Chuyen de HH 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (263.83 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (1)

Chó ý:

1, Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

2, Cách tìm góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng, giữa đờng thẳng và đờng thẳng.
giữa hai mặt phẳng.

3, Cách xác định chiều cao:

1. Nếu khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy.
2. Nếu khối chóp có mặt bên vng góc với đáy.
4, Thể tích khối chóp V=1

3Bh với

B : diện tích đáy
h : chiều cao





VD 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vng góc với (SBC). Tính thể tích khối chóp .

VD 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vng góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.

1, Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2, Tính thể tích khối chóp .

VD 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vng góc với đáy
ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp .

VD 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a và SA vng góc
đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.

1, Tính thể tích khối chóp SABCD.

2, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

VD 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D; CD = a;

AB = AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm 
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) (ABCD) và (SCI) (ABCD).

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (ĐH – A-2009)

VD 6:Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, BAD· =ABC· =900, AD=2a,

AB=BC=a, SA  (ABCD), SA= 2a. gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD.

CMR: BCNM là hình chữ nhật. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. (CĐ -2008)

VD 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA=a 3 và

SA  (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cos(SB AC , ).

VD 8: Cho S.ABCD có ABCD là hình ch÷ nhËt, AB = a, AD = a 2 , SA = a,SA (ABCD).
M, N lần lợt là trung điểm AD vµ SC. I = BM ∩ AC.

TÝnh thĨ tích khoỏi chóp ANIB. (ĐH B-06)

VD 9: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), ABC cân tại A, D là trung ®iĨm BC,
AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC

VD 10: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông t©m O, SA  (ABCD), AB = a, SA
= a 2 . H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. CMR: SC (AHK) và Tính

thể tích hình chóp OAHK.

VD 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của A

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với

BA= BC= a. biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAC) một góc 30o. 
Tính thể tích khối chóp.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng tại A và SB vng góc với đáy ABC biết
SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh
rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 . Tính thể tích khối chóp.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm.

1, Tính thể tích khối ABCD.
2, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, BAC 120 o,
biết SA (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng biết

SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.

Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA (ABCD),

SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.

Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và
SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.

Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o

Tính thể thích khối chóp SABCD.

Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường
trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o. O là trung điểm 
của AB, SO(ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng có đường chéo bằng 2; hai mặt bên
SAB, SAD cùng vng góc với đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 300. Tính thể 
tích của khối chóp S.ABCD.

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SA = a.

1, Chứng minh rằng CS  BD.

2, Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
3, Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 13: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ∆ABC vuông tại B, SA (ABC). ACB =60o, BC = a, SA

= a 3, M là trung điểm SB. Tính thể tÝch MABC

Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (2)

Chú ý:

Cách xác định chiều cao:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3. Nếu khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau.
4. Nếu khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau.

VD 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có cạnh a

Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáyABCD,
Tính thể tích khối chóp SABCD.

VD 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân tại D ,
(ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.

VD 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a. Mặt bên
SAC vng góc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.

1, Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
2, Tính thể tích khối chóp SABC.

VD 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và SAD

vuông cân tại S , (SAD) (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD

VD 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D;

AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vng góc với
(ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .

VD 6:Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC). Biết góc

BAC bằng 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

VD 7:Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
một góc  . Tính thể tích của khối chóp.

VD 8:Cho khối chóp tam giác đều cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với đáy một góc

bằng 450. Tính thể tích của khối chóp.

VD 9: (Y HN-00) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đáy AB=a và SAB = . Tớnh

thể tích khối chóp S.ABCD theo a và  .

VD 10: (A-07). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, (SAD)

(ABCD). ∆SAD đều. M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD. tính thể tích khối chóp
CMNP

VD 11: (ĐH B-2008) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a,

SA= a, SB = a 3 và mp(SAB) vng góc với mp đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin góc giữa 2 đường
thẳng SM, DN.

VD 12: [ĐH_B 04] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng  (0o <  < 90o). Tính tan của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD)

theo  . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD theo a, .

VD 13:Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ 
chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .

VD 14:Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
1, Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

2, Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.

VD 15:Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
1, Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .

2, Tính thể tích khối chóp SABC.

VD 16:Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .

Tính thể tích khối chóp.

VD 17:Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VD 18:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và ASB 60o. 
1, Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.

2, Tính thể tích khối chóp.

