BT tich phan cuc hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.61 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

II. Phương pháp tích phân từng phần:

Cho u, v là hai hàm số biến x. Ta có:





( )
( )

d uv udv vdu

d uv udv vdu udv vdu

uv udv vdu

udv uv vdu

 

    

  

  



Đối với tích phân: b b b
a

udv uv



a



a

vdu



Bài tốn 1: Tính



P x A x dx( ). ( ) trong đó P x( ) là đa thức, A x( ) cos
sin

x

e
x
x
Cách giải: Đặt ( )

( )
u P x
dv A x dx




 Tính các tích phân sau:





















4 2

0 0 0

2 2

0 0 0

1 2

1)

.

9)

1 cos

16)

1 sin 2

2)

2 1 .

10)

2 1 cos 17)

.sin

3)

2 .

11)

x

x e dx

x

xdx

x

xdx

x

e dx

x

dx

x

xdx

x

e dx

x

 

























 





2
2

0 0

1 2 2

0 0 0

1 2 2 2

2 2

0 0 0

.cos

18)

.sin

4)

x

1 .

12)

1 cos

19)

.tan

5)

4

2 1 .

13)

sin

cos

20)

sin

6) 1+e .

x

xdx

x

xdx

e dx

x

x dx

x

xdx

x

e dx

x

xdx

x dx

xdx






 

 
 













2
2

1 2

0 0

ln 2 5 4

0 0

1 2 3 2

0 0

14)

2 1 cos

7)

.

15)

.cos

8)

(

1) 16)

.tan

x

xdx

x e dx

x

xdx

x e

x

dx

x

xdx











</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài tốn 2: Tính .cos
.sin

ax
ax

e bxdx
e bxdx



Cách giải: Đặt

u e

ax



trong 2 lần dùng phương pháp tích phân từng phần.

 Tính các tích phân sau:

3
4

0 0

2 2 2

0 0

3
2
0

1)

.sin

4)

.sin 4

2)

.cos 2

5)

.sin

3)

.sin 5

x x

x

e

xdx

e

xdx

e

xdx

e

xdx

e

xdx




 





Bài tốn 3: Tính



P x

( ).ln

xdx

trong đó P x( ): đa thức hoặc có dạng

1

n

x

Cách giải: Đặt

ln

( )

u

x

dv P x dx



 Tích các tích phân sau:





2 2

1 1

3 2 e 3 2

2 1

3
1

1) ln 10) .ln
2) ln 11) .ln
3) 2 .ln

e e

xdx x xdx

x x dx x xdx

x xdx





1 2

1 2

1 0

3 2

1 0

2
3
1

12) .ln

4) ln 13) .ln(1 )
ln

5) 14) .ln( 5)
ln

e
e

e

x xdx

x xdx x x dx

x

dx x x dx

x
x

dx
x


















2
1

2 1

2 2

1 0

2
e
1

3 ln
15)

1
.ln 1
ln 1

7) 16)

1
1

8) ln 17)

x
dx
x

x x x

x

dx dx

x x

x

xdx
x




 








3
e
1

cos(ln )
1

9) ln

e

x dx
x

xdx
x





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Các phương pháp tính tích phân

I. Phương pháp đổi biến số:

1)Dạng 1:

Tính b

( )

a

f x dx



 Đặt

x





( )

t

với ( )t có đạo hàm liên tục trên



 ;



 Lấy

dx





( )

t dt

, đổi cận a, b thành  , .

 Biểu thị f x dx( ) theo t và dt. Giả sử

f x dx g t dt

( )



( )

 Tính g t dt( )





 Tính các tích phân sau:

2 2 2 2

0 0

2 2
1

2 2

0 0

1 1)

4 3)

1 2)

4)

1 1

x

x dx

dx

x

dx

x

x









2) Dạng 2:

Tính b ( )

a f x dx



 Đặt

t u x



( )

với u(x) có đạo hàm liên tục trên



u a u b( ), ( )



 Lấy

dt u x dx



( )

, đổi cận a, b thành u(a), u(b).

