ĐỀ PHÁT TRIỂN
TỪ ĐỀ MINH HỌA 2021
CHUẨN CẤU TRÚC

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2021
Mơn thi thành phần: TỐN HỌC
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ SỐ 33
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh: ..........................................................................
MA TRẬN ĐỀ THAM KHẢO 2021 LẦN 1
MỨC ĐỘ
CHƯƠNG
Đạo hàm và
ứng dụng

NỘI DUNG

Đơn điệu của hàm số
Cực trị của hàm số
Min, Max của hàm số
Đường tiệm cận
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hàm số mũ – Lũy thừa – Mũ – Lôgarit
lôgarit
Hàm số mũ – Hàm số lôgarit
PT mũ – PT lôgarit
BPT mũ – BPT lôgarit
Số phức
Định nghĩa và tính chất

Phép tốn
PT bậc hai theo hệ số thực
Ngun hàm Nguyên hàm
– Tích phân Tích phân
Ứng dụng tích phân tính diện tích
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Khối đa diện Đa diện lồi – Đa diện đều
Thể tích khối đa diện
Khối trịn
Mặt nón
xoay
Mặt trụ
Mặt cầu
Phương pháp Phương pháp tọa độ
tọa độ trong Phương trình mặt cầu
khơng gian Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tổ hợp – Xác Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
suất
Cấp số cộng (cấp số nhân)
Xác suất
Hình học
Góc
khơng gian Khoảng cách
(11)
TỔNG

ĐỀ THAM
KHẢO


NB

TH

3, 30
4, 5, 39, 46
31
6
7, 8
9, 11
10
12, 13, 47
32, 40
18, 20, 34, 42, 49
19

1
1

1
1
1

14, 15
16, 17, 33, 41
44, 48

1
1


21, 22, 43
23
24

1
1
1

25
26, 37, 50
27
28, 38, 45
1
2
29
35
36

1
1

1
1
1
1
1
2
1

1

1
1

VD

1

TỔNG
VDC

1

1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1
1
1


1

2
1

1

1

1
1

1
1
1
20

15

10

5

2
4
1
1
2
2
1

3
2
5
1
0
2
4
2
0
0
3
1
1
0
1
3
1
3
1
1
1
1
1
50


Câu 1 (NB) Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái
bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
A. 80 .
B. 60 .

C. 90 .
D. 70 .
1
Câu 2 (NB) Cho dãy số ( un ) có: u1 = −3; d = . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
1
1
A. un = −3 + ( n + 1) .
B. un = −3 + n − 1 .
2
2
1
1


C. un = −3 + ( n − 1) .
D. un = n  −3 + ( n − 1) ÷ .
4
2


Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .


D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 .
D. Hàm số có ba cực trị.
y

2
2

x

0
-2

Câu 5 (TH) Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như hình bên. Khẳng định nào sau
đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 .
C. x = 1 là điểm cực trị của hàm số.
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
2x +1
Câu 6 (NB) Cho hàm số y =
. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
x −1
A. Đường thẳng y = 1 .
B. Đường thẳng x = 1 .

C. Đường thẳng y = 2 .
D. Đường thẳng x = 2 .


Câu 7 (NB) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y

x
O

A. y =- x2 + x - 1.

B. y =- x3 + 3x +1. C. y = x4 - x2 +1.

D. y = x3 - 3x +1.

Câu 8 (TH) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = − x3 + 6 x 2 tại ba
điểm phân biệt.
 m ≥ 16
A. 
.
m ≤ 0

B. −32 < m < 0 .

C. 0 < m < 32 .

D. 0 < m < 16 .

Câu 9 (NB) Tìm tập xác định của hàm số y = xπ + ( x 2 − 1) .

e

A. ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. ¡ \ { −1;1} .

C. ( 1; +∞ ) .

D. ( 0;+∞ ) .

C. y′ = x.5 x −1 .

D. y′ = 5 x .

Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = 5 x là
A. y′ = 5 x ln 5 .

5x
B. y′ =
.
ln 5

 9b 
Câu 11 (TH) Xét các số thực a và b thỏa mãn log 3  a ÷ = log 1 3 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3 
27
1
1
1
1

A. a − 2b = .
B. a + 2b = .
C. 2b − a = .
D. 2a − b = .
18
18
18
18
x +1
Câu 12 (NB) Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 = 8

A. S = { 1} .

B. S = { − 1} .

C. S = { 4} .

D. S = { 2} .

Câu 13 (TH) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình log 2 ( 2 x − 2 ) = 3 .
A. x = 3 .

B. x = 7 .

C. x = 4 .

D. x = 5 .

C. x3 − cos x + C .


D. 3 x 3 − sin x + C .

Câu 14 (NB) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + sin x là
2

A. x3 + cos x + C .

B. x 3 + sin x + C .

1
là
5x + 4
B. ln 5 x + 4 + C .
C. 1
. D. 1
.
ln 5 x + 4 + C
ln 5 x + 4 + C
ln 5
5

Câu 15 (TH) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 1
.
ln ( 5 x + 4 ) + C
5

Câu 16 (NB) Cho hàm số y = x3 có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F 2 − F 0 = 16 .
( ) ( )

2

Câu 17 (TH) Cho

B. F 2 − F 0 = 1 .
( ) ( )

∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1. Khi đó
1

C. F 2 − F 0 = 8 .
( ) ( )

D. F 2 − F 0 = 4 .
( ) ( )

2

∫ f ( x ) dx bằng :
1

A. 1 .
B. −3 .
C. 3 .
Câu 18 (NB) Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức liên hợp z của số phức z là
A. z = −3 + 2i .
B. z = 2 + 3i .
C. z = −2 + 3i .

