TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 5

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng 1: Tìm m để max y  f ( x )  m  a
 ;  

( a  0).

Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x )  K ;
 ; 

Kiểm tra max  m  K , m  k  

min f ( x )  k ( K  k ) .
 ; 

m K  m k m K mk K k


.
2
2
2

TH1:

K k
 m  k  a
 m  a  k
 a. Để max y  a  

 m   a  k ; a  K  .
 ;  
2
m  K  a
m  a  K

TH2:

K k
 a  m  .
2

Cách 2: Xét trường hợp
 m  K  a
TH1: Max  m  K  
 m  K  m  k
 m  k  a
TH2: Max  m  k  
 m  k  m  K
Dạng 2: Tìm m để min y  f ( x )  m  a
 ;  

( a  0).


Phương pháp:
Trước tiên tìm max f ( x )  K ;

min f ( x )  k ( K  k ) .
 ; 

 ; 

m  k  a m  K  a
m  a  k m  a  K
Để min y  a  



. Vậy m  S1  S2 .
 ; 
m  k  0 m  K  0
m   k
m   K
Dạng 3: Tìm m để max y  f ( x )  m không vượt quá giá trị M cho trước.
 ;  

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;
 ; 

min f ( x )  k ( K  k ) .
 ; 

m  k   M
 M  k  m  M  K.

Để max y  M  
 ;  
m  K  M
Dạng 4: Tìm m để min y  f ( x )  m không vượt quá giá trị a cho trước.
 ;  

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;
 ; 

min f ( x )  k ( K  k ) .
 ; 

Để

m  k  a m  K  a
m  a  k m  a  K
min y  a  

 ( m  K )( m  k )  0  

  K  m  k.

;

 
m  k  0 m  K  0
m   k
m   K
Dang 5: Tìm m để max y  f ( x )  m đạt min.
 a ;b 


Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Phương pháp:
Trước tiên tìm max f ( x )  K ;

min f ( x )  k ( K  k ) .
 a ;b 

a ;b

Đề hỏi tìm m  m  

K k
K k
. Đề hỏi tìm min của max y  giá trị này là
.
 a;b
2
2

Dạng 6: Tìm m để min y  f ( x)  m đạt min.
 a;b

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;

min f ( x )  k ( K  k ) .

 a ;b 

a ;b

Đề hỏi tìm m  ( m  K )( m  k )  0  K  m  k . Đề hỏi tìm min của min y  giá trị này là 0.
a;b

Dạng 7: Cho hàm số y  f ( x )  m .Tìm m để max y  h.min y ( h  0 ) hoặc Min  max 
a ;b

 a ;b 

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;

min f ( x )  k ( K  k ) .
 a ;b 

a ;b

K m  k m
TH1: K  m  h k  m  K
    m  S1 .
 m cung dau k  m

k m  K m

 m  S2 .
TH2: k  m  h K  m 
K  m cung dau k  m
Vậy m  S1  S2 .

Dạng 8: Cho hàm số y  f ( x)  m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;

min f ( x )  k ( K  k ) .
 a ;b 

a ;b

BT1: Tìm m để min y  max y    m  K  m  k   .
a ;b

a ;b

BT2: Tìm m để min y *max y    m  K * m  k   .
 a ;b 

Câu 1.

 a ;b 

(Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số y  x3  3 x  m trên đoạn  0;2 bằng 3. Số phần tử của S là
A. 0

B. 6

C. 1
Lời giải

D. 2


Chọn D
3
2
Xét hàm số f ( x )  x  3x  m , ta có f  ( x )  3x  3 . Ta có bảng biến thiên của f ( x) :

TH 1 : 2  m  0  m   2 . Khi đó max f ( x )   (  2  m)  2  m
0;2

2  m  3  m  1 (loại).
2  m  0
TH 2 : 
  2  m  0 . Khi đó : m  2  2  m  2  2  m
m  0

 max f ( x )   (  2  m)  2  m
0;2

2  m  3  m  1 (thỏa mãn).
m  0
TH 3 : 
 0  m  2 . Khi đó : m  2  2  m  2  2  m  max f ( x )  2  m
0;2
 2  m  0
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

2  m  3  m 1 (thỏa mãn).
TH 4:  2  m  0  m  2 . Khi đó max f ( x )  2  m

0;2

2  m  3  m 1 (loại).
Câu 2.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị
lớn nhất của hàm số f ( x )  x3  3x  m trên đoạn  0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là:
A.  16 .

B. 16 .

C.  12 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
Xét u  x3  3x  m trên đoạn  0;3 có u   0  3 x 2  3  0  x  1  0;3 .
max u  max u 0 , u 1 , u 3  max m, m 2, m 18  m  18
 0;3
Khi đó 
.
min u  min u 0 , u 1, u 3  min m, m 2, m 18  m  2
 0;3

 m  18  16


 m  2


 m  18  m  2
Suy ra M ax f  x   max  m  2 , m  18   16  
.

 m  14
 0;3

 m  2  16




 m  2  m  18

Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng  16 .
Câu 3.

xm
( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp
x 1
tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x )  min f ( x )  2 . Số phần tử của S là
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) 
0;1

0;1

A. 6 .

B. 2 .


C. 1.
Lời giải

D. 4 .

Chọn B

xm
liên tục trên  0;1
x 1
.
Khi m  1 hàm số là hàm hằng nên max f ( x )  min f ( x )  1
Do hàm số f ( x ) 

0;1

0;1

Khi m  1 hàm số đơn điệu trên đoạn  0;1 nên
+ Khi f ( 0 ) ; f (1) cùng dấu thì max f ( x )  min f ( x )  f ( 0 )  f (1)  m 
0;1

0;1

m 1
.
2

+ Khi f ( 0 ) ; f (1) trái dấu thì


m 1 
min f ( x )  0 , max f ( x )  max f ( 0 ) ; f (1)  max  m ;
.
0;1
0;1
 
 
2 

 m  1
TH1: f ( 0 ) . f (1)  0  m(m  1)  0  
.
m  0





m  1
m 1
max f ( x )  min f ( x )  2  m 
2
5 (thoả mãn).
0;1
0;1
m  
2
3



Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

TH2: f ( 0 ) . f (1)  0  m(m  1)  0  1  m  0

m 2
 m  2

max f ( x )  min f ( x )  2   m  1
  m  5 (không thoả mãn).