 Biểu thị f(x)dx theo t,dt. Giả sử

f x dx g t dt

( )



( )

 Tính

( )
( )

( )

u b

u a

g t dt



Tích phân của hàm số hữu tỉ

a) Bài tốn 1: Tính 2 1 dx a , 0

ax bx c 



 Trường hợp 1: Phương trình ax2bx c 0 vơ nghiệm

Khi đó:









2
2

2 2

1 1

ax bx c x

dx dx

ax bx c x

  

 

    

 

 

     

 



Đặt tantx

 Trường hợp 2: Phương trình ax2bx c 0có nghiệm kép x0

Khi đó:









2
2

1 1

ax bx c a x x

dx dx

ax bx c a x x

   

 

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Trường hợp 3: Phương trình ax2bx c 0có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

Khi đó:





1 2

1 2 1 2

1 2

( )( )

1 1 1

( )( )

ln ln

ax bx c a x x x x

A B

dx dx dx

ax bx c a x x x x a x x x x

A x x B x x C

a

    

 

     

       

    



b) Bài tốn 2: Tính 1 1

a x b
dx
ax bx c



 



Cách giải: Biến đổi: a x b1  1(2ax b )

1 1

2 2 2 2

(2 ) 2 1

1
ln

a x b ax b ax b

dx dx dx dx

ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

ax bx c dx

ax bx c

 

   

   

       

   

 



(Đây là bài tốn 1 nói ở trên)

c) Bài tốn 3: Tính 2

( )

f x
dx
ax bx c



, trong đó f x

 

là một đa thức có bậc 2.

Cách giải: Chia tử cho mẫu
Ví dụ: Tính các tích phân sau:

3 2

1 2 1 2

2 2 2 2

0 1 0 0

0 1 0 1

2 2 2

1 0 -1 0

2 2

1 1 4 11 2 4 9

1) 4) 7) 10)

2 3 8 16 5 6 4

1 1 4 3

2) 5) 8) 11)

2 4 3 4 7 2 3 5 1

1 1

3) 6)

1 2 5 2

x x x x

dx dx dx dx

x x x x x x x

x x

dx dx dx dx

x x x x x x x

dx d

x x x x



   

      



      

   



1 1 1

2 2

0 0 0

3 2

1
2
0

1 3 10

9) 12)

2 9 2 9

2 10 1

13)
2 9

x x x

x dx dx

x x x x

x x x

dx

x x

  

   

  

 



d) Bài tốn 4: Tính 2 1 2

sin sin .cos cos dx

a x b x x c x



  



Cách giải: Chia cả tử và mẫu của hàm số hữu tỉ cho cos2x, ta được





2 2

cos x atan x btanx c dx



  



. Sau đó đặt ttanx

Ví dụ: Tính các tích phân sau:









4 4

0 0

3 4

4 6 4

0 0

1 1

1) 4)

sin cos cos sin 2cos

tan tan tan

2) 3) 5)

cos 2 cos 2 cos 1 cos

dx dx

x x x x x

x x x

dx dx dx

x x x x

 

  



 





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

e) Bài tốn 5: Tính b (cos ).sin

a f kx kxdx



ab f(sin ).coskx kxdx,

1
(ln ).

b

a f kx xdx



Cách giải: Đặt tcoskx, tsinkx, tlnkx

Ví dụ: Tính các tích phân sau:





2 e

2 4

0 0 1

2
sin

2 2

0 0

sin 2 .cos 1 2sin 1+3ln .ln

1) 9) 17) dx

1 cos 1 sin 2

sin 2 ln

2) 11) cos cos 18)

. ln
cos 4sin

x

x x x x x

dx dx

x x x

x x

dx e x xdx

x

x x

 



 





1
6
5

2 2

0 0 1

2 2

0 0

sin 2 sin 3 2ln

3) 12) cos 19)

1 3cos . 1 2ln

sin 2 cos3

4) 13)

cos 1 sin 1

e

dx
x

x x x

dx xdx dx

x x x

x x

dx dx

x x

 



 

 



16 2

2 2

0 0

2 2

0 0

6 3

2
0

1
20)

. 1 ln

sin cos 2

5) 14)

1 3cos 1 2sin 2

4sin cos

6) 15)

1 cos 7 5sin cos

7) 1 cos .sin .cos

dx

x x

dx dx

x x

dx dx

x x x

x x

 





 

  





5 04



4 4



0 2 2

16) cos 2 sin cos

sin

sin 2cos .cos
2

xdx x x x dx

x

dx
x

x x








f) Bài toán 6: Các dạng đặc biệt khác

 Cho hàm số yf x( )liên tục trên



a a;



Nếu yf x( )là một hàm số lẻ thì a ( ) 0

a f x dx

 



Nếu yf x( )là một hàm số chẵn thì a ( ) 2 a ( )

a f x dx a f x dx

  



 Tính



sinnxdx, cos



nxdx

Nếu n là số chẵn thì dùng cơng thức hạ bậc.
Nếu n là số lẻ thì có 2 cách: C1: Hạ bậc, C2:

2 1 2

sin sin .(1 cos )

cos cos .(1 sin )

m n

dx x x dx




 



 Tính



sin .coskx kxdx. Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng.