VD 19:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 ,

SA vng góc với đáy ABC , SA a
1, Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

2, Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song

với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

VD 20: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vng
góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD,
cắt BD tại F và cắt AD tại E.

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE (ABD)

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

VD 22:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E
và cắt SD tại F.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính th tớch khi chúp S.AEMF

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bi 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân tại A với AB = a biết tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC)
một góc 45o. Tính thể tích của SABC.

Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30 o   o; SBC là tam giác đều cạnh a và 
(SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.

Bài 4: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
phẳng vng góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng . Mặt bên SAB là tam giác
đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vng góc với ABCD,

Tính thể tích khối chóp SABCD .

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm
trong mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SDC) hợp với (ABCD) một góc 30o. Tính thể 
tích hình chóp SABCD.

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB)

(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o . Tính thể tích 
hình chóp SABCD

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên
bằng 2. Tính thể tích của khối chóp đó.

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, ABa BC, a 3. Tam

giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3,

(SAB)  (ABCD). M, N - Trung ®iĨm AB, BC. TÝnh VS.BMDN

Bài 12: Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với đáy, SA = a

đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200.

a.Chứng minh hai tam giác SBC và SDC bằng nhau.
b.Tính diện tích xung quanh của hình chóp SABCD.

c.Tính thể tích hình chóp S.BCD, từ đó suy ra khoảng cách từ D đến (SBC).
Bài 13: Cho chĩp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.

Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .

1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 15 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.

Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp

Bài 17: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
nó bằng V 9a 23

 .

Bài 18: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ()qua A, B và trung điểm M

của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Bài 19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
2

SA a . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Chứng minh SC(AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Bài 20: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể
tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.

Bài 21: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' 
sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'.

Bài 22: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

a 2a

AB2;AC'3 . Tính thể tích tứ diện AB'C'D .

Bài 23: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N
trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diện BMNP.

Bài 24: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3,đường cao SA = a.
Mặt phẳng qua A và vng góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích SAHK.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 26: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên 
SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối ABCDMN .

Bài 27: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là
trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P.
Tính thể tích khối chóp SAMNP.

Bài 28 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2
phần này.

Bài 29: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho

SM xSA  Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau

Bµi 2 : thĨ tích khối lăng trụ (1)

Chú ý:

1, Cỏch tỡm khong cỏch từ điểm đến mặt phẳng.

2, Cách tìm góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng, giữa đờng thẳng và đờng thẳng.
giữa hai mặt phẳng.

3, ThÓ tÝch khèi chãp V=1

3Bh với

B : diện tích đáy
h : chiều cao





4,ThÓ tÝch khèi lăng trụ: V= B.h vi B: din tích đa giác đáy, h: chiều cao. 
 Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a, b, c là ba kích thước

 Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh

VD 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ , tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

VD 2. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Đường chéo lớncủa đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp

VD 4. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

VD 5. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng tại A với
AC = a , ACB = 60o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.

VD 6. Cho lăng trụ đứng ABCD .A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh avà đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích của lăng trụ .

VD 7. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o
biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp.

VD 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng cân tại B biết A'C = a và A'C hợp
với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ

VD 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng tại B biết BB' = AB = a và B'C
hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.

VD 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ

VD 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng tại A biết AC = a và ACB 60 o

biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'.

VD 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ

VD 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp
với (ABCD) góc 30o và hợp với (ABB'A') góc 45o. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.

VD 14. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng và BD' = a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1, BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .

2, BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o .

VD 15. Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một
đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ

VD 16. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại B
với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.

VD 17. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với
đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

VD 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp
với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

VD 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a ; (A'BC) hợp với đáy (ABCD)

một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

VD 20. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ
đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. (B-2010)

Bµi tËp rÌn lun kü năng

:

Bi 1: Cho hp ch nht ABCD.A'B'C'D' cú AA' = a biết A'C hợp với đáy ABCD một góc
30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ nhật.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a

và BAC 120 o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có tam giác ABC vng tại B và BB' = AB = h biết
rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng

trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) Tam giác BDC' là tam giác đều.

3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn
A = 600 .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a/2

3) AC' hợp với đáy ABCD mt gúc 450

Bài 2 : thể tích khối lăng trơ (2)

Chó ý:

1, Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

2, Cách tìm góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng, giữa đờng thẳng và đờng thẳng.
giữa hai mặt phẳng.

