<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TÀI LIỆU </b>

<b>BỒI DƯỠNG HSG “GIẢI TỐN BẰNG MÁY TÍNH CASIO” </b>
<b>CẤP TỈNH: </b>

<b>Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b. </b>

-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Khơng làm tràn máy) rồi tìm số
dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng.

VD: Tìm số dư của 1112_{cho 2001.}
Giải:

116_{=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676.}

Vì 1112₌₍₁₁6₎2_{chia cho 2001 dư là: 676}2_{:2001 dư là 748}
Vậy dư của phép chia trên là 784.

-Cơ sở lý luận:

<b>Bài tập áp dụng: </b>

Tìm số dư trong phép chia a cho b:

1/ a=736_{; b=2003.} _{2/ a=72}18_{; b=2009.}

3/ a= 1318₊₁₃20_{; b=6954}

4/ a=1358₊₂₄₇5_{; b= 3311}

<b>Dạng 2: Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số) </b>

Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789
-Ghép a thành các nhóm:

+ Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số.
+ Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số.
{

n.4 n.3 n.2 n.1

a=123456789123456789_{123 123 123}

-Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy.
Để tìm số dư an_{cho b ta làm như nhau:}

-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta coù: a=bq+r ⇒ <i>_an</i> =₍<i>_bq</i>+<i>_r</i>₎<i>n</i>

( )

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i> = <i>bq</i>+<i>r</i> n n-1 n-1 n
b

= ?(bq) +?(bq) ×r+....+bq.r +r

M

1444442444443 (Công thức này không

quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển.
Vậy chỉ tìm xem rn_{chia cho b dư là mấy.}

Đáp số 892 Đáp số 918

Đáp số 170

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

= × =_{123 123}

lapbuoc2 ghiragiay
a 56789 56789 3224990521

-Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b:
{

+ × =

123 123 123

ghiragiay
lapbuoc2 n2 laybuoc3

32249 91234 56789 5181119875

KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1.
-Tiếp tục là như vậy đến hết.

Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789
Buớc 1: 56789×56789=32249 90521
Bước 2: 32249+34×56789=1963075

Cơ sở lý luận:

<b>Bài tập áp dụng: </b>

1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068
b/ a= 147689245; b= 12567

2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998

3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667

<b>Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng: </b>

* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng:

-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng.
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên.
<b>Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3</b>202_.

-Ta coù
1
2
3
4
5

3 3

3 9

3 27

3 81

3 243

=
=
=
=
=

Ghi ra giaáy 90521

Ghi ra giấy 19875 90521
<b>Đáp số : 7010987597531987590521 </b>

Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789.

Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên.

KQ: 1963075 90521

<b>Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối </b>
<b>cùng. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3202₌₃200_.32₌₍₃5₎40_.32₍₁₎

Vì 35_{có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (3}5₎40

là 340_{; 3}40₌₍₃5₎8

Và chữ số cuối cùng là 38_{; 3}8₌₃5_.33_{nên chữ số cuối cùng của 3}8_{là 3}4_.

Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài tốn chính là chữ số cuối cùng của 32_.34₌₃5_.3.
Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9.

<b>Ví dụ 3: </b>

Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202₊₃203₊₃204_.
Ta có: A=3202_(1+3+9)=3202_.13

Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202_{là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng}
của tích 13.9=27.

*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo ngun tắc, khơng có cách giải cụ thể, xong tuỳ
từng bài để vận dụng:

<b>Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 35</b>12_.

356_{=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 35}6_{là 25.}

Mà 3512₌₍₃₅6₎2_{nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)}2_=625.
Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.

<b>Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3</b>523_.
Ta có: 315_{=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07}
Và 3523₌₍₃15₎34_.513_{; và 5}13_=1594323.

Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích

Suy ra

Vậy hai chữ số cuối cùng là 27.

<b>Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64</b>501₊₆₄502_.
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501_.

Ta coù:

645_{=1073741824. Và 64}501₌₍₆₄5₎100_{.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cựng ca}
tớch: (824)100_.64.

ã Vỡ 8243_{=559476224; (824)}100_.64={(824)3_}33_824.64

ị ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736.