D. −1 .

D. z = −2 − 3i .


1
Câu 19 (NB) Cho số phức z = 1 − i . Tìm số phức w = iz + 3z .
3
8
8
10
10
A. w = .
B. w = + i .
C. w = .
D. w = + i .
3
3
3
3
z
Oxy
Câu 20 (NB) Trong mặt phẳng toạ độ
, tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng 3 là đường
thẳng có phương trình
A. x = −3 .
B. x = 1 .
C. x = −1 .
D. x = 3 .

Câu 21 (NB) Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là


3a 2 . Độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích của

khối lăng trụ là:
A.

3

6a .

3

B.

3a .

3

C.

2a .

D.

6a 3
.
3

Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Thể
tích của tứ diện OA′BC bằng


a3
a3
a3
a3
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
24
6
4
Câu 23 (TH) Cho khối nón có bán kính r = 5 và chiều cao h = 3 . Tính thể tích V của khối nón.
A. V = 9π 5 .
B. V = 3π 5 .
C. V = π 5 .
D. V = 5π .
2
Câu 24 (TH) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của
hình trụ đã cho bằng
A.

A. 2a .

B.

a

.
2

C. a .

D.

2a .

Câu 25 (NB) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 3;5; −2 ) trên mặt phẳng Oxy có tọa
độ là
A. ( 0;5; −2 ) .

B. ( 3;0; −2 ) .

C. ( 0; 0; −2 ) .

D. ( 3;5;0 ) .

2
2
2
Câu 26 (NB) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu đã

cho bằng
A. 9 .

B. 3 .

C. 15 .


D.

7.

Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; 2 ) và B ( 6;5; −4 ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A. 2 x + 2 y − 3 z − 17 = 0 .
C. 2 x + 2 y − 3 z + 17 = 0 .

B. 4 x + 3 y − z − 26 = 0 .
D. 2 x + 2 y + 3 z − 11 = 0 .
x + 2 y −1 z − 3
=
=
Câu 28 (NB) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một
1
−3
2
vectơ chỉ phương của d ?

uur

A. u2 = ( 1; − 3;2 ) .

uur

B. u3 = ( − 2;1;3) .


ur

C. u1 = ( − 2;1;2 ) .

uur

D. u4 = ( 1;3;2 ) .

Câu 29 (TH) Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi
đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có
cùng màu.
91
44
88
45
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
135
135
135
88
1 3
2
Câu 30 (TH) Hàm số y = x − 3 x + 5 x + 6 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

3
A. ( 5; +∞ ) .

B. ( 1; +∞ ) .

C. ( 1;5) .

D. ( −∞;1) .


Câu 31 (TH) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 −12 x + 2 trên đoạn [ −1; 2] có giá trị là một số thuộc
khoảng nào dưới đây?
A. ( 2;14 )

B. ( 3;8 )

C. ( 12; 20 )

D. ( −7;8 )

Câu 32 (TH) Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình log ( 2 x 2 − 11x + 15 ) ≤ 1 là
A. 3.

C. 5.

B. 4 .

D. 6.

1


3
Câu 33 (VD) Cho tích phân I = ∫ 1 − x dx. Với cách đặt t = 3 1 − x ta được:
0

1

A. I = 3∫ t dt.
3

0

1

B. I = 3∫ t dt.
2

0

1

1

C. I = ∫ t dt.

3
D. I = 3∫ t dt.

3


0

0

Câu 34 (TH) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = ( 1 + i ) − ( 3 + 3i ) là
2

A. 4 .
B. − 4 .
C. −3 − i .
D. 10 .
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 2a , SA vng góc
với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = a . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SC và mp ( ABCD ) . Khi đó
tan ϕ bằng bao nhiêu?

13
11
7
5
.
B.
.
C.
.
D.
.
13
11
7
5

Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng
A.

góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD và SC.

4a 1365
a 135
.
D.
.
91
91
Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 1; 0; − 2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương
A.

4a 13
.
91

B.

a 165
.
91

C.

trình: x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là
A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9 .


B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3 .

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3 .

D. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 9 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 38 (TH)Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(0; 0; 2), B(2;1; 0), C (1; 2 − 1) và D (2;0; −2) . Đường
thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình là
 x = 3 + 3t

A.  y = −2 + 2t .
z = 1− t



x = 3

B.  y = 2
.
 z = −1 + 2t


 x = 3 + 3t

C.  y = 2 + 2t .
z = 1− t


Câu 39 (VD) Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) = x ( x − 1)

2

 x = 3t

D.  y = 2t .
z = 2 + t


( x − 2 ) ( x − 3)
3

4

3

. Hỏi hàm số f ( x ) có

bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2 .

C. 4 .

D. 3.

nghiệm là ¡ ?
A. 6 .

C. 5 .

D. 14 .

2
Câu 40 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình log ( x − 4 x + m + 20 ) > 1 có tập

B. 13 .

sin x + sin 3 x
π 
 π 5π
, ∀x ∈  ;
Câu 41 (VD) Cho hàm số f ( x ) có f  ÷ = −1 và f ′ ( x ) =
4
2 sin x.cos x
2

6 6
bằng


÷. Khi đó


3π
4

∫ f ( x ) dx

π
4


A. 2 .
B. 4 .
C. −2 .
D. 0 .
z
z
Câu 42 (VD) Cho số phức ; biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức ; iz và z + iz tạo thành một
tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng
A. 2 3 .

B. 3 2 .

D. 6 .


C. 9.

Câu 43 (VD) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S .MNPQ là V , khi đó thể tích
của khối chóp S . ABCD là:
2

A. 27V
4

B.  9 
C. 9V
D. 81V
 ÷V
4
8
2
2
2
2
Câu 44 (VD) Biết rằng parabol ( P ) : y = 2 x chia đường tròn ( C ) : x + y = 8 thành hai phần lần lượt có diện
tích là S1 , S2 (như hình vẽ). Khi đó S 2 − S1 = aπ −

b
b
với a, b, c nguyên dương và
là phân số tối
c
c


giản. Tính S = a + b + c .