VD 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.

VD 2. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy
ABC một góc 600 .

1, Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2, Tính thể tích lăng trụ .

VD 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3AD = 7 . Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. .Tính thể tích 
khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

VD 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAˆC 1200.

Gọi M là trung điểm CC1. CM: MBMA1 và tính k/c từ A đến (A1BM).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

AA1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. CM: MN là đường vng
góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích MA1BC1?

VD 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của
đoạn AA1. CM: BM  B1C và tính d(BM, B1C).

VD 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vng
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P)
chứa BC và vng góc với AA’, cắt hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo 1 thiết diện có diện tích
bằng

8
3

a . Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’

VD 8. (ĐH A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
 vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vng góc của A’ lên mp(ABC) là trung

điểm của cạnh BC. Tính thể tích A’.ABC và cosin góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
VD 9. (ĐH D-08). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng , AB=BC=a,

cạnh bên AA’= a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.

VD 10. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3

a . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)

VD 11.(ĐH khối D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’. Gọi I là giao điểm
của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC và tính khoảng cách từ A đến mp(IBC).

VD 12. (B- 09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng

600; tam giác ABC vng tại C và 

BAC = 600. Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên (ABC)

trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bi 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp
với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vng cạnh a và biết cạnh bên
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30 o và biết cạnh

bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A'
cách đều A,B,C biết AA' = 2a 3

3 .Tính thể tích lăng trụ.

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu
trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt BB'C'C hợp với đáy ABC
một góc 60o .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.

Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a
hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.

Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vng
góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.

2) Tính thể tích lăng trụ.

Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu
của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc của
A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đơi một tạo với nhau
một góc 60o .

1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.

3) Tính thể tích của hộp.

Bài 1 :hệ toạ độ trong khơng gian

Chó ý : (§äc và viết tóm tắt các nội dung)

1. H trc Oxyz.

2. Tọa độ của véctơ.
3. Tọa độ điểm .

4. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng.

5. Phương trình mặt cầu:

VD 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho a(1; 2;1) , b ( 2;1;1),c3i2j k  .

Tìm tọa độ các véctơ

1, u3a 2b 2, v c 3b 3,w  a b 2c

VD 2.Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M:
1, Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz.

2, Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

VD 3.Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

1, Qua gốc tọa độ O 2, Qua mặt phẳng Oxy 3, Qua Trục Oy.
VD 4. Tớnh a b c, 

 

  

1,a1; 1;1 ,  b 0;1; 2 , c4; 2;3 2, a 4;3; 4 , b 2; 1; 2 , c 1; 2;1

  

   

3, a4; 2;5 , b3;1;3 , c2;0;1 4, a  3;1; 2 ,  b 1;1;1 , c  2; 2;1 .
VD 5. Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)

1, Tính H               AB AC,  .(OA 3CB).

2, Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
3, Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích khối chóp đó

VD 6. Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
1, Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.
2, Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

3, Tính các góc của tam giác ABC.
4, Tính diện tích tam giác BCD.

5, Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1, Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
2, Tính thể tích hình hộp.

3, Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
4, Tìm độ dài đường cao DH của D A’C.

VD 8. Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của
A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ
Oxy, Oyz, Ozx.

1, Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
2, Chứng minh rằng N1N2  AN3 .

VD 9. 1, Cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4), C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
2, Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2). Tìm M (Oxy): ( MA + MB )min.

3, Tìm trên Oy điểm cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).

4, Tìm trên mp(Oxz) điểm cách đều ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).

VD 10.Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)
1, Chứng minh bốn điểm đó khơng đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2, Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
3, Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD

4, Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD
5, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

VD 11.Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0).
1, Chứng minh ABC là tam giác vuông.

2, Tính bán kính đường trịn nội, ngọai tiếp tam giác ABC.

3, Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.

VD 12. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:

1, x2 + y2 + z2 -2x + 4y -8z +12 = 0 2, x2 + y2 + z2 –6y +2z –6 =0 
3, 2x2 + 2y2 + 2z2 +8x –4y +2z –3 =0

VD 13.Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1, Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.

2, Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)

3, Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
4, Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).

5, Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).

VD 14. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1, Đi qua A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
2, Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.

3, Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

VD 15. Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để nó là 
phương trình một mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

VD 16. Chứng tỏ rằng phương trình x2 y2 z2 2 os .c x 2sin .y 4z 4 4sin2 0

  

        luôn l

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 2 : phơng trình mặt phẳng

Chú ý : (Đọc và viết tóm tắt các néi dung)

1, Phương trình mặt phẳng.
2, Cơng thức khoảng cách.

3, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

VD 1. Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:
1, () đi qua M(-3;2;0) có VTPT n(1;2;1)

2, () đi qua M(1;4;2) có cặp VTCP a(2;1;3) b(1;4;1)

3, () đi qua M(-2;1;1) và //mặt phẳng ():x –3y +z –2 =0

4, () là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(-1;4;3) ; B(1;2;1)

VD 2. Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:
1, () đi qua 3 điểm A(-4;3;1); B(1;-2;2); C(-1;1;3)

2, () chứa trục Oy và // CD; với C(3;-1;0); D(4;2;-3)
3, () chứa trục Oz và  mặt phẳng (): x –2y +3z –1 =0

VD 3. Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:

1, () đi qua A(3;-2;2) ; B(1;3;1) và vng góc mặt phẳng (): 2x –z +3 =0
2, () đi qua A(-1;4;2) và  (P): x – y +2z –1 = 0 & (Q): 2x + y – z + 4 = 0

VD 4. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
1, Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2, Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.

3, Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.

4, Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vng góc với mp(ABC).

VD 5. Trong không gian Oxyz, cho (P): 2x – y + 2z - 4=0 và (Q): x - 2y - 2z + 4=0
1, Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau.

2, Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A, B, C. Tính diện tích ABC.

3, CMR : O khơng thuộc mặt phẳng (P), từ đó tính thể tích tứ diện OABC.

VD 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0

1, Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
2, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).

VD 7. Cho 2 điểm A(-1;3;2) B(1;2;1). Lập phương trình mặt phẳng () đi qua B sao cho
khoảng cách từ A đến () là lớn nhất

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VD 9. Cho 4 điểm A(-2;1;3) B(1;2;-1) C(5;0;2) D(-1;3;0)

1, Lập phương trình mặt phẳng (BCD), suy ra ABCD là 1 tứ diện
2, Lập phương trình mặt phẳng () qua 2 điểm A,B và //CD

3, Lập phương trình mặt phẳng () qua 2 điểm A, C và  (): 2x + y – 3z + 5 = 0

VD 10. Lập phương trình mặt phẳng  qua điểm M(5; 4; 3), cắt 3 tia Ox. Oy, Oz theo
những đoạn bằng nhau

VD 11. Cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .

1, Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau

2, Lập phương trình (α) qua giao tuyến của (P) và (Q) và đi qua A(-1;2;3).

VD 12. Tính khoảng cách từ M đến ():

1, M(-2;-4;3) (): 2x – y + 2z – 3 = 0 2, M(2;-1;-1), (): 16x – 12y - 15z – 4 = 0
3, M(4;2;-2) (): 12 y - 5z + 5 = 0

VD 13.1, Tìm điểm M Ox cách đều () : 2x – y + z – 1 = 0 và (): 2x – y + z + 5 = 0

2, Tìm điểm M Oy cách đều điểm A(4;-1;- 4) và (): 2x – y + 2z + 19 = 0

VD 14. Lâp phương trình tiếp diện với mặt cầu tại điểm M :
1, (S): x2 + y2 +z2 –6x +4y –36 =0 tại điểm M(1;1;6)

2, (S): x2 + y2 +z2 +4x -2y +6z –107 =0 tại điểm M(4;-1;6)

VD 15. Lập phương trình tiếp diện với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 20 = 0 song 
song với mặt phẳng (): 2x – y + z – 1 = 0

VD 16. Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(-1;2;3), B(-4;1;-1), C(0;2;2) và có tâm
nằm trên mặt phẳng Oxz

VD 17. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1; 2) tiếp xúc với () : x - 2y + 2z – 5 = 0

Bµi 3 : phơng trình ĐƯờng thẳng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1. nh nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.

3. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc.

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
6. Khoảng cách.

7. Góc giữa hai mặt phẳng.
8. Góc giữa hai đường thẳng.

9. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

VD 1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

1, Đi qua A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là a(1; 2;1)

2, Đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).

