
với x
≥
1 và x
≠
2
Bài 3: (2 điểm)
1. Giải phương trình sau:

2 2
3 2 2 1x x x x x+ = + + −
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2 6 10 2 2023x y x y xy+ − − + +
với x, y là các số thực không âm.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt
AC và AB tại M và N,
·
0
120NHM =
.
1. Chứng minh
·
·
AMN ABC=
, tính
MN

BC
.
2. Tính
AH
BC
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm. Tính cos A
Bài 6: (1 điểm)
Cho biểu thức M =
( ) ( )
3 2
2 1 2 2 1n n n− − + +
với n
∈
N
Chứng minh M M 16
====HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 07
Bài 1: (1,5 điểm)
1.Cho x và y là hai số khác nhau sao cho x
2
– y = y
2
– x .
Tính giá trị của biểu thức A = x
2
+ 2xy + y
2

– 3x – 3y
2.Tìm 3 chữ số tận cùng của tổng 999
4
+ 999.
Bài 2: (1,5 điểm)
Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:
1.
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2+ − − − + +
2.
14 6 5 2 2
5 3
1,5 2
− +
+
−
+
Bài 3: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
1. A =
2 3x x− −
2. B =
( ) ( )
2 2
2011 1x x− + −
3. C =
2 2 2 2

2 6 4 11 3 2 6 4x y x y x y x y+ − + + + + + + +
Bài 4: (1,5 điểm)
1. Chứng minh bất đẳng thức
1 1x y y x xy− + − ≤
(với x
≥
1; y
≥
1)
2. Giải phương trình:
3
2 1 2 1
2
x
x x x x
+
+ − + − − =
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = 4. Vẽ AH
⊥
BD. Gọi M là trung điểm
của HB; N là trung điểm của CD. Tính MA
2
+ MN
2
.
Bài 6: (2,0 điểm)
Qua một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở
A và B, kẻ qua M một đường thẳng khác cắt đường tròn ở C và D
1. So sánh các tích MA. MB và MC. MD.

2. Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) . Chứng minh
MTC
∆

MDT∆
===HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 08
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
1. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên x, giá trị của A là số chính phương.
2. Tìm số nguyên x sao cho A = 25
Bài 2: (1,5 điểm)
1. Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1
...... 9
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
+ + + + + =
+ + + + +
b)
1 1 1 1
....... 28
2 3 4 225
+ + + + <
2. Cho biểu thức
2 2
6 19 6 10 3x x x x− + − − + =
.

Tính giá trị của biểu thức : M =
2 2
6 19 6 10x x x x− + + − +
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Với a
≥
0, b
≥
0 , chứng minh rằng a + b
( )
2 2
2 a b≤ +

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S =
3 4x y− + −
, biết x + y = 8
3. Giải phương trình sau:
2
2 10 12 40x x x x− + − = − +
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường
tròn
tại D. Gọi S là diện tích tam giác ABC .
Chứng minh : S = r (AD + BC)
Bài 5: (2,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua
O song
song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
1. Chứng minh:
1

AB
MO
CD
MO
=+
.
2. Chứng minh:
.
MN
2
CD
1
AB
1
=+
3. Biết
2
COD
2
AOB
nS;mS
==
. Tính
ABCD
S
theo m và n (với
CODAOB
S,S
,
ABCD

S
lần lượt
là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD).
Bài 6: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng a
3
b – ab
3
chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b.
=== HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 09
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = n
3
– 4n
2
+ 4n – 1.
1. Phân tích A thành nhân tử.
2. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là số nguyên tố.
Bài 2: (3 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
( ) ( )
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
− +
+
+ −

2. So sánh hai số:
a =
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
+ −
+
+ + − −
; b =
4 7 4 7
3 2 4 7 3 2 4 7
+ −
+
+ + − −
3. Tính giá trị của biểu thức :
P = ( x
3
+ 12x – 9)
2010
tại x =
( ) ( )
3 3
4 5 1 4 5 1+ − −
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình sau:
( ) ( )
7 . 7 5 . 5
2
7 5
x x x x
x x

