<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>các phép tính trong phân thức đại s</b>
<b> A. Lý thuyt</b>

<b>I.</b> <b>Định nghĩa</b>

Phõn thc i s là một biểu thức có dạng
B
A

, trong đó A, B là các đa thức , B là đa
thức khác 0. A là tử thức, B là mẫu thức.

<b>VÝ dơ</b>:

<b>II. Hai ph©n thøc b»ng nhau</b>

Cho hai ph©n thøc
B
A

vµ
D
C

. Khi đó :
B
A

=
D
C

nÕu AD = BC

<b>VÝ dơ</b>: a.

1
1
1

1

2
3







x
x
x

x

v× (x – 1) ( x2_{+ x+ 1) = x}3_{– 1}
b.

1

1
1

1

2
3







x
x
x

x

v× (x +1) ( x2_{- x+ 1) = x}3_{+ 1}

<b>III. TÝnh chÊt c¬ bản của phân thức</b>

1.

M
.
B

M
.
A
B
A

( A, B, M là các đa thức và M 0 )

VÝ dô: 2 3

3
2
3
3

3
2
3
2

y
x
.
z

y
x
.
xy
z

xy



2.

N
:
B

N
:
A
B
A

 ( A, B là các đa thức và N là nhân tử chung cđa A vµ B)

VÝ dơ:

3<b>. Quy tắc đổi dấu</b>

B
A
B
A






B
A
B

A





B
A
B
A





VÝ dô: a)

2
1
2

1
2

1








 x x x b) 2

2
2

2
2

2
2

2













 x x x

x

<b>IV. Rót gän biĨu thøc</b>

C¸c bíc rót gän biĨu thøc

Bíc 1: Ph©n tÝch tư và mẫu thức của phân thức thành nhân tử.
Bớc 2: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung.

<b>Ví dụ</b>: Rút gọn các phân thøc sau:
A =

)
2
)(
3
(

6
2






<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

B =

9
6

9

2
2





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

C =

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

4
3

16
9

2
2



 

D =

4
2

4
4

2





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

E =

4
2

2
2


<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

F =

8
12
6
3

3
2




<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<b>V. Quy đồng mu nhiu phõn thc</b>

<b>1.</b> <i><b>Tìm mẫu chung của nhiều phân thøc</b></i>

Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

- LÊy tÝch cđa BCNN cđa c¸c hƯ sè với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu
thức , số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhÊt cđa nã trong c¸c mÉu thøc.

<b>2.</b> <i><b>Cách quy đồng mu thc:</b></i>

B1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

B3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng.

<b>Vớ dụ</b>: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
a. <i>_x</i> <i>x</i>₂<i>_y</i>

 , <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>

2

 , 4 2 2

4

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>xy</i>

 c. ₂ ₆
3



<i>x</i> , x x

x

6
2

6

2



b.

6
2

1




<i>x</i>
<i>x</i>

,

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

3
3
2

2




d.

2
3

1



<i>x</i> , ₄ ₉ 2

6
3
2
3

1

x
x
,

x

<b>VI. Cộng trừ các phân thức</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1.</b> <i><b>Phép cộng các phân thức</b></i>

<i>a. Cộng các phân thức cùng mẫu</i>

<i><b>Ví dụ:</b></i>

a)

9
5
6
9

5

3

x

x

b) 2 3 ₁₁ 2 3
7
6
11

7
5

y
x

y
xy

y

x
y

xy 




c)

9
8
3
9
16
6
9
5










x
x
x

x
x

x

d)

9
8
3
8

16
6
8
5











x
x
x
x
x

x

<i>b. Céng c¸c phân thức khác mẫu</i>

a) ₂

4
2
5
2
3
2
4

x
x
x

x

b) 2 4 2

1
1

2
2
2

2
1

x
x
x

x
x

x







c) ₂ ₁ 2 2

3
1

y
xy
x

y
x
x

xy
y

x  






 d) 2 2 2 2 2 2

5
2

4
2

3

y
x
y
xy
x
y
xy

x

<b>2.</b> <i><b>Phép trừ các phân thức</b></i>

<i><b>a. Trừ các phân thức cùng mẫu</b></i>
<i><b> </b></i>a)

9
5
6
9

5

3 



 x

x

b) 2 3 ₁₁ 2 3
7
5
11

7
5

y
x

y
xy
y

x
y

xy 




c)

9
8
3
9
16
6
9
5










x
x
x

x
x

x

d)

x
x
x
x
x

x

8
8
3
8

16
6
8
5

<i><b>b. Trừ các phân thức không cùng mẫu</b></i>

<i><b> </b></i> a) x2_{+ 1 -}

1
1

2
4



x
x

` b) x + y -

y
x

y
x


 2

24

c) ₂

9
1

3

2
1
3
1

x
)
x
(
x
x

x
x

x










d)

1
2

2
3
1
6
1
2

2
3

2
2

2

x
x

x
x

x
x

x

<b>VII. Nhân chia các phân thức</b>

<b>1. Phộp nhõn phõn thức đại số</b>

<i><b>Quy t¾c</b></i>:

BD
AC
D
C
.
B
A



<i><b>VÝ dô</b></i>:

a) 2 2

3
30

16
4

15

y
x
.
x

y

b) _








 ₂

3
5

3

12
5
13

4

y
x
.
x
y

c) 2
4
2

2
2

)
y
x
(

x
.
x

y
x




d) 2 2

3
3
2
2

2
2

2
6
6

2 x xy y

y
x
.
y
xy
x

ay
ax










e)

y
x

y
x
.
y
x

y
x

15
15

8

8
2
2

3
3







f) 3 3

2
2

2
2

4
15
15

5
5

4
2

y
x

y
x

.
y
x

y
xy
x








g)

2
3

1
1

2
8

2
2
2

3










x
x

x
.
x
x

x

<b>2. Phân thức nghich đảo</b>

Cho 0
B
A

khi đó phân thức
A
B

gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức
B
A

<b> </b>

A
B
B

A






 1

VÝ dơ: Tù lÊy

<b>3. PhÐp chia ph©n thøc</b>

<b> </b>

BC
AD
C
D
.
B
A
D
C
:
B
A




VÝ dô: a)

xy
y
x
:
y
x

y
x

3
6 2

2
2




b)

ab
bx
ax
:
b
a

b
a

2
3
2
9
4

2
2

2
2




c)

a
a
:

)
a
(

a

3
3

20
20
1

5

5 2

2







d)

ab
bx
ax
:
b
a

ay
ax

2
3
2
4
2

2
2

<b>B. Bài tập</b>:

<b>1. Rút gọn các biểu thức sau:</b>

a.

1
2

1
1

1

2
2










<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> ):
(

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b.

    <i>x</i>

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i> 16

4
4
2

1
4

2
2

1 2 2

2
2

2
2
















 .

c.

  2 2

3
3
2

2

1
1
2
1
1

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>






















 :

d. _

























 4 1

4
2

2
4

3
2

1

2
2

2

2
2

2

y
x

y
x
:
y
x
x
y

y
y

x

g. 

















 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i>

3
3
1
2
2
2
2

2
2

2 .

h. _












 2 2 2

2

1
2

1

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i> : 2 2

4
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>xy</i>


i.

1
36
6

1
6
6

1
6

2
2
2

2


















x
x
.
x
x

x
x
x

x

l. 
























 4 ₂2 ₂

b
a

ab
a

b
b
b
a

a
:
b
b
a

ab
a
k.

<b>2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến</b>

a)

)
y
x
)(
x
z
(
)

x
z
)(
z
y
(
)
z
y
)(
y
x

(       

1
1

1

b)

2
4
4

8
4
2

2
4

2
2

2

















x
:
x
x

x

x

x

c)

)
x
z
)(
z
y
(

z
)

z
y
)(
y
x
(

y
)

x
z
)(

y
x
(

x











d) 15

1
1
2

2
3
2

2
1

2

2











x
x

x
x

x

<b>3. Chứng minh các đẳng thức sau:</b>

a. _





















 1

3
1
1
2
3

2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> : 1

2
1





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

b.

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>y</i>
<i>x</i>


























:
2
2
2

2 ₁

c.

x
y

x
y
x
:
y
x
x
y

y
y

x 4

1
1

4

4
2

2
4

3
2

1

2
2

2
2
2

2  


























d.

x
y

y
y
y

xy
y
y
x
xy

y 1

3
3
1
2
2
2
2

2
2

2  


























e.

y
x

x
x

y
x
:
x
y
y
x
y
x
xy

y
x

























 2 2 2

2 ₁

<b> 4. Xác định các hệ số thoả mãn đẳng thức cho trớc.</b>

Ví dụ: Xác định các hệ số a, b sao cho





2
3

2

1
2

2
3

5










x
b
x

a
x

x
x

,
Víi mäi x ≠ 2 vµ x ≠ -1

<i><b>Gi¶i:</b></i>

Ta cã x3_{– 3x -2 = ( x}3_{–x) – 2x -2 = x(x}2_{– 1) – 2(x +1) = (x +1) ( x}2_{– x)}
-2(x+1)

= (x+1) ( x2_{– x – 2) = (x+1)}2_{( x-2)}
VËy MTC : (x+1)2_{( x-2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 

 

  x  (x )

b
a
x
)
b
a
(

ax
)

x
(
x

)
x
(
b
x

a
x

b
x

a

2
1

2
2

2
1

2
1

1

2 2

2
2

2
2






















§ång nhÊt hai tư thøc : x2_{+5 =}

b
a
x
)
b
a
(

ax2 2    2 ta đợc

































2

1

52

0

2

1

b

a

b

a

ba

a

Bài tập: Xác định các hệ số a, b c, d sao cho
1.

2
2

4
4
10

3










x
c
x

b
x
a
x
x

x

víi mäi x ≠ 2 , x ≠ ± 2

2. 31 ₁ ₁ 2 ₁








 x x

c
bx
x

a

x víi mäi x ≠ 1

</div>

<!--links-->