3, Đi qua A và song song với đường thẳng 1 2 1

2 1 3

x y z

 



4, Đi qua M(1;2;4) và vng góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0

VD 2. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng

1, Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng

1 2
3
x t
y t
z t
 


 

 


2, Qua A(3;-1;2) và song song với hai mặt phẳng: x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0

3, Qua M(1;1;4) và vng góc với (d1):

1 2
3
x t
y t
z t
 



 

 


và (d2): 1 2 1

2 1 3

x y z

 



VD 3. Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)

1, Viết phương trình đường thẳng qua A và vng góc với mặt phẳng (BCD).

2, Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vng góc với cả hai đường thẳng AB, CD.

VD 4. 1, Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) &  (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm

của (d) và (P).

2, Viết phương trình tham số, chính tắc của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( ) : 2P xy z40 , ( ) :Q x y2z20

VD 5. Cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và (): 9 2 ,

5 3
x t

y t t R

z t



  

  


1, Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C.
2, Viết phương trình tham số , chính tắc đường thẳng BC.

3, Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng () đều thỏa mãn AM  BC,

BM  AC, CM  AB.

VD 6. Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

 

t,

R

2

3

1 :

























t

z

t

y

t

x

d

(P): x-y+z+3=0 2,

 

t,

R

1

9

4

12 :

























t

z

t

y

t

x

d

(P): y+4z+17=0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 

R

t

z

t

y

t

x

d

























t

33

2

21 :

1 ,

 

1

3

2

3

2 :























u

z

u

y

u

x

d

 

R

t

z

t

y

t

x

d

























t

46

32

23 :

 

d2 là giao của hai mặt phẳng:4x y 19 0; x z 15 0

VD 8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng

1, (d) 1 7 3

2 1 4

x y z

  và (d’) 6 1 2

3 2 1

x y z

 



2, (d) 1 2

2 2 1

x y z

 

 và (d’)

8 4

2 3 1

x y z

 



3, (d) 2 1

4 6 8

x y z

 

  và (d’)

7 2

6 9 12

x y z

 
4, (d)
1 2
3
x t
y t
z t
 


 

 


và (d’) là giao tuyến của

 

 : 2x 3y 3z 9 0,

 

 :x 2y z  3 0

VD 9. Tính góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

1, (d) 12 9 1

4 3 1

x y z

  và

 

 : 3x5y z  2 0

2, (d) 1 3

2 4 3

x y z

  và

 

 : 3x 3y2z 5 0

3, (d) 9 1 3

8 2 3

x y z

  và

 

 :x2y 4z 1 0

VD 10. Tính khoảng cách từ điểm M(-1; 2; 3) đến các đường thẳng

1,(d1):

12 9 1

4 3 1

x y z

  2, (d2):

1 2
3
x t
y t
z t

 


 

 


3, (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

 : 2x 3y 3z 9 0,

 

 :x 2y z  3 0

VD 11. Cho hai

 

1 :



















z

t

y

t

x

d

 

R

tz

t

y

t

x

d



















1
1
1
1
2

1 tt,

2 :

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

VD 12. Cho hai

 

1

2 :

1

1
1





















z

t

y

t

x

d

 

R

t

z

t

y

x

d





















2
1
2
2
2

t,t

3

1 :

1, Chứng tỏ rằng hai ng thng (d1),(d2) chộo nhau.

2, Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) .

3, Tính khoảng cách giữa (d1), (d2) .

Bài 4 : TổNG HợP

Chú ý

: ( Nêu phơng pháp các bài toán sau )

A. Mặt phẳng (dễ)

1, Vieỏt phửụng trỡnh ( ) qua 3 điểm A , B , C

2, Viết phuơng trình ( ) qua M0 và song song với mặt phẳng

 



3, Viết phương trình ( ) lµ trung trực của đoạn AB

4, Viết phương trình

 

 qua 1 điểm cho trước và vng góc với một đường thẳng

5, Viết phương trình ( ) qua 2 điểm A, B cho trước và vng góc với một mặt phẳng

6, Viết phương trình ( ) qua 1 điểm M0 cho trước và song song với 2 đường thẳng d d1, 2

7, Viết phương trình ( ) qua 1 điểm M0 cho trước và chứa 1 đường thẳng

8, Viết phương trình ( ) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2

9, Viết phương trình ( ) qua M0 song song với đường thẳng d và vng góc với ( )

10, Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và  với mặt phẳng ()

11, Viết phương trình ( ) chứa đường thẳng d1 và d2 (d1, d2 đồng phẳng)

B. §êng th¼ng (1, 2, 3 dƠ 4 ->)

1, Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A , B

2, Viết phương trình đường thẳng  qua 1 điểm và song song với đường thẳng d

3, Viết phương trình đường thẳng  qua 1 điểm M0 và vng góc với mặt phẳng 

4, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M0 và vng góc với d1và d2

5, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm B vng góc và cắt đường thẳng d

6, Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc của đường thẳng (d) trên (P)

7, Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d ( vng góc với mặt phẳng (P) )

cắt cả 2 đường thẳng d1vàd2

8, Viết phương trình đường thẳng vng góc chung của 2 đường thẳng d1vàd2

9, Viết phương trình đường thẳng  qua A vng góc với d1và cắt d2

10, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A cắt cả 2 đường thẳng d1vàd2

11, Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

 

 cắt d1vàd2

12, Viết phương trình đường thẳng  qua giao điểm của

 

 và (d) nằm trong

v vuụng gúc vi

C. Tìm điểm

1, Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng

 



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2, Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng

 



=> H đối xứng với điểm M qua đường thẳng

 



VD 1.Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ():xyz10

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M trên ()

b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ()

c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ()

VD 2.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và

 

 : 2x y z   4 0. Tìm điểm M 

 

 sao cho

MA MB

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

nhỏ nhất .

VD 3.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và

 

 :x y z   2 0 Tìm điểm M 

 

 sao cho

MA2+MB2 nhỏ nhất

VD 4. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d:





















t

z

t

y

t

x

2

1

2

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d
b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.

VD 5.Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC).
c. Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).

d. Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB

VD 6.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – 9 = 0 và  :

2 4
1
3
x t
y t
z t
 



 

 


1. Tìm giao điểm I của  và ().

2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với ().

VD 7.Trong khơng gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

5

1

2

5 :























t

z

t

y

t

x

d

 

R

t

z

t

y

t

x

d























1
1
1
1
2

tt,

1

3

23 :

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

2, Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và d mp( d1, d2)

VD 8.Trong khơng gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 
3
4
1
2
2
1
:
1






 y z

x

d

 

t

32

1 :

R

t

z

t

y

t

x

d





















1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt nhau.

2) Viết phơng trình đờng phân giác của (d1),(d2)

VD 9.Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

1 :



















z

t

y

t

x

d

 

R

tz

t

y

t

x

d



















1
1
1
1
2

1 tt,

2 :

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

2) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2) .

VD 10.Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :   1

1
2
1
1
2
:
1






 y z

x
d

 

t

31

2

21 :

R

t

z

ty

t

x

d

























1, CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
2, Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).

3, Viết phơng trình đờng phân giác của(d1),(d2)

VD 11.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đờng thẳng:

 
2
1
1
1
1
:
1




y z

x

d ,  

1
2

1
1
:
2
z
y
x

d   

VD 12.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đờng thẳng:

 

d :1 lµ giao cđa hai mặt phẳng 5x 2z-12 0; 3x-2y-8 0



 

t

2

23

31 :

R

t

z

t

y

t

x

d

























VD 13. Viết phơng trình đờng thẳng (d) vng góc với (P) :x+y+z-2=0 v ct c hai ng

thẳng (d1) và (d2):

 

R

tz

t

y

t

x

d





















t

2

1

2 :

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

VD 14. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 





1 3

: 3 2 t R

x t

d y t

z t
 


  

  


 

d2 là giao của hai mặt phẳng 3x 2y 8 0; 5 x2z12 0
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung của (d1),(d2) .

VD 15. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết:   1

2
3
1
2
1
:
1





 y z

x

d  

2
5
2
2
2
:
2






 y z

x
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

2) Viết phơng trình đờng thẳng vuụng gúc chung ca (d1),(d2) .

