sangkienkinhnghiem

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.59 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A _ Đặt Vấn Đề.

Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS thi tinh.
Nhằm phát huy trí lực , kĩ năng giải tốn , khả năng t duy sáng tạo , độc lập ,
có óc khái quát và tổng hợp . Đặc biệt là cung cấp cho học sinh phơng pháp
suy nghĩ , cách nhìn nhận một vấn đề , một bài tốn với phẩm chất tốn học
của nó.

Với khả năng có hạn , bằng vốn kinh nghiệm , qua đọc và nghiên cứu
sách , cộng với sự học hỏi ở các đồng nghiệp , tơi mạnh dạn viết vài dịng
trình bày một vấn đề có thể khơng cịn mới mẻ. Nay tơi đem đến cho các bạn
cùng nhìn nhận và tham khảo .

B . Néi dung

Bình phơng của một biểu thức thì không âm cách nhìn và ứngdụng
Khởi đầu ( a- b)2 0 víi

a, b

DÊu “=” x¶y ra khi a= b
1 . Tõ a2 – 2ab + b2 0

 a2 +b2

(a +b)2 (1)

2 2

a b

ab víia, b

2(a2 +b2 ) (a+b)2

2. Víi a, b 0 . Chia 2 vÕ cña (1) cho ab ta cã

a b 2

b a  (2)

3. Céng 2 vÕ cđa (1) vµ 2ab ta cã (a+b)2 4ab (3) 


2
2

a b

 

 

  

Víi a,b 0 . Khai ph¬ng 2 vÕ ta cã

a b

 ab

( Bđt cụ si vi 2 số không ©m )
4. Chia 2 vÕ cña (3) cho ab(a+b)>0 .Ta cã

a b 4
ab a b




 (4) Hay

1 1 4

a b a b

1 1 1

4a4ba b

5. Chia hai vÕ cña (4) cho a>0 ta cã

a

b a

b  

b>0 (5)
a +b2 2b

a 

6. a, b>0 . Lấy nghịch đảo và đổi chiều 2 vế của (5) ta có:
1 21 2

2aba b (6)
1 1 2 2

2 2

a b

a b a b



  

 ( nh©n 2 vÕ víi a+b )

1 1 1 2 2

a b

a b a b


 

   

 

7. Bít mỗi vế của (6) cho ab ta có a2 ab +b2 ab(a+b) (7)

8. a2+b22ab

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
2 2

2 2

a b a b 
 
 

(chia mỗi vế cho 4)
9. (a- b)2 0

(a- c)2 0 2(a2 b2 c2)

    2ab +2ac +2ca

(b- c)2 0 (a,b,c>0)

 3(a2 +b2+ c2) (a+b+c)2.

Bài tập áp dụng 
Bài 1:

a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác ( p là nửa chu vi)

CMR : 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Gi¶i
Tõ (4) ta cã 1 1 4

a b a b

T¬ng tù : 1 1 4 4

p a  p b  p a b  c
1 1 4 4

p b  p c  p b c  a
1 1 4 4

p c  p a  p a c  b
2VT 4 1 1 1

a b c

 

    

 

1 1 1
2

a b c

 

    

 

Bµi 2.

Cho a,b ,c >0 CMR

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b b c c a

c a b

  

  a+b+c

Giải

Từ công thøc (5) ta cã :

2
2
2

a

c a

c
b

a b

a
c

b c

b

 
 
 

T¬ng tù :

2 2 2

a b c

a b c

c  a  b    (1)
a2 b2 c2 b c

b  c  a   (2)
Céng (1) víi (2) ta cã :

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b b c c a

a b c

c a b

  

    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho a, b ,c >0 CMR : 2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

 

  

  

Gi¶i

Tõ (5) ta cã : +













2
2
2

( ) 2 .2 4

a

b c a a

b c
b

a c b b

a c
c

a b c c

b c

   


2 2 2

4 4 4

2( )

a b c

a b c
b c a c a b       

Chia 2 vế cho 4 ta có đpcm

Bài 4.

Cho x>0 Q* . CMR





2
2

1 2

1 x 1 16

x x

 

    

 

Gi¶i

Tõ (3) ta cã (1+x)24x

12 2 1 1 1 41

x x x x

 
    

 

đpcm.

Bài 5.

Cho a, b, c >0 CMR :

1 1 1 1 1 1

3 4

ab ac bc a b a c b c

   

    

   

  

   

Gi¶i
Tõ (3) cã (a+b)2 4ab

Chia 2vÕ cho ab(a+b)2> 0 . Ta cã .