0;1
0;1
2
 2
 m  3
Số phần tử của S là 2 .
Câu 4.

(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số
y  x3  3x  2m  1 trên đoạn  0; 2 là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

 3

A.   ;  1 .
 2



2 
B.  ; 2  .
3 

C.  1;0 .

D. ( 0;1) .

Lời giải
Chọn D
Xét hàm số y  f ( x )  x3  3x  2m  1 trên đoạn  0; 2  .
 x  1   0; 2
Ta có f ' ( x )  3 x 2  3  0  
.
x 1

Ta có f ( 0 )  2m  1 , f (1)  2m  3 và f ( 2 )  2m  1
Suy ra max f ( x )  max  2m  1 ; 2m  3 ; 2m  1   max  2m  3 ; 2m  1   P .
0;2

Trường hợp 1: Xét 2m  3  2m  1  4 ( 4m  2 )  0  m 

1
.
2

1
1
Khi đó P  2m  3  2 , m  . Suy ra Pmin  2  m  .
2

2
Trường hợp 2: Xét 2m  3  2m  1  4 ( 4m  2 )  0  m 

Câu 5.

1
.
2

1
Khi đó P  2m  1  2 , m  . Suy ra Pmin không tồn tại.
2
1
Vậy m  .
2
(Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm
số y  x 2  2 x  m trên đoạn  1;2  bằng 5 .
A. 1 .
Ta có y  

B. 2 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

2x  2
, y  0  x  1 .
x  2x  m

2

Do đó yêu cầu bài toán tương đương max  y ( 1) , y ( 2 ) , y (1)  5 .

 max  3  m , m , m  1   5 .
+ Trường hợp m  1 , ta có max  3  m , m , m  1   5  3  m  5  m  2 .
+ Trường hợp m  1 ta có max  3  m , m , m  1   5  m  1  5  m  4 .
Vậy tổng các giá trị m bằng 2 .
Câu 6.

(THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y  x 2  2 x  a  4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị
lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ nhất
A. a  1 .

B. a  3 .

C. a  2 .
Lời giải

D. a  5 .

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  2;1 .
2

Ta có: y  x 2  2 x  a  4  ( x  1)  a  5


( )

2

Đặt t  ( x  1) , x   2;1  a   0; 4  .
Lúc đó hàm số trở thành: f ( t )  t  a  5 với t   0; 4 .
Nên max y  max f ( t )  max
x 2;1

t0;4

t0;4

 f (0); f (4)  tmax
 a  5 ; a  1
 0;4 




a 1  a  5 a 1  5  a

2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi a  1  a  5  2  a  3 .


Do đó giá trị nhỏ nhất của max f ( t ) là 2 khi a  3 .
t 0;4 


Câu 7.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị
x 2  mx  m
lớn nhất của hàm số y 
trên 1;2  bằng 2 . Số phần tử của tập S
x 1
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Xét y 

 x  0  1;2
x2  2 x
x 2  mx  m
. Ta có: f  ( x ) 
, f ( x)  0  
.
2
x 1
( x  1)
 x  2  1;2

Mà f (1) 

2m  1

3m  4
 2m  1 3m  4 
,f ( 2 ) 
 max y  
;
.
x1;2
2
3
3 
 2

3

m

2m  1
2 .
Trường hợp 1: max y 
2
x1;2
2
m   5

2
• Với m 

3
3m  4 17



 2 (loại)
2
3
6

5
3m  4 7
  2 (thỏa mãn)
• Với m   
2
3
6
2

m  3
3m  4  6
3m  4
Trường hợp 2: max y 
2

.
x1;2
3
3m  4  6
 m   10

3
• Với m 


2
2m  1 7

  2 (thỏa mãn)
3
2
6

• Với m  

10
2m  1 17


 2 (loại)
3
2
6

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 8.

(HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x )  x 2  ax  b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị
lớn nhất của hàm số trên  1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a  2b .

A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
Xét hàm số f ( x )  x 2  ax  b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên  1;3 .

 M  f ( 1)
 M  1 a  b


Suy ra  M  f ( 3)   M  9  3a  b  4 M  1  a  b  9  3a  b  2 1  a  b
 M  f (1)
 M  1 a  b


 1  a  b  9  3a  b  2 (  1  a  b )  4 M  8  M  2 .
Nếu M  2 thì điều kiện cần là 1  a  b  9  3a  b  1  a  b  2 và 1  a  b , 9  3a  b ,

 1  a  b  9  3a  b  1  a  b  2
a  2

.
1  a  b cùng dấu  
1  a  b  9  3a  b  1  a  b  2
 b  1
a  2
Ngược lại, khi 
ta có, hàm số f ( x )  x 2  2 x  1 trên  1;3 .
 b  1

Xét hàm số g ( x )  x 2  2 x  1 xác định và liên tục trên  1;3 .
g  ( x )  2 x  2 ; g  ( x )  0  x  1  1;3



M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên  1;3  M  max g ( 1) ; g ( 3) ; g (1)



=2 .

a  2
Vậy 
. Ta có: a  2b  4 .
 b  1
Câu 9.

Cho hàm số y  x3  x 2  ( m 2  1) x  27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  3; 1 có giá trị
nhỏ nhất bằng
A. 26 .

B. 18 .

C. 28 .

D. 16 .

Lời giải
Chọn B
Xét u  x3  x 2  ( m 2  1) x  27 trên đoạn  3; 1 ta có: u  3x 2  2 x  m2  1  0, x .