Bài 4 : TổNG HợP

Chú ý

: ( Nêu phơng pháp các bài toán sau )

1, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm B vng góc và cắt đường thẳng d

2, Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d ( vng góc với mặt phẳng (P) )

cắt cả 2 đường thẳng d1vàd2

3, Viết phương trình đường thẳng vng góc chung của 2 đường thẳng d1vàd2

4, Viết phương trình đường thẳng  qua A vng góc với d1và cắt d2

5, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A cắt cả 2 đường thẳng d1vàd2

6, Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

 

 cắt d1vàd2

7, Viết phương trình đường thẳng  qua giao điểm của

 

 và (d) nằm trong

 

 và vng góc với



8, Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng

 



=> H đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

 



9, Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng

 



=> H đối xứng với điểm M qua đường thẳng

 



VD 1. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

3

4

2

4

3

7 :























t

z

t

y

t

x

d

 

R

t

z

t

y

t

x

d























1
1

1
1
2

tt,

12

29

1 :

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung của (d1),(d2) .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đờng thẳng A1A2 vng góc

với (d1) và vuông góc với (d2) .

VD 3. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết:

 

d :1 là giao của hai mặt phẳng

x y 0; x-y   z 4 0

 

t

2

31 :

R

t

z

ty

t

x

d





















1) Chứng tỏ rằng hai đờng thng (d1),(d2) chộo nhau.

2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

VD 4.Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết:   1

9
2
3
1
7
:
1






 y z

x

d  

3
1
2
1
7
3
:
2






 y z

x
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.

2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung của (d1),(d2) .

VD 5.Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

 

d :1 là giao của hai mặt phẳng x-y z 1 0; x y 2z 0  

 

t

2

5

22 :

R

t

z

t

y

t

x

d























1) Chứng tỏ rằng hai ng thng (d1),(d2) chộo nhau.

2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .

3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d1),(d2) .

VD 6.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng:

 

R

t

z

t

y

t

x

d

























t

33

2

21 :

1 ,

 

1

3

2

3

2 :























u

z

u

y

u

x

d

VD 7.Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và
vng góc với đờng thẳng (d):  (P):x-y-z-1 0

2
1
1
2
1

:x y z 

d

VD 8.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0,1,1) và vng góc với đờng thẳng (d1) và cắt

(d2) ,biÕt : 

1
1
2
3
1
:
1
z
y
x

d    

 

d2 : lµ giao cđa x 1 0; x y z   2 0

VD 9.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt
đờng thẳng (d) biết:

 

2
1
2
4
3
2
:  




 y z

x
d

VD 10.Cho ba đường thẳng (d1):

1 2 2

1 4 3

x y z

  ,(d2):

3
1
5
x t

y t
z t



 

  


</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VD 11.Cho hai đường thẳng (d1):
1 2
3
x t
y t
z t
 




  


Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

 : 2x y z  1 0,

 

 :x2z 3 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)

VD 12.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp:y+2z = 0 và cắt cả hai đường
thẳng.(d1):

1
4
x t
y t
z t
 




 


(d2):

2
4 2
1
x t
y t
z
 


 

 


VD 14.Cho hai đường thẳng (d): 1 2 3

1 2 3

x y z

  và (d’):

2
1
x t
y t
z t
 


 

 

.
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng
b) Viết phương trình đường vng góc chung của chúng

c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

VD 15.Cho hai đường thẳng (d1):

1 3
2

x t
y t
z t
 


 

 


Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

 :x y z   2 0,

 

 :x 1 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vng góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2)

VD 16.Cho hai dường thẳng 1

2
:

2 3 4

x y z

   và 2

: 2 ,

1 2

x t

y t t R

z t
 


    
  


a, Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1và song song với 2.

b, Cho điểm M(2;1;4).Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2sao cho đoạn MH có

độ dài nhỏ nhất

VD 17.Cho hai điểm A(2;0;0) , B(0;0;8) và điểm C sao cho AC(0;6;0).Tính khoảng

cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA .

VD 18.Trong không Oxyz cho mp

 

 : x+3ky – z +2=0 và

 

 :kx – y +z +1=0 . Tìm k để

giao tuyến của

 

 và

 

 vng góc với mặt phẳng

 

 :x – y – 2z +5=0 .

VD 19.Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4)và đường thẳng d:

3 2

1 ,

1 4

x t

y t t R

z t
 


  

  


Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt và vng góc với đường thẳng d.

VD 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD , AC cắt BD tại gốc tọa độ O.
Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2) . Gọi M là trung điểm SC .

a/ Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM
b/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

VD 21.Trong không gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng

 

 đi qua ba điểm

A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8).