− − + − −
=
− + −
2. Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì
a b
a b
b a
+ ≥ +
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối
của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q.
Chứng minh :
·
·
QNM MNP=
Bài 5: (1,5 điểm)
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác mà độ dài các đường cao là
1 2 3
; ;h h h
. Chứng minh hệ thức:
1 2 3
1 1 1 1
r h h h
= + +
====HẾT====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biết a

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc . Tính giá trị biểu thức :
A =
1 1 1
a b c
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2: ( 4,5 điểm)
Không xử dụng máy tính, hãy:
1. So sánh hai số:
a =
2009 2011+
và b =
2 2010
.
2. Rút gọn các biểu thức sau:
A =
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
− +
−
− +
3. Tính giá trị của biểu thức:

B =
2 2
1 1
x x x x
x x x x
− +
−
+ + − +
với x =
3 2 2
4
−
Bài 3: ( 4,0điểm)
Giải các phương trình sau:
1.
3
7 1 2x x+ + − =
2. Cho hàm số: y =
1 2 2 7 6 2x x x x− − − + + − −
a) Tìm các giá trị của x để y có nghĩa ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng
µ
µ
E F=

Bài 5: (4 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, và C là hai tiếp
điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Từ điểm T bất kì trên cung nhỏ BC
vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF tại M.
Chứng minh MA = MT
Bài 6: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
1. a =
10
21 1 200− M
2. b =
20 13
39 39 40+ M
3. c =
2007 2005
2005 2007 2006+ M
======HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (5,0điểm)
1. Rút gọn biểu thức: A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
b c c a a b
a b c b c a c a b
− + − + −
− + − + −
Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau:

2.. P =
4 7 4 7− − +
+
2
3. Q =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
2 3 3 4 2005 2006
+ + + + + + + + +
Bài 2: (3,0điểm)
1. Chứng minh
3 3
( )a b ab a b+ ≥ +
với mọi
, 0a b ≥
.
2. Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức :

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +

với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn
1abc =
.
Bài 3: (2 điểm)

Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
1
3 1 4 3 3 0
3
x
x x x
x
+
− + − − + =
−
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng
·
tan
2
ABC AC
AB BC
=
+
Bài 5: (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng
vuông
góc với AB. Gọi O là trung điểm AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D
sao
cho
·
0
90COD =
.

1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Bài 6: (3 điểm)
1. Chứng minh rằng 16
n
– 1 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 17 với n lẻ
2. Chứng minh rằng:
( ) ( )
3 2 3 1 2
1 1
m n
x x x x
+ +
+ + + +M
với mọi số tự nhiên m và n.
======HẾT=====
TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút
ĐỀ SỐ 12
Câu 1 (3,0 điểm)
1. Phân tích x
5
+ x – 1 thành nhân tử.
2. Phân tích số 10 000 000 099 thành tích của hai số tự nhiên khác 1.
Câu 2 (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức: A =
11 6 2 3 5 7 3 5 2
2 3 14 5 3
− + + + − −
+ + −

Câu 3: (4 điểm)
1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


2007 2008 2009 2010M x x x x= − + − + − + −
2. Giải phương trình:

1 1
2
2 4
x x x+ + + + =
Câu 4: (4 điểm)
1. Chứng minh rằng
2 1
6 19 2
n n n+
+ −
chia hết cho 17 với mọi số tự nhiên n.
2. Chứng minh rằng :
Với mọi số nguyên dương n, giá trị biểu thức
2
2
4 1
3 2 1 1
n
M
n n n
= +
+ − +


không thể là một số tự nhiên.
Câu 5: (6 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (
µ µ
0
90A B= =
), tia phân giác của góc C đi qua trung
điểm O của AB.
1. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA)
2. Gọi H là tiếp điểm của CD với đường tròn (O; OA). Gọi K là giao điểm của AC
Và BD. Chứng minh rằng KH song song với AD.
3. Cho biết AB = 2a. Tính tích của hai đoạn thẳng AD và BC theo a
==== HẾT======