Do đó A  max u  u ( 1)  26  m 2 ; a  min u  u ( 3 )  6  3m 2 .
 3; 1

 3; 1



Do M  max y  max 26  m2 , 6  3m2
3;1

 và 4M  3 26  m

2

 6  3m 2  72 .

Vậy M  18 .
Dấu bằng xảy ra khi 26  m 2  6  3m 2  18  m  2 2 .
Câu 10.

(Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
y  x 2  2 x  m  4 trên đoạn  2;1 bằng 4 ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
f ( x )  x 2  2 x  m  4 có f  ( x )  2 x  2 , f  ( x )  0  x  1 . Do đó


max x 2  2 x  m  4  max  m  1 ; m  4 ; m  5  .
 2;1

Ta thấy m  5  m  4  m  1 với mọi m   , suy ra max y chỉ có thể là m  5 hoặc m  1 .
 2;1

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 m  5  4
 m 1.
Nếu max y  m  5 thì 
2;1
 m  5  m  1
 m  1  4
 m 5.
Nếu max y  m  1 thì 
2;1
 m  1  m  5
Vậy m  1; 5 .
Câu 11.

(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3x 2  9 x  m trên đoạn  2; 4  bằng 16 .
Số phần tử của S là
A. 0 .

B. 2 .


C. 4 .

D. 1.

Lời giải
Xét hàm số f ( x )  x  3 x  9 x  m trên đoạn  2; 4 .
3

2

 x  1
f   3x 2  6 x  9 ; f  ( x )  0  
(thỏa mãn).
x  3
f ( 2 )  2  m; f ( 1)  5  m; f ( 3)  27  m; f ( 4 )  20  m

 min f ( x )  m  27; max f ( x )  m  5  max f ( x )  max  m  27 ; m  5  .
 2;4

2;4

 2;4

+) Trường hợp 1: Nếu m  27  m  5 (*)
 m  11
 max f ( x )  m  5  m  5  16  
. Đối chiếu điều kiện (*)  m  11 .
 2;4
 m  21

+) Trường hợp 1: Nếu m  27  m  5 (**)
 m  43
 max f ( x )  m  27  m  27  16  
(Không thỏa mãn điều kiện (**) ).
 2;4
 m  11
Vậy S  11  S có 1 phần tử.
Câu 12.

(Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn
1
19
nhất của hàm số y  x 4  x 2  30 x  m  20 trên đoạn  0; 2 không vượt quá 20 . Tổng các
4
2
phần tử của S bằng
A. 210 .
B. 195 .
C. 105 .
D. 300 .
Lời giải
Xét hàm số g ( x ) 

1 4 19 2
x  x  30 x  m  20 trên đoạn  0; 2
4
2

 x  5   0; 2


Ta có g  ( x )  x  19 x  30 ; g  ( x )  0   x  2
 x  3   0; 2

3

Bảng biến thiên

g ( 0 )  m  20 ; g ( 2 )  m  6 .
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 m  20  20
 g ( 0 )  20
 0  m  14 .
Để max g ( x )  20 thì 

 0;2
 g ( 2 )  20
 m  6  20
Mà m   nên m  0;1; 2;...;14 .
Vậy tổng các phần tử của S là 105 .
Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y  sin 2 x  2sin x  m bằng 1. Số phần tử của S là
A. 0

B. 1


B. 4

D. 3

Lời giải
Chọn A
Đặt sin x  t ( t   1;1)  y  t 2  2t  m
Xét hàm số f ( t )  t 2  2t  m có f ' ( t )  2t  2  0  t  1  1;1
max f ( x )  max m  3; m  1  m  3
  1;1
Có f ( 1)  m  3, f (1)  m  1 . Khi đó 
min f ( x )  min m  3; m  1  m  1
 1;1
TH1: m  3  m  1  m  1
 m  2 ( l )
 max f ( x )  m  3  1  
 m  4 ( l )
TH1: m  3  m  1  m  1
m  2 ( l )
 max f ( x )  m  1  1  
 m  0 ( l )
 Không tồn tại m thỏa mãn
Câu 14.

(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y 

x 4  ax  a
, với a là tham số thực. Gọi M , m lần
x 1


lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 2 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số a để M  2 m ?
A. 10 .
B. 14 .
C. 5 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn B
x 4  ax  a
x4
Xét hàm số y 

a.
x 1
x 1
4

3x 4  4 x3
x   3 .

Ta có y 

y

0

2

( x  1)
x  0

Bảng biến thiên

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


1
16 

1
16 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra M  max  a  ; a   và m  min  a  ; a   .
2
3 
2
3 



16
16
M  a
a

3
3
1
1


Trường hợp 1. a   0  a    
.
2
2
m  a  1  a  1

2
2
16
1
13

 2 a    a  .
3
2
3

1
13
Kết hợp điều kiện, ta có   a 
 có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.
2
3

1
1
 M  a  2  a  2
16
16 
Trường hợp 2. a   0  a    

.
3
3
m  a  16  a  16

3
3

Khi đó M  2m  a 

1
16 
61

 2  a    a   .
2
3
6

61
16
Kết hợp điều kiện ta có   a   . Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn.
6
3
1

a  2  0
16
1
Trường hợp 3. 

 a .
3
2
a  16  0

3
1
16
1
16
35
Nếu a   a 
thì
 a   a   a  
2
3
2
3
12
1

 M  a  2
1
16 
67

 M  2m  a   2  a    a   .

2
3

18

m  a  16

3
16
67
Kết hợp điều kiện, ta có   a  
. Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
3
18
1
16
1
16
35
Nếu a   a 
thì
 a   a   a  
2
3
2
3
12
16

 M  a  3
16
1
19


 M  2m  a   2   a    a   .

3
2
9

m   a  1

2
19
1
Kết hợp điều kiện, ta có   a   . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
9
2
Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
M  2m  a 

Câu 15.