A. S = 13 .

B. S = 16 .

C. S = 15

Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

D. S = 14 .

x −3 y −3 z + 2
x − 5 y +1 z − 2
=
=
=
=
; d2 :
−1
−2
1
−3
2
1

và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z − 5 = 0 . Đường thẳng vng góc với ( P ) , cắt d1 và d 2 lần lượt tại
A, B . Độ dài đoạn AB là

B. 14 .

C. 5 .
Câu 46 (VDC) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
A. 2 3 .

D. 15 .

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x - 2018) + m - 2 có
đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử của S là
A. 3 .
B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .


Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số ( x; y ) thỏa mãn
2
2
e3 x +5 y − e x +3 y +1 = 1 − 2 x − 2 y , đồng thời thỏa mãn log 3 ( 3 x + 2 y − 1) − ( m + 6 ) log 3 x + m + 9 = 0 .

A. 6 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 7 .
2
Câu 48 (VDC) Cho Parabol ( P ) : y = x và hai điểm A, B thuộc ( P ) sao cho AB = 2 . Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi ( P ) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng?
2
3

4
A.
B.
C.
3
4
3

Câu 49 (VDC) Xét các số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡

)

D.

3
2

thỏa mãn z - 4 - 3i = 5 . Tính P = a + b khi

z +1 - 3i + z - 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10

C. P = 6

B. P = 4

D. P = 8

Câu 50 (VDC) Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 8 và các điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 4;2;1) . Gọi M là một
2


2

điểm bất kỳ thuộc mặt cầu ( S ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 2MB ?
A. 2 2 .
B. 4 2 .
C. 3 2 .
D. 6 2 .


1.A
11.A
21.A
31.C
41.C

2.C
12.D
22.A
32.B
42.D

3.C
13.D
23.D
33.A
43.A

4.C
14.C

24.C
34.B
44.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.B
7.D
15.D
16.D
17.A
25.D
26.B
27.A
35.A
36.C
37.A
45.B
46.A
47.B

8.C
18.B
28.A
38.C
48.C

9.C
19.A
29.B

39.B
49.A

10.A
20.D
30.C
40.C
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái
bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
A. 80 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 70 .
Lời giải
Chọn A
Số cách chọn 1 cái bút có 10 cách, số cách chọn 1 quyển sách có 8 cách.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 cái bút và 1 quyển sách là: 10.8 = 80 cách.
1
Câu 2 (NB) Cho dãy số ( un ) có: u1 = −3; d = . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
1
1
A. un = −3 + ( n + 1) .
B. un = −3 + n − 1 .
2
2
1

1


C. un = −3 + ( n − 1) .
D. un = n  −3 + ( n − 1) ÷ .
4
2


Lời giải
Chọn C
1
Sử dụng công thức số hạng tổng quát un = u1 + ( n − 1) d ( ∀n ≥ 2 ) . Ta có: un = −3 + ( n − 1) .
2
Câu 3 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .
Lời giải

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 4 (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 .



B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 .
D. Hàm số có ba cực trị.
y

2
2

x

0
-2

Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 .
Câu 5 (TH) Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như hình bên. Khẳng định nào sau
đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
C. x = 1 là điểm cực trị của hàm số.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 .
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải

Chọn B
Bảng biến thiên của hàm số


Dựa theo BBT, ta thấy phương án B sai.
2x +1
Câu 6 (NB) Cho hàm số y =
. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
x −1
A. Đường thẳng y = 1 .
B. Đường thẳng x = 1 .
C. Đường thẳng y = 2 .
D. Đường thẳng x = 2 .
Lời giải
Chọn B
2x +1
2x +1
= −∞ ; lim+
= +∞ .
Ta có: lim−
x →1 x − 1
x →1 x − 1
Vậy x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 7 (NB) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y

x
O


A. y =- x2 + x - 1.

B. y =- x3 + 3x +1. C. y = x4 - x2 +1.


D. y = x3 - 3x +1.

Lời giải
Chọn D
Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C.
Khi x → +∞ thì y → +∞ Þ a > 0 nên chọn D.
Câu 8 (TH) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = − x3 + 6 x 2 tại ba
điểm phân biệt.
 m ≥ 16
A. 
.
m ≤ 0

B. −32 < m < 0 .

C. 0 < m < 32 .

D. 0 < m < 16 .

Lời giải
Chọn C

x = 0
.
x = 4

y = − x3 + 6 x 2 ⇒ y′ = − 3 x 2 + 12 x , y ′ = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên của hàm số y = − x 3 + 6 x 2 .


Qua bảng biến thiên ta có đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = − x 3 + 6 x 2 tại ba điểm phân biệt
khi 0 < m < 32 .
Câu 9 (NB) Tìm tập xác định của hàm số y = xπ + ( x 2 − 1) .
e

A. ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. ¡ \ { −1;1} .

C. ( 1; +∞ ) .

D. ( 0;+∞ ) .

Lời giải
Chọn C
x > 0
x > 0
⇔ 2
⇔ x > 1.
Hàm số đã cho xác định ⇔  2
 x −1 > 0
x > 1
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ( 1; +∞ ) .

Câu 10 (NB) Đạo hàm của hàm số y = 5 x là
A. y′ = 5 x ln 5 .

