<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

THCS BINH TRUNG <b>kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)</b>
<b>năm học : 2008 - 2009</b>

<i><b> M«n</b></i> : <b>To¸n </b>

(Thêi gian lµm bµi: <i>150 phót: )</i>
<b>Bµi 1 </b>( 3,0 điểm)

Cho các số dơng: a; b và x =
1
2

2


b
ab

. XÐt biÓu thøc P =

b
x
a
x
a

x
a
x
a

3
1










1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.

2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
<b>Bài 2 </b>(3,0 im)

Tìm x; y; z thoả mÃn hệ sau:

x
z

z

z
y

y

y
x

x

3
6
2
3

2
4
2
3

2
2
3

3
3
3

<b>Bài 3 </b>( 3,0 ®iĨm)

Với mỗi số ngun dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =

2
5
3

; b =

2
5
3

.
1. Chøng minh r»ng víi n ≥ 1, ta cã Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)

2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.

3. Chøng minh Sn – 2 =

2

2
1
5
2

1
5



















 










  n n _{. Tìm tất cả các s n S}

n 2 là số
chính phơng.

<b>Bài 4 </b>(5,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa ®iĨm A vµ ®iĨm B sao cho AE < BE. VÏ

đ-ờng trịn (O1) đờng kính AE và đờng trịn (O2) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN

của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).

1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng

EF vng góc với đờng thẳng AB.

2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng trịn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt

đờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
<b>Bài 5: (4đ): Cho </b>ABC đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .
<b>a) Chứng minh : </b>

<i>AN</i>
<i>AM</i>
<i>AF</i>

<i>AC</i>
<i>AE</i>

<i>AB</i> 2




<b>b) Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng </b>
thẳng KM cắt AC tại Q.

Chøng minh PQ//BC.
<b>Bµi 6: (2 ®iĨm)</b>

Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng :
₂<i>_a</i>3 ₂<i>_b</i>3 ₂<i>_c</i>3 ₃ <i>_a</i>2<i>_b</i> <i>_b</i>2<i>_c</i> <i>_c</i>2<i>_a</i>

---

Hết---hớng dẫn chấm: Đề số 3
<b>Câu 1. (3,0 điểm)</b>

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (2.0 điểm)</b>

Ta có: a; b; x > 0



a + x > 0 (1)

XÐt a – x = ₀

1
)
1
(

2
2





b

b

a ₍₂₎

Ta có a + x > a – x ≥ 0



ax a x0 (3)
Từ (1); (2); (3)



P xác định

Rót gän:
Ta cã: a + x =

1
)
1
(
1
2

2
2
2







b
b
a

b

ab

a



1
)

1

( ₂







b
a
b

x
a

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a - x =

1
)

1
(
1
2

2
2
2







b
b
a
b

ab

a



1
1 ₂







b
a
b

x
a



P =

b
b

b

b
b

b
b

a
b

b
a
b

b
a
b

b
a
b

3
1
1
1

1
1
3

1
1
1

1
)

1
(

1
1

1
)

1
(

2
2

2
2


























 NÕu 0 < b < 1



P =

b
b

b 3

4
3

1
2

2



 NÕu b_₁



P =

b
b
b
b

3
1
3
3

1 2





2. (1.0 ®iĨm)
XÐt 2 trêng hợp:

Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý th× P = 
b

3
4

P 4

3


 NÕu b_1, a dơng tuỳ ý thì P =

3
2
3

1
3
3

1 b

b
b
b

b

Ta cã:

3
2
3

1

3 b

b

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác:

3
2
3
2

b

, dấu bằng xảy ra khi và chØ khi b = 1
VËy P

3
4
3
2
3
2




 , dÊu b»ng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =

3
4

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

Câu 2 (3,0 điểm)

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

Bin i tng ng h ta cú

)
2
(
3
)
1
)(
2
(

)
2
(
2
)

1
)(
2
(

2
)
1
)(
2
(

2
2

2

x
z

z

z
y

y

y
x

x

Nhõn cỏc vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2_(y+1)2_(z+1)2_{= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)}



(x - 2)(y - 2) (z - 2)



( 1)2( 1)2( 1)2 6







 y z

x = 0



(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0



x = 2 hc y = 2 hc z = 2

Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho

1,00
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
<b>C©u 3 (3,0 điểm)</b>

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (1,0 điểm)</b>

Với n ≥ 1 th× Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1)

Mặt khác: (a + b)( an + 1_+bn + 1_{) – ab(a}n_+bn_{) = a}n+2 _{+ b}n+2 ₍₂₎

Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
<b>2. (1.0 ®iĨm)</b>

Ta cã: S1 = 3; S2 = 7

Do a + b =3; ab =1 nªn theo 1 ta cã: víi n ≥ 1 th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn

Do S1, S2



Z nªn S3



Z; do S2, S3



Z nªn S4



Z

Tiếp tục q trình trên ta đợc S5; S6;...; S2008



Z

<b>3. (1.0 ®iĨm)</b>

Ta cã Sn – 2 = 2

2
1
2

5
2

1
2

5 2 2















































n
n

0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=

n
n

n



















 









 




















 




















 

2
1
5
2

1
5
2
2

1
5
2

1
5

2
2

=

2

2
1
5
2

1
5




















 










  n n _đpcm

Đặt a1 =

2
1
5

; b1 =

2
1

5



a1 + b1 = 5; a1b1 = 1

XÐt Un= <i>a</i>₁<i>n</i>  <i>b</i>₁<i>n</i>

Víi n ≥ 1 th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n)



Un+2 = 5Un+1 – Un

Ta cã U1 = 1



Z; U2 = 5

 Z; U

3 = 4



Z; U4 = 3 5

 Z;...