(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
1
tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 4  14 x 2  48 x  m  30 trên đoạn
4
0;2 không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu?
A. 120 .

B. 210 .

C. 108 .

Lời giải

D. 136 .

Chọn D
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1 4
x  14 x 2  48 x  m  30 là hàm số xác định và liên tục trên  0;2 .
4
Với mọi x   0; 2 ta có f '( x)  0  x 3  28 x  48  0  x  2 .

Đặt f ( x) 

Suy ra max f ( x)  max  f (0) ; f (2)  .
 0;2

  m  30  30

 m  14  m  30
 m  30  30

Theo đề max f ( x)  30  
 0;2
 m  14  30
 m  14  30


  m  30  m  14
30  m  30  30
0  m  60


 0  m  16 .
30  m  14  30
44  m  16
Do m    m  S  0;1; 2;...;16 . Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136 .
Câu 16.

(Chuyên
Lương
Văn
Tỵ
Ninh
Bình
2020)
Cho
hàm
số
4x
3x
2x
x
f ( x )  3e  4e  24e  48e  m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên  0;ln 2 .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc

 23;10) thỏa mãn
A. 33 .


A  3B . Tổng các phần tử của tập S bằng
B. 0 .
C. 111 .
Lời giải

D. 74 .

Chọn A
Đặt t  e x , x   0;ln 2  t  1;2
Xét hàm số h ( t ) | 3t 4  4t 3  24t 2  48t  m | trên 1;2 .
Đặt g ( t )  3t 4  4t 3  24t 2  48t  m

t  2  [1; 2]
g ( t )  12t 12t  48t  48 ; g  ( t )  0  t  2
;
t  1
3

2

g (1)  m  23 , g ( 2)  m  16 .
TH1: 16  m  10  m  23  m  16  0  A  max h ( t )  m  23 ; B  min h ( t )  m  16 .
1;2

1;2

16  m  10
16  m  10
25




 m  10 .
Suy ra:: 
25
2
m  23  3m  48 m 

2
Do đó: có 22 giá trị
TH2: 23  m  16  m  23  m  23, | m  16 | m  16 .
 m  23  m  16

 16  m  19.5
m  16  0
Dễ thấy B  0 . Suy ra 

(VL)
 m  23  m  16
 19.5  m  23

 m  23  0

Vậy S  12; 11;...; 0;1;...9 và tổng các phần tử của tập S bằng 12  ( 11)  ( 10 )  33 .
Câu 17.

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y  x 4  2 x3  x 2  a . Có bao nhiêu số thực a để

min y  max y  10 ?

1;2

A. 3.

1;2

B. 5.

C. 2.

D. 1.

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải.
Chọn
C.
4
Đặt y  x  2 x3  x 2  a  f ( x) .
Xét hàm số f ( x )  x 4  2 x3  x 2  a

 1 
 2 

Khi đó f ( x)  4 x 3  6 x 2  2 x  2 x (2 x 2  3 x  1)  0  x  0; ;1 .

 f  ( x )  0, x  1; 2 và f (1)  a; f (2)  a  4


max y   a , a  4 

Ta có x  1;2 thì 

min y   a ,0, a  4 

.

Xét các trường hợp
+ a  0  max y  a  4;min y  a  2a  4  10  a  3 , nhận.
+ a  4  max y  a;min y  a  4  a  4  a  10  a  7 , nhận.

a  0
 4  a  0  min y  0;max y  a  4;  a
a  4  0

+ 

 a  4  10  a  6
(Loại).


  a  10
 a  10
Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn.
Câu 18.

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x )  x 3  3 x 2  m . Có bao nhiêu số
nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn 1;3 không lớn hơn 2020?
A. 4045 .


B. 4046 .

C. 4044 .
Lời giải

D. 4042 .

Chọn A
Với u  x3  3x 2  m có u   3 x 2  6 x; u   0  x  0; x  2
min u  min u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 )  min m  2; m; m  4  m  4
 1;3
Do đó 
u  max u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 )  max m  2; m; m  4  m
max
 1;3
* Nếu m  4  0  m  4  min f ( x )  m  4  2020  m  2024  m  4,..., 2024 .
1;3

* Nếu m  0  min f ( x )   m  2020  2020  m  m  2020;...;0 .
1;3

* Nếu 0  m  4 khi đó min u  0; max u  0  min f ( x )  0 (thỏa mãn).
1;3

1;3

1;3

Vậy m  2020,..., 2024 có tất cả 4045 số nguyên thỏa mãn.

Câu 19.

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f ( x ) 

mx  2 x  4
, với m là
2x  4

tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0  min f ( x )  1 ?
1;1

A. 4 .

B. 8 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1.

Chọn B
Cách 1:

mx  2 x  4
liên tục trên  1;1 và f ( x )  g ( x ) .
2x  4
m2 5
m  2 3
Ta có g ( 0 )  1; g (1) 
.

; g ( 1) 
6
2
Xét hàm số g ( x ) 

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

m  2 5
 g ( 1)  0
- Nếu 

thì min f ( x )  0 , khơng thỏa mãn bài tốn.
 1;1
 g (1)  0
 m  2 3
 g ( 1)  0
- Nếu 
 2 3  m  2 5
 g (1)  0
Mà m nguyên nên m  3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 .
2 x  12
x4 .
2
( 2x  4)

4m 


Ta có g  ( x ) 