 Cho 2 2

0 0

sin cos

sin cos sin cos

n n

n n n n

x x

I dx dx

x x x x

 



 



a) Bằng cách đặt
2

x t. Chứng minh I J

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ: Tính các tích phân sau:













5 5

2 2

3 0 0

3 2 1 2 3

2 2

1 1 0

.sin 3 cos

1) 2 2 6) 11) 16) cos

1 cos 4 sin

sin cos

2) 7) 12) ln 1 17) cos 1 c
1 sin 2

x x x x x

x x dx dx dx xdx

x x

x xdx dx x x dx x

x

 



 

 





 

  

 



   













2 2 1

2 2

0 0 1 0

4 2 ln3

4 4 3

0 1 0

os x
1

cos 2

3) 2 1 8) 13) 18) sin .sin 2 .sin 3
1

sin cos 3
sin

4) 9) 14)

sin cos 2 2 1

x
x

dx
x

x

x x dx dx dx x x xdx

x

x x

x x e

dx dx dx

x x x x e

 







 



 

    



ln3ln5

2 3 1

1 1 1 0

19)

2 3

1 1

5) ln 10) 15) 20)

1 1

2 2

x x

e x

x x

dx

e e

dx dx

e x dx dx

x x x e e



 

 



 

 

  

 



Tích phân của hàm số vô tỉ

Phương pháp chung: Đặt t

 Tính các tích phân sau:

2 1 3 2 10 3

1 0 5 -1

5 3

3 3 2 1 5 2 2 3 3

2 2

0 0 5 0

9 3 2 3 5

1 0

1 3

1) 6) . 3 12) 18)

1 1 2 1 3 1 3

2
2) . 1 7) . 1 13) 19)

4 1

3) . 1 8) 1. 14)

x x

dx x x dx dx dx

x x x x x

dx x x

x x dx x x dx dx

x x x

x xdx x x dx




      



 

 

 



01 3 2 -12

4 1 1 2

3
3

-1 0 0 0

4 2

2 2 ln2

5 2

0 1 0

. 1 20) . 1

2 1

4) 9) 15) 3 1 21) . 1

5 4 3 1

2 1

5) 10) 16) 22)

2 1 4 1

1 1 2

x
x

x x dx x xdx

x

dx dx x dx x x dx

x x

x x e

dx dx dx dx

x x

x x e

 



 

  







6
2

ln5 ln8 2 ln5

ln 2 ln3 ln2

1 .

11) 17) 1. 23)

1 1

x x x

x x

e e e

dx e e dx dx

e e



 



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1 1
'

1) 0
2)

3) ( -1) .

1 1

4) ln ln

1 1

5) ln

dx C
dx x C

x u

x dx C u u dx u du C

u du

dx x C dx u C

x u u

dx ax b C

ax b a

 

  



 

 


 

     

 

    

  





6) .

1
7)

8) ( 0, 1) .
ln

u

x x u u

ax b ax b

x u

x

e dx e C u e dx e du e C

e dx e C

a
a

a dx C a a u a dx a

a

 

    

 

   







'
'

ln
9) cos sin .cos cos sin
10) sin cos .sin sin cos

11) cos( ) sin(

u

udu a C

a

xdx x C u udx udu u C

ax b dx
a

 

    

    

 











2 2 2

)

12) sin( ) cos( )

1 1

13) 1 tan tan 1 tan tan

cos cos cos

1
14)

ax b C

ax b dx ax b C

a

u

dx x dx x C dx du x dx u C

x u u

 

   

        











2 2 2

1 cot cot 1 cot cot

n sin sin

u

dx x dx x C dx du x dx x C

x     u  u    



Các tính chất nguyên hàm và tích phân





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

b b

a
a

b b

a a

a

f x dx F x C f x dx F x F b F a

kf x dx k f x dx kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx

    

 

   



( ) ( )

( ) 0
( ) ( )

b b b

a a

a
a

b b

a a

f x dx g x dx
f x dx

f x dx f x dx



 






c ( ) b ( ) b ( )

a f x dx c f x dx a f x dx

</div>

BT tich phan cuc hay

II. Phương pháp tích phân từng phần:





















<i>udv uv</i>





<i>vdu</i>





<sub></sub>





















1)

.

9)

1 cos

16)

1 sin 2

2)

2

1 .

10)

2

1 cos 17)

.sin

3)

2 .

11)

<i>x e dx</i>

<i>x</i>

<i>xdx</i>

<i>x</i>

<i>xdx</i>

<i>x</i>

<i>e dx</i>

<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>

<i>xdx</i>

<i>x</i>

<i>e dx</i>

<i>x</i>









































 