Tiếp tục quá trình trên ta đợc Un nguyên



n l

Vậy Sn 2 là số chính phơng

n = 2k+1 với k

Z và 0k1003

0,25

0,25
0,25

Câu 4 (5,0 điểm)

<b>Tóm tắt lời giải</b> <b>Điểm</b>

<b>1. (2,5 điểm) O</b>1M; O2N MN



O1M/ / O2N

Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B

Các tam giác O1ME; O2NB lần lợt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1=NBO2 (1)

Mặt khác ta cã: _AME = 900

_

__{MAE +}__MEO

1= 900 (2)



MAE + _NBO2 = 900



AFB = 900

Tứ giác FMEN có 3 góc vuông

Tứ giác FMEN là hình chữ nhật

NME = _FEM (3)
Do MN_MO1



MNE + EMO1 = 900 (4)

Do tam giác O1ME cân tại O1



MEO1 = EMO1 (5)

Tõ (3); (4); (5) ta cã: _FEM + _MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (®pcm)

<b>2. (2,5 ®iĨm)</b>

Ta cã EB = 12 cm



O1M = 3 cm < O2N = 6 cm

MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.

Gọi I là trung ®iĨm CD



CD_OI



OI// O1M //O2N

2
1
2

1

SO
SO
N
O

M
O






SO2 = 2SO1



SO1+O1O2 = 2SO1



SO1= O1O2

Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm



SO1= O1O2 = 9 cm  SO =SO1 + O1O = 15cm

Mặt khác:

1

1 SO

SO
M

O
OI



OI = 5 cm

Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2_{+ OI}2_{= CO}2

_

_CI2_{+ 25 = CO}2

Ta cã: CO = 9 cm



CI2_{+ 25 = 81}

_

_{CI =} ₅₆



CD = 4 ₁₄ cm

0,25
0.25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

<b>Câu 5 (2,0 điểm)</b>

<b>Điểm</b>

3
F

O

1 E O O2

A B

C M

I

N

D

S

E
E

I

S
M
N

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>a)</b>

KỴ <i>BI</i>,<i>CS</i>//<i>EF</i> (<i>I</i>,<i>S</i><i>AM</i>)

Ta cã:

<i>AN</i>
<i>AS</i>
<i>AF</i>
<i>AC</i>
<i>AN</i>

<i>AI</i>
<i>AE</i>
<i>AB</i>



 ,

)
(





<i>AN</i>
<i>AS</i>

<i>AN</i>

<i>AI</i>
<i>AF</i>
<i>AC</i>
<i>AE</i>
<i>AB</i>

Ta cã: <i>BIM</i> <i>CSM</i> (cgc)

 <i>IM</i> <i>MS</i>

VËy: <i>AI</i> <i>AS</i> <i>AI</i> <i>AI</i><i>IM</i> <i>MS</i> 2<i>AM</i>

Thay vào (*) ta đợc (đpcm)

1,0

0,5
Khi <i>d</i>//<i>BC</i> <i>EF</i>//<i>BC</i> <i>N</i> lµ trung ®iĨm cđa EF

_{+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L}

Ta có: <i>NFP</i><i>NFL</i>(<i>cgc</i>) <i>EP</i><i>LF</i>
Do đó :

(1)

<i>KB</i>

<i>KF</i>
<i>PB</i>
<i>LF</i>
<i>PB</i>
<i>EP</i>





+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H

Ta cã <i>BMH</i> <i>CMQ</i>(<i>cgc</i>)

 <i>BH</i> <i>QC</i>

Do đó: (2)

<i>KB</i>
<i>KF</i>
<i>BH</i>
<i>FQ</i>
<i>QC</i>

<i>FQ</i>




Tõ (1)<i>va</i>(2) <i>FP</i> <i>FQ</i> <i>PQ BC</i>//

<i>PB</i> <i>QC</i>

(đpcm)

0,5
0,5

0,5

0,5

0,5

<b>Bài 6: 2 ®iĨm)</b>

Do a <1  <i>_a</i>2_{<1 vµ b <1}

Nªn



1 <i>a</i>2



. 1

_

 <i>b</i>

_

  0 1 <i>a b a</i>2  2 <i>b</i>0
Hay 1<i>_a</i>2<i>_b</i><i>_a</i>2<i>_b</i> (1)

Mặt khác 0 <a,b <1  <i>_a</i>2 <i>_a</i>3

 ; <i>b</i><i>b</i>3

 ₁ <i>_a</i>2 <i>_a</i>3 <i>_b</i>3






VËy <i>_a</i>3_<i>_b</i>3 _₁_<i>_a</i>2<i>_b</i>
T¬ng tù ta cã

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>

<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>

<i>b</i>

2
3

3

2
3

3

1

1









 ₂<i>_a</i>3 ₂<i>_b</i>3 ₂<i>_c</i>3 ₃ <i>_a</i>2<i>_b</i> <i>_b</i>2<i>_c</i> <i>_c</i>2<i>_a</i>








0,5
0,5
0,25
0,25
0,5

4

K

P Q

F
L

E N

M C

B

</div>

<!--links-->