B. y′ =

5x

.
ln 5

C. y′ = x.5 x −1 .

D. y′ = 5 x .

Lời giải
Chọn A
Đạo hàm của hàm số y = 5 x là y′ = 5 x ln 5 .
 9b 
Câu 11 (TH) Xét các số thực a và b thỏa mãn log 3  a ÷ = log 1 3 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3 
27
1
1
1
1
A. a − 2b = .
B. a + 2b = .
C. 2b − a = .
D. 2a − b = .
18
18
18
18
Lời giải
Chọn A
1
 9b 

1 1
1
log 3  a ÷ = log 1 3 3 ⇔ log 1 32b − a = log3−3 33 ⇔ 2 ( 2b − a ) = − . ⇔ a − 2b = .
3 3
18
32
3 
27


Câu 12 (NB) Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 x +1 = 8
A. S = { 1} .

B. S = { −1} .

C. S = { 4} .

D. S = { 2} .

Lời giải
Chọn D
Ta có 2 x +1 = 8 ⇔ 2 x +1 = 23 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2 .

Câu 13 (TH) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình log 2 ( 2 x − 2 ) = 3 .
A. x = 3 .

B. x = 7 .

C. x = 4 .
Lời giải


D. x = 5 .

Chọn D

log 2 ( 2 x − 2 ) = 3 ⇔ 2 x − 2 = 8 ⇔ x = 5 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5 .

2
Câu 14 (NB) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + sin x là

A. x3 + cos x + C .

B. x 3 + sin x + C .

C. x3 − cos x + C .
Lời giải

D. 3 x 3 − sin x + C .

Chọn C
2
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x + sin x là x3 − cos x + C .

1
là
5x + 4
B. ln 5 x + 4 + C .
C. 1
. D. 1

.
ln 5 x + 4 + C
ln 5 x + 4 + C
ln 5
5

Câu 15 (TH) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 1
.
ln ( 5 x + 4 ) + C
5

Lời giải
Chọn D
Ta có

1

1

1

1

∫ 5 x + 4 dx = 5 ∫ 5 x + 4 d ( 5 x + 4 ) = 5 ln 5 x + 4 + C .

Câu 16 (NB) Cho hàm số y = x3 có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. F 2 − F 0 = 16 .
( ) ( )


B. F 2 − F 0 = 1 .
( ) ( )

C. F 2 − F 0 = 8 .
( ) ( )

D. F 2 − F 0 = 4 .
( ) ( )

Lời giải
Chọn D
2

2

x4
= 4 = F ( 2) − F ( 0) .
Ta có: ∫ x dx =
4
0
0
3

2

Câu 17 (TH) Cho ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1. Khi đó
1

2


∫ f ( x ) dx bằng :
1

B. −3 .

A. 1 .

D. −1 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn A
2

2

2

2

1

1

1

2
Ta có ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 ⇔ 4 ∫ f ( x ) dx − 2∫ xdx = 1 ⇔ 4 ∫ f ( x ) dx − x 1 = 1
1


2

2

1

1

2

⇔ 4 ∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 1.
Câu 18 (NB) Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức liên hợp z của số phức z là
A. z = −3 + 2i .
B. z = 2 + 3i .
C. z = −2 + 3i .
Lời giải
Chọn B

D. z = −2 − 3i .


Số phức liên hợp z của số phức z = 2 − 3i là z = 2 + 3i .
1
Câu 19 (NB) Cho số phức z = 1 − i . Tìm số phức w = iz + 3z .
3
8
8
10
10

A. w = .
B. w = + i .
C. w = .
D. w = + i .
3
3
3
3
Lời giải
Chọn A
1
1
Ta có z = 1 − i ⇒ z = 1 + i
3
3
1
1
8
Khi đó: w = i z + 3z = i(1 + i) + 3(1 − i) =
3
3
3
Câu 20 (NB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 3 là đường
thẳng có phương trình
A. x = −3 .
B. x = 1 .
C. x = −1 .
D. x = 3 .
Lời giải
Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 3 là đường thẳng x = 3 .
Câu 21 (NB) Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là

3a 2 . Độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích của

khối lăng trụ là:
A.

3

6a .

B.

3

3a .

C.

3

2a .

D.

6a 3
.
3


Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lăng trụ đó là V = a 2 3.a 2 = a 3 6 .
Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Thể
tích của tứ diện OA′BC bằng

a3
A.
.
12

a3
B.
.
24

a3
C.
.
6
Lời giải

a3
D.
.
4

Chọn A

1

1 a 2 a 2 a3
AA′.OB.OC = .a.
.
=
6
6
2
2
12
Câu 23 (TH) Cho khối nón có bán kính r = 5 và chiều cao h = 3 . Tính thể tích V của khối nón.
A. V = 9π 5 .
B. V = 3π 5 .
C. V = π 5 .
D. V = 5π .
Lời giải
Chọn D
VO. A′BC = VA '.OBC =


1 2
1
Thể tích V của khối nón là : V = π r h = π 5.3 = 5π .
3
3
Câu 24 (TH) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa 2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của
hình trụ đã cho bằng
a
A. 2a .
B. .
C. a .

D. 2a .
2
Lời giải
Chọn C
2
S
S xq = 2πrl ⇒ l = xq = 2π a = a .
2πr 2πa

Câu 25 (NB) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 3;5; −2 ) trên mặt phẳng Oxy có tọa
độ là
A. ( 0;5; −2 ) .

B. ( 3;0; −2 ) .

C. ( 0; 0; −2 ) .
Lời giải

D. ( 3;5;0 ) .

Chọn D
Hình chiếu vng góc của điểm M ( 3;5; −2 ) trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là ( 3;5;0 ) .
2
2
2
Câu 26 (NB) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu đã

cho bằng
A. 9 .


B. 3 .

C. 15 .
Lời giải

D.

7.

Chọn B
Ta có: x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 2 z − 7 = 0 ⇔ x 2 + ( y − 1) + ( z + 1) = 9 .
2

2

⇒ ( S ) có bán kính R = 9 = 3 .
Câu 27 (TH) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; 2 ) và B ( 6;5; −4 ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A. 2 x + 2 y − 3 z − 17 = 0 .
C. 2 x + 2 y − 3 z + 17 = 0 .