T¬ng tù : +













2
2
2

1 4

ab a b
ac a c
bc b c
















 



1 1 1 1 1 1

ab ac bc a b b c a c

 

 

   

    

 













1 1 1 1 1 1

3 4.3

ab ac bc a b a c b c

 

 

      

 

      

1 1 1

a b a c b c

 

    

  

 

Theo (9)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

CMR: 2



a3 b3 c3



ab a b





bc b c





ac a c( )

       

Gi¶i
Tõ (7) ta cã : +









3 3

3 3 ( )

a b ab a b
b c bc b c
c a ac a c

  

  
  



a3b3c3



ab a b(  )bc b c(  ) ( a c )
Bµi 7.

Cho (x,y)lµ nghiƯm cđa hpt : ax-by=0

x +y =1
T×m Max :xy.

Gi¶i.

TÝnh x, y . ax=by (cã thÓ sd t/cd·y tỉ số băng nhau :a b
y x
ax+ay = ay+by

a(x+y) = y(a+b)
a =y(a+b)
y a

a b





Khi đó





1
4

ab
xy

a b

 



Max 1

xy  a b Khi đó 1

x y

Bµi 8.

Cho a, b, c >0 .

CMR : 1 1 1 1 1 1

2a b c  2b a c  2c a b  4a4b4c
Gi¶i.

Tõ(4) cã 4 1 1 1 1 1

4 4 16 16

a b  a b  a b  a b





4 1 1

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 ( ) 8 4( ) 8 4 4 8 16 16

a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

 

  

       

   

T¬ng tù :

1 1 1 1

2 ( ) 8 16 16

1 1 1 1

2 ( ) 8 16 16

b a c b a c

c a b c a b

  
 

Céng vế với vế 3 bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.

Bài 9 .

a, b,c >0 Tho¶ m·n 2 1 1
b  a c
CMR : 4

2 2

a b c b
a b c b

 

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tõ (gt) 2 a c
b ac



  b = a c
ac



a b
a b






2
2
2

ac
a

a c
ac
a

a c







= 2 32 3

2 2

a ac a c

a a

 



T¬ng tù : 3

2 2

c b c b

c b c

 




VÕ tr¸i = 3 3 3 2 3 2

2 2 2

a c c a ac c ca a

a c ac

    

 

2 2

3( ) 2 3.2 2 8

2 2 2

a c ac ac ac ac

ac ac ac

  

  

Bµi10.

a, b,c  0 , a+b+c =1

CMR : a+b+c 4(1-a)(1-b)(1-c)

Gi¶i
Tõ a+b+c=1  b+c=1-a

0  c 1  c2 1 1 1  c2 0

VÕ ph¶i = 4(b+c)(1-b)(1-c) 



(b c ) (1  b) (1



2  c)

=(1 c) (12 c) (1 c2) 1 c a b 2c

        

Bµi 11.

a,b,c là 3 cạnh của tam giác

CMR a b c 3

b c a c a b a b c        

Gi¶i
§Ỉt x= b+c-a

y= c+a-b  x+y+z=a+b+c
z= a+b-c

a+b+ c = x+y+z

- a+b+b = x

2a =y+z

y z

a 

 

T¬ng tù

x z
b  ,

x y
c 

2 2 2 2

(2 2 2) 3
2

x z x z x y y z x y x x

VT

x y x x x y z z y

 

  

          

 

   

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z  a=b=c
Tức ABC u.

Bài 12

a,b,c la 3cạnh của tam gi¸c . CM
abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

x y 2 xy

2
2

y z yz

z x zx

 
 

. .

2 2 2

x y y z z x

xyz    abc

  

Bµi 13

Cho a,b,c >0
CM :

2 2 2 2 2 2

a b b c c a

a b c

a b b c c a

  

    

  

Gi¶i.
Theo (8) ta cã : 2(a2 +b2) (a+b)2

2 2

a b a b

a b

 

 

  ®pcm.

Bµi 14.

Cho a,b,c > 0 . CM : a b2 2 b c2 2 c a2 2 1 1 1

a b b c c a a b c

  

    

  

Gi¶i.

Theo (6) ta cã : 2 2 1 1 1

a b

a b a b

  

   

   đpcm.

Bài 15.

Cho a,b >0 vµ a+b=1
CMR :

2 2

1 1 25

a b

   

   

   
   

Gi¶i .
Tõ (8) cã 2(a2+b2) (a+b)2

2
2 2

a b
a b   

 

2 2

2
2

1 1

2 1

3 5

a b a b

VT a b

a b a b

a b
b a

 

   

        

   

 

   

đpcm.