TH1: m  0 .
Khi đó g  ( x )  0 x   1;1 . Do đó hàm số g ( x ) đồng biến trên  1;1 .
Mà g ( 0 )  1  g (1)  1 . Do đó 1  g (1)  0 . Vậy 0  min f ( x )  1 hay m  0;1; 2;3;4
1;1

thỏa mãn bài toán.
TH2: m  0 .
Xét hàm số h ( x ) 

x2
2 x  12
trên  1;1 . Ta có h ( x ) 
 0 x   1;1 .
x4
( x  4) x  4

 10 14 
Khi đó dễ thấy h ( x )   ;
.
 3 5
* Khi m  1  4m  h ( x )  0 x   1;1  g  ( x )  0 x   1;1 hay hàm số g ( x ) đồng
biến trên  1;1 . Khi đó 1  g (1)  0 nên 0  min f ( x )  1 . Vậy m  1 thỏa mãn.
1;1

* Khi m  3; 2  4m  h ( x )  0 x   1;1  g  ( x )  0 x   1;1 hay hàm số g ( x )
nghịch biến trên  1;1 . Khi đó g ( 1)  g ( 0 )  1  g ( 1)  0 nên 0  min f ( x )  1 . Vậy
1;1


m  3; 2 thỏa mãn.
Do đó m  3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 hay có 8 giá trị nguyên của m .
Cách 2
Nhận thấy f ( x ) liên tục trên   1;1 nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên đoạn   1;1 .
 f ( x )  0, x   1;1
Ta có 
nên suy ra 0  min f ( x )  1 .
x 1;1
 f ( 0 )  1
 min f ( x )  0 (1)
 x1;1
Vậy điều kiện 0  min f ( x )  1  
.
x 1;1
min
f
x

1
(2)
(
)
 x1;1
Ta có (1)  Phương trình mx  2 x  4  0 vô nghiệm trên   1;1
2 x4
vô nghiệm trên  1;1 \ 0
x
2 x4
Xét hàm số g ( x ) 
, x   1;1 \ 0

x
x  8
g / ( x)  2
 0, x   1;1 \ 0
x x4
Bảng biến thiên

 Phương trình m 

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phương trình

 1;1 \ 0  2

m

2 x4
x

vô nghiệm trên

3m2 5.

Do m nguyên nên m  3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 .
Để giải ( 2 ) trước hết ta đi tìm điều kiện để min f ( x )  1 .
x 1;1


Do f ( 0 )  1 nên min f ( x )  f ( 0 ) , mà 0  ( 1;1) , suy ra x = 0 là điểm cực trị của hàm số
x 1;1

f ( x) .

3
mx  2 x  4
 h / ( 0 )  0  m   . Do đó với m ngun thì (2) chắc chắn xảy ra.
2x  4
2
Vậy m  3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 thỏa mãn điều kiện ( 2 )
Kết luận: Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Đặt h ( x ) 

Câu 20.

(Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của
hàm số
f (x )  x 3  12x  m trên đoạn [1; 3] bằng 12 .Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng
A. 25.

B. 4.

C. 15.
Lời giải

D. 21.

Chọn A
Xét hàm số g (x )  x 3  12x  m (1  x  3) g '(x )  3x 2  12  0  x  2, x  2 .


g(1)  m  11, g(2)  m  16, g(3)  m  9 .
Suy ra max f (x )  { m  16 ; m  9 } .
[1;3]

Giả sử m  16  12  m  28, m  4 thử lại ta thấy m  4 nhận.
Giả sử m  9  12  m  21, m  3 thử lại ta thấy m  21 nhận.
Vậy m  4 và m  21 .
Câu 21.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao
cho giá trị lớn nhất của hàm số y 
phần tử của S là
A. 50 .

1 4
x  14 x 2  48 x  m trên đoạn  2; 4 không vượt quá 30 . Số
4

B. 49 .

C. 66 .
Lời giải

D. 73 .

Chọn B

1 4
x  14 x 2  48 x  m .

4
f  ( x )  x 3  28 x  48

Xét hàm số f ( x ) 

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 x  6 ( ktm )

f  ( x )  0   x  4 ( tm ) .
 x  2 tm
( )

f ( 2 )  m  44; f ( 4 )  m  32 .

 min f ( x )  m  32; max f ( x )  m  4 .
2;4

2;4

 max y  max  m  44 ; m  32  .
 2;4

Để giá trị lớn nhất của hàm số y 

1 4
x  14 x 2  48 x  m trên đoạn  2; 4 khơng vượt q 30 thì

4

74  m  14
 m  44  30

 62  m  14 .

62  m  2
 m  32  30
Câu 22.

(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số
f ( x )  e 2 x  4e x  m trên đoạn  0;ln 4 bằng 6?
A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1.

Chọn C
Đặt t  e x , vì x   0;ln 4  t  1; 4 .
Khi đó u cầu bài tốn trở thành tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t )  t 2  4t  m trên
đoạn 1; 4 bằng 6.
Đặt s  t 2  4t , vì t  1; 4  s   4;0 .
Xét hàm số g ( s )  s  m với s   4;0 suy ra hàm số g ( s ) đồng biến trên đoạn  4;0 .
Khi đó giá trị nhỏ nhất của f ( s )  s  m , s   4;0 chỉ đạt tại các đầu mút.
  m  10

min f ( s )  m  4  6

 4;0
TH1: 
   m  2  m  10 thỏa mãn.
 m  m  4
m  m4


m
 6
min f ( s )  m  6



4;0
TH2:   
   m  6
 m  6 thỏa mãn.
 m  m  4
m  m4

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 23.

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao
1
cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  9 x  m  10 trên đoạn  0;3 không vượt quá 12 . Tổng
3

giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu?
A. 7 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 12 .
Lời giải
Chọn A

1
Xét hàm số g ( x )  x 3  9 x  m  10 . Dễ thấy hàm số g ( x ) liên tục trên đoạn  0;3 .
3

x  3
Ta có g  ( x )  x 2  9 ; g  ( x )  0  
 x  3   0;3
Ta có g ( 0 )  m  10 ; g ( 3)  m  8 .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 g ( 0 )  12
 m  10  12
 4  m  2
Theo yêu cầu bài toán, max y  max g ( x )  12  

0;3
0;3
 m  8  12
 g ( 3)  12
Mà m nên m  4; 3; 2; 1;0;1; 2 .