B. 4 x + 3 y − z − 26 = 0 .
D. 2 x + 2 y + 3 z − 11 = 0 .
Lời giải

Chọn A
Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I ( 4;3; −1) là trung điểm của đoạn thẳng

uuur
AB và nhận AB = ( 4; 4; −6 ) = 2 ( 2; 2; −3) làm véc-tơ pháp tuyến.


Suy ra phương trình là 2 x + 2 y − 3 z = 17 ⇔ 2 x + 2 y − 3 z − 17 = 0 .
x + 2 y −1 z − 3
=
=
Câu 28 (NB) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một
1
−3
2
vectơ chỉ phương của d ?

uur

A. u2 = ( 1; − 3;2 ) .

uur

B. u3 = ( − 2;1;3) .

ur

C. u1 = ( − 2;1;2 ) .

uur

D. u4 = ( 1;3;2 ) .

Lời giải
Chọn A

Câu 29 (TH) Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi
đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có
cùng màu.
91
44
88
45
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
135
135
135
88


Lời giải
Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu: 15.18 = 270 .
Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: 4.7 + 5.6 + 6.5 = 88 .
88
44
=
Vậy xác suất cần tìm là
.

270 135
1 3
2
Câu 30 (TH) Hàm số y = x − 3 x + 5 x + 6 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3
A. ( 5; +∞ ) .

B. ( 1; +∞ ) .

C. ( 1;5) .

D. ( −∞;1) .

Lời giải
Chọn C
x = 1
Tập xác định: D = ¡ ; y′ = x 2 − 6 x + 5 ; y′ = 0 ⇔ 
.
x = 5
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;5 ) .
Câu 31 (TH) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 −12 x + 2 trên đoạn [ −1; 2] có giá trị là một số thuộc
khoảng nào dưới đây?
A. ( 2;14 )

B. ( 3;8 )

C. ( 12; 20 )


D. ( −7;8 )

Lời giải
Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ −1; 2] .
x = 1
Ta có y ′ = 6 x 2 + 6 x −12 ; y′ = 0 ⇔ 
.
 x = −2 ∉ [ −1; 2]

y ( −1) = 15 ; y ( 2 ) = 6 ; y ( 1) = −5 .
y = 15 ∈ ( 12; 20 ) .
Suy ra max
[ −1;2]

Câu 32 (TH) Số nghiệm thực nguyên của bất phương trình log ( 2 x 2 − 11x + 15 ) ≤ 1 là
A. 3.

B. 4 .

C. 5.
Lời giải

D. 6.

Chọn B
2
ĐK: 2 x − 11x + 15 > 0 ⇔ x <


5
hoặc x > 3 .
2

log ( 2 x 2 − 11x + 15 ) ≤ 1 ⇔ 2 x 2 − 11x + 15 ≤ 10 ⇔ 2 x 2 − 11x + 5 ≤ 0 ⇔

Kết hợp điều kiện ta có:
1

1
5
≤ x < hoặc 3 < x ≤ 5 . Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: x ∈ { 1; 2; 4;5} .
2
2

Câu 33 (VD) Cho tích phân I = ∫ 3 1 − x dx. Với cách đặt t = 3 1 − x ta được:
0

1
≤ x ≤5.
2


1

1

∫0

1


∫0

3
A. I = 3 t dt.

2
B. I = 3 t dt.

1

∫0

∫0

3
C. I = t dt.

3
D. I = 3 t dt.

Lời giải
Chọn A
Đặt t = 3 1 − x ⇒ t 3 = 1 − x ⇒ 3t 2 dt = −dx ⇔ dx = −3t 2 dt
Với x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0
0

(

Khi đó I = ∫ t −3t

1

2

1

) dt = 3∫ t dt
3

0

Câu 34 (TH) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = ( 1 + i ) − ( 3 + 3i ) là
2

B. −4 .

A. 4 .

C. −3 − i .
Lời giải

D. 10 .

Chọn B
Ta có z = ( 1 + i ) − ( 3 + 3i ) = 1 + 2i + i 2 − 3 − 3i = −3 − i ⇒ phần thực a = −3 , phần ảo b = −1 .
Vậy a + b = −4 .
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 2a , SA vng góc
2

với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = a . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SC và mp ( ABCD ) . Khi đó

tan ϕ bằng bao nhiêu?
A.

13
.
13

B.

11
.
11

7
.
7
Lời giải
C.

D.

5
.
5

Chọn A

Ta có SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên ( ABCD ) .
Xét ∆SAC vuông tại A ta có


SA
a
13
=
=
.
AC a 13 13
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng
tan ϕ =

góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD và SC.
A.

4a 13
.
91

B.

a 135
.
91
Lời giải
D.

Chọn C

a 165
.

91

C.

4a 1365
.
91


Gọi O = AC ∩ BD, H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB.

Do AB = ( SAB ) ∩ ( ABCD ) và ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD )
AC 2a
=
=a
2
2
BD 4a
OB =
=
= 2a
2
2

Ta có: OA =

⇒ Ab = OA2 + OB 2 = a 2 + 4a 2 = a 5

AB 3 a 15
1

1
=
; S ABCD = AC.BD = 2a.4a = 4a 2
2
2
2
2
Thể tích khối chóp S . ABCD là
SH =

VS . ABCD

1
1 a 15 2 2a 3 15
= SH .S ABCD =
4a =
3
3 2
3

Ta có: BC / / AD ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) )

Do H là trung điểm của AB và B = AH ∩ ( SCB ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = 2d ( H ; ( SBC ) )
Kẻ HE ⊥ BC , H ∈ BC. Do SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHE ) .