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b, Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

 .

c, Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5.CMR:

 

 cắt mặt cầu (S).

VD 22.Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng

 

 : 2x +y – z – 6 = 0 .

a, Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua O và song song với

 

 .

b, Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vng góc với
mặt phẳng

 

 .

c, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng

 

 .

VD 23.Cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) và
đỉnh D đối xứng với O qua tâm của hình hộp chữ nhật .

a, Xác định tọa độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD) .
b, Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vng góc với (ABD) .

VD 24.Trong khơng gian Oxyz, cho A( 6 ;- 2 ;3) , B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0)

a , Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D . Hãy lập phương trình mặt cầu (S)
b, Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

VD 25.Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0)
a ,Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D .

b, Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường trịn là giao tuyến của mặt cầu
(S) với mặt phẳng (ACD)

VD 29.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0

a/ Chứng minh : (P) và (S) cắt nhau .

b/ Xác định tâm và bán kính đường trịn là giao tuyến của của (P) và (S)

VD 30.Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – 9 =0 và cắt
(S) theo thiết diện là một đường trịn lớn .

b/ Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – 1 =0 và
cắt (S) theo thiết diện là một đường trịn có diện tích bằng 3.

VD 31.Cho dường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) : 6

1 3 3

x y z

 

 , (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0.

a/ Chứng minh (d) (P) .

b/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và vng góc với mặt phẳng (P) .

c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc 60o .

VD 32.Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình
(d1) :

7 5 9

3 1 4

x y z

 

 , (d2)

4 18

3 1 4

x y z

 



a/ Chứng tỏ (d1) và (d2) song song với nhau.

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2) .
c/ Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) .

d/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) và cách (d2) một khoảng bằng 2.
e/ Lập phương trình đường thẳng () thuộc (P) và song song cách đều (d1) và (d2)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

(d1):

7 3

2 2 ,( )

1 2

x t

y t t R

z t

 



  


  


, (d2) :

1 2 5

2 3 4

x y z

 



a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa (d1) và (d2).

b/Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và ba mặt phẳng tọa độ .
c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên .

VD 34.Cho hai đường thẳng (d1) và (d2)có phương trình :
(d1) :

1 2

2 ,( )

3 3

x t

y t t R

z t

 



  



  


và (d2) :

3 2 ,( )

1 3

x u

y u u R

z u

 



  


  


a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau .
b/ Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).

c/ Viết phương trình đường vng góc chung của (d1) và (d2)

d/ Viết phương trình đường thẳng () song song với Oz , cắt cả (d1) và (d2).

VD 35.Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :
(d) :

2 2 ,( )

x t

y t t R

z t





  


  


, (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5

a/ Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc
b/ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) và cắt (S) tại hai
điểm A, B sao cho độ dài AB = 2 .

c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) cắt (S) theo thiết diện là đường trịn có chu vi
bằng 2

VD 36.Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) :

1 2

2 ,( )

x t

y t t R

z t

 



  


 


, (P): 2x – y – 2z + 1= 0

a/ Tìm các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt
phẳng (P) bằng 1 .

b/ Gọi K là điểm đối xứng của I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) . Xác định K.

VD 37.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.

b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc giữa hai đường thẳng
MP và C’N.

VD 38. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a. Tính góc hợp bởi cạnh
bên và mặt bên đối diện.

VD 39. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam
giác vuông tại C. Cho SA = AC = CB = a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(SBC).

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

a) Tính độ dài MN.

</div>

Chuyen de HH 12

Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (1)

Chó ý:

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (2)

Chú ý:

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bµi 2 : thĨ tích khối lăng trụ (1)

Chú ý:

Bµi tËp rÌn lun kü năng

:

Bài 2 : thể tích khối lăng trơ (2)

Chó ý:

Bài tập rèn luyện kỹ năng

:

Bài 1 :hệ toạ độ trong khơng gian

Bài 2 : phơng trình mặt phẳng

Bµi 3 : phơng trình ĐƯờng thẳng

 

t,

R

2

3

1

:

























<i>t</i>

<i>z</i>

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

<i>d</i>

 

t,

R

1

9

4

12

:

























<i>t</i>

<i>z</i>

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

<i>d</i>

 

<i>R</i>

<i>t</i>

<i>z</i>

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>