• Vì 2244_{=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)}33_{.52736 là ba chữ số}
cuối cùng của tích (224)4_}8_{.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)}8_{. 164864.}
• Vì 8963_{=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)}8_{. 164864. là ba chữ số cuối}

cùng của (136)2_.8962_{.864=18496.802816.864}

• Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích
496.816.864=349691904.

• Ba chữ số cuối cùng của 64501_{là 904.}
(07)34_.23={(07)7_}4_.(07)6_.23

(07)7_{=823543; 7}6_=117649 (43)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

• A=64501_(1+64)=65.64501_.

Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760.
Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760.

<b>Dạng 4: Tính chất chia hết- Tìm tổng các số thoả mãn một vài điều kiện về </b>
<b>chia hết</b>:

<b>Ví dụ 1: Chứng minh rằng 13</b>18_{-1 chia hết cho 6954.}
Ta có: 1318₌₍₁₃6₎3

Vì 136_{=4826809 chia cho 6954 có số dư là 733; (733)}3_{=393832837 chia cho 6954 dư bằng 1.}
Vậy A= 138_{-1 chia hết cho 6954.}

<b>Ví dụ 2: Tính tổng các số từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3. </b>

Giải: Các số trong khoảng từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3 là các số 10002; 10005;………;
99999.

Số các số hạng chia hết cho 3 là: (99999-10002):3+1=30 000

Tổng các số chia hết cho ba là: 10005+………+99999= (10005+99999).30000:2
=1650060000.

<b>Ví dụ 3: </b>

Tìm tổng các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2 000
000.

Giaûi:

Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 là: 20 001;…………;1 999 998.
Số các số hạng chia hết cho 3 là: (1 999 998-20 001):3+1=660 000
Tổng các số chia hết cho 3 là:

20 001+…………+1 999 998=(1 999 998+20 001).660 000:2
=330 000. 2019999 =666 599 670 000

Các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2000000. là:
20010;……; 1 999 995.

Số các số chia hết cho 5 là:

(1 999 995– 20 010):15+1=132 000 soá.

Tổng các số chia hết cho 15 là: (1 999 995+ 20 010).132 000:2=133 320 330 000
Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 là:
660 000-132 000=528 000 số.

Tổng các số này là: 666 599 670 000-133 320 330 000=533 279 340 000.
<b>Hỗ trợ: </b>

<b>Tìm số phần tử của tập hợp:</b> (Số cuối-Số đầu): Khoảng cách giữa hai số +1

<b>Tính tổng các số có khoảng cách bằng nhau: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Ví dụ 4: Tìm một số có 8 chữ số đồng thời chia hết cho 3 và 4, mà số ấy chỉ gồm các chữ số </b>
2 và 3, trong đó số chữ số 3 nhiều hơn số chữ số 2.

Giải:

Gọi số cần tìm là: A a a a a a a a a= _{1 2 3 4 5 6 7 8}. Vì AM4 nên a a_{7 8} M4; theo đề bài ta có các chữ số

của số A chỉ là chữ số 3 và 2 nên suy ra a a =32. _{7 8}

Để A chia hết cho 3 cần : a1+a2+…+a6+3+2 chia hết cho 3. Hay a1+a2+…+a6 +5 chia hết cho
3. Nhưng do các chữ số của A chỉ là chữ số 3 và 2 và chữ số 3 nhiều hơn chữ số 2 và từ a1
đến a6 (Có 6 chữ số) nên suy ra:

@ Trường hợp 1: Có 4 chữ số 3 và 2 chữ số 2 : Tổng các chữ số là: 4.3+2.2+5=21 (thoả mãn
chia hết cho3)

@ Trường hợp 2: Có 5 chữ số 3 và 1 chữ số 2: 5.3+2.1+5=22 ( không thoả mãn chia hết
cho3)

@ Trường hợp 3: Có 6 chữ số 3 và khơng có chữ số 2: 6.3+5=23 ( không thoả mãn chia hết
cho3)

Vậy số đó có thể là 33 332 232. Đổi vị trí các chữ số 3 và 2 từ hàng trăm đến hàng chục
<b>triệu (Giữ nguyên chữ số hàng chục và đơn vị ta có các số cần tìm) </b>

<b>Một số bài tập: </b>

1/Tìm tổng các số chia hết cho 7 mà không chia hết cho 2

2/ Tìm một số có 6 chữ số sao cho nó chia hết cho 25 và chia hết cho 3 và chỉ gồm các chữ
số 2 và 5. Trong đó số chữ số 2 nhiều hơn số chữ số 5.