Vậy tổng các phần tử của S là 7 .
Câu 24.

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao
1
cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 4  14 x 2  48 x  m  30 trên đoạn  0; 2 không vượt quá
4
30 . Tổng tất cả các giá trị của S là
A. 180 .
B. 136 .
C. 120 .
D. 210 .
Lời giải
Chọn B

1 4
x  14 x 2  48 x  m  30 trên đoạn  0; 2 .
4

Xét u 

 x  6   0; 2

u   0  x  28 x  48  0   x  2   0; 2 .
 x  4   0; 2
3

Khi đó max u  max u (0), u ( 2 )  max m  30, m  14  m  14 .
 0;2


Suy ra Max y  max  m - 30 , m  14  .
0;2

Trường hợp 1: Max y  m  14
0;2

 m  14 2  m  30 2
 m  14  m  30
m8
 88m  704






 30  m  14  30
44  m  16
44  m  16
 m  14  30

 8  m  16 , mà m .
 m  8;9;10;...;16 .

Trường hợp 2: Max y  m - 30
0;2

 m  14 2  m  30 2
 m  30  m  14
88m  704

 m8





0  m  60
0  m  60
 m  30  30
 30  m  30  30

 0  m  8 , mà m .
 m  0;1; 2;...;8 .

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: 0  1  2  ...  16  136 .
Câu 25.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Biết giá trị lớn nhất của hàm số
y  f ( x )  2 x 3  15 x  m  5  9 x trên  0;3 bằng 60 . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số
thực m .
A. 48 .

B. 5 .

C. 6 .
Lời giải

D. 62 .

Chọn C

Có max f ( x )  60  f ( x )  60, x   0;3 và x0   0;3 sao cho f ( x0 )  60.
 0;3

Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Có f ( x )  60  2 x 3  15 x  m  5  9 x  60  2 x 3  15 x  m  5  60  9 x

 9 x  60  2 x3  15 x  m  5  60  9 x  2 x3  24 x  55  m  2 x3  6 x  65, x   0;3 .
Có 2 x3  6 x  65  29, x   0;3 nên m  2 x3  6 x  65, x   0;3  m  29.
Tương tự 2 x3  24 x  55  23 nên 2 x3  24 x  55  m, x   0;3  m  23.
Vậy 23  m  29 thì f ( x )  60, x   0;3.
2 x3  24 x  55  m
Để x0   0;3 sao cho f ( x0 )  60 thì 
có nghiệm trên  0;3.
3
 2 x  6 x  65  m
 m  29
 m  29
Hay 
thì max f ( x )  60.
. Vậy 
 0;3
 m  23
 m  23
Khi đó tổng các giá trị của m là 29  23  6.

Câu 26.


(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao
cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 3  3 x  m trên đoạn  0; 2 bằng 3 . Số phần tử của S là
A. 2.

B. 6.

C. 1.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
 x  1   0; 2
Xét hàm số g ( x)  x 3  3 x  m , ta có g '( x)  3 x 2  3  0  
.
 x  1   0; 2
g ( 0 )  m , g (1)  m  2 , g ( 2 )  m  2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x )  x 3  3 x  m bằng max của F   m ; m  2 ; m  2 
m  3
TH1: m  3  
.
 m  3
Với m  3  F  3;1;5 loại vì max bằng 5.
Với m  3  F  3;5;1 loại vì max bằng 5.
m  5
TH2: m  2  3  
.
 m  1
Với m  5  F  5;3;7 loại vì max bằng 7.

Với m  1  F  1;3;1 có max bẳng 3. Chọn m  1.
m  1
TH3: m  2  3  
.
 m  5
Với m  1  F  1;1;3 có max bằng 3. Chọn m  1.
Với m  5  F  5; 7;3 loại vì max bẳng 7.
Vậy S  1;1  có 2 giá trị m thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 27.

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x )  x 4  2 x 3  x 2  m ( m là tham số thực).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f ( x )  max f ( x )  10 . Số phần tử của S
 1;2

là?
A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .
Lời giải

 1;2

D. 1.

Chọn A

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

x  0

1
Đặt g ( x )  x 4  2 x3  x 2  m  g  ( x )  4 x3  6 x 2  2 x  0   x 
2

x  1


Bảng biến thiên của hàm g ( x )

Dựa vào bảng biến thiên của g ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của
f ( x )  g ( x )  x 4  2 x 3  x 2  m . Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: m  0 . Bảng biến thiên của f ( x )  g ( x )  x 4  2 x 3  x 2  m

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x )  max f ( x )  10  m  m  4  10  m  3 (TM)
1;2

Trường hợp 2: m  0  m 

1;2

1
1
   m  0 . Bảng biến thiên:
16
16


Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x )  max f ( x )  10  0  m  4  10  m  6 (Loại)
 1;2

 1;2

1
1
 0  m   . Tương tự ta có:
16
16
min f ( x )  max f ( x )  10  0  m  4  10  m  6 (Loại)

Trường hợp 3: m 
 1;2 

 1;2 

Trường hợp 4: m 

1
1
 0  m  4  4  m   . Bảng biến thiên:
16
16

Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


 min f ( x )  max f ( x )  10
 0  m  4  10
 1;2
m  6
 1;2
Dụa vào bảng biến thiên ta có 
(Loại)


 min f ( x )  max f ( x )  10
0  ( m )  10
m  10


  1;2
 1;2
Trường hợp 5: m  4  0  m  4 . Ta có:
min f ( x )  max f ( x )  10  0  m  10  m  10 (Loại)
 1;2 

 1;2

Trường hợp 6: m  4  0  m  4 . Ta có:
min f ( x )  max f ( x )  10   m  m  4  10  m  7 (Thỏa mãn)
 1;2 

 1;2

Vậy m  7;3 .

Câu 28.