Kẻ HK ⊥ SE , K ∈ SE , ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H ; ( SBC ) )

HE =

2 S BCH S ABC S ABCD

4a 2
2a 5
=
=
=
=
BC
BC
2 BC 2a 5
5

1
1
1
5
4
91
2a 15 2a 1365
=
+
= 2+
=
⇒ HK =
=
2
2
2
2
2
HK

HE
SH
4a 15a
60a
91
91
Vậy d ( AD, SC ) = 2 HK =

4a 1365
.
91

Câu 37 (TH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 1; 0; − 2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương
trình: x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là
A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9 .

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3 .

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3 .

D. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 9 .

2

2

2

2


2

2

2

2

Lời giải
Chọn A

Mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên bán kính mặt cầu là
R = d ( I ,( P) ) =

1 + 0 − 2 ( −2 ) + 4
1+ 4 + 4

= 3.

Vậy phương trình mặt cầu là ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9 .
2

2


Câu 38 (TH)Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(0; 0; 2), B(2;1; 0), C (1; 2 − 1) và D (2;0; −2) . Đường
thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình là
 x = 3 + 3t

A.  y = −2 + 2t .

z = 1− t


x = 3

B.  y = 2
.
 z = −1 + 2t


 x = 3 + 3t

C.  y = 2 + 2t .
z = 1− t


 x = 3t

D.  y = 2t .
z = 2 + t


Lời giải
Chọn C

uuur

uuur

Ta có BC = (− 1;1; − 1); BD = (0; − 1; − 2) .

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD) . Khi đó ∆ có vetơ chỉ phương
r
uuur uuur
là u =  BD; BC  = (3; 2; −1) .
 x = 3t '
 x = 3 + 3t


⇒ ∆ :  y = 2t ' . Ta có M (3; 2;1) ∈ ∆ . Nên ∆ :  y = 2 + 2t .
z = 2 − t '
z = 1 − t


Câu 39 (VD) Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) = x ( x − 1)
bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2 .

2

( x − 2 ) ( x − 3)
3

C. 4 .
Lời giải

4

3
. Hỏi hàm số f ( x ) có


D. 3.

Chọn B
3
Ta có  f 3 ( x ) ′ = 3. f 2 ( x ) . f ′ ( x ) nên số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng số điểm cực trị của



hàm số y = f ( x ) .
x = 0
x =1
2
3
4
3 f ' ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 ⇔ 
.
x = 2

x = 3
Bảng biến thiên

3
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.

2
Câu 40 (VD) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình log ( x − 4 x + m + 20 ) > 1 có tập

nghiệm là ¡ ?
A. 6 .


B. 13 .

C. 5 .
Lời giải

Chọn C

D. 14 .

2
2
1
2
Ta có log ( x − 4 x + m + 20 ) > 1 ⇔ x − 4 x + m + 20 > 10 ⇔ x − 4 x + m + 10 > 0 .

Để tập nghiệm của phương trình là ¡ thì ∆ ′ = 4 − m − 10 < 0 ⇔ m > −6 .
Do m là số nguyên âm nên m ∈ { −1; − 2; − 3; − 4; − 5} .


sin x + sin 3 x
π 
 π 5π 
, ∀x ∈  ; ÷. Khi đó
Câu 41 (VD) Cho hàm số f ( x ) có f  ÷ = −1 và f ′ ( x ) =
4
2 sin x.cos x
2
6 6 
bằng

A. 2 .

C. −2 .
Lời giải

B. 4 .

3π
4

∫ f ( x ) dx

π
4

D. 0 .

Chọn C
Ta có f ' ( x ) =

sin x + sin 3 x
 π 5π 
,
∀
x
∈
 ; ÷ nên f ( x ) là một nguyên hàm của f ' ( x )
2sin 4 x.cos x
6 6 
sin x + sin 3 x

2sin 2 x.cos x
2sin x.cos x
2 cos x
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
4
4
4
x.cos x
2sin x.cos x
sin x
sin 3 x

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 2 sin
=∫

2
−1
d ( sin x ) =
+C
3
sin x
sin 2 x

Do đó f ( x ) = −
3π
4


Vậy

∫

π
4

1
1
π 
+ C mà f  ÷ = −1 ⇒ C = 0 khi đó f ( x ) = − 2
2
sin x
sin x
2

f ( x ) dx =

3π
4

∫

−

π
4

3π
1

4
d
x
=
cot
x
π = −2
2
sin x
4

Câu 42 (VD) Cho số phức z ; biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức z ; iz và z + iz tạo thành một
tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số phức z bằng
A. 2 3 .

B. 3 2 .

C. 9.

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
Gọi z = x + yi , với x, y ∈ ¡ ; i 2 = −1 ⇒ iz = − y + xi và z + iz = ( x − y ) + (x + y)i . Gọi A, B, C lần
lượt là điểm biểu diễn của các số phức z ; iz và z + iz .
Khi đó A( x; y ) , B ( − y; x ) , C ( x − y; x + y ) .
Ta có: AB =

( x + y)


2

+ ( x − y ) = 2 x 2 + 2 y 2 , AC = BC = x 2 + y 2 = z .
2

Vì AC = BC và AB 2 = AC 2 + BC 2 , suy ra ∆ABC là tam giác vuông cân tại C .
1
1 2
z = 18 ⇔ z = 6 . Chọn đáp án D.
Do đó S ∆ABC = AC.BC ⇔
2
2
Câu 43 (VD) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp S .MNPQ là V , khi đó thể tích
của khối chóp S . ABCD là:
A. 27V
4

2

B.  9 
 ÷V
2

C. 9V
4
Lời giải

Chọn A


D. 81V
8


Ta có

d ( S , ( MNPQ ) )
d ( S , ( ABCD ) )