<b>Dạng 5: Hàm số và tỉ số lượng giác: </b>
<b>1/Các bài tập cơ bản: </b>

a/ Tìm tỉ số lượng giác của một góc:

Màn hình ở chế độ Deg (Dùng số đo độ) bằng cách bấm phím MODE nhiều lần đến khi xuất
hiện:

Ví dụ 1: Tính Sin 60o_{= 0,866025403}
Sin 30o_{20’15’’=0,505092606.}

Bấm phím:

<b>Chú ý: Máy không có nút bấm cotg. </b>

Deg Rad Gra

1 2 3

Sin 30 o,,, 20 o,,, 15 o,,, =

<b>Hỗ trợ: </b>

Vì tga . cotg a = 1 nên cotg a = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vậy để tính cotg a ta làm như sau: -Tính tg a sau đó lấy nghịch đảo.

b/Tìm số đo độ của một góc:
Ví dụ: Tính: sin x= 0,534

Ta có: sin-1_{0,534=3,27611926 bấm tiếp nút o,,, ta được 32}o_{16’34,03 (34’’)}
<b>Bài tập áp dụng: </b>

1/ Tính giá trị của biểu thức:

3 o 2 o 3 o

3 o 2 o

cos 25 12'28'' 2sin 45 7tg 27
A

sin 36 cos 37 13'26''

+

-=

+

2/Cho tg x =2,34 (x là góc nhọn).
Tính: P 8cos x 2sin x cosx3 ₃3 ₂
2cosx sin x sin x

- +

=

- +

3/ Cho Sin (3x+13o_{15’)=0,5323. Biết 0}o_<x<90o_.
Tính:

3 2 4 o 5

3 o 4

cos 3x sin 2x tg (5x 10 15') cot g 4x
Q

sin (2x 15 21') cot g 6x

+ - + +

=

+

<b>-Dạng 5: Tốn hình học: </b>

<b>Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH </b>
vng góc với BC.

1/Tính BC; AH; HC.

2/ Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB.

Đáp số A=0,73182671

Đáp số P=-0,792316539

Cách giải:

-Tính: tg-1_{2,34=66,86053824, bấm o,,, =66}o₅₁o_{37,94 ứng với 66}o_{51’37’’}
Vậy góc x=66o_{51’37’’. Lúc này thay x vào biểu thức P và nhớ tử vào phím A;}
nhớ mẫu vào phím B và cuối cùng làm thao tác A ab/c B =

Khơng nên đánh tồn bộ biểu thức vào máy vì bị tràn máy.

Cách giải:

-Trước hết hãy tính góc x bằng cách:

sin-1_{0,5323=32,16098868 bấm o,,, được 32}o_{9’39’’.}
Vậy 3x+13o_15’=32o_9’39’’

Þ x=8o38’13’ nhớ vào phím A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm. Gọi O là giao điểm </b>
hai đường chéo của hình chữ nhật. Kẻ AH vng góc với DB; kéo dài AH cắt CD ở E.

1/ Tính OH và AE.

2/ Tính diện tích tứ giác OHEC.

<b>Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức: </b>

<b>Ví dụ 1: Tính </b>
2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

A 1 1 1 ... 1

2 2 3 19 20

= + + + + + + + + +

Cách 1: Xét bài toán phụ:
2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 ₂ 1 1 1

a b c a b c ab ac bc

ỉ ư_÷ ổ ử_ữ

ỗ ỗ

+ + = _ỗ_ỗ + + ữ_ữ - _ỗ_ỗ + + ữ_ữ

ố ứ ố ứ=

2

1 1 1 ₂ a b c

a b c abc

ỉ ư_÷ ỉ + + ử_ữ

ỗ ₊ ₊ _ữ_- ỗ _ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ỗ

ố ø è ø (1)

-Dùng hệ thức lượửctong tam giác vng
để tính câu 1.