Bài 16 .

Cho a,b,c >0 . CMR

1 1 1

1 1 1 1 1 1 2

a b c

a b b c c a

 

  

  

Gi¶i.
Tõ(4) 1 1 4

a b a b





1 1

1 1 4 a b

a b

  



Tơng tự cộng vế với vế ta có đpcm.

Bài 17

a,b,c >0 CMR:

a b c b c c a a b

b c a c a b a b c

  

     

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

C¸ch 1.

Theo (2) a b 2

b a 







 







2 2 2 6

1 1 1 3

1 1 1

1 1 1 1

3
2

1 1 1 1

b c c a a b b c c a a b

M

a b c a a b b c c

a b c a b c

N

b c c a a b b c c a a b

a b c

b c c a a b

a b b c c a

b c c a a b
x y z

x y z

    

            

 

       

           

     

       

 

      

  

 

 

           

  

 

 

      

 

3 3

1 3

.9 3

2 2

3 15
6

2 2

x y y z z x

y x z y x z

M N

      

           

 

   

 

  

    

Cách2.(Rất ngắn)
Xét 2 VT biến i.

Bài 18.

Cho 2số dơng a,b có a+b=1 . CMR

2 2
2 2

1 1

) 6

2 3

) 14

a

ab a b
b

ab a b

 



 



Gi¶i.
a, Tõ (3) cã

4 ( )

4 1

ab a b
ab

 


1 4

ab

  (v× a,b >0)

Tõ (4) cã 2 2 2 2

1 1 4

1 1 1 1 1

2 2

1 4

.4 6.

2 ( )

a b a b

ab a b ab ab a b

a b

 


 

     

   

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

DÊu “=”x¶y ra khi a=b=1

b, Tơng tự nh trên ta có





2 2 2 2 2 2

2 3 4 3 1 1 1

2 2 2

1 4

.4 3. 2 12 14

ab a b ab a b ab ab a b

a b

 

       

    

    



Bµi19

Cho a,b ,c,d >0 . CMR:
a c b d c a d b 4

a b b c c d d a

   

   

   

Gi¶i.
Sử dụng công thức (4)

Bài 20.

Cho a +b=2 . CMR : a4+b4 2

Gi¶i .

Tõ (8) 2(a2+b2) (a+b)2= 4

L¹i cã : 2(a4+b4)  (a2+b2)2 =4

 a4+b4 2

Bài 21

Giải hpt

2
2
2

2
2

2
1

x
y
x
y

z
y
z

x
z




Bµi 22

Cho 2sè x,y kh¸c 0 .CMR

2 2

2 2 3 4 0

x y x y

A

y x y x

 
      

 

Bµi 23.

Cho |a|  1 , |b| 1 và|a+b|= 3

Tìm giá trị lớn nhất của 1 a2

+ 1 b2

(Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dơng)
Gi¶i.

Ta cã : A= 1 a2

 + 1 b2 0

XÐt A2=

2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 (1 )(1 )

2 ( ) 1 1

4 2( 4 ( ) 1

| | 1

a b a b

a b a b

A

     
      

      
 

   1 A 1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2
2

| 2 | 3

4 3

3
4
3
| |

2
3
2

a
a
a

a
a

 

 

 
 
 

a b 


3

a b 

Bµi25.

Cho x, y, z là số nguyên dơng thoả mÃn.
1 1 1

xyz (1) CMR

1 1 1 1

2x y z  x2y z x y 2z 
(Đề thi đại học khối A năm 2005 )
Giải.

Cách 1: Ap dụng b®t (a-b)2 0

(a-b)2 4ab

1
4

a b
a b ab




 1 1 1 1

a b a b

 
    

  

Đẳng thức xảy ra khi a=b
Ta cã :





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z (x y) x z 4 x y x z 16 x y x z

   

         

          

Đẳng thức xảy ra x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z )
T¬ng tù :

1 1 1 1 1 1

2 16

1 1 1 1 1 1

2 16

y x z y z y x

z x y z x z y

 

     

   

 

     

   

Cộng 3 vế với bđt ta đợc đpcm
Cách 2.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 ( ) 4 2 8 16

1 1 1

8 16 16

1 1 1 1

2 8 16 16

1 1 1 1

2 8 16 16

x y z x z y x y z x y z

x y z

y z x y z x

z x y z y x

   

        

        

  

  
 

Cộng vế với 3 bđt trên ta có đpcm.

Kết luận .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>

sangkienkinhnghiem













<sub></sub>

<sub></sub>



















 















































<sub></sub>

<sub></sub>











 

 















<b>Kết luận .</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về