=

SM 2
= .
SI
3

Mặt khác gọi S = S ABCD ta có
Tương tự ta có

S∆DEJ 1 1 1
= . = ⇒ S∆DEJ = 1 S .
S∆BDA 4 2 8
16

S∆JAI 1
= ⇒ S∆JAI = 1 .
S∆DAB 4
8

  1

1 
1
Suy ra S HKIJ = 1 −  4. + 2. ÷ S = S .
8 
2
  16
S MNPQ

2

2
4
2
=  ÷ = ⇒ S MNPQ = S ABCD .
Mà
9
S HKIJ  3 
9
1
1 3
9
27
Suy ra VS . ABCD = d ( S , ( ABCD ) ) .S = . d ( S , ( MNPQ ) ) . S = V .
3
3 2
2
4
2
2
2

Câu 44 (VD) Biết rằng parabol ( P ) : y = 2 x chia đường tròn ( C ) : x + y = 8 thành hai phần lần lượt có diện

tích là S1 , S2 (như hình vẽ). Khi đó S 2 − S1 = aπ −

b
b
với a, b, c nguyên dương và
là phân số tối
c
c

giản. Tính S = a + b + c .

A. S = 13 .
Chọn C

B. S = 16 .

C. S = 15
Lời giải

D. S = 14 .


 x 2 + y 2 = 8
 x 2 + 2 x − 8 = 0
 x = −4 ∨ x = 2
x = 2
⇔ 2
⇔ 2

⇔ 2
Xét hệ  2
.
 y = 2 x
 y = 2 x
 y = 2x
y = 4
2

S1 = 2 ∫ 2 xdx + 2
0

2 2

∫

8 − x 2 dx

2

2

2

2 3
16

2 x dx =  2. 2.
x ÷ = .
3


0 3

I1 = 2∫
0

2 2

I2 = 2

∫

8 − x 2 dx

2

Đặt x = 2 2 cos t ⇒ dx = −2 2 sin tdt
π
x =2⇒t = , x = 2 2 ⇒t =0.
4
0

(

I 2 = 2 ∫ 8 − 8cos 2 t −2 2 sin tdt
π
4

⇒ S1 = I1 + I 2 = 2π +


(

⇒ S2 = π 2 2

)

2

)

π
4

π
4

π

 1
4
= 16 ∫ sin 2 tdt = 8∫ ( 1 − cos 2t ) dt = 8  t − sin 2t ÷ = 2π − 4 .
 2
0
0
0

4
.
3


− S1 = 6π −

4
.
3

8
⇒ S2 − S1 = 4π − .
3
Vậy a = 4 , = 8 , c = 3 ⇒ S = a + b + c = 15 .

Câu 45 (VD) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −3 y −3 z + 2
x − 5 y +1 z − 2
=
=
=
=
; d2 :
−1
−2
1
−3
2
1

và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3z − 5 = 0 . Đường thẳng vng góc với ( P ) , cắt d1 và d 2 lần lượt tại
A, B . Độ dài đoạn AB là


A. 2 3 .
Chọn B

B. 14 .

C. 5 .
Lời giải

D. 15 .


x = 3 − t
 x = 5 − 3k


d1 có phương trình tham số là  y = 3 − 2t và d 2 có phương trình tham số là  y = −1 + 2k . Mặt
 z = −2 + t
z = 2 + k


r
phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến là n = ( 1; 2;3) .
Vì A ∈ d1 ⇒ A ( 3 − t;3 − 2t; −2 + t ) và B ∈ d 2 ⇒ B ( 5 − 3k ; −1 + 2k ; 2 + k )
uuu
r
⇒ AB = ( 2 − 3k + t ; −4 + 2k + 2t ; 4 + k − t ) .

t = 2
r
uuu

r
2 − 3k + t −4 + 2k + 2t 4 + k − t
⇒
=
=
Mà d ⊥ ( P ) nên AB và n cùng phương, suy ra
.
1
2
3
k = 1
Do đó A ( 1; −1;0 ) , B ( 2;1;3) . Vậy AB = 14 .
Câu 46 (VDC) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x - 2018) + m - 2 có
đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử của S là
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số có 3 cực trị. Vì vậy phương trình f ¢( x ) = 0 có ba
nghiệm bội lẻ là a, b, c (a < b < c ) .
Xét hàm số g ( x) = f ( x - 2018) + m - 2 .
Đồ thị của hàm số y = g ( x ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) qua phải 2018
đơn vị và lên trên (hoặc xuống dưới) m - 2 đơn vị. Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x ) như sau



Hàm số y =| g ( x) | có đúng 5 cực trị khi và chỉ khi phương trình g ( x) = 0 có đúng hai nghiệm bội
đơn. Suy ra
ém - 8 < 0 £ m - 5 é5 £ m < 8
ê
Û ê
.
ê
ê
m
£
0
ë
ëm £ 0.
Vì m nguyên dương nên S = { 5;6;7} .

Câu 47 (VDC) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số ( x; y ) thỏa mãn
2
2
e3 x +5 y − e x +3 y +1 = 1 − 2 x − 2 y , đồng thời thỏa mãn log 3 ( 3 x + 2 y − 1) − ( m + 6 ) log 3 x + m + 9 = 0 .

A. 6 .

B. 5 .

C. 8 .
Lời giải

D. 7 .

Chọn B

3 x+5 y
+ ( 3x + 5 y ) = e x +3 y +1 + ( x + 3 y + 1) .
Ta có: e3 x +5 y − e x +3 y +1 = 1 − 2 x − 2 y ⇔ e

t
t
Xét hàm số f ( t ) = e + t trên ¡ . Ta có f ′ ( t ) = e + 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên ¡ .