(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm
số f ( x) 

2mx  2 4 x  8
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1;1 là a thỏa mãn 0  a  1.
x2

A. 3.

B. 4.

C. 5.
Lời giải

D. 2.

Chọn
D.
Đặt t  x  2, x   1;1  t  1; 3  ; x  t 2  2.
2mt 2  4 t  4m
Hàm số đã cho trở thành g (t ) 
.
t
2mt 2  4 t  4m
trên đoạn 1; 3  .
t
2m(t 2  2)
Ta có h '(t ) 

t2
Th1: m  0 thì h(t )  4  g (t )  4t  1; 3   a  4 (loại).
Th2: m  0 thì hàm số h(t ) đồng biến hoặc nghịch biến trên 1; 3 
2m  4 3
Ta có h(1)  2m  4; h( 3) 
.
3
 m  2
Nếu h(1).h( 3)  0  
và hàm số h(t ) liên tục trên đoạn 1; 3  suy ra đồ thị hàm số
m  2 3
h(t ) trên đoạn 1; 3  cắt trục hoành  a  0 (loại).
Xét hàm h(t ) 

Nếu h (1).h( 3)  0  2  m  2 3 . Khi đó, h(1)  0; h

a

2m  4 3
3

( 3)  0

m  3
. Suy ra 
là các giá trị nguyên dương để 0  a  1 .
m  4

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 29.

4

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y  x  2 x 2  3m với m là tham số. Biết
rằng có đúng hai giá trị m1 , m2 của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  1;2 bằng
2021. Tính giá trị m1  m2 .
A.

1
.
3

B.

4052
.
3

C.

8
.
3

D.

4051

.
3

Lời giải
Chọn D

(

x  0
 x  1

)

Xét hàm số f ( x )  x 4  2 x 2  3m , ta có f  ( x )  4 x3  4 x  4 x x 2  1 f  ( x )  0  
Bảng biến thiên của hàm số trên  1; 2 :

Vì min y  2021  phương trình f ( x )  0 khơng có nghiệm thuộc  1; 2 .
 1;2

1
2022
. Ta có min y  3m  1  3m  1  2021  m 

1;2
 
3
3
8
Trường hợp 2 : 3m  8  0  m   . Ta có
3

2029
min y  3m  8  3m  8  2021  m  
.

1;2
 
3
2022 2029 4051


Vậy m1  m2 
.
3
3
3
Trường hợp 1 : 3m  1  0  m 

Câu 30.

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x )  x3  3x 2  m  1 ( m là tham số thực).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

 2020;2020

sao cho

max f ( x )  3min f ( x ) . Số phần tử của S là
1;4

1;4


A. 4003 .

B. 4002 .

C. 4004 .
Lời giải

D. 4001 .

Chọn B
Xét hàm số y  f ( x )  x3  3x 2  m  1  y  f  ( x )  3x 2  6 x .
 x  0(l )
.
f  ( x )  0  3x 2  6 x  0  
x  2

f (1)  m  1; f ( 2 )  m  3; f ( 4 )  17  m .

max f ( x )  m  17; min f ( x )  m  3 .
1;4

1;4

+Nếu m  3  0  m  3 thì max f ( x )  m  17 , min f ( x )  m  3 . Khi đó:
1;4

1;4

max f ( x )  3min f ( x )  17  m  3 ( m  3)  m  13 .

1;4

1;4

+Nếu m  17  0  m  17 thì max f ( x )   m  3 , min f ( x )  17  m .
1;4

1;4

Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Khi đó: max f ( x )  3min f ( x )  m  3  3 ( 17  m )  m  27 .
1;4

1;4

+Nếu ( m  3)( m  17 )  0  17  m  3 thì

max f ( x )  max  m  17 , m  3   max m  17,3  m  0;min f ( x )  0 .
1;4

1;4

f ( x) .
Khi đó, khơng thỏa điều kiện max f ( x )  3min
1;4
1;4


 

 m  27
Do đó: 
kết hợp với m   2020;2020 ta có m  2020; 27  13;2020
 m  13
Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.
Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp
Câu 1.

Cho hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trên  , đồ thị của hàm số y  f  ( x ) như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x ) trên đoạn  1;2 là
A. f (1) .

B. f ( 1) .

C. f ( 2 ) .

D. f ( 0 ) .

Lời giải
 x  1
f ( x)  0   x  1 .

 x  2

Từ đồ thị hàm y  f   x ta có bảng biến thiên

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên 1; 2 là f 1 .

Câu 2.

Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm là hàm f  ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f  ( x ) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f ( 0 )  f ( 3)  f ( 2 )  f ( 5 ) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y  f ( x )
trên đoạn  0;5 lần lượt là:

A. f ( 2 ) ; f ( 5 ) .

B. f ( 0 ) ; f ( 5 ) .

C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

D. f (1) ; f ( 5 ) .

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
f ( x)

Dựa vào đồ thị hàm số

ta có bảng biến thiên.

min f ( x )  f ( 2 )

Khi đó:  0;5
,
 f ( 3)  f ( 2 )

mà f ( 0 )  f ( 3)  f ( 2 )  f ( 5 )  f ( 0 )  f ( 2 )  f ( 2 )  f ( 5 )  f ( 0 )  f ( 5 ) .

Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y  f ( x ) trên đoạn  0;5 lần lượt là: f ( 2 ) ; f ( 5 ) .
Câu 3.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f  ( x ) được cho như hình vẽ bên.
Biết rằng f ( 0 )  f (1)  2 f ( 3)  f ( 5 )  f ( 4 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
f ( x ) trên đoạn  0; 5 .

A. m  f ( 5 ) , M  f ( 3 ) B. m  f ( 5 ) , M  f (1)
C. m  f ( 0 ) , M  f ( 3) D. m  f (1) , M  f ( 3 )
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f ( x ) trên đoạn  0; 5

 M  f ( 3 ) và f (1)  f ( 3 ) , f ( 4 )  f ( 3 )
f ( 5 )  f ( 0 )  f (1)  f ( 3 )  f ( 4 )  f ( 3 )  0  f ( 5 )  f ( 0 )  m  f ( 5 ) .

