Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (182.69 KB, 4 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
Năm học 2015 - 2016
Mơn thi: Tốn - Lớp 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P
x2 x
2 x x 2 x 1
.
x x 1
x
x 1
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c. Xét biểu thức: Q
2 x
, chứng tỏ 0 < Q < 2.
P
Bài 2: (2,0 điểm)
a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 �0 .
b. Tìm sớ tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là sớ chính phương
Bài 3: (2.25 điểm)
a. Giải phương trình:
36
x2
4
28 4 x 2 y 1 .
y 1
b. Cho đường thẳng y m 1 x 2 (d) .
1. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị
của m.
2. Tìm m để khoảng cách từ gớc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vng góc
với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của
M trên CD và AB.
� sin 2 MAB
� sin 2 MCD
� sin 2 MDC
�
a. Tính sin 2 MBA
b. Chứng minh: OK 2 AH (2 R AH )
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (0,75 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 3 y 2 4 x 19
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có … trang)
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Sớ báo danh: ....................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
HƯỚNG DẪN CHẤM
Mơn thi: Tốn - Lớp 9
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1: (2.0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Tìm đúng điều kiện : Đk : x 0; x �1.
P
a)
x2
x x x 1
x x 1
x
2
x 1
x
x 1
x 1
x 1 2 x 1 2
x 1
Điểm
0.25
0.25
x 1
x x 1
0.25
0.25
Vậy P x x 1 , với x 0; x �1.
2
b)
c)
1� 3 3
�
P x x 1 � x � �
2� 4 4
�
1
dấu bằng xảy ra khi x = , thỏa mãn đk.
4
3
1
Vậy GTNN của P là
khi x .
4
4
2 x
a. Với x 0; x �1 thì Q =
> 0. (1)
x x 1
0.25
2
0.25
Đáp án
Phân tích được thành (2x - y) + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 �0 (1)
Vì (2x - y)2 �0 ; (y – z + 1)2 �0 ; ( z - 3)2 �0 với mọi x, y, z
nên từ (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
A n 2 n 6 là số chính phương nên A có dạng
2
a)
0.25
2 x 1
Xét 2 2 x
�0
x x 1 x x 1
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x �1 .suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
Bài 2: (2,0 điểm)
Ý/Phần
0.25
A n 2 n 6 k 2 (k �N * )
Điểm
0.5
0.25
0.25
0.25
� 4n 4n 24 4 k � (2 k ) (2n 1) 23
2
b)
2
2
2
2k 2n 1 23
�
� (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 � �
�2k 2n 1 1
0.25
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
2k 2n 1 23
k 6
�
�
��
��
�2k 2n 1 1
�n 5
Vậy với n = 5 thì A là sớ chính phương
Bài 3: (2,25 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
0.25
Điểm
: đk : x>2 ,y>1
0.25
Biến đổi pt về dạng
a)
9
x2
x2
4.
� 4
y 1
� y 1
�
�
28
Áp dụng BĐT cơ si vói hai sớ dương VT �28 (2)
Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)Khi
2
2
2
;0) � OB
m 1 m 1
m 1
1
1 1
AOB vuông ở O, kẻ OH AB . Áp dụng hệ thức: 2 2 2
h
b c
2
2
1
1
1
OA OB
� OH 2
2
2
2
OH
OA OB
OA 2 OB2
Điểm cắt trục hoành B (
OH
2
m 1
4 m 1 4
2
16
2
:
m 1
2
4
m 1
2
0.25
9
x2
x2
4
và
y 1
y 1
Từ đó tìm được x=11 và y=5 (thỏa mãn )2.
1. Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là A(0; 2)
2. Điểm cắt trục tung A(0; 2) � OA 2
b)
0.25
1
OH đạt GTLN khi và chỉ khi OH 2 đạt GTLN mà ta có
2
� m 1 1 �1 đạt GTNN là 1 khi m = 1
Vậy max OH = 2 � m 1
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 4: (3,0điểm)
Ý/Phần
a)
Đáp án
Điểm
C
K
B
M
O
H
0,25
A
D
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
� sin MAB
� sin MCD
� sin MDC
�
sin MBA
� cos 2 MBA
� ) (sin 2 MCD
� cos 2 MCD
� )
= (sin 2 MBA
2
b)
2
2
2
=1 +1=2
Chứng minh: OK 2 AH (2 R AH )
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vng MAB có
MH đường cao)
và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
c)
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
OH 2 MH 2 OM 2 R 2
Mà OH.MH �
(Pitago)
2
2
2
2
2 R
Vậy P �4 R . 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra � MH = OH
2
� OH = R 2
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5: (0,75 điểm)
Ý/Phần
� 2 x 2 x 1 3 7 y
2
� 2 x 1 3 7 y 2
2
Đáp án
Điểm
2
� 3 7 y 2 M2
0,25
y là số nguyên lẻ
2
2
Mà 2 x 1 0 7 y 0 y 2 =1
0,25
Thay y 2 =1 vào tìm được x = 2, x = - 4
Thử lại :… và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1)
0,25
(Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa)