Do đó phương trình có dạng: f ( 3 x + 5 y ) = f ( x + 3 y + 1) ⇔ 3x + 5 y = x + 3 y + 1 ⇔ 2 y = 1 − 2 x .
2
2
Thế vào phương trình cịn lại ta được: log 3 x − ( m + 6 ) log 3 x + m + 9 = 0 .
2
2
Đặt t = log 3 x , phương trình có dạng: t − ( m + 6 ) t + m + 9 = 0 .
Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ −3m2 + 12m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 4 .
Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn.

2
Câu 48 (VDC) Cho Parabol ( P ) : y = x và hai điểm A, B thuộc ( P ) sao cho AB = 2 . Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi ( P ) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng?
2
3
4
A.
B.
C.
3
4

3

D.

3
2

Lời giải
Chọn C

2
2
Cách 1: Gọi A ( a; a ) , B ( b; b ) với a < b . Ta có AB = 2 ⇔ ( b − a ) + ( b 2 − a 2 ) = 4
2

2


x − a y − a2
x − a y − a2
⇔ y = ( a + b ) ( x − a ) + a 2 ⇔ y = ( a + b ) x − ab
AB :
= 2
⇔
=
2
b−a b −a
1
b+a
b


b

a

a

S = ∫ ( ( a + b ) x − ab − x 2 ) dx = ∫ ( x − a ) ( b − x ) dx .

Đặt t = x − a . Suy ra S =

b−a

∫

t ( b − a − t ) dt =

b −a

∫

0

0

( t ( b − a) − t

(

Ta có ( b − a ) + ( b 2 − a 2 ) = 4 ⇔ ( b − a ) 1 + ( b + a )

2

2

2

b − a)
Suy ra b − a ≤ 2 ⇒ S = (

2

)

2

) dt

b − a) t2
(
=
2

= 4 ⇔ ( b − a) =

b−a

0

t3
−

3

4

2

1+ ( b + a)

2

b−a

( b − a)
=

3

6

0

.

≤4

3

23 4 .
=
6

6 3
a + b = 0
b = 1
⇔
⇔ A ( −1;1) , B ( 1;1) .
Dấu bằng xảy ra khi 
b − a = 2
a = −1
≤

2
Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y = ax + bx + c và trục hoành

∆3
, ∆ = b 2 − 4ac ( 1) .
36a 4
2
Tổng quát với ( P ) : y = ax + bx + c và ( d ) : y = mx + n thì ta lập phương trình hồnh độ giao điểm
y = 0 là S 2 =

2
ax 2 + bx + c = mx + n ⇔ ax + ( b − m ) x + c − n = 0 .

Áp dụng S 2 =

∆3
2
, ∆ = ( b − m ) − 4a ( c − n ) .
4
36a


Câu 49 (VDC) Xét các số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡

)

thỏa mãn z - 4 - 3i = 5 . Tính P = a + b khi

z +1 - 3i + z - 1 + i đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10

C. P = 6
Lời giải

B. P = 4

D. P = 8

Chọn A
Sử dụng BĐT Bunyakovsky
2

2

Từ giả thiết z - 4 - 3i = 5 Û ( a - 4) +( b - 3) = 5 Û a 2 + b 2 - 8a - 6b + 20 = 0

Û a 2 + b2 = 8a + 6b - 20
Mặt khác T = z +1 - 3i + z - 1 + i =

2


2

2

( a +1) +( b - 3) + ( a - 1) +( b +1)

2

2
2
2
2
2
2
2
=2é
2 a 2 + b 2 ) - 4b +12ù
(ëa +1) +( b - 3) +( a - 1) +( b +1) ù
Suy ra T £ ( 1 +1 ) é
ê
ú
ê
ú
ë(
û
û

ù
=2é
ë2 ( 8a + 6b - 20) - 4b +12û = 8( 4a + 2b - 7)

2

2

2

Dấu = xảy ra khi ( a +1) +( b - 3) = ( a - 1) +( b +1)
Lại có 4a + 2b = 4 ( a - 4) + 2 ( b - 3) + 22 £

(4

= 20.5 + 22 = 32
a- 4 b- 3
=
Û a - 2b =- 2
Dấu = xảy ra khi
4
2
2
suy ra T £ 8( 4a + 2b - 7) £ 8( 32 - 7) = 200

2

2

Û a - 2b =- 2

2
2ù
+ 22 ) é

a
4
+
b
3
+ 22
(ë
)
(
)
ê
ú
û


Þ T £ 10 2
ìïï 4a + 2b = 32
ìï a = 6
Û ïí
. Vậy a + b = 10 .
ïïỵ a - 2b =- 2
ïïỵ b = 4

Vậy Tmax = 10 2 khi í

Câu 50 (VDC) Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 8 và các điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 4; 2;1) . Gọi M là một
2

2


điểm bất kỳ thuộc mặt cầu ( S ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + 2MB ?
A. 2 2 .
B. 4 2 .
C. 3 2 .
D. 6 2 .
Lời giải
Chọn D

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4; 0 ) , bán kính R = 2 2 .
IA = 4 2 = 2R = 2IM ; IB = 30 > R ⇒ B nằm ngoài mặt cầu ( S ) .
uur 1 uu
r
Lấy điểm K thuộc tia IA sao cho IK = IA ⇒ K ( 0;3;0 ) .
4
1
1
⇒ IK = R = IM ⇒ K nằm trong mặt cầu ( S )
2
2
MA
IA
=
Lại có: ∆IAM : ∆ IMK ( c.g .c ) ⇒
= 2 ⇔ MA = 2MK .
KM IM
Suy ra: MA + 2 MB = 2MK + 2MB ≥ 2BK = 6 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ M = BK ∩ ( S ) và M nằm giữa B, K .

Vậy ( MA + 2 MB ) min = 6 2 .