Câu 4.

Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

1
1
g ( x )  f ( 4 x  x 2 )  x 3  3x 2  8 x  trên đoạn 1;3 .
3
3

Facebook Nguyễn Vương 21



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

19
.
D. 12.
3
Lời giải
2
2
2
g  ( x )  ( 4  2 x ) f  ( 4 x  x )  x  6 x  8  ( 2  x )  2 f  4 x  x  4  x  .
Với x  1;3 thì 4  x  0 ; 3  4 x  x 2  4 nên f  ( 4 x  x 2 )  0 .
A. 15.

B.

25
.
3

C.

(

)

Suy ra 2 f  ( 4 x  x 2 )  4  x  0 , x  1;3 .
Bảng biến thiên


Suy ra max g ( x )  g ( 2 )  f ( 4 )  7  12 .
1;3

Câu 5.

Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  . Đồ thị của hàm số y  f  ( x ) như hình bên. Đặt
2

g ( x )  2 f ( x )  ( x  1) . Mệnh đề dưới đây đúng.

A. max g ( x )  g ( 3) .
 3;3

B. min g ( x )  g (1) .
 3;3

C. max g ( x )  g ( 0 ) . D. max g ( x )  g (1) .
 3;3

 3;3

Lời giải
Chọn D
2
g ( x )  2 f ( x )  ( x  1)  g  ( x )  2 f  ( x )  2 ( x  1)
Dựa vào đồ thị ta thấy
 x  3
g  ( x )  0  f  ( x )  x  1   x  1
 x  3
Và

với x  ( ; 3 ) : f  ( x )  x  1  g  ( x )  0

với x  ( 3;1) : f  ( x )  x  1  g  ( x )  0 ,
với x  (1;3 ) : f  ( x )  x  1  g  ( x )  0
với x  ( 3;  ) : f  ( x )  x  1  g  ( x )  0
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x )  g (1) .
 3;3

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 6.

Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f  ( 0 )  3 , f  ( 2 )  2018 và bảng xét
f  ( x )
dấu của
như sau:

Hàm số y  f ( x  2017 )  2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( ;  2017 )

B. ( 2017;  )

C. ( 0; 2 )
D. ( 2017;0 )
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu của f  ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f  ( x )


Đặt t  x  2017 .
Ta có y  f ( x  2017 )  2018 x  f ( t )  2018t  2017.2018  g ( t ) .
g  ( t )  f  ( t )  2018 .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f  ( x ) suy ra phương trình g  ( t ) có một nghiệm đơn

  ( ;0 ) và một nghiệm kép t  2 .
Ta có bảng biến thiên g ( t )
Hàm số g ( t ) đạt giá trị nhỏ nhất tại t0    ( ;0 ) .
Suy ra hàm số y  f ( x  2017 )  2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 mà
x0  2017  ( ;0 )  x0  ( ; 2017 ) .

Câu 7.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f  ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f  ( x ) được cho như hình vẽ
dưới đây:

Biết rằng f ( 1)  f ( 0 )  f (1)  f ( 2 ) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x )
trên đoạn  1; 2 lần lượt là:
A. f (1) ; f ( 2 ) .

B. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

C. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .

D. f (1) ; f ( 1) .

Facebook Nguyễn Vương 23



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lời giải
Từ đồ thị của hàm số y  f  ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x ) trên đoạn  1; 2
như sau

Nhận thấy
min f ( x )  f (1)
 1;2

.

Để tìm max f ( x ) ta so sánh
 1;2

f ( 1)

và

f ( 2)

.

Theo giả thiết, f ( 1)  f ( 0 )  f (1)  f ( 2 )  f ( 2 )  f ( 1)  f ( 0 )  f (1) .
Từ bảng biến thiên, ta có f ( 0 )  f (1)  0 . Do đó f ( 2 )  f ( 1)  0  f ( 2 )  f ( 1) .
Hay max f ( x )  f ( 2 ) .
 1;2

Câu 8.


 7
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  0;  có đồ thị hàm số y  f ' ( x ) như hình vẽ.
 2

 7
Hàm số y  f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  tại điểm x0 nào dưới đây?
 2
7
A. x0  0 .
B. x0  .
C. x0  1.
D. x0  3.
2
Lời giải
Chọn D
 7
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn  0;  như sau:
 2

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  3 .
Câu 9.

Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị hàm y  f  ( x ) như hình vẽ

Đặt h ( x )  3 f ( x )  x3  3 x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. max h( x)  3 f (1) .

(

[  3; 3 ]

C. max h( x)  3 f

)

B. max h( x)  3 f  3 .

[  3; 3]

( 3 ) . D. max h( x)  3 f ( 0) .
[  3; 3]

[  3; 3 ]

Lời giải
Chọn B
Ta có: h ( x )  3 f  ( x )  3x 2  3  h ( x )  3  f  ( x )  x 2  1  .
Đồ thị hàm số y  x 2  1 là một parabol có toạ độ đỉnh C ( 0;  1) , đi qua A  3 ; 2 , B

(

)

(


) (

)

3;2 .

Từ đồ thị hai hàm số y  f  x  và y  x 2  1 ta có bảng biến thiên của hàm số y  h ( x ) .

(

)

(

) ( 3)  3 f ( 3) .

Với h  3  3 f  3 , h





Vậy max h(x )  3 f  3 .
[ 3; 3 ]

Câu 10. Cho

hàm

số


y  f ( x)

có

đồ

thị

y  f ( x)

ở

hình

vẽ

bên.

Xét

hàm

số

1
3
3
g ( x )  f ( x )  x3  x 2  x  2018, mệnh đề nào dưới đây đúng?
3

4
2

Facebook Nguyễn Vương 25