-Theo t/c đường phân giác có:

NA AB NA NC NA NC

NC AC AB AC AB AC

+

= Þ = =

+

NA AC

AB AB AC

Þ =

+ từ đây tính NA; sử

dụng Pitago trong tam giác ABN tính
BN.

A
N

B H C

Nhớ AB và A; AD vào B
1/Tính được BD bằng định lý
Pitgago rồi tìm OB và HB hoặc
DH. Đsố: DB=25,61738695 nhớ
vào C

AH=12,36311165 nhớ vào D.
DH=9,459649007 nhớ vào E.
HO=OD-DH=3,349044467.
-Tính AE:AD2_{=AH.AE Nên}
AE=19,6011729. nhớ vào F

A B

H O

D E C

2/ Diện tích OHEC:
OHEC OCD DHE

1 AD DC DH HE

S S S

2 2 2

D D

´ ´

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Nếu a+b+c=0 thì (1) trở thành

2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

ổ ử_ữ

ỗ

+ + = _ỗ + + ữ_ữ

ỗố ứ

Ta laùi coù:

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

m n (m n) m n ( m n) m n n m

ổ ử_ữ

ỗ

+ + = + + = _ỗ + - ữ_ữ

ỗố ứ

+ - - +

Suy ra: S_k 1 1₂ 1₂ 1 1₂ 1₂ ... 1 1 ₂ 1₂

1 2 2 3 (k 1) k

= + + + + + + + + +

- =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 .... 1 (k 2)

2 3 3 4 k 1 k 2 k

ổ ử ổ_ữ ử_ữ ổ ử_ữ

ỗ ỗ ỗ

= _ỗ_ỗ + - ữ_ữ+ _ỗ_ỗ + - _ữữ+ + _ỗ_ỗ + - ÷_÷= - +

-è ø è ø è - ø

Với đề bài k=19 nên ta có 19-2+ 1 1
2 19
-Ví dụ 2: Tính:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

B 1 1 ... 1

2 3 3 4 2004 2005

= + + + + + + + + +

<b>Dạng 7: Tính giá trị của biểu thức có phép lặp:</b>

<b>Ví dụ 1: Cho U</b>1=7; U2=12. Viết cơng thức tính Un+1= U12+ 8U2 . Tính U10.

-Quy trình bấm phím:

<b>Ví dụ 2: Cho U</b>o= 12. Viết cơng thức tính Un=
3

o o

2
o

U 2U

U

- _{. Tính U}

13.

<b>Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để 2</b>8₊₂11₊₂n_{là số chính phương.}
Ta có 28₊₂11₌₂8₍₁₊₃3₎₌₄₈2_.

Để 28₊₂11₊₂n_{là số chính phương thì å 2}8₊₂11₊₂n_=k2_{hay 2}n_=k2_-482_{=(k-48)(k+48)}
Nhớ U1=7 vào A; U2=12 vào B; Lập công thức:

A2_{+8B nhớ vào A;}
B2_{+8A, nhớ vào B}

Bấm nút REPLAY 7 lần ta được U10 .

Đây là U3(Vì ở trên đã cho U2.
Đây là U4(Vì ở trên đã tínhU3.

Nhớ Uo=12 vào A; Lập cơng thức:
(A3_{-2A ):A}2_{nhớ vào A}

Bấm nút REPLAY 12 lần ta được U13 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Suy ra k-48=2p_{. và k+48=2}q_{. Ta có 2}q_-2p₌₂p₍₂q-p_{-1)=(k+48)+(k-48)=96=2}5_.3
Vậy với p=5; q=3 hay n=12 thì 28₊₂11₊₂n_{là số chính phương.}

Tính trên máy CASIO là: Khai báo công thức 8 11 n
n

a = 2 + 2 + 2

Bấm máy như sau:

2 8 2 11 2

Lần lượt khai báo X=1; 2;3 …..12 và dung để trở về cơng thức trên, sau

đó bấm phím ta được a₁₂=80. Vậy n=12

<b>Ví dụ 4: Cho dãy số </b>U_n n 2004₃
n

= + . Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số:

Giải: Khai báo cơng thức

Lần lượt cho X=1;2;3……… ta có kết quả cuối cùng.

( ^ + ^ + ^ ALPHA X )

D

=

</div>

<!--links-->